必修一答案--高中数学必做100题

高中数学必做100题----数学1

1. 试选择适当的方法表示下列集合：
（1）函数
y?x
2
?x?2
的函数值的集合； （2）
y?x?3
与
y??3x?5
的图象的交点集合.
1
?
7
?
解：（1）
y?x?x?2?
?
x?
?< br>?
……（3分）
2
?
4
?
2
2

?y?
7
，……（5分）
4
故所求集合为
?
y| y?
（2）联立
?
解得
?
?
?
7
?
?
.……（6分）
4
?
?
y?x?3
，……（8分）
?
y??3x?5
?
x?2
，……（10分）
?
y??1
故所求集合为
?
?
2,?1
?
?
.……（ 12分）
2. 已知集合
A?{x|3?x?7}
，
B?{x|5?x?1 0}
，求
C
R
(AB)
、
C
R
(AB)< br>、
(C
R
A)B
、
A(C
R
B)
. （◎P
14
10）
解：
C
R
(AB)?
?x|x?3或x?10
?
，……（3分）
C
R
(AB)??
x|x?5或x?7
?
，……（6分）
(C
R
A) B?
?
x|7?x?10
?
，……（9分）
A(C
RB)?
?
x|x?7或x?10
?
.……（12分）
3. 设 全集
U?{x?N
*
|x?9}
，
A?{1,2,3}
，< br>B?{3,4,5,6}
. （◎P
12
例8改编）
（1）求< br>AB
，
AB
，
C
U
(AB)
，
C< br>U
(AB)
；
解：
AB?
?
1,2,3,4,5,6
?
，……（1分）
AB?
?
3
?
，……（2分）
C
U
(AB)?
?
7,8
?
，……（3分） C
U
(AB)?
?
1,2,4,5,6,7,8
?
.… …（4分）
（2）求
C
U
A
，
C
U
B
，
(C
U
A)(C
U
B )
，
(C
U
A)(C
U
B)
；

< br>解：
C
U
A?
?
4,5,6,7,8
?
，… …（5分）
C
U
B?
?
1,2,7,8
?
，……（6分） < br>(C
U
A)(C
U
B)?
?
1,2,4,5,6,7 ,8
?
，……（7分）
(C
U
A)(C
U
B)?
?
7,8
?
. ……（8分）
（3）由上面的练习，你能得出什么结论？请结合Venn图进行分析.
解：
CU
(AB)?(C
U
A)(C
U
B)
，……（9分）< br>C
U
(AB)?(C
U
A)(C
U
B)
. ……（10分）
Venn图略. ……（12分）
4. 设集合
A?{x|(x? 4)(x?a)?0,a?R}
，
B?{x|(x?1)(x?4)?0}
. （◎P
14
B 4改编）
（1）求
AB
，
AB
；
解：①当
a?4时，
A?
?
4
?
，
B?
?
1,4?
，故
AB?
?
1,4
?
，
AB?
?
4
?
；……（2分）
②当
a?1
时，
A?
?
1,4
?
，
B?
?
1,4
?
，故AB?
?
1,4
?
，
AB?
?
1,4
?
；……（4分）
③当
a?4
且
a?1
时，
A?
?
a,4
?
，
B?
?
1,4
?
， 故
AB?
?
1,a,4
?
，
AB?
?
4< br>?
. ……（6
分）
（2）若
A?B
，求实数a的值；
解：由（1）知，若
A?B
，则
a?1
或4. ……（8分）
（3）若
a?5
，则
AB
的真子集共有 个, 集合P满足条件
(AB)刎P(AB)
，写
出所有可能的集合P.
解：若< br>a?5
，则
A?
?
4,5
?
，
B?
?
1,4
?
，故
A?B?
?
1,4,5
?
，此时
A
7个. ……（10分）
又
B
的真子集有
A?B ?
?
4
?
，
?
满足条件
(AB)刎P(AB)的所有集合
P
有
?
1,4
?
、
?
4, 5
?
. ……
3?x
.
4x?1
1
4
（12分）
5. 已知函数
f(x)?
（1）求
f(x)
的定义域与值域（用区间表示） （2）求证
f(x)
在
(?,??)
上递减.
解：（1）要使函数有意义，则
4x?1?0
，解得
x??
. ……（2分）
所以原函数的定义域是
{x|x??}
.……（3分）
1< br>4
1
4

y?
3?x112?4x1?(4x?1)?1 311311

??????????0??
，……（5分）
4x?144x ?144x?144
?
4x?1
?
44
所以值域为
{y|y ??}
.……（6分）
（2）在区间
?
?
1
4
?
1
?
,??
?
上任取
x
1
,x
2
，且
x
1
?x
2
，则
?
4
?< br>f
?
x
1
?
?f
?
x
2
?
?
13
?
x
2
?x
1
?
3?x< br>1
3?x
2
……（8分）
??
4x
1
?1 4x
2
?1
?
4x
1
?1
??
4x
2
?1
?
x
1
?x
2
，
?x
2
?x
1
?0
……（9分）
又
x
1
,x< br>2
?
?
?
?
1
?
,??
?
，
?4x
1
?1?0,4x
2
?1?0
，……（10分）
?
4
?
1
4
?f
?
x
1
?
?f
?
x
2
?
?0

?f
?< br>x
1
?
?f
?
x
2
?
，……（11 分）
?
函数
f(x)
在
(?,??)
上递减. ……（12分）
?
x(x?4),x?0
6. 已知函数
f(x)?
?
，求
f(1)
、
f(?3)
、
f(a?1)
的 值.（◎P
49
B4）
?
x(x?4),x?0
解：
f (1)?5
，……（3分）
f
?
?3
?
?21
，… …（6分）
2
?
?
a?6a?5,a??1
.……（12分） < br>f
?
a?1
?
?
?
2
?
?
a?2a?3,a??1
7. 已知函数
f(x)??x
2
?2x
. （☆P
16
8题）
（1）证明
f(x)
在
[1,??)
上是减函数;（2）当
x?
?
2,5
?
时，求
f( x)
的最大值和最小值.
解：（1）证明：在区间
[1,??)
上任取< br>x
1
,x
2
，且
x
1
?x
2
，则有……（1分）
f(x
1
)?f(x
2
)?(?x
1
2
?2x
1
)?(?x
2
2
?2x
2< br>)?(x
2
?x
1
)?(x
1
?x
2
?2)
，……（3分）
∵
x
1
,x
2
?[1, ??)
，
x
1
?x
2
，……（4分）
∴
x
2
?x
1
???x
1
?x
2
???0,
即
f(x
1
)?f(x
2
)?0
……（5分） < br>∴
f(x
1
)?f(x
2
)
，所以
f(x)
在
[1,??)
上是减函数．……（6分）
（2）由（1）知
f( x)
在区间
?
2,5
?
上单调递减，所以
f(x)
max
?f(2)?0,f(x)
min
?f(5)??15
……（12分 ）

8. 已知函数
f(x)?log
a
(x?1),g(x)? log
a
(1?x)
其中
(a?0且a?1)
．（◎P
84
4）
（1）求函数
f(x)?g(x)
的定义域；
（2）判断
f(x)?g(x)
的奇偶性，并说明理由；

（ 3）求使
f(x)?g(x)?0
成立的
x
的集合.
解：（ 1）
f(x)?g(x)?log
a
(x?1)?log
a
(1?x )
.
?
x?1?0
若要上式有意义，则
?
，即
? 1?x?1
. ……（3分）
1?x?0
?
所以所求定义域为
x?1?x?1
……（4分）
（2）设
F(x)?f(x)?g(x)
，则
??
F(?x)?f (?x)?g(?x)?log
a
(?x?1)?log(1?x)??F(x)
.… …（7分）
所以
f(x)?g(x)
是偶函数. ……（8分）
（3）
f(x)?g(x)?0
，即
log
a
(x?1) ?log
a
(1?x)?0
，
log
a
(x?1)?log
a
(1?x)
.
?
x?1?0
?
当
0? a?1
时，上述不等式等价于
?
1?x?0
，解得
?1?x?0.……（10分）
?
?
x?1?1?x
?
x?1?0
?
当
a?1
时，原不等式等价于
?
1?x?0
，解得
0?x?1
.……（12分）
?
?
x?1?1?x
综上所述, 当
0?a? 1
时，原不等式的解集为
{x?1?x?0}
；当
a?1
时，原不等 式的解
集为
{x0?x?1}
.

bx
(b?0,a?0)
. （☆P
37
例2）
2
ax?1
11
（1）判断
f(x)
的奇偶性； （2） 若
f(1)?,log
3
(4a?b)?log
2
4
，求a ，b的值.
22
9. 已知函数
f(x)?
解：（1）
f(x)< br>定义域为R，
f(?x)?
（2）由
f(1)?
?bx
??f (x)
，故
f(x)
是奇函数. ……（6分）
ax
2
? 1
b1
?
，则
a?2b?1?0
.……（8分）
a?12
又log
3
(4a-b)=1，即4a-b=3. ……（10分）
?
a?2b?1?0
由
?
，解得a=1，b=1. ……（12分）
4a?b?3
?

10. 对于函数
f(x)?a?
2
(a?R)
. （1）探索函数
f(x)
的单调性；（2）是否存在实
2
x
?1
数a使得
f(x)< br>为奇函数. （◎P
91
B3）
解: (1)
f(x)
的定义域为R, 设
x
1
?x
2
,
2
x
1
?2
x
2
11
则
f(x< br>1
)?f(x
2
)?a?
x
=,……（3分）
?a ?
x
2
2
1
?12?1
(1?2
x
1)(1?2
x
2
)

x
2
,……（5分）
)?0
x
1
?x
2
,
?2
x
1
?2
x
2
?0,(1?2
x
1
)(1?2
?f(x
1
)?f(x
2
)?0,

即
f(x1
)?f(x
2
)
,所以不论
a
为何实数
f( x)
总为增函数. ……（6分）
（2）假设存在实数a使
f(x)
为奇函数,
?f(?x)??f(x)
……（7分）
即
a?
22
,……（9分）
??a?
?xx
2?12?1
解得:
a?1.
……（12分）

11. （1）已知函数
f(x)
图象是连续的，有如下表格，判断函数在哪几个区间上有零点. （☆
P
40
9）
x
f (x)
－2
－3.51
－1.5
1.02
－1
2.37
－0.5
1.56
0
－0.38
0.5
1.23
1
2.77
1.5
3.45
2
4.89
（2）已知二次方程
(m?2)x
2
?3mx?1?0
的两个根分别属于( -1,0)和(0,2),求
m
的取值范
围.
解：（1）由
f( ?2)f(?1.5)?0
，
f(?0.5)f(0)?0
，
f(0)f(0 .5)?0
，……（3分）
得到函数在（－2，－1.5）、（－0.5，0）、（0，0.5）内有零点. ……（6分） （2）设
f(x)
=
(m?2)x
2
?3mx?1
，则
f(x)
=0的两个根分别属于(-1,0)和(1,2).
?
f(?1) ?f(0)?0
?
(?2m?1)?1?0
所以
?
，……（8分）即
?
， ……（10分）
f(2)?f(0)?0(10m?7)?1?0
??
∴
??m?


12. 某商场经销一批进货单价为40元的商品，销售单价与日均销售量的关系如下表：
销售单价元 50 51 52 53 54 55 56
日均销售量个 48 46 44 42 40 38 36
为了获取最大利润，售价定为多少时较为合理？ （☆P
49
例1）
解：由题可知，销售单价增加1元，日均销售量就减少2个.
设销售单价定为x元，则每个 利润为（x－40）元，日均销量为
[48?2(x?50)]
个.
由于
x ?40?0
，且
48?2(x?50)?0
，得
40?x?74
.… …（3分）
则日均销售利润为
y?(x?40)[48?2(x?50)]??2x
2
?228x?5920
，
40?x?74
.……（8
分）
易知，当
x??
1
2
7
．……（12分）
10
228
?57
，y有最大值. ……（11分）
2?(?2)
所以，为了获取最大利润，售价定为57元时较为合理. ……（12分）

13. 家用冰箱使用的氟化物的释放破坏了大气上层臭氧层. 臭氧含量Q呈指数函数型变

化，满足关系式
Q?Q
0
e
?
t
4 00
，其中
Q
0
是臭氧的初始量. （1）随时间的增加，臭氧的含
量是增加还是减少？ （2）多少年以后将会有一半的臭氧消失？（☆P
44
9）

t
?
t
400
解：（1）∵
Q
0
?0
，
??0
，
e?1
， ∴
Q?Q
0
e
为减函数. ……（3分）
400
∴ 随时间的增加，臭氧的含量是减少. ……（6分）
（2）设x年以后将会有一半的臭氧消失，则
Q
0
e
两边去自 然对数，
?
?
x
400
x
?
11
400< br>?Q
0
，即
e?
，……（8分）
22
x1
?ln
，……（10分）
4002
解得
x?400ln2?278
.……（11分）
∴ 287年以后将会有一半的臭氧消失. ……（12分）


14. 某工厂今 年1月、2月、3月生产某种产品分别为1万件、1.2万件、1.3万件，为了
以后估计每个月的产量 ，以这三个月的产品数据为依据. 用一个函数模拟产品的月产量
y
与月份数
x
的关系，模拟函数可选用二次函数
f(x)?px
2
?qx?r
（其中p,q,r
为常数，
且
p?0
）或指数型函数
g(x)?a?b
x
?c
（其中
a,b,c
为常数），已知4月份该产品的产量
为1.37万件，请问用上述哪个函数作为模拟函数较好？并说明理由.（☆P
51
例2）
解：当选用二次函数
f(x)?px
2
?qx?r
的模型时， ∵
f
?
x
?
?px
2
?qx?r
?< br>p?0
?
，由
f
?
1
?
?2,f
?
2
?
?1.2,f
?
3
?
?1.3
，有
?
p?q?r?1
?
?
4p?2q?r?1.2
， 解得
p??0.05,q?0.35,r?0.7
，……（4分）
?
9p?3q?r?1.3
?
∴
f
?
4
?
?1.3
.……（5分）
当选用指数型函数
g(x)?a?b
x
?c
的模型时，
∵
g
?
x
?
?a?b
x
?c,
由
g
?
1
?
?1,g
?
2
?
?1 .2,g
?
3
?
?1.3,
有
?
a?b?c?1
?
2
?
a?b?c?1.2
，解得
a??0.8,b?0.5,c?1.4
， ……（9分）
?
3
?
a?b?c?1.3
∴
g
?
4
?
?1.35
.……（10分）
根据4 月份的实际产量可知，选用
y??0.8?
?
0.5
?
?1.4作模拟函数较好. ……（12分）


x

15. 如图，
?OAB
是边长为2的正三角形，记
?OAB
位于
直线
x?t(t?0)
左侧的图形的面积为
f (t)
. 试求函数

f(t)
的解析式,并画出函数
y?f(t)
的图象. （◎P
126
B2）
解：（1）当
0?t?1
时，
如图 ，设直线
x?t
与
?OAB
分别交于
C
、
D
两点，则
y
B
O

x=t
A x
OC?t
，
又
CDBE
3
113
2
?? ?3
，
?CD?3t
，
?f
?
t
?
?OC ?CD??t?3t?t

OCCE1
222
……（4分）
（2）当
1?t?2
时，
如图，设直线
x?t
与
?OAB
分别交于
M
、
N
两点，则
AN?2?t
，
MNBE
3
???3
，
?MN?3
?
2?t
?
又
ANAE1
1133
2
?f
?
t
?
??2?3??AN?MN?3?
?
2?t
?
??t
2< br>?23t?3

2222
……（8分）
（3）当
t?2< br>时，
f
?
t
?
?3
. ……（10分）
?
3
2
?
t,0?t?1
?
2
?
?
3
2
?f
?
t
?
?
?
?t?23t?3, 1?t?2
……（12分）
2
?
?
3,t?2
?
?
?





16. 某医药研究所开发一种新药，如果成年人按规定的剂
量服用，据监测：服药后每毫升血液中的含药量y（微克）
与时间t（小时）之间近似满足如图所示的曲 线.

（1）写出服药后y与t之间的函数关系式y=f(t)；
（2）据 进一步测定：每毫升血液中含药量不少于0.25微克时，治疗疾病有效.求服药一
次治疗疾病有效的时 间？（☆P
45
例3）
解：（1）当0≤t≤1时，y=4t；……（2分） < br>当t≥1时，
y?()
t?a
，此时
M(1,4)
在曲线上，
∴
4?()
1?a
,a?3
，这时
y?()
t? 3
. ……（5分）
1
2
1
2
1
2
(0 ?t?1)
?
4t
?
所以
y?f(t)?
?
1t?3
.……（6分）
()(t?1)
?
?
2
?4t?0.25
?
（2）∵
f(t)?0.25,即
?
1
t?3
， ……（8分）
()?0.25
?
?
2
1
?
1
?
t?解得
?
16
，……（10分）∴
?t?5
.……（11分）
16
?
?
t?5
115
∴ 服药一次
治疗疾病有效的时间为
5??4
个小时.
……（12分）
1616