关键词不能为空

当前您在: 主页 > 数学 >

全国高中数学联赛一试试题

作者:高考题库网
来源:https://www.bjmy2z.cn/gaokao
2020-09-15 02:37
tags:高中数学题

高中数学极限思想-高中数学必修2第二章知识点及题型


2013年全国高中数学联赛一试试题
一.填空题:本大题共8小题,每小题8分,共64分。
1.设集合
A?
?
2,0,1,3
?
,集合
B?x?x?A,2?x
2
?A< br>,则集合B中所有元素的和为
2
2.在平面直角坐标系
xOy
中,点 A、B在抛物线
y?4x
上,满足
OA?OB??4
,F是抛物
??
线的焦点,则
S
?OFA
?S
?OFB
=
3.在
?ABC
中,已知
sinA?10sinB?sinC,cosA?10cosB?c osC
,则
tanA
的值为
4.已知正三棱锥
P?ABC
的底面边长为1,高为
2
,则其内切球半径为
5.设a、b为实数,函数
f (x)?ax?b
满足:对任意
x?[0,1]
,有
f(x)?1
, 则
ab
的最大
值为
6.从
1,2,???,20
中任取5个不同的数,其中至少有2个是相邻数的概率为
7.若实数x,y满足
x?4y?2x?y
,则
x
的取值范围是 < br>1,2,???,8
?
均有8.已知数列
?
a
n
?< br>共有9项,其中
a
1
?a
9
?1
,且对每个
i?
?
a
i?1
?
1
?
?
?
2, 1,?
?

a
i
?
2
?
则这样的数列的个 数为
二.解答题:本大题共3小题,共56分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
9.(本题满分16分)给定正数数列
?
x
n
?
满足
S< br>n
?2S
n?1
,n?2,3,???,
这里
S
n< br>?x
1
?????x
n
.
证明:存在常数
C?0
,使得
x
n
?C?2
n
,n?1,2,???

x
2
y
2
10.(本题满分20分)在平面直角坐标系
xOy
中,椭 圆的方程为
2
?
2
?1(a?b?0)

ab
A
1
,A
2
分别为椭圆的左、右顶点,
F
1
,F2
分别为椭圆的左右焦点,
P
为椭圆上不同于
A
1
和< br>A
2
的任意一点.若平面中有两个点
Q,R
满足
QA
1
?PA
1
,QA
2
?PA
2
,RF
1< br>?PF
1
,RF
2
?PF
2
,
试确定线段
QR
的长度与
b
的大小关系,并给出证明。
1 1.(本题满分20分)设函数
f(x)?ax?b
,求所有的正实数对
(a,b)< br>,使得对任意实数
x,y
均有
f(xy)?f(x?y)?f(x)f(y)< br>
2



2013年全国高中数学联合竞赛加试试题
一 .(本题满分40分)如图,AB是圆
?
的一条弦,P为弧AB内一点,E

F为线段AB上
两点,满足AE=EF=FB.连接PE、PF并延长,与圆
?
分别项 交于点C、D.求证:
EF?CD?AC?BD

(解题时请将图画在答卷纸上)


二.(本题满分40分)给定正整数u、v.数列
?
a
n
?
的定义如下:
a
1
?u?v
,对整数
m?1< br>,
?
a
2m
?a
m
?u,

?< br>a?a?v.
m
?
2m?1

S
m
?a1
?a
2
?????a
m
(m?1,2,???)
.证 明:数列
?
S
n
?
中有无穷多项是完全平方数。
三.(本 题满分50分)一次考试共有m道试题,n个学生参加,其中
m,n?2
为给定的整
数 .每道题的得分规则是:若该题恰有x个学生没有答对,则每个答对盖提的学生得x分,
未答对的学生得 0分.每个学生的总分为其m道题的得分总和.将所有的学生总分从高到低
排列为
p
1
?p
2
?????p
n
,求
p
1
?p2
的最大可能值。
四.(本题满分50分)设
n,k
为大于1的整数,
n?2
k
.证明:存在2k个不被n整除的整
数,若将他们任意分成两组,则 总有一组有若干个数的和被n整除。


五.
2013年全国高中数学联合竞赛一试试题参考答案及评分标准
说明:
1.评阅试 卷时,请依据本评分标准。填空题只设8分和0分;其他各题的评阅,请严格按照
本标准评分档次给给分 ,不要增加其他中间档次。
2.如果考生的解答和本解答的不同,只要给合理的思路、步骤正确,在评 卷时可参考本评分
标准适当划分档次评分,解答题中第9题4分为一个档次.第10、11小题5分为一 个档次,
不要增加其他中间档次.

一.填空题:本大题共8小题,没小题8分,共64分.
1.答案:-5
【解答】 易知
B?
?
?2,0,?1,?3
?
.当
x??2,?3< br>时,
2?x??2,?7
,有
2?x
2
?A
2
而当
x?0,?1
时,
2?x?2,1
,有
2?x< br>2
?A
.因此,根据B的定义可知
B?
?
?2,?3
?
.
2
所以,集合B中所有元素的和为-5.

2.答案:2
2
y
1
2
y
2
,x
2
?
【解答】点F的坐标为(1,0).设
A(x
1
,y
1
),B(x< br>2
,y
2
)
,则
x
1
?
,故 44
?4?OA?OB
=
x
1
x
2
?y
1
y
2
?

1
(y
1
y
2)
2
?y
1
y
2

16
1
( y
1
y
2
?8)
2
?0
,故
y
1
y
2
??8

16
111
2
S
? OFA
?S
?OFB
?(OF?y
1
)?(OF?y
2)
=
OF?y
1
y
2
=2
224

3.答案:11
【解答】由于
sinA?cosA?10(sinBsinC?co sBcosC)??10cos(B?C)?10cosA

所以
sinA?11co sA
,故
tanA?11


4.答案:
2
6
【解答】如图,设球心O在面ABC与面ABP内的摄影分别为H和K,AB中点为M,内
切球半径为r,则P、K、M共线,
?PHM??PKO?
?
2


OH?OK?r,PO?PH?OH?2?r
,
MH?
33
AB ?

66


PM?MH
2
?PH
2
=
2?
153
rOKMH1
?
??sin?KPO??
,于 是
126
POPM5
2?r
解得:
r?
2
6

1
5.答案:
4

【解答】易知
a?f(1)?f(0),b?f(0)
,则
1111
f(1))
2
?(f(1))
2
?(f(1))
2
?
2444
111

2f(0)?f(1)??1

a ?b??
时,
ab?
,故
ab
的最大值为
244
ab?f(0)?(f(1)?f(0))??(f(0)?

6.答案
232

323
【解答】设
a
1
?a
2
?a
3
?a
4
?a
5
取自
1,2,???,20
.若
a
1
,a
2
,a
3,a
4
,a
5
互不相邻,则
1?a
1
?a< br>2
?1?a
3
?2?a
4
?3?a
5
?4? 16

由此可知从
1,2,???,20
中取5个互不相邻的数的选法与从< br>1,2,???,16
中取5个不同的数的选法
相同,即
C
16
种.所以从
1,2,???,20
中任取5个不同的数,其中至少有2个是相邻的概率为:
555
C
20
?C
16
C
16
232
?1??
55
C
20
C
20
323
5

7.答案:
?
0
?
?[4,20]

【解答】令
y?a,x?y?b(a,b?0)
,此时
x?y?(x?y)?a
2
?b
2
,且条件中等式化
22
22

a?b? 4a?b
,从而
a,b
满足方程:
(a?2)?(b?1)?5(a,b?0 )


如图所示,在
aOb
平面内,点
(a,b)的轨迹是以
(1,2)
为圆心,
5
为半径的圆在
a,b?0
部分,即点O与弧
ACB
的并集,因此
a
2
?b2
?
?
0
?
?[2,25]
,从而
x?a
2
?b
2
?
?
0
?
?[4 ,20]


8.答案:491.

88
aa
a
i?1
(1?i?8)
,【解答】令
b
i
?
则对每 个符合条件的数列
?
a
n
?
,有
?
b
i< br>?
?
i?1
?
9
?1

a
1
a
i
i?1i?1
a
i

b
i
?
?
2,1,?
?

1?i?8
)①
反之,由符合条件① 的8项数列
?
b
n
?
可能唯一确定一个符合题设条件的9项数列?
a
n
?

记符合条件①的数列
?
b
n
?
的个数为N,显然
b
i
(1?i?8)
中有偶数个< br>?
?
?
1
?
2
?
11
,即
2k

?
;继
22
?
b
n
?
的取 法有
C
8
2k
C
8
2
?
k
2k< br>种,而有
2k
个2,易见k的可能值只有:
8?4k
个1.当给定k时 ,
0,1,2

2244
所以
N?1?C
8
C6
?C
8
C
4
?1?28?15?70?1?491

因此,根据对应原理,符合条件的数列
?
a
n
?
的个数为4 91.

二.解答题:本大题共3小题,共56分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
9. 【解答】当
n?2
时,
S
n
?2S
n?1
等价于
x
n
?x
1
?????x
n?1

对常数
C?
1
x
1
,用数学归纳法证明:
x
n
? C?2
n
,n?1,2,???

4
n?1
时结论显然成立 .又
x
2
?x
1
?C?2
2

k

n?3
,假设
x
k
?C?2,k?1,2,???,n?1
,则由式①可知
x
n
?x
1
?(x
2
???? ?x
n?1
)
?x
1
?(C?2
2
?????C? 2
n?1
)
=
C?2
n


所以,由归纳法可知上式成立。

10.【解答】令
c?a
2
?b
2
,则
A
1
(?a,0)

A
2
(a,0)

F
1
(?c,0)

F
2
(c,0)
.设
P(x
0
,y
0
)< br>,
22
x
0
y
0
Q(x
1
,y< br>1
),R(x
2
,y
2
)
,其中
2
?
2
?1

y
0
?0
.由
QA?PA1
,
QA
2
?PA
2
可知:
ab
A
1
Q?A
1
P?(x
1
?a)(x
0
?a )?y
1
y
0
?0

A
2
Q?A
2
P?(x
1
?a)(x
0
?a)?y
1
y0
?0

22
将①、②相减得:
2a(x
1
?x
0
)?0
,即
x
1
??x
0
,将其代入①可得:
?x
0
?a?y
1
y?0

22
x
0
?a
2
x
0
?a
2
故< br>y
1
?
,于是
Q(?x
0
,)

y
0
y
0
2
x
0
?c
2
根据
RF
1
?PF
1
,RF
2
?PF
2
,同 理可得
R(?x
0
,)

y
0
22
x0
?a
2
x
0
?c
2
b
2
? ?
因此
QR?

y
0
y
0
y
0< br>由于
y
0
?(0,b]
,故
QR?b
(其中等号成立 的充分必要条件是
y
0
?b
,即点P的坐标是
(0,?b)


11.【解答】已知条件可以转化为:对任意实数
x,y
,有
(ax
2
y
2
?b)?(a(x?y)
2
?b)?(ax
2
?b)(ay
2
?b)

先寻求a、b所满足的必要条 件,在①中令
y?0
得:
b?(ax?b)?(ax?b)b

即对任意的实数x,有:
(1?b)ax?b(2?b)?0

由于
a?0
,故
ax
2
可以取到任意大的值,因此必有
1?b?0
,即:
0?b?1

在①式中再令
y??x
,得:
(ax ?b)?b?(ax?b)
,即对任意实数x,有
422
2
22
( a?a
2
)x
4
?2abx
2
?(2b?b
2)?0

2
将②式的左边记作为
g(x)
,显然
a? a?0
(否则,由
a?0
可知
a?1
,此时
g(x)??2 bx
2
?(2b?b
2
)
,其中
b?0
,故
g(x)
可取到负值,矛盾),于是


ab
2
(ab)2
g(x)?(a?a)(x?)??2b?b
2

22
a?a a?a
22
=
(a?a
2
)(x
2
?
即< br>0?a?1

进一步考虑到
b
2
b
)?(2?2a? b)?0
对一切实数x成立,从而必有:
a?a
2
?0

1 ?a1?a
bb
b
)?(2?2a?b)?0
,可得:
2a?b?2

?0
,再根据
g(
1?a1?a
1?a
至此,求 得
a,b
满足的必要条件如下:
0?b?1,0?a?1,2a?b?2

下面证明,对满足 ③的任意实数对
(a,b)
以及任意实数
x,y
,总有①成立,即:
h(x,y)?(a?a
2
)x
2
y
2
?a(1?b)( x
2
?y
2
)?2axy?(2b?b
2
)

对任意
x,y
取非负值。
事实上,在③式成立时,有
a(1?b) ?0,a?a
2
?0,
再结合
x?y??2xy
,可得:
22
b
(2?2a?b)?0

1?a
h(x,y)?(a ?a
2
)x
2
y
2
?a(1?b)(?2xy)?2axy ?(2b?b
2
)

=
(a?a)xy?2abxy?2b?b

=
(a?a2
)(xy?
2222
b
2
b
)?(2?2a?b)? 0

1?a1?a
综上所述,所求的正实数对
(a,b)
全体为(a,b)0?b?1,0?a?1,2a?b?2

??



2013年全国高中数学联赛加试试题参考答案及评分标准
一.

【证明 】连接
AD,BC,CF,DE
.由于
AE?EF?FB
,从而
BC?sin?BCEBE
=
?2

AC?sin?ACEAE
同理可得:
AD?sin?ADFAF
??2

BD?sin?BDFBF
另一方面,由于
?BCE??BCP??BDP?BDF

?ACE??ACP??ADP??ADF

故将①②两式相乘可得:
BC?AD
?4
,即
AC?BD
BC?AD?4AC?BD

由托勒密定理
AD?BC?AC?BD?AB?CD

由 ③ ④得:
AC?CD?3AC?BD

即:
EF?CD?AC?BD


二.【证明】对正整数
n
,有
S
2
n?1?1
?a
1
?(a
2
?a
3
)?(a
4
?a
5
)?????(a
2
n?1
?2
?a2
n?1
?1
)

=
u?v?(a
1
?u?a
1
?v)?(a
2
?u?a
2
?v) ?????(a
2
n
?1
?u?a
2
n
?1
?v)

=
2(u?v)?2S
2
n
?1

所以
S
2
n
?1
?2
n?1
n
(u?v)?2S
2
n?1
?1
?2
n?1
(u?v)?2(2
n?2
(u? v)?2S
2
n?2
?1
)

(u?v)?2
2
S
2
n?2
?1

n?1
=
2?2
n?1
=
(n?1)?2(u?v)?2
n?1
(u?v)


=
(u?v)n?2
k
n?1

2

u?v?2?q
,其中k是非负整数,q是奇数.取
n?q?l
,其中
l
为满足
l?k?1(mod2)
的任意正整数,此时
S
2
n
?1
?q
2
l
2
?2
k ?1?ql
,注意到q是奇数,故:
2
k?1?ql
2
?k?1? l
2
?k?1?(k?1)
2
?k(k?1)?0(mod2)
< br>所以,
S
2
n
?1
是完全平方数.由于
l
有 无穷多个,故数列
?
S
n
?
中有无穷多项是完全平方数。

三.【解答】
对任意的
k?1,2,???,m,
设第
k
题没有答对者有
x
k
人,则第k答对者有
n?x
k
人,由得 分规
则知,这
n?x
k
个人在第k题均得到
x
k
分 .设
n
个学生的得分和为S,则有
?
p
i?1
n
i
2
?S?
?
x
k
(n?x
k
)?n< br>?
x
k
?
?
x
k

k?1k?1k ?1
mmm
因为每一个人在第k道题上至多得
x
k
分,故
p
1
?
?
x
k

k?1
m
由于
p
2
?????p
n
,故有
p
n
?
p
2
?p
3
?????p
n
S?p
1,所以
?
n?1n?1
mm
n?2
m
1
S? p
1
n?2S
2
??
?
x
k
??(n?
x
k
?
?
x
k
)

p1
?p
n
?p
1
??p
1
?
n?1< br>k?1
n?1n?1n?1
n?1
k?1k?1
m
1
2
?
?
x
k
=
2
?
x
k
?

n?1
k?1k?1m
1
m
2
由柯西不等式可得:
?
x?(
?x
k
)

m
k?1k?1
2
k
mm< br>11
2
?(
?
x
k
)
=
??(?
x
k
?m(n?1))
2
?m(n?1)
于是p
1
?p
m
?2
?
x
k
?
m (n?1)
k?1
m(n?1)
k?1k?1
m
m
?m(n ?1)

另一方面,若有一个学生全部答对,其他
n?1
个学生全部答错,则
p
1
?p
n
?p
1
?
?
(n?1 )?m(n?1)

k?1
m


综上所述,
p
1
?p
n
的最大值为
m(n?1)

四.【证明】
先考虑
n
为2的幂的情形。设
n?2
r
,则
r?k
.取
3

2
r?1

2k?3
个 1,显然这些数
字均不被n整除.将2k个数任意分成两组,则总有一组中含有2个
2
r?1
,他们的和为
2
r
,被
n整除。
现在设n不是2的幂,取2k个数为
?1,?1,?2,?2
2
,???, ?2
k?2
,1,2,2
2
,???,2
k?1

因为n不是2的幂,故上述2k个数均不被n整除。
若可将这些分成两组,使得每一 组中任意若干个数的和均不能被n整除。不妨设1在第
一组,由于-1+1=0,被n整除,故两个-1 必须在第二组;因为(-1)+(-1)+2=0,被n整
除,故2在第一组,进而推出-2在第二组。
现在归纳假设
1,2,???,2
均在第一组,而
?1,?1,?2 ,???,?2
均在第二组,这里
1?l?k?2

由于
(?1)? (?1)?(?2)?????(?2)?2
第二组,故由归纳法可知,
1,2,2,???, 2
2
ll?1
ll
?0
,被n整除,故
2
l?1< br>在第一组,从而
?2
l?1

在第一组,
?1,?1,?2, ?2,???,?2
2k?2k?2
在第二组。最
后,由于
(?1)?(?1 )?(?2)?????(?2
k?2
)?2
k?1
?0
被n整除, 故
2
k?1
在第一组。因此
1,2,2
2
,???2
k?1
中若干个数的和,特别地,因为
n?2
k
?1
,故在第一组 中有若干个数的和为
n,当然被n整除,矛盾!
因此,将前述2k个整数任意分成2组,则总有一组中有若干个数之和被n整除。

高中数学幂函数教案-高中数学怎么提分 知乎


高中数学必修五解三角形ppt-家长会高中数学老师


高中数学椭圆的定义ppt百度-高中数学司马红丽优酷百度网盘


高中数学面试试讲怎么准备-高中数学导数大题解答方法


高中数学解析几何篇-嵊州中学高中数学教研主任


2015全国高中数学竞赛 广东-高中数学2-1考试题


高中数学文理的差别-高中数学奥林匹克竞赛报名时间


高中数学复习课怎么上-高中数学教师科研立项研究选题



本文更新与2020-09-15 02:37,由作者提供,不代表本网站立场,转载请注明出处:https://www.bjmy2z.cn/gaokao/395477.html

全国高中数学联赛一试试题的相关文章