高中数学牛x公式-高中数学主要分为几个板块
习题精选
一、选择题
1.过抛物线焦点
的直线与抛物线相交于
, ,则
, 两点,若
,
在
抛物线准线上的射影分别是 为( ).
A.45° B.60° C.90°
D.120°
2.过已知点 且与抛物线 只有一个公共点的直线有( ).
A.1条 B.2条 C.3条 D.4条
3.已知
( ).
A.
B. C.
(
D.
( ),则
, 是抛物线 上两点,
为坐标原点,若
的方程是 ,且 的垂心恰好是此抛物线的焦点,则直线
4.若抛物线
弦 的斜率为()
)的弦
PQ
中点为
A.
5.已知
足
B. C. D.
, 满 是抛物线
的焦点弦,其坐标
,则直线 的斜率是()
A. B. C.
(
,则
D.
)的焦点弦
6.已知抛物线
,
的两端点坐标分别为
的值一定等于( )
D.
上,且⊙ 与 轴及 的准
A.4 B.-4 C.
7.已知⊙
的圆心在抛物线
线相切,则⊙ 的方程是( )
A.
C.
8.当
B.
D.
时,关于 的方程
的实根的个数是( )
A.0个 B.1个 C.2个 D.3个
1
9.将直线 左移1个单位,再下移2个单位后,它与抛物线
仅有一个公共点,则实数 的值等于( )
A.-1 B.1 C.7
D.9
10.以抛物线
关系为( )
( )的焦半径 为直径的圆与
轴位置
A.相交 B.相离 C.相切 D.不确定
11.过抛物线
如果 ,那么
的焦点作直线交抛物线于
长是( )
,
两点,
A.10 B.8 C.6 D.4
12.过抛物线
抛物线顶点,则
A.小于
13.抛物线
(
)的焦点且垂直于 轴的弦为
大小( )
C.大于 D.不能确定
对称的曲线的顶点坐标是( )
, 为
B.等于
关于直线
A.(0,0) B.(-2,-2) C.(2,2) D.(2,0)
14.已知抛物线 (
)上有一点
离为5,则 的面积( 为原点)为( )
A.1 B.
15.记定点
C.2 D.
与抛物线
,则当
上的点
之间的距离为 , 到
,它到焦点 的距
此抛物线准线 的距离为
A.(0,0) B.
16.方程
取最小值时 点的坐标为( )
C.(2,2) D.
表示( )
A.椭圆
B.双曲线 C.抛物线 D.圆
17.在 上有一点
小,则
的坐标为()
,它到 的距离与它到焦点的距离之和最
A.(-2,8)
B.(2,8) C.(-2,-8) D.(-2,8)
18.设
数为()
为 过焦点的弦,则以 为直径的圆与准线交点的个
A.0 B.1
C.2 D.0或1
或2
2
19.设 , 为抛物线 上两点,则 是
过焦点的()
A.充分不必要
B.必要不充分 C.充要 D.不充分不必要
20.抛物线垂点为(1,1),准线为
A.
21.与
A.
B.
关于
B.
C.
,则顶点为()
D.
对称的抛物线是()
C.
D.
二、填空题
1.顶点在原点,焦点在
轴上且通径(过焦点和对称轴垂直的弦)长为6
的抛物线方程是_________.
2.抛物线顶点在原点,焦点在
轴上,其通径的两端点与顶点连成的三角
形面积为4,则此抛物线方程为_________.
3.过点(0,-4)且与直线
4.抛物线
5.已知抛物线
方程是________.
被点
的弦
相切的圆的圆心的轨迹方程是_________.
所平分的弦的直线方程为_________.
过定点(-2,0),则弦 中点的轨迹
6.顶点在原点、焦点在
轴上、截直线
抛物线方程为____________.
7.已知直线 与抛物线
交于
中点坐标是__ _.
8.一条直线 经过抛物线
两点,过
,
9.
(
所得弦长为
、
两点,那么线段
与抛物线交于
的
的
、 )的焦点
、 、
点分别向准线引垂线
, 为 的中点,则
,垂足为 、 ,如果
=__________.
, ,则 的 是抛物线的一条焦点弦,若抛物线
的距离为_________.
上到直线
中点 到直线
10.抛物线
____________.
11.抛物线
__________.
的距离最近的点的坐标是
上到直线
距离最短的点的坐标为
3
12.已知圆
则
=________.
13.过
=________.
14.抛物线
__________.
15.已知抛物线
(
与抛物线 ( )的准线相切,
)的焦点
上一点
的弦为 ,
为坐标原点,则
的纵坐标为
到焦点的距离为3,则点
(
),它的顶点在直线
上,则 的值为__________.
16.过抛物线
的焦点作一条倾斜角为
的范围是________.
17.已知抛物线
与椭圆
则该圆的方程为__________.
的弦,若弦长不超过8,则
有四个交点,这四个交点共圆,
,过抛物线上一点
18.抛物线
作 于
的焦点为
,则梯形
,准线 交 轴于
的面积为_______________.
19.探照灯的反射镜的纵断面是抛物线的一部分,安装灯源的位置在抛物线
的焦点 处,如果
到灯口平面的距离恰好等于灯口的半径,已知灯口的半
径为30cm,那么灯深为_________.
三、解答题
1.知抛物线
上求一点 ,使
2.若
截直线
的面积为39
所得的弦长 ,试在 轴
的焦点弦长为5,求焦点弦所在直线方程
( )的内 3.已知 是以原点
为直角顶点的抛物线
接直角三角形,求 面积的最小值.
4.若 , 为抛物线
的焦点, 为抛物线上任意一点,求
的坐标. 的最小值及取得最小值时的
5.一抛物
线拱桥跨度为52米,拱顶离水面6.5米,一竹排上一宽4米,高
6米的大木箱,问能否安全通过.
6.抛物线以 轴为准线,且过点 ,(
)求证不论点
位置如何变化,抛物线顶点的轨迹是椭圆,且离心率为定值.
7.已知抛物线 ( )的焦点为 ,以
为半径,在
轴上方画半圆,设抛物线与半圆交于不同的两点
的
为圆心,
、 ,
为
4
线段
、
的中点.①求
的值;②是否存在这样的 ,使 、
成等差数列,若存在,求出 的值;若不存在,说明理由.
和圆
中,一条边
上最近两点之间的距离.
在直线 上,另外两顶点
、
8.求抛物线
9.正方形
在抛物线 上,求正方形的面积.
的一条过焦点的弦被焦点分为 , 两个部分, 10.已知抛物线
求证 .
11.一抛物线型拱桥的跨度为 ,顶点距水面
宽 、高 的货箱,问能否安全通过.
12.已知抛物线 上两点 , (
且 ,求当 点距 轴最近时,
13.
方形
是抛物线
,求动点
.江中一竹排装有
在第二象限),
的面积 .
与 ,以
为原点,
上的动点,连接原点
的轨迹方程.
为边作正
参考答案:
一、1.C;2.C;3.D;4.B;5.C;6.B;7.B;8.D;9.C
10.C;1
1.B;12.C;13.C;14.C;15.C;16.C;17.B;18.B;19.C;
20
.A;21.D
二、1.
5.
7.
或
;2.
;6.
;3.;4.
(在已知抛物线内的部分)
;8.(4,2);9.
10.;11.;12.2;13.-4
14.2;15.0,
17.
三、1.先求得
2.
,
,;16.
;18.3.14;19.36.2cm
,再求得
或
3.设 , ,则由 得 ,
5
, ,于是
当 ,即
,
,过
时,
作
垂直准线于 点,
最小,
点,
4.抛物线
由抛物线定义得
、
从而
、
的准线方程为
, ,要使
垂直于准线,
,此时
与抛物线交点为
三点必共线,即
的最小值为 点坐标为(2,2).
,则点(26,-6.5)在抛物线
,当
5.建立坐标系,设抛物线方程为
上,
时,
,则有
抛物线方程为
,所以木箱能安全通过.
,由抛物线定义得 ,
,即
6.设抛物线的焦点为
设顶点为 ,则 ,所以
为椭圆,离心率
7.①设 、
、
为定值.
、
,将 代入得
、 ,
在抛物线的准线上射影分别为
则由抛物线定义得,
又圆的方程为
必在抛物线上,这与点
②假设存在这样的 ,使得
,由定义知点
矛盾,所以这样的 不存在
是弦 的中点
6
8.设 、 分别是抛物线和圆上的点,圆心
最小,则
也最小,因此 、 、
,半径为1,若
共线,问题转化为在抛物线
,则
的最小值是
上求一点 ,使它到点
的距离最小.为此设
,
9.设
得
又直线
所在直线方程为
, 消去
与
间距离为
或
,面积
,
, ,当
与
轴不垂直时,设
垂
所
,
,命题也成立.
或 从而边长为
10.焦点为
直于
轴,则
在直线方程为
这时 ,于是
,设焦点弦 端点
,结论显然成立;当
,代入抛物线方程整理得
11.取抛物线型拱桥的顶点为原点、对称轴为 轴建立直角坐标系,则桥
墩的两端坐标分别为(-26
,-6.5),(26,-6.5),设抛物线型拱桥的方程
为
.当
过.
12.设
直线 的方程为
(当且仅当
,所以 .
7
,则
时, ,而
,所以 ,抛物线方程为
,故可安全通
,则
,将
,因为
代入,得点
,
,所以
的横坐标为
,
,
时取等号),此时 ,
13.设
别为 ,
、
程.
,
,而证得
,而
,过
≌
,因此
, 分别作为
轴的垂线,垂足分
,则有
,即
, ,即
为所求轨迹方
8
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