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. . .
高中数学立体几何大题训练
1.如图所示,在长方体
ABCD?A
1
B
1
C
1
D
1
中,AB=AD=1,AA
1=2,M
是棱CC
1
的中点
(Ⅰ)求异面直线A
1
M
和C
1
D
1
所成的角的正切值;
(Ⅱ)证明:平面ABM⊥平面A
1
B
1
M
1
2.如图, 在矩形
ABCD
中,点
E,F
分别在线段
AB,AD
上,
AE?EB?AF?
沿直线
EF
将
VAEF
翻折成
VA
'
EF,使平面
AEF?平面BEF
.
(Ⅰ)求二面角
A
'
?
FD?C
的余弦值;
(Ⅱ)点
M,N
分别在线段
FD,BC
上,若沿直线
MN
将四边形
'
2
FD?4
.
3<
br>MNCD
向上翻折,使
C
与
A
'
重合,求线段
FM
的长。
3.如图,直三棱柱
ABC?A
1
B
1
C
1
中,<
br>AC?BC
,
AA
1
?AB
,
D
为
BB
1
的中点,
E
为
AB
1
上的一点,
A
E?3EB
1
.
(Ⅰ)证明:
DE
为异面直线
AB
1
与
CD
的公垂线;
(Ⅱ)设异面直线
AB
1
与
CD
的夹角为45°,求二面角
A
1
?AC
1
?
B
1
的大小.
..........
. .
.
4.如图,在四棱锥
P
—
ABCD
中,底面
ABCD
是矩形
PA
⊥平面
ABCD
,
AP
=AB
,
BP
=
BC
=2,
E
,
F分别是
PB
,
PC
的中点.
(Ⅰ)证明:
EF
∥平面
PAD
;
(Ⅱ)求三棱锥
E
—
ABC
的体积V.
5.如图,棱柱
ABC?A
1
B
1
C
1
的
侧面
BCC
1
B
1
是菱形,
B
1
C?A<
br>1
B
(Ⅰ)证明:平面
AB
1
C
?
平面
A
1
BC
1
;
(Ⅱ)设
D
是A
1
C
1
上的点,且
A
1
B
平面B
1
CD
,求
A
1
D:DC
1
的值.
6.已知三棱锥P-ABC中,PA⊥ABC,AB⊥AC,PA=AC=
?
AB,
N
为AB上一点,AB=4AN,M,S分别为PB,BC的中点.
(Ⅰ)证明:CM⊥SN;
(Ⅱ)求SN与平面CMN所成角的大小.
..........
. .
.
7.如图△BCD与△MCD都是边长为2的正三角形,平面
MCD
?
平面BCD,AB
?
平面BCD,
AB?23
。
(1)
求点A到平面MBC的距离;
(2) 求平面ACM与平面BCD所成二面角的正弦值。
8.如图,在多面体ABCDEF中,四边形A
BCD是正方形,AB=2EF=2,EF∥AB,EF⊥FB,∠BFC=90°,
E
FBF=FC,H为BC的中点,
(Ⅰ)求证:FH∥平面EDB;
(Ⅱ)求证:AC⊥平面EDB;
(Ⅲ)求四面体B—DEF的体积;
A
B
D
C
H
9.如图,正方形
ABCD
和四边形
ACEF
所在的平面互相垂直,
CE⊥AC,EF∥AC,AB=
2
,
CE=EF=1.
(Ⅰ)求证:
AF
∥平面
BDE
;
(Ⅱ)求证:
CF
⊥平面
BDE;
(Ⅲ)求二面角
A-BE-D
的大小。
..........
. .
.
10.已知正方体
ABCD
-
A
'
B
'
C
'
D
'的棱长为1,点
M
是棱
AA
'的中点,点
O
是对角线
BD
'的中点.
(
Ⅰ)求证:
OM
为异面直线
AA
'和
BD
'的公垂线; <
br>D?
C?
(Ⅱ)求二面角
M
-
BC
'-
B<
br>'的大小;
A?
(Ⅲ)求三棱锥
M
-
OBC
的体积.
B?
?
O
M
?
D
C
w_w w. k#s5_u.c o*m
AB
参考答案
1.
2.(Ⅰ)解:取线段EF的中点H,连结
AH
,因为
AE
=
AF
及H是EF的中点,所以
A
H
又因为平面
AEF?
平面
BEF
.如图建立空间直角坐标系A-
xyz
则
A
(2,2,
2
'
'
''''
?EF
,
2
),C(10,8,0),
F(4,0,0),D(10,0,0).
?
故
FA
=(
-2,2,2
?
'
2
),
FD
=(6,0,0).
'
?
设
n
=(x,y,z)为平面
AFD
的一个法向量,
..........
.
. .
-2x+2y+2
所以
6x=0.
取
z
2
z=0
?2
,则
n?(0,?2,2)
。
又平面
BEF
的一个法向量
m?(0,0,1)
,
故
cos?n,m??
nm3
?
。
nm3
3
3
所以二面角的余弦值为
(Ⅱ)解:设
FM?x
,
则
M(4?x,0,0)
,
因为翻折后,
C
与
故,
(6?x)
2
A
重合,所以
CM?A'M
,
21
,
4
22
?8
2
?0
2
=
(?2?x)?2
2
?(22)
,得
x?
经检验,此时点
N
在线段
BC
上,所以
FM
方法二:
(Ⅰ)解:取线段
EF
的中点
H
,
因为
?
21
。
4
AF
的中点
G
,连结
A'G,A'H,GH
。
A'E
=
A'F
及
H
是
EF
的中点,所以
A'H?EF
A'EF
?
平面
BEF
,所以
A'H?
平面
BEF
, 又因
为平面
又
AF?
平面
BEF
,故
A'H?AF
,
又因为
G
、
H
是
易知
GH
∥
AF
、
EF
的中点,
AB
,所以
GH
?
AF
,于是
AF
?
面
A'GH
,
所以
?A'
GH
为二面角
在
Rt
A'?DH?C
的平面角,
A'GH
中,
A'H
=
22
,
GH
=2,
A'G<
br>=
23
?
3
3
. 所以
cos?A'GH
故二面角
A'?DF?C
的余弦值为
?x
,
3
3
。
(Ⅱ)解:设
FM
..........
. .
.
因为翻折后,
C
与
而
CM
2
A'
重合,所以
CM?A'M
,
?DC
2
?DM
2
?8
2
?(6?x)
2
, <
br>A'M
2
?A'H
2
?MH
2
?A'H
2<
br>?MG
2
?GH
2
?(22)
2
得
x
21
,经检验,此时点
N
在线段
BC
上,
4
21
所以
FM?
。
4
?
3.(I)连
接A
1
B,记A
1
B与AB
1
的交点为F.
因为
面AA
1
BB
1
为正方形,故A
1
B⊥AB
1,且AF=FB
1
,又AE=3EB
1
,所以FE=EB
1,又D为BB
1
的中点,故DE∥BF,
DE⊥AB
1
.
………………3分
作CG⊥AB,G为垂足,由AC=BC知,G为AB中点.
又由底面A
BC⊥面AA
1
B
1
B.连接DG,则DG∥AB
1
,故D
E⊥DG,由三垂线定理,得DE⊥CD.
所以DE为异面直线AB
1
与CD的公垂线.
(II)因为DG∥AB1
,故∠CDG为异面直线AB
1
与CD的夹角,∠CDG=45°
设AB=2,则AB
1
=,DG=,CG=,AC=.
作B
1H⊥A
1
C
1
,H为垂足,因为底面A
1
B
1
C
1
⊥面AA
1
CC
1
,故B
1
H⊥面AA
1
C
1
C.又作HK⊥AC
1
,K为垂足,连接
B
1
K,
由三垂线定理,得B
1
K⊥AC
1
,因此
∠B
1
KH为二面角A
1
-AC
1
-B
1
的平面角,由此可求出二面角大小
4.解 (Ⅰ)在△
PBC
中,
E
,
F
分别是
PB
,
PC
的中点,∴
EF
∥
BC
.
(Ⅱ)连接
AE
,
AC,EC
,过
E
作
EG
∥
PA
交
AB
于点
G
,
则
BG
⊥平面
ABCD
,且
EG
=
又
BC
∥
AD
,∴
EF
∥
AD
,
又∵
AD
?
平面
PAD
,E
F
?
平面
PAD
,
∴
EF
∥平面
PAD
.
1
2
PA
.
在△
PAB
中,
AD=
AB
,
?
PAB
°,
BP
=2,∴
AP
=
AB
=
2
,
EG
=
2
2<
br>.
∴
S
△ABC
=
1
2
AB
·
BC
=
1
2
×
2
×2=
2
,
∴
V
E-AB
C
=
2
111
S
△ABC
·
EG
=×
2
×=.
2
333
5.
解:(Ⅰ)因为侧面BCC
1
B
1
是菱形,所以
B<
br>1
C?BC
1
又已知
B
1<
br>C
所又
B
1
C
?A
1
B,且A
1<
br>B?BC
1
?B
111
?
平面ABC,又
B
1
C?
平面ABC ,
..........
.
. .
所以平面
AB
1
C?
平面ABC .
11
(Ⅱ)设BC
1
交B
1
C于点E,连结DE,
则DE是平面A
1
BC
1
与平面B
1
CD的交线,
因为A
1
B平面B
1
CD,所以A
1
BDE.
又E是BC
1
的中点,所以D为A
1
C
1
的中点.
即A
1
D:DC
1
=1.
设PA=1,以A为原点,射线AB,AC,AP分别为x,y,z轴正向建立空间直角坐标系如图。
6.证明:
则P(0,0,1),C(0,1,0),B(2,0,0),M(1
,0,
1
2
),N(
1
2
,0,0),S(1,
1
2
,0).
111
?(1,?1,),SN?(?,?,0)
,
222
11
因为
CM?SN????0?0
,
22
(Ⅰ)
CM
所以CM⊥SN
(Ⅱ)
NC
1
?(?,1,0)
,
2
设a=(x,y,z)为平面CMN的一个法向量,
1
?
x?y
?z?0,
?
?
2
令x?2,得a=(2,1,-2).
则
?
1
?
?x?y?0.
?
?2
1
2?
2
cosa,SN?
2
2
3?
2
?1?
因为
所以SN与片面CMN所成角为45°。
7.
解法一:(1)取
CD
中点
O
,连
OB
,
OM,则
OB
⊥
CD
,
..........
. .
.
z
OM
⊥
CD
.又平面
MCD?
平面
BCD
,则
MO
⊥平面
BCD
,所以
MO
∥
AB
,
A
、
B
、
O
、
M
共面.
延长
AM
、
BO
相交于
E
,则∠
AEB
就
是
AM
与平面
BCD
所成的
角.
OB
=
M
O
=
3
,
MO
∥
AB
,MO面ABC,M、O到平
面ABC的距离相等,作OH
?
BC
于H,连MH,则MH
?
BC,
求得:
OH=OCsin60
0
=
315
2
,MH=2
,利用体积相等得:
V
A?M
?
B
V
C?<
br>??
215
MA
d
B
5
C
。
(2)
CE
是平面
ACM
与平面
BCD
的交线.
由(1)知,
O
是
BE
的中点,则
BCED
是菱形
.
作
BF
⊥
EC
于
F
,连
AF
,则
AF
⊥
EC
,∠
AFB
就是二面角
A
-
EC
-
B
的平面角,设为
?
.
因为∠
BCE
=120°,所以∠
BCF
=60°.
BF?BC?sin60?3
,
tan
?
?
AB
25
BF
?2
,
sin
?
?
5
所以,所求二面角的正弦值是
25
5
.
解法二:取
CD<
br>中点
O
,连
OB
,
OM
,则
OB
⊥
CD
,
OM
⊥
CD
,又平面
MCD?
平面
BCD
,则
MO
⊥平面
BCD
.
以
O<
br>为原点,直线
OC
、
BO
、
OM
为
x
轴,
y
轴,
z
轴,建立空间直角坐标系如
图.
A
z
OB
=
OM
=
3
,则各点坐标分别为
O
(0,0,0),
C
(1,0,0),
M
(0,0,
3
)
,
B
(0,-
3
,0),
A
(0,-
3
,
2
3
),
(1)设
n?(x,y,z)
是平面MBC的法向量,则
BC=(1,3,0)
,
M
BM?(0,3,3)
,由
n
?BC
得
x?3y?0
;由
n?BM
得
B
D
3y?3z?0
;取
n?(3,?1,1),BA?(0,0,23)
,则距离 <
br>O
y
d?
BA?n
15
x
n
?
2<
br>5
C
(2)
CM?(?1,0,3)
,
CA?(?
1,?3,23)
.
)
?
?
设平面
ACM
的法向
量为
n
,由
?
?
n
1
?CM
1
?
(x,y,z
得
?
?
?x?3z?0
.解得
x?3z
,
?
?
n
1
?CA
?
?
?x?3y?2
3z?0
..........
.
. .
y?z
,取
n
1
?(3,1,1)
.又平面
BCD
的法向量为
n?(0,0,1)
,
则
cos?n
1
,n??
设所求二面角为
?
,则
s
in
?
n
1
?n
n
1
?n
?
1<
br>
5
?1?(
1
2
25
)?
5
5
.
8.(1)设底面对角线交点为G,则可以通过证明EG∥FH,得
FH
∥平面
EDB
;(2)利用线线、线面的
平行与垂直关系,证明FH⊥平面ABCD,得FH⊥BC
,FH⊥AC,进而得EG⊥AC,
AC
明BF⊥平面CDEF,得BF为四面体B-
DEF的高,进而求体积.
9.
(3)证
?
平面
EDB
;
(1)证:设AC与BD交于点G,则G为AC的中点,连EG,GH,由于H为BC的中点,故1
AB,
2
1
又EFAB,?四边形EFGH为平行四边形
2<
br>?EGFH,而EG?平面EDB,?FH平面EDB
GH
证明:(I)
设AC与BD交与点G。
因为EFAG,且EF=1,AG=
1
2
AC=1.
所以四边形AGEF为平行四边形.
所以AF平面EG,
因为
EG?
平面BDE,AF
?
平面BDE,
所以AF平面BDE.
(II)因为正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面
相互垂直,且CE
?
AC,
所以CE
?
平面ABCD.
如图,以C为原点,建立空间直角坐标系C-
xyz
.
则C(
0,0,0),A(
2
,
2
,0),B(0,
2
,0).
, 所以
CF?(
22
,,1)
22
B
E?(0,?2,1)
,
..........
. .
.
DE?(?2,0,1)
.
所以
CF
所以
CF
BE?0?1?1?0
,
CFDE??1?0?1?0
?BE
,
CF?DE
.
所以
CF?
BDE.
(III)
由(II)知,
CF?(
22
,,1)
是平面BDE的一个法向量.
22
设平面ABE的法向量
n?(x,y,z)
,则
nBA
?0
,
nBE?0
.
即
?
?
(x,y,z)(2,0,0)?0
(x,y,z)(0,
?2,1)?0
?
?0,
且
z?2y,
所以
x
令
y?1,
则
z?2
.
?(0,1,2)
.
所以
n
从而
cos?n,CF?
因为二面角
?
nCF3
。
?
|n||CF|
2
A?BE?D
为锐角,
?
所以二面角
A?BE?D
的大小为
6
因为
M
是棱
A
A
’的中点,点
O
是
BD
’的中点
所以
AM
.
10.解法一:(1)连结
AC
,取
AC
中点
K
,则
K
为
BD
的中点,连结<
br>OK
1
DD'OK
2
所以
MO
AK
w_w w. k#s5_u.c o*m
由
AA
’⊥
AK
,得
MO
⊥
AA
’ <
br>因为
AK
⊥
BD
,
AK
⊥
BB
’,
所以
AK
⊥平面
BDD
’
B
’
所以
AK
⊥
BD
’
所以
MO
⊥
BD
’
又因为
OM
是异面直
线
AA
’和
BD
’都相交w_w w. k#s5_u.c o*m
故
OM
为异面直线
AA
'和
BD
'的公垂线 (2)取
BB
’中点
N
,连结
MN
,则
MN<
br>⊥平面
BCC
’
B
’
过点
N
作
N
H
⊥
BC
’于
H
,连结
MH
则由三垂线定理得
BC
’⊥
MH
从而,∠
MHN
为二面角
M
-
BC
’-
B
’的平面角
M
N
=1,
NH
=
Bnsin
45°=
122
?
224
..........
. .
.
在
Rt
△
MNH
中,
tan
∠
MHN
=
MN1
??22
w_w w. k#s5_u.c o*m
NH
2
4
故二面角
M
-
BC
’-
B
’
的大小为
arctan
2
2
(3)易知,
S
△<
br>OBC
=
S
△
OA
’
D
’
,且△<
br>OBC
和△
OA
’
D
’都在平面
BCD
’<
br>A
’内
点
O
到平面
MA
’
D
’距
离
h
=
1
2
h
=
V
M
-
OBC
=
V
M
-
OA
’
D
’<
br>=
V
O
-
MA
’
D
’
=
解
法二:
1
S
3
△
MA
’
D
’
1
24
以点
D
为坐标原点,建立如图所示空间直角坐标系
D
-
xyz
则
A
(1,0,0),
B
(1,1,0)
,
C
(0,1,0),
A
’(1,0,1),
C
’(0,1
,1),
D
’(0,0,1)
(1)因为点
M
是棱
AA<
br>’的中点,点
O
是
BD
’的中点
所以
M
(1,0,
1
2
),
O
(
111
,,
222
)
11
OM?(,?,0)
,
AA'
=(0,0,1),
BD'
=(-1,-1,1)
22
11
OMAA'
=0,
OMBD'???
+0=0w_w w. k#s5_u.c o*m
22
所以
OM
⊥
AA
’,
OM
⊥
BD
’
又因为
OM
与异面直线
AA
’和
BD
’都相交
故
OM
为异面直线
AA
'和
BD
'的公垂线.
(2)设平面
BMC
'的一个法向量为
n
1
=(
x
,
y
,
z
)
BM
=(0,-1,
1
2
),
BC'
=(-1,0,1)
1
?
?
nBM?0
?
y?z?0
?
?
1
即
2
?
?
??
?
n
1
BC'?0
?
?x?z?0
取
z
=2,则
x
=2,
y
=1,从而
n
1
=(2,1,2) w_w w. k#s5_u.c o*m
取平面
BC
'
B
'的一个法向量为
n
2
=(0,1,0)
cos
?n
1
,n
2
??
n
1
n
2
11??
|n
1
||n
2
|
91
3
1
3
由图可知,二面角
M
-
BC
'-
B
'的
平面角为锐角
故二面角
M
-
BC
'-
B
'的大小
为
arccos
(3)易知,
S
△
OBC
=
14
S
△
BCD
'
A
'
=
12
12?
44
..........
. .
.
设平面
OBC
的一个法向量为
n
3
=(
x1
,
y
1
,
z
1
) w_w w.
k#s5_u.c o*m
BD'
=(-1,-1,1),
BC
=(-1,0,0)
?
?
?
n
3
BD'?0
即
?
?x
1
?y
1
?
?
?
z
1
?0<
br>?
n
1
BC?0
?
?x
1
?0
<
br>取
z
1
=1,得
y
1
=1,从而
n
3
=(0,1,1)
1
点
M
到平面
OBC
的距离
d
=
|BM|
|n
?
2
?
2
w_
w w. k#s5_u.c o*m
3
|
2
4
V
1
M
-
OBC
=
3
S
1221
?OBC
d?
344
?
24
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