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高中数学立体几何经典大题训练

作者:高考题库网
来源:https://www.bjmy2z.cn/gaokao
2020-09-15 02:39
tags:高中数学题

在线观看高中数学教学-高中数学程序语句格式


. . .
高中数学立体几何大题训练
1.如图所示,在长方体
ABCD?A
1
B
1
C
1
D
1
中,AB=AD=1,AA
1=2,M
是棱CC
1
的中点
(Ⅰ)求异面直线A
1
M 和C
1
D
1
所成的角的正切值;
(Ⅱ)证明:平面ABM⊥平面A
1
B
1
M
1






2.如图, 在矩形
ABCD
中,点
E,F
分别在线段
AB,AD
上,
AE?EB?AF?
沿直线
EF

VAEF
翻折成
VA
'
EF,使平面
AEF?平面BEF
.
(Ⅰ)求二面角
A
'
? FD?C
的余弦值;
(Ⅱ)点
M,N
分别在线段
FD,BC
上,若沿直线
MN
将四边形
'
2
FD?4
.
3< br>MNCD
向上翻折,使
C

A
'
重合,求线段
FM
的长。







3.如图,直三棱柱
ABC?A
1
B
1
C
1
中,< br>AC?BC

AA
1
?AB

D

BB
1
的中点,
E

AB
1
上的一点,
A E?3EB
1

(Ⅰ)证明:
DE
为异面直线
AB
1

CD
的公垂线;
(Ⅱ)设异面直线
AB
1

CD
的夹角为45°,求二面角
A
1
?AC
1
? B
1
的大小.



..........


. . .

4.如图,在四棱锥
P

ABCD
中,底面
ABCD
是矩形
PA
⊥平面
ABCD

AP
=AB

BP
=
BC
=2,
E

F分别是
PB
,
PC
的中点.
(Ⅰ)证明:
EF
∥平面
PAD

(Ⅱ)求三棱锥
E

ABC
的体积V.













5.如图,棱柱
ABC?A
1
B
1
C
1
的 侧面
BCC
1
B
1
是菱形,
B
1
C?A< br>1
B

(Ⅰ)证明:平面
AB
1
C
?
平面
A
1
BC
1

(Ⅱ)设
D
A
1
C
1
上的点,且
A
1
B
平面B
1
CD
,求
A
1
D:DC
1
的值.





6.已知三棱锥P-ABC中,PA⊥ABC,AB⊥AC,PA=AC=
?
AB, N
为AB上一点,AB=4AN,M,S分别为PB,BC的中点.
(Ⅰ)证明:CM⊥SN;
(Ⅱ)求SN与平面CMN所成角的大小.







..........


. . .

7.如图△BCD与△MCD都是边长为2的正三角形,平面
MCD
?
平面BCD,AB
?
平面BCD,
AB?23

(1) 求点A到平面MBC的距离;
(2) 求平面ACM与平面BCD所成二面角的正弦值。






8.如图,在多面体ABCDEF中,四边形A BCD是正方形,AB=2EF=2,EF∥AB,EF⊥FB,∠BFC=90°,
E
FBF=FC,H为BC的中点,
(Ⅰ)求证:FH∥平面EDB;
(Ⅱ)求证:AC⊥平面EDB;
(Ⅲ)求四面体B—DEF的体积;
















A
B
D
C
H
9.如图,正方形
ABCD
和四边形
ACEF
所在的平面互相垂直,
CE⊥AC,EF∥AC,AB=
2

CE=EF=1.
(Ⅰ)求证:
AF
∥平面
BDE

(Ⅱ)求证:
CF
⊥平面
BDE;

(Ⅲ)求二面角
A-BE-D
的大小。


..........


. . .



10.已知正方体
ABCD

A
'
B
'
C
'
D
'的棱长为1,点
M
是棱
AA
'的中点,点
O
是对角线
BD
'的中点.
( Ⅰ)求证:
OM
为异面直线
AA
'和
BD
'的公垂线; < br>D?
C?
(Ⅱ)求二面角
M

BC
'-
B< br>'的大小;
A?
(Ⅲ)求三棱锥
M

OBC
的体积.
B?

?
O

M
?
D
C

w_w w. k#s5_u.c o*m




AB
参考答案
1.

2.(Ⅰ)解:取线段EF的中点H,连结
AH
,因为
AE
=
AF
及H是EF的中点,所以
A H
又因为平面
AEF?
平面
BEF
.如图建立空间直角坐标系A- xyz

A
(2,2,
2
'
'
''''
?EF
,
2
),C(10,8,0),
F(4,0,0),D(10,0,0).
?

FA
=( -2,2,2
?
'
2
),
FD
=(6,0,0).
'
?

n
=(x,y,z)为平面
AFD
的一个法向量,

..........


. . .
-2x+2y+2
所以
6x=0.


z
2
z=0
?2
,则
n?(0,?2,2)

又平面
BEF
的一个法向量
m?(0,0,1)


cos?n,m??
nm3
?

nm3
3
3
所以二面角的余弦值为
(Ⅱ)解:设
FM?x ,

M(4?x,0,0)

因为翻折后,
C

故,
(6?x)
2
A
重合,所以
CM?A'M

21

4
22
?8
2
?0
2
= (?2?x)?2
2
?(22)
,得
x?
经检验,此时点
N
在线段
BC
上,所以
FM
方法二:
(Ⅰ)解:取线段
EF
的中点
H
,
因为
?
21

4

AF
的中点
G
,连结
A'G,A'H,GH

A'E
=
A'F

H

EF
的中点,所以
A'H?EF

A'EF
?
平面
BEF
,所以
A'H?
平面
BEF
, 又因 为平面

AF?
平面
BEF
,故
A'H?AF

又因为
G

H

易知
GH

AF

EF
的中点,
AB
,所以
GH
?
AF
,于是
AF
?

A'GH

所以
?A' GH
为二面角

Rt
A'?DH?C
的平面角,
A'GH
中,
A'H
=
22

GH
=2,
A'G< br>=
23

?
3
3
. 所以
cos?A'GH
故二面角
A'?DF?C
的余弦值为
?x
,
3
3

(Ⅱ)解:设
FM
..........


. . .
因为翻折后,
C


CM
2
A'
重合,所以
CM?A'M

?DC
2
?DM
2
?8
2
?(6?x)
2
, < br>A'M
2
?A'H
2
?MH
2
?A'H
2< br>?MG
2
?GH
2

?(22)
2


x
21
,经检验,此时点
N
在线段
BC
上,
4
21
所以
FM?

4
?
3.(I)连 接A
1
B,记A
1
B与AB
1
的交点为F.
因为 面AA
1
BB
1
为正方形,故A
1
B⊥AB
1,且AF=FB
1
,又AE=3EB
1
,所以FE=EB
1,又D为BB
1
的中点,故DE∥BF,
DE⊥AB
1
. ………………3分
作CG⊥AB,G为垂足,由AC=BC知,G为AB中点.
又由底面A BC⊥面AA
1
B
1
B.连接DG,则DG∥AB
1
,故D E⊥DG,由三垂线定理,得DE⊥CD.
所以DE为异面直线AB
1
与CD的公垂线.
(II)因为DG∥AB1
,故∠CDG为异面直线AB
1
与CD的夹角,∠CDG=45°
设AB=2,则AB
1
=,DG=,CG=,AC=.
作B
1H⊥A
1
C
1
,H为垂足,因为底面A
1
B
1
C
1
⊥面AA
1
CC
1
,故B
1
H⊥面AA
1
C
1
C.又作HK⊥AC
1
,K为垂足,连接 B
1
K,
由三垂线定理,得B
1
K⊥AC
1
,因此 ∠B
1
KH为二面角A
1
-AC
1
-B
1
的平面角,由此可求出二面角大小
4.解 (Ⅰ)在△
PBC
中,
E

F
分别是
PB

PC
的中点,∴
EF

BC
.





(Ⅱ)连接
AE
,
AC,EC
,过
E

EG

PA

AB
于点
G
,

BG
⊥平面
ABCD
,且
EG
=

BC

AD
,∴
EF

AD
,
又∵
AD
?
平面
PAD
,E
F
?
平面
PAD
,

EF
∥平面
PAD
.

1
2
PA
.
在△
PAB
中,
AD=
AB
,
?
PAB
°,
BP
=2,∴
AP
=
AB
=
2
,
EG
=
2
2< br>.

S
△ABC
=
1
2
AB
·
BC
=
1
2
×
2
×2=
2
,

V
E-AB
C
=
2
111
S
△ABC
·
EG

2
×=.
2
333
5.
解:(Ⅰ)因为侧面BCC
1
B
1
是菱形,所以
B< br>1
C?BC
1



又已知
B
1< br>C
所又
B
1
C
?A
1
B,且A
1< br>B?BC
1
?B

111
?
平面ABC,又
B
1
C?
平面ABC ,
..........


. . .
所以平面
AB
1
C?
平面ABC .
11
(Ⅱ)设BC
1
交B
1
C于点E,连结DE,




则DE是平面A
1
BC
1
与平面B
1
CD的交线,
因为A
1
B平面B
1
CD,所以A
1
BDE.
又E是BC
1
的中点,所以D为A
1
C
1
的中点.
即A
1
D:DC
1
=1.
设PA=1,以A为原点,射线AB,AC,AP分别为x,y,z轴正向建立空间直角坐标系如图。
6.证明:

则P(0,0,1),C(0,1,0),B(2,0,0),M(1 ,0,
1
2
),N(
1
2
,0,0),S(1,
1
2
,0).
111
?(1,?1,),SN?(?,?,0)
,
222
11
因为
CM?SN????0?0

22
(Ⅰ)
CM
所以CM⊥SN
(Ⅱ)
NC
1
?(?,1,0)
,
2
设a=(x,y,z)为平面CMN的一个法向量,
1
?
x?y ?z?0,
?
?
2
令x?2,得a=(2,1,-2).

?
1
?
?x?y?0.
?
?2
1
2?
2

cosa,SN?
2
2
3?
2
?1?
因为
所以SN与片面CMN所成角为45°。


7. 解法一:(1)取
CD
中点
O
,连
OB

OM,则
OB

CD

..........


. . .
z
OM

CD
.又平面
MCD?
平面
BCD
,则
MO
⊥平面
BCD
,所以
MO

AB

A

B

O

M
共面. 延长
AM

BO
相交于
E
,则∠
AEB
就 是
AM
与平面
BCD
所成的
角.
OB
=
M O
=
3

MO

AB
,MO面ABC,M、O到平 面ABC的距离相等,作OH
?
BC
于H,连MH,则MH
?
BC, 求得:
OH=OCsin60
0
=
315
2
,MH=2
,利用体积相等得:
V
A?M
?
B
V
C?< br>??
215
MA
d
B
5
C

(2)
CE
是平面
ACM
与平面
BCD
的交线.
由(1)知,
O

BE
的中点,则
BCED
是菱形 .

BF

EC

F
,连
AF
,则
AF

EC
,∠
AFB
就是二面角
A
-
EC
-
B
的平面角,设为
?
.
因为∠
BCE
=120°,所以∠
BCF
=60°.
BF?BC?sin60?3

tan
?
?
AB
25
BF
?2

sin
?
?
5

所以,所求二面角的正弦值是
25
5
.
解法二:取
CD< br>中点
O
,连
OB

OM
,则
OB

CD

OM

CD
,又平面
MCD?
平面
BCD
,则
MO
⊥平面
BCD
.

O< br>为原点,直线
OC

BO

OM

x
轴,
y
轴,
z
轴,建立空间直角坐标系如
图.
A
z
OB
=
OM
=
3
,则各点坐标分别为
O
(0,0,0),
C
(1,0,0),
M
(0,0,
3
) ,
B
(0,-
3
,0),
A
(0,-
3
, 2
3
),
(1)设
n?(x,y,z)
是平面MBC的法向量,则
BC=(1,3,0)

M
BM?(0,3,3)
,由
n ?BC

x?3y?0
;由
n?BM

B
D
3y?3z?0
;取
n?(3,?1,1),BA?(0,0,23)
,则距离 < br>O
y
d?
BA?n
15
x
n
?
2< br>5

C
(2)
CM?(?1,0,3)

CA?(? 1,?3,23)
.
)
?
?
设平面
ACM
的法向 量为
n
,由
?
?
n
1
?CM
1
? (x,y,z

?
?
?x?3z?0
.解得
x?3z

?
?
n
1
?CA
?
?
?x?3y?2 3z?0
..........


. . .
y?z
,取
n
1
?(3,1,1)
.又平面
BCD
的法向量为
n?(0,0,1)
, 则
cos?n
1
,n??
设所求二面角为
?
,则
s in
?
n
1
?n
n
1
?n
?
1< br>
5
?1?(
1
2
25
)?
5
5
.
8.(1)设底面对角线交点为G,则可以通过证明EG∥FH,得
FH
∥平面
EDB
;(2)利用线线、线面的
平行与垂直关系,证明FH⊥平面ABCD,得FH⊥BC ,FH⊥AC,进而得EG⊥AC,
AC
明BF⊥平面CDEF,得BF为四面体B- DEF的高,进而求体积.
9.
(3)证
?
平面
EDB

(1)证:设AC与BD交于点G,则G为AC的中点,连EG,GH,由于H为BC的中点,故1
AB,
2
1
又EFAB,?四边形EFGH为平行四边形
2< br>?EGFH,而EG?平面EDB,?FH平面EDB
GH

证明:(I) 设AC与BD交与点G。
因为EFAG,且EF=1,AG=
1
2
AC=1.
所以四边形AGEF为平行四边形.
所以AF平面EG,
因为
EG?
平面BDE,AF
?
平面BDE,
所以AF平面BDE.
(II)因为正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面
相互垂直,且CE
?
AC,
所以CE
?
平面ABCD.
如图,以C为原点,建立空间直角坐标系C-
xyz
.
则C( 0,0,0),A(
2

2
,0),B(0,
2
,0).
, 所以
CF?(
22
,,1)
22
B E?(0,?2,1)

..........


. . .
DE?(?2,0,1)
.
所以
CF
所以
CF
BE?0?1?1?0
,
CFDE??1?0?1?0

?BE
,
CF?DE
.
所以
CF?
BDE.
(III) 由(II)知,
CF?(
22
,,1)
是平面BDE的一个法向量.
22
设平面ABE的法向量
n?(x,y,z)
,则
nBA ?0

nBE?0
.

?
?
(x,y,z)(2,0,0)?0

(x,y,z)(0, ?2,1)?0
?
?0,

z?2y,
所以
x

y?1,

z?2
.
?(0,1,2)
. 所以
n
从而
cos?n,CF?
因为二面角
?
nCF3

?
|n||CF|
2
A?BE?D
为锐角,
?
所以二面角
A?BE?D
的大小为
6
因为
M
是棱
A A
’的中点,点
O

BD
’的中点
所以
AM

.
10.解法一:(1)连结
AC
,取
AC
中点
K
,则
K

BD
的中点,连结< br>OK

1
DD'OK

2
所以
MO
AK
w_w w. k#s5_u.c o*m

AA
’⊥
AK
,得
MO

AA
’ < br>因为
AK

BD
,
AK

BB
’, 所以
AK
⊥平面
BDD

B

所以
AK

BD

所以
MO

BD

又因为
OM
是异面直 线
AA
’和
BD
’都相交w_w w. k#s5_u.c o*m

OM
为异面直线
AA
'和
BD
'的公垂线 (2)取
BB
’中点
N
,连结
MN
,则
MN< br>⊥平面
BCC

B

过点
N

N H

BC
’于
H
,连结
MH

则由三垂线定理得
BC
’⊥
MH

从而,∠
MHN
为二面角
M
-
BC
’-
B
’的平面角
M N
=1,
NH
=
Bnsin
45°=
122
?
224
..........


. . .

Rt

MNH
中,
tan

MHN
=
MN1
??22
w_w w. k#s5_u.c o*m
NH
2
4
故二面角
M
-
BC
’-
B
’ 的大小为
arctan
2
2

(3)易知,
S
△< br>OBC
=
S

OA

D

,且△< br>OBC
和△
OA

D
’都在平面
BCD
’< br>A
’内

O
到平面
MA

D
’距 离
h

1
2
h
=

V
M
-
OBC
=
V
M
-
OA

D
’< br>=
V
O
-
MA

D

=
解 法二:
1
S
3

MA

D

1

24
以点
D
为坐标原点,建立如图所示空间直角坐标系
D
-
xyz


A
(1,0,0),
B
(1,1,0) ,
C
(0,1,0),
A
’(1,0,1),
C
’(0,1 ,1),
D
’(0,0,1)
(1)因为点
M
是棱
AA< br>’的中点,点
O

BD
’的中点
所以
M
(1,0,
1
2
),
O
(
111
,,
222
)
11
OM?(,?,0)
,
AA'
=(0,0,1),
BD'
=(-1,-1,1)
22
11
OMAA'
=0,
OMBD'???
+0=0w_w w. k#s5_u.c o*m
22
所以
OM

AA
’,
OM

BD

又因为
OM
与异面直线
AA
’和
BD
’都相交

OM
为异面直线
AA
'和
BD
'的公垂线.
(2)设平面
BMC
'的一个法向量为
n
1
=(
x
,
y
,
z
)
BM
=(0,-1,
1
2
),
BC'
=(-1,0,1)
1
?
?
nBM?0
? y?z?0
?
?
1

2
?
?
??
?
n
1
BC'?0
?
?x?z?0

z
=2,则
x
=2,
y
=1,从而
n
1
=(2,1,2) w_w w. k#s5_u.c o*m
取平面
BC
'
B
'的一个法向量为
n
2
=(0,1,0)
cos
?n
1
,n
2
??
n
1
n
2
11??

|n
1
||n
2
|
91
3
1

3
由图可知,二面角
M
-
BC
'-
B
'的 平面角为锐角
故二面角
M
-
BC
'-
B
'的大小 为
arccos
(3)易知,
S

OBC

14
S

BCD
'
A
'

12
12?

44
..........


. . .
设平面
OBC
的一个法向量为
n
3
=(
x1
,
y
1
,
z
1
) w_w w. k#s5_u.c o*m
BD'
=(-1,-1,1),
BC
=(-1,0,0)
?
?
?
n
3
BD'?0

?
?x
1
?y
1
?
?
?
z
1
?0< br>?
n
1
BC?0
?
?x
1
?0
< br>取
z
1
=1,得
y
1
=1,从而
n
3
=(0,1,1)
1

M
到平面
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