高中数学奥林匹克训练题及答案

高中数学奥林匹克训练题
第一试
一、选择题（本题满分36分，每小题6分）
1． 已知函数
y??
x?a
的反函数的图象关于点
(?1,3)
成中心对称图形，则实数
a
等于 (A)．
x?a?1
(A) 2 (B)3 (C)-2 (D)-4
x
2
y
2
5?1
2． 我们把离心率等于黄金比的椭圆称之 为“优美椭圆”．设
2
?
2
?1(a
＞b＞0)为优美椭
2
ab
圆，
F,A
分别是它的左焦点和右端点，
B
是它的短轴 的一个端点，则
?ABF
等于(C)．
(A)
60
(B)
75
(C)
90
(D)
120

3． 已知
?ABC
三边的长分别是
a,b,c
，复数
z
1
,z
2
满足
z
1< br>?a,z
2
?b,z
1
?z
2
?c
，那么复 数
定是(C)．
(A)是实数 (B)是虚数 (C)不是实数 (D)不是纯虚数
x
1
?(?1)
1? C
2x
?P
x
5
?2
4． 函数
f(x)?
6
2
的最大值是(D)．
22
1?C3
?C
4
?C
x?1
o
oo
o
z1
一
z
2
(A)
20
(B)
10
(C)
?10
(D)
?20

5． 以
O
为球心，4为半径的球与三条相互平行 的直线分别切于
A,B,C
三点．已知
S
?BOC
?4
，< br>S
?ABC
?16
，则
?ABC
等于(B)．
(A)
?
5
?
7
?
11
?
(B) (C) (D)
121212 12
,10}
的所有子集中，有这样一族不同的子集，它们两两的交集都不是空集，6． 在集合
M?{1,2,3,
那么这族子集最多有(B)．
(A)
2
个 (B)
2
个 (C)
10
个 (D)
9
个

二、填空题（本题满分54分，每小题9分）
1．在直角坐标系中，一直角三角形的两条直角 边分别平行于两坐标轴，且两直角边上的中线所在直线
方程分别是
y?3x?1
和y?mx?2
，则实数
m
的值是
109
2
2
3
或12
．
4
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a
x
(a? 0,a?1)
，
[m]
表示不超过实数
m
的最大整数，则函数2． 设
f(x)?
1?a
x
11
[f(x)?]?[f(?x)?]的值域是
{?1,0}
．
22
3．设< br>a,b,c
是直角三角形的三条边长，
c
为斜边长，那么使不等式
a< br>2
(b?c)?b
2
(c?a)?c
2
(a?b)?kabc
对所有直角三角形都成立的
k
的最大值是
2?32
．
4． 如图，正三棱柱
ABC?A
1
B
1
C
1
的各条棱长都是1，截面
BCD
1
在棱
AA
1
上< br>的交点为
D
，设这个截面与底面
ABC
和三个侧面
ABB1
A
1
,BCC
1
B
1
,CAAC
1 1
所成的二面角依次为
?
1
,
?
2
,
?< br>3
,
?
4
，若
cos
?
1
?cos
?
2
?cos
?
3
?cos
?
4
，则
A

截面的面积等于
A
1
D

C

B

C
1
B
1
3
3
．
8
5． 已知
f(x)
是定义域在实数集的函数,且
f(x?2)[1?f(x)]?1?f(x).若f(1)?2?3< br>，则
f(1949)
的值是
3?2
．
22
6． 设
x
1
是方程
3sinx?3cosx?2a? 1
的最大负根，
x
2
是方程
2cosx?2sinx?a
的 最小正根，
那么，使不等式
x
1
?x
2
成立的实数
a
的取值范围是







1
?3?a??1或a?2
．
2
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第二试
一、 (本题满分25分)某眼镜车间接到一任务，需要加工6000个
A
型零件和2 000个
B
型零件，这个
车间有214名工人，他们每一个人加工5个
A型零件的时间可加工3个
B
型零件．将这些人分
成两组同时工作，每组加工同一型 号的零件，为了在最短的时间完成，应怎样分组？77






二、 (本题满分25分)已知一个四边形的各边长都是整数，并且任意一边的长都能整除其 余三边之
和．求证：这个四边形必有两边相等．





三、 (本题满分35分)实数数列
a
1
,a
2
,a
3
,,a
1997
满足：
a
1
?a
2
?a
2
?a
3
??a
1996
?a
1997
?1997
．若数列
?
b
n
?
满足：
b
k
?
大可能值．






a
1
?a
2
?
k
a
k
(k?1,219 97)
．求
b
1
?b
2
?b
2
?b
3
???b
1996
?b
1997
的最
四、 (本题满分 35分)给定两个七棱锥，它们有公共的底面
A
顶点
P
1
A
2
A
3
A
4
A
5
A
6
A
7
，
1
,P
2
在底面的两
侧．现将下述线段中的每一条染红 ，蓝两色之一：底面上的所有的对角线和所有的侧棱．求
P
1
,P
2
，
证：图中心存在一个同色三角形．




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