高中数学有关导数的练习题

2013届高三数学一轮巩固与练习----导数及其应用
π
1．设正弦函数 y＝sinx在x＝0和x＝
2
附近的平均变化率为k
1
，k
2，
则k
1
，k
2
的大小关系为( )
A．k
1
>k
2
B．k
1
2

C．k
1
＝k
2
D．不确定
解析：选A.∵y＝sinx，∴y′＝(sinx)′＝cosx，
π
k
1
＝cos0＝1，k
2
＝cos
2
＝0，∴k
1
>k
2
.
2．设y＝－2e
x
sinx，则y′等于( )
A．－2e
x
cosx B．－2e
x
sinx
C．2e
x
sinx D．－2e
x
(sinx＋cosx)
解析：选D.∵y＝－2e
x
sinx，
∴y′＝(－2e
x
)′sinx＋(－2e
x
)·(sinx)′
＝－2e
x
sinx－2e
x
cosx
＝－2e
x
(sinx＋cosx)．
27x
3．已知m<0，f (x)＝mx
3
＋
m
，且f′(1)≥－18，则实数m等于
( )
A．－9 B．－3
C．3 D．9
2727
解析：选B.由于f′(x)＝3mx
2
＋
m，故f′(1)≥－18 3m＋
m
≥
27
－18，由m<0得3m＋< br>m
≥－183m
2
＋18m＋27≤03(m＋3)
2
≤0，
故m＝－3.
4．(2009年高考福建卷)若曲线f(x)＝ax
2
＋l nx存在垂直于y轴的
切线，则实数a的取值范围是________．
1
解析：f′(x)＝2ax＋
x
，x∈(0，＋∞)．
∵f(x)存在垂直于y轴的切线，
1
∴f′(x)＝0有解，即2ax＋
x
＝0在(0，＋∞)有解，
1
∴a＝－
2x
2
，∴a∈(－∞，0)．
答案：(－∞，0)

1 15

5．如图，函数y＝f (x)的图象在点P处
的切线方程是y＝－x＋8，则f(5)＋f′(5)
＝_______ _.
解析：易得切点P(5,3)，
∴f(5)＝3，k＝－1，
即f′(5)＝－1.
∴f(5)＋f′(5)＝3－1＝2.
答案：2
6．若曲线y＝x
3
－2ax
2
＋2ax上任意点处的切线的倾斜角都是锐
角，求整数a的值．
解：∵曲线y＝x
3
－2ax
2
＋2ax，
∴该曲线上任意点处切线的斜率k＝y′＝3x
2
－4ax＋2a.
又∵切线的倾斜角都是锐角，
∴k>0恒成立，即3x
2
－4ax＋2a>0恒成立．
∴Δ＝(－4a)
2
－4×3×2a＝16a
2
－24a<0，
3
∴02
.
又∵a∈Z，∴a＝1.

练习


1．已知函数f(x)＝sinx＋lnx，则f′(1)的值为( )
A．1－cos1 B．1＋cos1
C．cos1－1 D．－1－cos1 1
解析：选B.因为f′(x)＝cosx＋
x
，则f′(1)＝cos1＋1.
1
3
2．一质点沿直线运动，如果由始点起经过t秒后的位移为s＝
3
t
3
2
－
2
t＋2t，那么速度为零的时刻是( )
A．0秒 B．1秒末
C．2秒末 D．1秒末和2秒末
2 15

1
3
3
2
解析：选D.∵s＝
3
t
－
2
t
＋2t，
∴v＝s′(t)＝t
2
－3t＋2，
令v＝0得，t
2
－3t＋2＝0，解得t
1
＝1，t
2
＝2.
3．下列求导数运算正确的是( )
111
A．(x＋
x
)′＝1＋
x
2
B．(log
2
x)′＝
xln2

C．(3
x
)′＝3
x
log
3
e D．(x
2
cosx)′＝－2xsinx
解析：选B.(x＋
1
＝1－
1
x
)′
x
2
，A错；
(3
x
)′＝3
x
ln3，C错；
(x
2
cosx)′=2xcosx-x
2
sinx，D错；
故选B.
4．已知二次函数f(x)的图象如图所示，则
其导函数f′(x)的图象大致形状是( )











3 15

解析：选B.设二次函数为y＝ax
2
＋b(a<0，b>0)，则y′＝2ax，
又∵a<0，故选B.
1
3
1
2
5
5．曲线y＝
3
x＋
2
x在点T (1，
6
)处的切线与两坐标轴围成的三
角形的面积为( )
4949
A.
18
B.
36

4949
C.
72
D.
144

解析：选D.易知点T为切点，由f′(1)＝2，故切线方程为：y< br>777
＝2x－
6
，其在两坐标轴的截距分别为
12
，－6
，故直线与两坐标轴围
17749
成的三角形面积S＝
2
×< br>12
×|－
6
|＝
144
.
sinθ
3< br>3cosθ
2
6．(2009年高考安徽卷)设函数f(x)＝
3
x＋
2
x＋tanθ，其
5π
中θ∈[0，
12
]，则导数f′ (1)的取值范围是( )
A．[－2,2] B．[2，3]
C．[3，2] D．[2，2]
解析：选D.∵f′(x)＝sinθ·x
2
＋3cosθ·x，
π
∴f′(1)＝sinθ＋3cosθ＝2sin(θ＋
3
)．
5πππ3π
∵θ∈[0，
12
]，∴θ＋
3
∈[
3
，
4
]．
π
2
∴sin(θ＋
3
)∈[
2
，1]．
π
∴2sin(θ＋
3
)∈[2，2]．
7．已知曲线C：y＝l nx－4x与直线x＝1交于一点P，那么曲线
C在点P处的切线方程是________．
1
解析：由题可解得P(1，－4)，则由y′＝
x
－4可得曲线C在P
处的 切线斜率为k＝y′|
x
＝
1
＝－3，故切线方程为y－(－4)＝－3(x －
1)即3x＋y＋1＝0.
答案：3x＋y＋1＝0
1
8．已知函数y ＝f(x)的图象在点M(1，f(1))处的切线方程是y＝
2
x
4 15

＋2，则f(1)＋f′(1)＝________.
15
解析：由 已知切点在切线上，所以f(1)＝
2
＋2＝
2
，切点处的导
1数为切线的斜率，所以f′(1)＝
2
，所以f(1)＋f′(1)＝3.
答案：3
1
9．下列图象中，有一个是函数f(x)＝
3
x
3
＋ax
2
＋(a
2
－1)x＋1(a∈R，
a≠0)的 导函数f′(x)的图象，则f(－1)＝________.
解析：∵f′(x)＝x
2
＋2ax＋(a
2
－1)，
∴导函数f′(x)的图象开口向上．

又∵a≠0，其图象必为第三张图．由图象特征知f′(0)＝0，
且－a>0，
∴a＝－1.
11
故f(－1)＝－
3
－1＋1＝－
3
.
1
答案：－
3

10．求下列函数的导数：
1lnx
(1)y＝(1－x)(1＋)；(2)y＝
x
；
x
(3)y＝tanx;(4)y=xe
1-cosx
.
1111
解：(1)∵y＝(1－x)(1＋)＝
－x＝x－
2
－x
2
，
xx
111311
∴y′＝(x－
2
)′－(x
2< br>)′＝－
2
x－
2
－
2
x－
2
.
5 15

1
x－lnx
1－lnx(lnx)′x－x′ lnx
x
·
lnx
(2)y′＝(
x
)′＝
＝x
2
＝
x
2
.
x
2
(sinx)′ cosx－sinx(cosx)′
sinx
(3)y′＝(
cosx
)′＝
cos
2
x
cosxcosx－sinx(－sinx)
1
＝＝
cos
2
x
.
cos
2
x
(4)y′=( xe
1-cosx
) ′=e
1-cosx
+x(e
1-cosx
) ′
=e
1-cosx
+x[e
1-cosx
·（1-cosx）′]
=e
1-cosx
+xe
1-cosx
·sinx
=(1+xsinx) e
1-cosx
.
11.已知函数f(x)＝x< br>3
－3x及y＝f(x)上一点P(1，－2)，过点P作
直线l.
(1)求使直线l和y＝f(x)相切且以P为切点的直线方程；
(2)求使直线l和y＝f(x)相切且切点异于P的直线方程．
解：(1)由f(x)＝x
3
－3x得，f′(x)＝3x
2
－3，过点P且以P(1，－
2) 为切点的直线的斜率f′(1)＝0，
∴所求直线方程为y＝－2；
(2)设过P(1，－ 2)的直线l与y＝f(x)切于另一点(x
0
，y
0
)，则f′(x
0
)
＝3x
0
2
－3.
又直线过(x
0
，y
0
)，P(1，－2)，
y
0
－(－2)
x
0
3
－3x
0
＋2
故其斜 率可表示为＝，
x
0
－1
x
0
－1
x
0
3
－3x
0
＋2
又＝3x
0
2
－3， < br>x
0
－1
即x
0
3
－3x
0
＋2＝ 3(x
0
2
－1)·(x
0
－1)，
1
解得x
0
＝1(舍)或x
0
＝－
2
，
19
故所求直线的斜率为k＝3×(
4
－1)＝－
4
，
9
∴y－(－2)＝－
4
(x－1)，即9x＋4y－1＝0.
b
12．(2008年高考海南、宁夏卷)设函数f(x)＝ax－
x
，曲线y＝f(x )
6 15

在点(2，f(2))处的切线方程为7x－4y－12＝0.
(1)求f(x)的解析式；
(2)证明：曲线y＝f(x)上任一点处的切线与直线x＝0 和直线y＝x
所围成的三角形面积为定值，并求此定值．
7
解：(1)方程7x－4y－12＝0可化为y＝
4
x－3.
1 b
当x＝2时，y＝
2
.又f′(x)＝a＋
x
2
， b1
?
2a－
?
?
a＝1，
2
＝
2< br>，
于是
?
解得
?

b7
?
b＝3.
?
a＋
＝，
?
44


3
故f(x)＝x－
x
.
3
(2)证明：设P(x
0
，y
0
)为曲线上任一点，由y′＝1＋
x
2
知曲线在
点P(x
0
，y
0
)处的切线方程为
3
y－y< br>0
＝(1＋
x
2
)(x－x
0
)，
033
即y－(x
0
－
x
)＝(1＋
x
2
)(x－x
0
)．
00
6
令x＝0得y＝－
x
，
0
6
从而得切线与直线x＝0的交点坐标为(0，－
x
)．
0
令y＝x得y＝x＝2x
0
，
从而得切线与直线y＝x的交点坐标为(2x
0,
2x
0
)． 所以点P(x
0
，y
0
)处的切线与直线x＝0，y＝x所围成的三角形 面
16
积为S＝
2
|－
x
||2x
0
|＝ 6.
0
故曲线y＝f(x)上任一点处的切线与直线x＝0，y＝x所围成的三
角形 的面积为定值，此定值为6.
2011届高三数学一轮巩固与练习：导数的应用
巩固

1．(原创题)函数f(x)的定义域为开区
间(a，b)，导函数f′(x)在( a，b)内的图
象如图所示，则函数f(x)在开区间(a，
7 15

b)内有极小值点的个数为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：选A.从f′(x)的图象可 知f(x)在(a，b)内从左到右的单调性
依次为增→减→增→减，∴在(a，b)内只有一个极小值 点．
2．(2010年佛山高中质检)若函数y＝x
3
＋x
2
＋m x＋1是R上的单
调函数，则实数m的取值范围是( )
11
A．(
3
，＋∞) B．(－∞，
3
]
11
C．[
3
，＋∞) D．(－∞，
3
)
解析：选C.若函数y＝x
3
＋x
2< br>＋mx＋1是R上的单调函数，只需
1
2
y′＝3x
＋2x＋m≥0恒 成立，即Δ＝4－12m≤0，∴m≥
3
.故选C.
3．已知函数f(x)＝x3
＋bx
2
＋cx＋d在区间[－1,2]上是减函数，那
么b＋c( )
1515
A．有最大值
2
B．有最大值－
2

1515
C．有最小值
2
D．有最小值－
2

解析：选B.由f(x)在[－1,2]上是减函数，知
f′(x)＝3x
2
＋2bx＋c≤0，x∈[－1,2]，
?
f ′(－1)＝3－2b＋c≤0
则
?
?
f′(2)＝12＋4b＋c≤0

15
?15＋2b＋2c≤0?b＋c≤－
2
.
4．函数y＝3x
2
－6lnx的单调增区间为________，单调减区间为
__ ______．
2
6
6x
－6
解析：y′＝6x－
x＝
x
.
∵定义域为(0，＋∞)，由y′>0得x>1，
∴增区间为(1，＋∞)；
由y′<0得0∴减区间为(0,1)．
答案：(1，＋∞) (0,1)
8 15

5．已知函数f(x )＝alnx＋x在区间[2,3]上单调递增，则实数a的
取值范围是________．
a
解析：∵f(x)＝alnx＋x，∴f′(x)＝
x
＋1.
又∵f(x)在[2,3]上单调递增，
a
∴
x
＋1≥0在x∈[2,3]上恒成立，
∴a≥(－x)
max
＝－2，∴a∈[－2，＋∞)．
答案：[－2，＋∞)
6．(2009年高考北京卷)设函数f(x)＝x
3
－3ax＋b(a≠0)．
(1)若曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处与直线y＝8相切，求a，b的值；
(2)求函数f(x)的单调区间与极值点．
解：(1)f′(x)＝3x
2
－3a，
因为曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处与直线y＝8相切，
?
f′(2)＝0，
所以
?
?
f(2)＝8，

?
3(4－a)＝0，
即
?
?
8－6a＋b＝8.


解得a＝4，b＝24.
(2)f′(x)＝3(x
2
－a)(a≠0)．
当a<0时，f′(x) >0，函数f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增；此时
函数f(x)没有极值点．
当a>0时，由f′(x)＝0得x＝±a.
当x∈(－∞，－a)时，f′(x)>0，函数f(x)单调递增；
当x∈(－a，a)时，f′(x)<0，函数f(x)单调递减．
当x∈(a，＋∞)时，f′(x)>0，函数f(x)单调递增．
此时x＝－a是f(x)的极大值点，x＝a是f(x)的极小值点．

练习



1．已知f(x)的定义域为R，f(x)的导函数f′(x)
的图象如图所示，则( )
9 15

A．f(x)在x＝1处取得极小值
B．f(x)在x＝1处取得极大值
C．f(x)是R上的增函数
D．f(x)是(－∞，1)上的减函数，(1，＋∞)上的增函数
解析：选C.由图象易知f′(x)≥0在R上恒成立，所以f(x)在R
上是增函数． 2．函数f(x)＝x
3
－6b
2
x＋3b在(0,1)内有极小值，则 ( )
1
A．b＞0 B．b＜
2

2
C．0＜b＜
2
D．b＜1
解析 ：选C.f′(x)＝3x
2
－6b
2
，令f′(x)＝0，得x＝±2b.
∵f(x)在(0,1)内有极小值，
∴0＜2b＜1.
2
∴0＜b＜
2
.
3．已知函数f(x)的导数为f′(x)＝4 x
3
－4x，且f(x)的图象过点(0，
－5)，当函数f(x)取得极大值－5时 ，x的值应为( )
A．－1 B．0
C．1 D．±1
解析：选B.可以求出f (x)＝x
4
－2x
2
＋c，其中c为常数．
由于f(x)过(0 ，－5)，所以c＝－5，又由f′(x)＝0，得极值点为
x＝0和x＝±1.又x＝0时，f(x) ＝－5.故x的值为0.
1
x
π
4.函数f(x)＝
2
e (sinx＋cosx)在区间[0，
2
]上的值域为( )
11
π11
π
A．[
2
，
2
e
2
] B．(
2
，
2
e
2
)
ππ
C．[1，e
2
] D．(1，e
2
)
11
解析：选A.f′(x)＝
2
e< br>x
(sinx＋cosx)＋
2
e
x
(cosx－sinx) ＝e
x
cosx，
π
当0≤x≤
2
时，f′(x)≥0，
π
∴f(x)是[0，
2
]上的增函数．
π
1
π
∴f(x)的最大值为f(
2
)＝
2
e
2
，
10 15

1
f(x)的最小值为f(0)＝
2
.
5．已知函数y＝f(x)(x∈R)的图象如图所示，则不等式xf′(x)<0
的解集为( )
111
A．(-∞，
2
)∪(
2
,2) B．(－∞，0)∪(
2
，2)
111
C．(－∞，
2
∪(
2
，＋∞) D．(－∞，
2
)∪(2，＋∞)
1
解析：选B.由f(x)图象单调性可 得f′(x)在(－∞，
2
)∪(2，＋∞)
11
大于0，在(
2< br>，2)上小于0，∴xf′(x)<0的解集为(－∞，0)∪(
2
，2)．
6．设f(x)、g(x)是R上的可导函数，f′(x)，g′(x)分别为f(x)、
g(x)的导 函数，且满足f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)<0，则当a( )
A．f(x)g(b)>f(b)g(x) B．f(x)g(a)>f(a)g(x)
C．f(x)g(x)>f(b)g(b) D．f(x)g(x)>f(b)g(a)
解析：选C.令y＝f(x)·g(x)，
则y′＝f′(x)·g(x)＋f(x)·g′(x)，
由于f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)<0，
所以y在R上单调递减，
又xf(b)g(b)．
7．f(x)＝x(x－c)
2
在x＝2处有极大值，则常数c的值为________．
解析：f(x)＝x
3
－2cx
2
＋c
2
x，f′(x)＝3x
2
－4c x＋c
2
，
f′(2)＝0?c＝2或c＝6，若c＝2，f′(x)＝3x
2
－8x＋4，
11 15

22
令f′(x)>0?x<
3< br>或x>2，f′(x)<0?
3
22
故函数在(－∞，< br>)及(2，＋∞)上单调递增，在(
2)上单调递减，
33
，
∴x＝2 是极小值点，故c＝2不合题意，所以c＝6.
答案：6
8．直线y＝a与函数f(x)＝ x
3
－3x的图象有相异的三个公共点，则
a的取值范围是________．
解析：令f′(x)＝3x
2
－3＝0，
得x＝±1，
可求得f(x)的极大值为f(－1)＝2，
极小值为f(1)＝－2，
如图所示，－2共点．
答案：(－2,2)
9．将长为52 cm的铁丝剪成2段，各围成一个长与宽之比为2∶1
及3∶2的矩形，那么 面积之和的最小值为________．
解析：设剪成2段中其中一段为x cm，另一段为(52－x) cm，依
题意知：
x2x
3(52－x)2(52－ x)
S＝
6
·
6
＋
10
·
10

1
2
3
＝
18
x
＋
50
(52－ x)
2
，
13
S′＝
9
x－
25
(52－x)，
令S′＝0，则x＝27.
另一段为52－27＝25.
此时S
min
＝78.
答案：78
10．(2010年合肥质检)设函数f(x)＝lnx－2ax.
(1)若函数y＝f(x )的图象在点(1，f(1))处的切线为直线l，且直线l
与圆(x＋1)
2
＋y< br>2
＝1相切，求a的值；
(2)当a>0时，求函数f(x)的单调区间．
1
解：(1)依题意有，f′(x)＝
x
－2a.
12 15

因此过(1，f(1))点的直线的斜率为1－2a，又f(1)＝－2a，
所以，过(1，f(1))点的直线方程为y＋2a＝(1－2a)(x－1)．
即(2a－1)x＋y＋1＝0
又已知圆的圆心为(－1,0)，半径为1，
依题意，
1
解得a＝
2
.
(2)依题知f(x)＝lnx－2ax的定义域为(0，＋∞)，
1
又知f′(x)＝
x
－2a
1
因为a>0，x>0，令
x
－2a>0，则1－2ax>0
1
所以在x∈(0，
2a
)时，f(x)＝lnx－2ax是增函数；
1
在x∈(
2a
，＋∞)时，f(x)＝lnx－2ax是减函数．
3
11．已知函数f(x)＝x
3
－
2
ax
2
＋ b(a，b为实数，且a>1)在区间[－
1,1]上的最大值为1，最小值为－2.
(1)求f(x)的解析式；
(2)若函数g(x)＝f(x)－mx在区间[－2,2]上 为减函数，求实数m的
取值范围．
解：(1)f′(x)＝3x
2
－3ax，
令f′(x)＝0，得x
1
＝0，x
2
＝a，
∵a>1，
∴f(x)在[－1,0]上为增函数，在[0,1]上为减函数．
∴f(0)＝b＝1，
33
∵f(－1)＝－
2
a，f(1)＝2－
2
a，∴f( －1)34
∴f(－1)＝－
2
a＝－2，a＝
3
.
∴f(x)＝x
3
－2x
2
＋1.
(2)g(x)＝x< br>3
－2x
2
－mx＋1，g′(x)＝3x
2
－4x－m.
|1－2a＋1|
2
＝1，
(2a－1)
＋1
13 15

由g(x)在[－2,2]上为减函数，
知g′(x)≤0在x∈[－2,2]上恒成立．
?
?
20－m≤0
?
g′(－2)≤0
∴
?
，即
?
?
?
g ′(2)≤0
?
4－m≤0


∴m≥20.
∴实数m的取值范围是m≥20.
12．已知函数f(x)＝ln(x＋1)＋ax.
(1)当x＝0时，函数f(x)取得极大值，求实数a的值；
(2)若存在x∈[1,2] ，使不等式f′(x)≥2x成立，其中f′(x)为f(x)
的导函数，求实数a的取值范围；
(3)求函数f(x)的单调区间．
1
解：(1)f′(x)＝
＋a
x＋1
1
由f′(0)＝0，得a＝－1，此时f′(x)＝－1.
x＋1
当x∈(－1,0)时，f′(x)>0，函数f(x)在区间(－1,0)上单调递增；
当x∈(0，＋∞)时，f′(x)<0，函数f(x)在区间(0，＋∞)上单调递
减；
∴函数f(x)在x＝0处取得极大值，故a＝－1.
11
(2)∵f′(x)≥2x，∴
＋a≥2x，∴a≥2x－
.
x＋1x＋1
1
令g(x)＝2x－
(1≤x≤2)，
x＋1
1
∴g′(x)＝2＋>0，∴g(x)在[1,2]上是增函数，
2
(x＋1)
3
∴a≥g(1)＝
2
.
1
(3)f′(x)＝
＋a.
x＋1
1
∵>0，
x＋1
∴当a≥0时，f′(x)>0，函数f(x)在(－1，＋∞)上是增函数．
1
当a<0时，令f′(x)＝0，x＝－
a
－1；
14 15

1
若x∈(－1，－
a
－1)时，f′(x)>0，
1
若x∈(－
a
－1，＋∞)时，f′(x)<0；
综上，当a≥0时，函数f(x)递增区间是(－1，＋∞)；
11
当a<0时，函 数f(x)递增区间是(－1，－
a
－1)，递减区间是(－
a
－1，＋∞) ．







15 15