高中数学排列综合测试题(含答案)

高中数学排列综合测试题(含答案)
选修2-3 1.2.1第2课时 排列2
一、选择题
1．下列各式中与排列数Amn不相等的是()
A.n(n－1)！(n－m)！
B．(n－m＋1)(n－m＋2)(n－m＋3)…n
－m＋1An－1n
D．A1nAm－1n－1
[答案] C
[解析] 由排列数公式易知A、B、D都等于Amn，故选C.
2．用1、2、3、4、5这五个数字，组成没有重复数字的三
位数，其中奇数的个数为()
A．36 B．30
C．40 D．60
[答案] A
[解析] 奇数的个位数字为1、3或5，偶数的个位数字为2、
4.故奇数有35A35＝36个．
3 ．上午要上语文、数学、体育和外语四门功课，而体育教
师因故不能上第一节和第四节，则不同排课方案 的种数是()
A．24 B．22
C．20 D．12
[答案] D
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[解析] 先排体育有2种排法，故不同排课方案有：2A33＝
12种．
[点评] 有受限元素时，一般先将受限元素排好，即“特殊
优先”．
4．5个人排成一排，如果甲必须 站在排头或排尾，而乙不能
站在排头或排尾，那么不同站法总数为()
A．18 B．36
C．48 D．60
[答案] B
[解析] 甲在排头或排尾站法有A12种，再 让乙在中间3个
位置选一个，有A13种站法，其余3人有A33种站法，故共
有A12A13 A33＝36种站法．
5．由数字0、1、2、3、4、5可以组成能被5整除，且无重
复数字的不同的五位数有()
A．(2A45－A34)个
B．(2A45－A35)个
C．2A45个
D．5A45个
[答案] A
[解析] 能被5整除，则个位须填5或0，有2A 45个，但其
中个位是5的含有0在首位的排法有A34个，故共有(2A45
－A34)个．
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[点评] 可用直接法求解：个位数字是0时有A45种；个位< br>数字是5时，首位应用1、2、3、4中选1个，故有4A34种，
共有A45＋4A34个．
6．6人站成一排，甲、乙、丙3人必须站在一起的所有排列
的总数为()
A．A66 B．3A33
C．A33A33 D．4！3!
[答案] D
[解析] 甲、乙、丙三人站在一起有A33种站法，把3人作
为一个元素与其他3人排列有A 44种，共有A33A44种．故
选D.
7．6人站成一排，甲、乙、丙3个人不能都站在一起的排法
种数为()
A．720 B．144
C．576 D．684
[答案] C
[解析] “不能都站在一起”与“都站在一起”是对立事
件，由间接法可得A66－A33A44＝576.
[点评] 不能都站在一起，与都不相邻应区分．
8．由数字1、2、3、4、5组成的所有 没有重复数字的5位
数中，大于23145且小于43521的数共有()
A．56个 B．57个
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C．58个 D．60个
[答案] C
[解析] 首位为3时，有A44个＝24个；
首位为2时，千位为3，则有A12A22＋ 1＝5个，千位为4或
5时有A12A33＝12个；
首位为4时，千位为1或2，有A12 A33＝12个，千位为3时，
有A12A22＋1＝5个．
由分类加法计数原理知，共有适合题意的数字24＋5＋12＋
12＋5＝58(个)． 9．用0、1、2、3、4、5组成没有重复数字的6位数，其中
个位数字小于十位数字的六位数共 有()
A．300个 B．464个
C．600个 D．720个
[答案] A
[解析] 解法1：确定最高位有A15种不同方法．确定万位、
千位、百位，从剩下的5个数 字中取3个排列，共有A35种
不同的方法，剩下两个数字，把大的排在十位上即可，由分
步乘 法计数原理知，共有A15A35＝300(个)．
解法2：由于个位数字大于十位数字与十位数字小 于个位数
字的应各占一半，故有12A15A55＝300(个)．
10．(2019广东理 ，8)为了迎接2019年广州亚运会，某大楼
安装了5个彩灯，它们闪亮的顺序不固定．每个彩灯只能 闪
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亮红、橙、黄、绿、蓝中的一种颜色，且这5个彩灯所闪亮的颜色各不相同，记这5个彩灯有序地各闪亮一次为一个闪
烁．在每个闪烁中，每秒钟有且仅有一个 彩灯闪亮，而相邻
两个闪烁的时间间隔均为5秒．如果要实现所有不同的闪烁，
那么需要的时间 至少是()
A．1205秒 B．1200秒
C．1195秒 D．1190秒
[答案] C
[解析] 由题意每次闪烁共5秒，所以不同的闪烁为A55＝
120 秒，而间隔为119次，所以需要的时间至少是5A55＋(A55
－1)5＝1195秒．
[点评] 本题情景新颖，考查了排列知识在生活中的应用以
及运用数学知识解决实际问题的能 力、分析解决问题的能
力．
二、填空题
11．三个人坐在一排八个座位上，若每人 的两边都要有空位，
则不同的坐法种数为________．
[答案] 24
[解析] “每人两边都有空位”是说三个人不相邻，且不能
坐两头，可视作5个空位和3个人 满足上述两要求的一个排
列，只要将3个人插入5个空位形成的4个空档中即可．
有A34＝24种不同坐法．
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12．在所有无重复数字 的四位数中，千位上的数字比个位上
的数字大2的数共有________个．
[答案] 448
[解析] 千位数字比个位数字大2，有8种可能，即(2,0)，
(3,1)…(9 ,7)前一个数为千位数字，后一个数为个位数
字．其余两位无任何限制．
共有8A28＝448个．
13．7个人排一排，甲不在排头、乙不在排尾、丙不在正中
间的排法有________种？
[答案] 456
[解析] 由题意知有A77－3A66＋3A45－A44＝456种．
14．(2019浙江理，17)有4位同学在同一天的上、下午参加
“身高与体重”、“立定 跳远”、“肺活量”、“握力”、
“台阶”五个项目的测试，每位同学上、下午各测试一个项
目 ，且不重复．若上午不测“握力”项目，下午不测“台阶”
项目，其余项目上、下午都各测试一人，则不 同的安排方式
共有________种(用数字作答)．
[答案] 264
[解析] 由条件上午不测“握力”，则4名同学测四个项目，
则A44；下午不测“台阶”但 不能与上午所测项目重复，如
甲 乙 丙 丁
上午 台阶 身高 立定 肺活量
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下午
，下午甲测“握力”乙丙丁所测不与上午重复有2 种，甲测
“身高”“立定”、“肺活量”中一种，则33＝9，故A44(2
＋9)＝264种 ．
三、解答题
15．一场晚会有5个演唱节目和3个舞蹈节目，要求排出一
个节目单．
(1)3个舞蹈节目不排在开始和结尾，有多少种排法？
(2)前四个节目要有舞蹈节目，有多少种排法？
(以上两个题只列出算式)
[解析] (1)先从5个演唱节目中选两个排在首尾两个位置
有A25种排法，再将剩余的3 个演唱节目，3个舞蹈节目排
在中间6个位置上有A66种排法，故共有A25A66种排法．
(2)先不考虑排列要求，有A88种排列，其中前四个节目没
有舞蹈节目的情况，可先从5个演唱节 目中选4个节目排在
前四个位置，然后将剩余四个节目排列在后四个位置，有
A45A44种排 法，所以前四个节目要有舞蹈节目的排法有(A88
－A45A44)种．
16．六人按下列要求站一横排，分别有多少种不同的站法？
(1)甲不站右端，也不站左端；
(2)甲、乙站在两端；
(3)甲不站左端，乙不站右端．
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[解析] (1)解 法一：因甲不站左右两端，故第一步先从甲
以外的5个人中任选二人站在左右两端，有A25种不同的站
法；第二步再让剩下的4个人站在中间的四个位置上，有A44
种不同的站法，由分步乘法计数 原理共有A25A44＝480种不
同的站法．
解法二：因甲不站左右两端，故第一步先让甲 排在左右两端
之间的任一位置上，有A14种不同的站法；第二步再让余下
的5个人站在其他5 个位置上，有A55种不同的站法，故共
有A14A55＝480种不同的站法．
解法三：我 们对6个人，不考虑甲站位的要求，做全排列，
有A66种不同的站法；但其中包含甲在左端或右端的情 况，
因此减去甲站左端或右端的排列数2A55，于是共有A66－
2A55＝480种不同的 站法．
(2)解法一：首先考虑特殊元素，让甲、乙先站两端，有A22
种不同的站法；再让 其他4个人在中间4个位置做全排列，
有A44种不同的站法，根据分步乘法计数原理，共有A22A4 4
＝48种不同的站法．
解法二：“位置分析法”，首先考虑两端2个位置，由甲、
乙去站，有A22种站法，再考虑中间4个位置，由剩下的4
个人去站，有A44种站法，根据分步乘法 计数原理，共有
A22A44＝48种不同的站法．
(3)解法一：“间接法”，甲在左端的站法有A55种，乙在
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< br>右端的站法有A55种，而甲在左端且乙在右端的站法有A44
种，故共有A66－2A55＋A 44＝504种不同的站法．
解法二：“直接法”，以元素甲的位置进行考虑，可分两类：
a .甲站右端有A55种不同的站法；b.甲在中间4个位置之一，
而乙不在右端，可先排甲后排乙，再排 其余4个，有A14A14A44
种不同的站法，故共有A55＋A14A14A44＝504种不同的 站法．
17．用0、1、2、3、4五个数字：(1)可组成多少个五位数；
(2)可组成多 少个无重复数字的五位数；(3)可组成多少个无
重复数字的且是3的倍数的三位数；(4)可组成多少 个无重
复数字的五位奇数．
[解析] (1)各个数位上的数字允许重复，故由分步乘法计
数原理，45555＝2500(个)．
(2)方法一：先排万位，从1,2,3,4中任取一个有A14种填
法，其余四个位置四个数字共有A 44种，
故共有A14A44＝96(个)．
方法二：先排0，从个、十、百、千位中任选 一个位置将0
填入有A14种方法，其余四个数字全排有A44种方法，
故共有A14A44＝96(个)．
(3)构成3的倍数的三位数，各个位上数字之和是3的 倍数，
将0,1,2,3,4按除以3的余数分成3类，按取0和不取0分
类：
①取0，从1和4中取一个数，再取2进行排，先填百位A12，
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其余任排有A22，故有2A12A22种．
②不取0，则只能取3，从1或 4中再任取一个，再取2然
后进行全排为2A33，所以共有2A12A22＋2A33＝8＋12＝< br>20(个)．
(4)考虑特殊位置个位和万位，先填个位，从1、3中选一个
填入个位 有A12种填法，然后从剩余3个非0数中选一个填
入万位，有A13种填法，包含0在内还有3个数在 中间三位
置上全排列，排列数为A33，故共有A12A13A33＝36(个)．
18．由 1、2、3、4、5五个数字组成没有重复数字的五位数
排成一递增数列，则首项为12 345，第2项是12 354，…
直到末项(第120项)是54 321.问：
(1)43 251是第几项？
(2)第93项是怎样的一个五位数？
[分析] 43 251以前的数都比43 251小，而以后的数都比
43 251大，因此比43 251小的个数加1就是43 251的项数．反
过来，从总个数中减去比43 251大的数的个数也是43 251
的项数．
先算出比第93项大的数的个数，从总个数中 减去此数，再
从万位数是5的个数，逐步缩小直到第93项数为止，从而
可得第93项那个数．
[解析] (1)由题意知，共有五位数为A55＝120(个)．
比43 251大的数有下列几类：
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①万位数是5的有A44＝24(个)；
②万位数是4，千位数是5的有A33＝6(个)；
③万位数是4，千位数是3，百位数是5的有A22＝2(个)，
比43 251大的数共有A44＋A33＋A22＝32(个)，
43 251是第120－32＝88(项)．
(2)从(1)知万位数是5的有A44＝24(个)，万位 数是4，千
位数是5的有A33＝6(个)．

但比第93项大的数有120－93 ＝27(个)，第93项即倒数第
28项，而万位数是4，千位数是5的6个数是45 321、45 312、
45 231、45 213、45 132、45 123，由此可见第93项是45 213.

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