高中数学经典例题100道

v1.0 可编辑可修改
例1 判定以下关系是否正确
(1){a}?{a}

(2){1，2，3}＝{3，2，1}
?
{0}

(3)?
≠
(4)0∈{0}
(5)?∈{0}
(6)?＝{0}

分析 空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．
解 根据子集、真子集以及集合相等的概念知①②③④是正确的，后两个都是
错误的．
说明：含元素0的集合非空．
例2 列举集合{1，2，3}的所有子集．
分析 子集中分别含1，2，3三个元素中的0个，1个，2个或者3个．
解 含有0个元素的子集有：?；

含有1个元素的子集有{1}，{2}，{3}；
含有2个元素的子集有{1，2}，{1，3}，{2，3}；
含有3个元素的子集有{1，2，3}．共有子集8个．
说明：对于集合A，我们把?和A叫做它的平凡子集．

例3 已知{a，b}?A
?
≠
{a，b，c，d}，则满足条件集合A的个数为

________．
分析 A中必含有元素a，b，又A是{a，b，c，d}真子集，所 以满足条件的A
有：{a，b}，{a，b，c}{a，b，d}．
答 共3个．
说明：必须考虑A中元素受到的所有约束．
?
U，且N?M，则

例4 设U为全集，集合M、N
≠
[ ]

- 1 -- 1 -

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分析 作出4图形．
答 选C．
说明：考虑集合之间的关系，用图形解决比较方便．


点击思维

例5 设集合A＝{x|x＝5－4a＋a
2
， a∈R}，B＝{y|y＝4b
2
＋4b＋2，b∈R}，则
下列关系式中正确的是
[ ]
A．A＝B
C．A
?
≠
B
B．A?B
?
BD．A
≠

分析 问题转化为求两个二次函数的值域问题，事实上
x＝5－4a＋a
2
＝(2－a)
2
＋1≥1，
y＝4b
2
＋4b＋2＝(2b＋1)
2
＋1≥1，所以它们的值域是相同的，因此A ＝B．
答 选A．
说明：要注意集合中谁是元素．

M与P的关系是
[ ]
A．M＝
U
P B．M＝P

- 2 -- 2 -

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?
C．M
≠
P D．M?P

分析 可以有多种方法来思 考，一是利用逐个验证(排除)的方法；二是利用补
集的性质：M＝
U
N＝
U
(
U
P)＝P；三是利用画图的方法．

答 选B．
说明：一题多解可以锻炼发散思维．
例7 下列命题中正确的是
[ ]
A．
U
(
U
A)＝{A}
B．若A∩B＝B，则A?B< br>C．若A＝{1，?，{2}}，则{2}
?
≠
A

D．若A＝{1，2，3}，B＝{x|x?A}，则A∈B

分析 D选择项中A∈B似乎不合常规，而这恰恰是惟一正确的选择支．
∵D选择支中，B中的元素，x?A，即x是集合A的子集，而A的子

集有?，{1 }，{2}，{3}，{1，2}，{1，3}，{2，3}，{1，2，3}，而B

是由这所有子集组成的集合，集合A是其中的一个元素．
∴A∈B．
答 选D．
说明：选择题中的选项有时具有某种误导性，做题时应加以注意．
例8 已知集合A＝{2 ，4，6，8，9}，B＝{1，2，3，5，8}，又知非空集合C
是这样一个集合：其各元素都加2 后，就变为A的一个子集；若各元素都减2后，则
变为B的一个子集，求集合C．
分析 逆 向操作：A中元素减2得0，2，4，6，7，则C中元素必在其中；B中
元素加2得3，4，5，7， 10，则C中元素必在其中；所以C中元素只能是4或7．

- 3 -- 3 -

v1.0 可编辑可修改
答 C＝{4}或{7}或{4，7}．
说明：逆向思维能力在解题中起重要作用．
例9 设S＝{1，2，3，4}，且M＝{x ∈S|x
2
－5x＋p＝0}，若
p＝________．
分析 本题渗透了方程的根与系数关系理论，由于
S
M＝{1，4}，
S
M＝{1，4}，则
?
S，

且M
≠
∴M＝{2，3}则由韦达定理可解．
答 p＝2×3＝6．
说明：集合问题常常与方程问题相结合．
例10 已知集合S＝{2，3，a
2
＋2a－3}，A＝{|a＋1|，2}，
a的值．
S
A＝{a＋3}，求

S这个集合是集合A与集合
S
A的 元素合在一起“补成”的，此外，对这类字母
的集合问题，需要注意元素的互异性及分类讨论思想方法的 应用．
解 由补集概念及集合中元素互异性知a应满足
?
a＋3＝3
?
2
?
|a＋1|＝a＋2a－3
(1)
?
2
?
a＋2a－3≠2
?
a
2
＋2a－3≠3
?
?
a＋3＝a
2
＋2a－3
?
?
|a＋1|＝3
或(2)
?
2
?
a＋2a－3≠2
?
a
2
＋2a－3≠3
?
①
②
③
④
①
②
③
④


在(1)中，由①得a＝0依次代入②③④检验，不合②，故舍去．
在(2)中， 由①得a＝－3，a＝2，分别代入②③④检验，a＝－3不合②，故舍
去，a＝2能满足②③④．故a ＝2符合题意．

- 4 -- 4 -

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说明：分类要做到不重不漏．
例11 (1993年北京高考题)集合M＝{x|x＝
kππ
x|x＝＋，k∈Z}则

42
kππ
＋，k∈Z}，N＝{

24
[ ]
A．M＝N
?
NB．M
≠
C．M
?
≠
N

D．M与N没有相同元素
分析 分别令k＝…，－1，0，1，2，3，…得
ππ3π5π7π
，，，，，…}，
44444
ππ3π5π
N＝{…，，，，π，，…}
4244
易见，M
?
N．
M＝{… ，－
≠
答 选C．
说明：判断两个集合的包含或者相等关系要注意集合元素的无序性



- 5 -- 5 -

v1.0 可编辑可修改
典型例题一


例1下列图形中，满足唯一性的是（ ）．
A．过直线外一点作与该直线垂直的直线
B．过直线外一点与该直线平行的平面
C．过平面外一点与平面平行的直线
D．过一点作已知平面的垂线
分析：本题考查 的是空间线线关系和线面关系，对定义的准确理解是解本题的关键．要
注意空间垂直并非一定相关． < br>解：A．过直线外一点作与这条直线垂直的直线，由于并没有强调相交，所以这样的垂线
可以作无 数条．事实上这无数条直线还在同一个平面内，这个平面为该直线的一个垂面．
B．过直线外一点可以 作一条而且仅能作一条直线与该直线平行，但可以作无数个平面和
该直线平行．
C．过此点作 平面内任一直线的平行线，这条平行线都平行于平面．所以过平面外一点与
平面平行的直线应有无数条．
D．过一点作已知平面的垂线是有且仅有一条．假设空间点
A
、平面
?
，过点
A
有两条直
线
AB
、
AC
都垂直于
?
，由于
AB
、
AC
为相交直线，不妨设
AB
、
AC
所确定的平面为
?
，
?
与
?
的交线为
l
，则必有
AB?l
，
AC?l
，又由于
AB、
AC
、
l
都在平面
?
内，这样在
?
内经过
A
点就有两条直线和直线
l
垂直，与平面几何中经过一点有县仅有一条 直线与已知
直线垂直相矛盾．
故选D．
说明：有关“唯一性”结论的问题，常用反 证法，或者借助于其它已证明过的唯一性命
题来证明．在本书中，过一点作已知平面的垂线有且仅有一条 ，同时，过一点作已知直线的
垂面也是有且仅有一个．它们都是“唯一性”命题，在空间作图题中常常用 到．

典型例题二



- 6 -

v1.0 可编辑可修改
例2 已知下列命题：
（1）若一直线垂直于一个平面的一条斜线，则该直线必垂直于斜线在这个平面内的射影；
（2）平面内与这个平面的一条斜线垂直的直线互相平行；
（3）若平面外的两条直线，在这个平面上的射影互相垂直，则这两条直线互相垂直；
（4） 若两条直线互相垂直，且其中的一条平行一个平面，另一条是这个平面的斜线，则
这两条直线在这个平面 上的射影互相垂直．
上述命题正确的是（ ）．
A．（1）、（2） B．（2）、（3） C．（3）、（4） D．（2）、（4）
分析：本题考查的三垂 线定理及其逆定理的简单应用．应用这两个定理时要特别注意“平
面内”这一条件，同时要注意各种不同 位置的两定理的基本图形及其变式图形．
解：（1）已知直线不一定在平面内，所以不能用三垂线逆定理来判断垂直关系；
（2）平面 内与这个平面的一条斜线垂直的直线必定与斜线在平面内的射影垂直，所以它
们之间也平行；
（3）根据三垂线定理可证明直线与另一直线的射影垂直，但不能进一步说明直线和直线
垂直；
（4）根据三垂线定理的逆定理和空间两直线所成角的概念，不难证明此命题的正确性．
故选D．
说明：（3）中若一直线与另一直线的射影垂直，则有另一直线必与这一直线的射影 垂直．如
在正方体
ABCD?A
1
B
1
C
1
D
1
中，
E、F
分别为棱
AA
1
和
BB
1
上的点，
G
为棱
BC
上的点，且
EF?BB1
，
FC
1
?EG
，求
?D
1
FG< br>．
典型例题三


例3 如图，在正方体
ABCD?A1
B
1
C
1
D
1
中，
E
是< br>BB
1
的中点，
O
是底面正方形
ABCD
的
中心，求证：
OE?
平面
ACD
1
．
分析：本题考查的是 线面垂直的判定方法．根据线面垂
直的判定方法，要证明
OE?
平面
ACD< br>1
，只要在平面

- 7 -

v1.0 可编辑可修改
ACD
1
内找两条相交直线与
OE
垂直．
证明：连结
B
1
D
、
A
1
D
、
B D
，在△
B
1
BD
中，
∵
E、O
分别是
B
1
B
和
DB
的中点，
∴
EOB
1
D
．
∵
B
1
A1
?
面
AA
1
D
1
D
，
∴
DA
1
为
DB
1
在面
AA
1
D< br>1
D
内的射影．
又∵
AD
1
?A
1
D
，
∴
AD
1
?DB
1
．
同理可证，
B
1
D?D
1
C
．
又∵AD
1
?CD
1
?D
1
，
AD
1、
D
1
C?
面
ACD
1
，
∴
B
1
D?
平面
ACD
1
．
∵
B
1
DEO
，
∴
EO?
平面
ACD
1
．
另证：连结
A E、CE
，
D
1
O
，设正方体
DB
1
的棱 长为
a
，易证
AE?CE
．
又∵
AO?OC
，
∴
OE?AC
．
在正方体
DB
1
中易求出： < br>?
2
?
6
?
?D
1
O?DD
12
?DO
2
?a
2
?
?
aa
， ?
2
?
2
??
2
?
3
?
a< br>?
?
22
?
OE?BE?OB?
??
?
?< br>a
?
?a
，
?
222
??
??
D
1
E?DB?B
1
E?
∵
D
1
O?OE? D
1
E
，

222
2
2
2
2< br>11
2
??
3
?
a
?
2a?
??< br>?a
．
2
?
2
?
2
2
- 8 -

v1.0 可编辑可修改
∴
D
1
O?OE
．
∵
D
1
O? AC?O
，
D
1
O
、
AC?
平面
ACD< br>1
，
∴
OE?
平面
ACD
1
．
说明：要证线面垂直可找线线垂直，这是立体几何证明线面垂直时常用的转化方法．在
证明线线垂直时既 要注意三垂线定理及其逆定理的应用，也要注意有时是从数量关系方面找
垂直，即勾股定理或余弦定理的 应用．


典型例题四


例4 如图，在△
A BC
中，
?B?90
，
SA?
平面
ABC
，点A
在
SB
和
SC
上的射影分
别为
M、N
，求证：
MN?SC
．
分析：本题考查的仍是线面垂直的判定和性质定理，以及线 线垂直和线面垂直相互转化思
想．欲证
SC?MN
，可证
SC?
面< br>AMN
，为此须证
SC?AN
，进而可转化为证明
AN?
平< br>面
SBC
，而已知
AN?SB
，所以只要证
AN?BC
即可．由
于图中线线垂直、线面垂直关系较多，所以本题也可以利用三
垂线定理和逆定理来证 线线垂直．
证明：∵
SA?
面
ABC
，
BC?
平 面
ABC
，
∴
SA?BC
．
∵
?B?90
，即
AB?BC
，
BA?SA?A
，
∴
BC?
平面
SAB
．
∵
AN?
平面
SAB
．
∴
BC?AN
．
又∵
AN?SB
，
SB?BC?B
，
∴
AN?
平面
SBC
．
∵
SC?
平面
SBC
，
∴
AN?SC
，

- 9 -
?
?

v1.0 可编辑可修改
又∵
AM?SC
，
AM?AN?A
，
∴
SC?
平面
AMN
．
∵
MN?
平面
AMN
．
∴
SC?MN
．
另证：由上面可证
AN?
平面
SBC
．
∴
MN
为
AM
在平面
SBC
内的射影．
∵
AM?SC
，
∴
MN?SC
．
说明：在上面 的证题过程中我们可以看出，证明线线垂直常转化为证明线面垂直，而证
明线面垂直又转化为证明线线垂 直．立体几何中的证明常常是在这种相互转化的过程中实现
的．本题若改为下题，想想如何证：已知SA?
⊙
O
所在平面，
AB
为⊙
O
的直径，< br>C
为⊙
O
上任意一点（
C
与
A、B
不重合） ．过点
A
作
SB
的垂面交
SB
、
SC
于点
M、N
，求证：
AN?SC
．


典型例题五


例5 如图，
AB
为平面
?
的斜线，
B
为斜足，
AH
垂直平面
?
于
H
点，
BC
为平面
?
内
的直线，
?ABH?
?，
?HBC?
?
，
?ABC?
?
，求证：
co s
?
?cos
?
?cos
?
．
分析：本题考查的 是线面角的定义和计算．要证明三个
角余弦值之间关系，可考虑构造直角三角形，在直角三角形
中求出三个角的余弦值，再代入验证证明，其中构造直角三
角形则需要用三垂线定理或逆定理．
证明：过
H
点作
HD
垂直
BC
于
D
点， 连
AD
．
∵
AH?
?
，
∴
AD
在平面
?
内射影为
HD
．
∵
BC?HD
，
BC?
?
，

- 10 -

v1.0 可编辑可修改
∴
BC?AD
．
BH
①
BA
BD
在< br>Rt
△
BHD
中有：
cos
?
?
②
BH
BD
在
Rt
△
ABD
中有：
co s
?
?
③
BA
在< br>Rt
△
ABH
中有：
cos
?
?
由①、②、 ③可得：
cos
?
?cos
?
?cos
?
． 说明：由此题结论易知：斜线与平面所成的角，是这条斜线和这个平面内的直线所成的
一切角中最小 的角．若平面的斜线与平面所成角为
?
，则斜线与平面内其它直线所成角
?
的
范围为
?
?
，
?
．


?
?
?
?
2
?
典型例题六


例6 如图，已知正方形
ABCD
边长为4，
CG?
平面
A BCD
，
CG?2
，
E、F
分别是
AB、AD
中点 ，求点
B
到平面
GEF
的距离．
分析：此题是1991年高考题， 考查了直线与直线、直线与平面等位置关系以及逻辑推理
和空间想像能力．本题是求平面外一点到平面的 距离，可用转移法将该点到平面的距离转化
为求另一点到该平面的距离．为此要寻找过点
B与平面
GEF
平行的直线，因为与平面平行的直线上所有点到平
面的距离相等．
证明：连结
BD、AC
，
EF
和
BD
分别交
AC
于
H、O
，连
GH
，作
OK?GH
于
K
．
∵
ABCD
为正方形，
E、F
分别为
AB 、AD
的中点，
∴
EFBD
，
H
为
AO
中点．
∵
BDEF
，
BD?
平面
GFE
，
∴
BD
平面
GFE
．
∴
BD
与平面GFE
的距离就是
O
点到平面
EFG
的距离．

- 11 -

v1.0 可编辑可修改
∵
BD?AC
，∴
EF?AC
．
∵
GC?
面
ABCD
，∴
GC?EF
．
∵
GC?AC?C
，
∴
EF?
平面
GCH
．
∵
OK?
平面
GCH
，
∴
EF?OK
．
又∵
OK?GH
，
GH?EF?H
，
∴
OK?
平面
GEF
．
即
OK
长就是点
B
到平面
GEF
的距离．
∵正方形边长为4，
CG?2
，
∴
AC?42
，
HO?2
，
HC?32
．
在
Rt
△
HCG
中，
HG?
在
Rt
△< br>GCH
中，
OK?
HC
2
?CG
2
?22< br>．
HO?GC211
?
．
HG11
说明：求点到平面的距 离常用三种方法：一是直接法．由该点向平面引垂线，直接计算
垂线段的长．用此法的关键在于准确找到 垂足位置．如本题可用下列证法：延长
CB
交
FE
的
延长线于
M
，连结
GM
，作
BP?ME
于
P
，作
BNCG
交
MG
于
N
，连结
PN
，再作
B H?PN
于
H
，可得
BH?
平面
GFE
，
BH
长即为
B
点到平面
EFG
的距离．二是转移
法．将该点 到平面的距离转化为直线到平面的距离．三是体积法．已知棱锥的体积和底面的
面积．求顶点到底面的距 离，可逆用体积公式．


典型例题七


例7 如图所 示，直角
?ABC
所在平面外一点
S
，且
SA?SB?SC
．
(1)求证：点
S
与斜边
AC
中点
D
的连线< br>SD
?
面
ABC
；
(2)若直角边
BA?BC，求证：
BD?
面
SAC
．

- 12 -

v1.0 可编辑可修改

分析：由等腰三角形底边上的中线得到线线垂直，从而得到线面垂直．
证明：(1)在等腰< br>?SAC
中，
D
为
AC
中点，∴
SD?AC
．
取
AB
中点
E
，连
DE
、
SE
．
∵
EDBC
，
BC?AB
，∴
DE?AB
． 又
SE?AB
，∴
AB?
面
SED
，∴
AB? SD
．
∴
SD
?
面
ABC
（
AB
、
AC
是面
ABC
内两相交直线）．
(2)∵
BA?BC
，∴
BD?AC
．
又∵
SD
?
面
ABC
，∴
SD?BD
．
∵
SD?AC?D
，∴
BD?
面
SAC
．
说明：证明线面垂直的关键在于寻找直线与平面内的两条相交直线垂直．寻找途径可由
等腰三角形底边 上的中线与底边垂直，可由勾股定理进行计算，可由线面垂直得线线垂直等．
典型例题八


例8 如果两条平行线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面．
已知：
ab
，
a?
?
．求证：
b?
?
．
分析：由线面垂直的判定定理知，只需在
?
内找到两条相交直线与
b
垂直即可．

证明：如图所示，在平面
?
内作两条相交直线
m、
n
．
∵
a?
?
，∴
a?m
，
a?n
．
又∵
ba
，从而有
b?m
，
b?n
．

- 13 -

v1.0 可编辑可修改
由作图知
m
、
n
为
?
内两条相交直线．
∴
b?
?
．
说明：本题的结论可以作为判定线面垂直的依据，即当 要证的直线与平面的垂直关系不
明确或不易证出时，可以考虑证明与已知直线平行的直线与平面垂直．
典型例题九


例9 如图所示，已知平面
?
?
平 面
?
=
EF
，
A
为
?
、
?
外一点，
AB?
?
于
B
，
AC?
?
于< br>C
，
CD?
?
于
D
．证明：
BD?EF．

分析：先证
A
、
B
、
C
、D
四点共面，再证明
EF?
平面
ABCD
，从而得到
B D?EF
．
证明：∵
AB?
?
，
CD?
?
，∴
ABCD
．
∴
A
、
B
、
C
、
D
四点共面．
∵
AB?
?
，
AC?
?
，
?
?< br>?
?EF
，∴
AB?EF
，
AC?EF
．
又
AB?AC?A
，∴
EF?
平面
ABCD
．
∴
EF?BD
．
说明：与线面平行和线线平行交替使用一样，线面垂直和线 线垂直也常互为条件和结
论．即要证线面垂直，先找线线垂直；要证线线垂直，先找线面垂直．本题证明 “
A
、
B
、
C
、
D
四点共面”非常重要， 仅由
EF?
平面
ABC
，就断定
EF?BD
，则证明是无效 的．
典型例题十


例10 平面
?
内有一半圆，直径< br>AB
，过
A
作
SA
?
平面
?
，在半 圆上任取一点
M
，连
SM
、
SB
，且
N
、
H
分别是
A
在
SM
、
SB
上的射影．
(1)求证：
NH?SB
；
(2)这个图形中有多少个线面垂直关系

- 14 -

v1.0 可编辑可修改
(3)这个图形中有多少个直角三角形
(4)这个图形中有多少对相互垂直的直线
分析：注意利用直线与直线、直线与平面垂直的有关知识进行判断．

(1)证明：连
AM
、
BM
．如上图所示，
∵
AB
为已知圆的直径，∴
AM?BM
．
∵
SA
?
平面
?
，
BM?
?
，∴
SA?MB．
∵
AM?SA?A
，∴
BM?
平面
SAM
．
∵
AN
?
平面
SAM
，∴
BM?AN
．
∵
AN?SM
于
N
，
BM?SM?M
，∴
AN
?
平面
SMB
．
∵
AH?SB
于
H
，且
NH
是
AH
在平面
SMB
的射影，∴
NH?SB
．
解(2)：由(1)知，
SA
?
平面
AMB
，
BM?
平面
SAM
，
AN
?
平面
SMB
．
∵
SB?AH
且
SB?HN
，∴
SB
?
平面
ANH
，
∴图中共有4个线面垂直关系．
(3) ∵
SA
?
平面
AMB
，∴
?SAB
、
?S AM
均为直角三角形．
∵
BM?
平面
SAM
，∴
?BAM
、
?BMS
均为直角三角形．
∵
AN
?
平面
SMB
，∴
?ANS
、
?ANM
、
?ANH< br>均为直角三角形．
∵
SB
?
平面
ANH
，∴
?SHA
、
?BHA
、
?SHN
、
?BHN
均为 直角三角形．
综上，图中共有11个直角三角形．
(4)由
SA
?
平面
AMB
知，
SA?AM
，
SA?AB
，
SA ?BM
．
由
BM?
平面
SAM
知，
BM?AM< br>，
BM?SM
，
BM?AN
．
由
AN
?< br>平面
SMB
知，
AN?SM
，
AN?SB
，
AN?NH
．
由
SB
?
平面
ANH
知，
SB?AH
，
SB?HN
．
综上，图中共有11对互相垂直的直线．

- 15 -

v1.0 可编辑可修改
说明：为了保证 (2)(3)(4)答案不出错，首先应找准(2)的答案，由“线
?
面”可得到“线
，当“线
?
面内线”且相交时，可得到直角三角形；当“线
?
面内线”且不相 交时，
?
面内线”
可得到异面且垂直的一对直线．
典型例题十一


例11 如图所示，
?BAC?90?
．在平面
?
内，< br>PA
是
?
的斜线，
?PAB??PAC?60?
．求
PA
与平面
?
所成的角．

分析：求
PA
与平面
?
所成角，关键是确定
PA
在平面
?
上射影
AO< br>的位置．由
?PAB??PAC
，可考虑通过构造直角三角形，通过全等三角形来确定< br>AO
位置，构造直角
三角形则需用三垂线定理．
解：如图所示，过
P
作
PO?
?
于
O
．连结
AO
，
则
AO
为
AP
在面
?
上的射影，
?PAO
为
PA
与平面
?
所成的角．
作
OM?AC
，由三重线定理可得
PM?AC
．
作
ON?AB
，同理可得
PN?AB
．
由
?PA B??PAC
，
?PMA??PNA?90?
，
PA?PA
，
可得
?PMA
≌
?PNA
，∴
PM?PN
． ∵
OM
、
ON
分别为
PM
、
PN
在< br>?
内射影，∴
OM?ON
．
所以点
O
在
?BAC
的平分线上．
设
PA?a< br>，又
?PAM?60?
，∴
AM?
1
a
，
? OAM?45?
，
2
∴
AO?2AM?
2
a
．
2
AO2
?
，
PA2
在
?POA
中，
cos?PAO?

- 16 -

v1.0 可编辑可修改
∴
?PAO?45?
， 即
PA
与
?
所成角为
45?
．
说明：
(1)本题在得出
PA
在面
?
上的射影为
?BAC
的平分线 后，可由公式
cos
?
?cos
?
?cos
?
来计 算
PA
与平面
?
所成的角，此时
?PAC?
?
?6 0?
，
?PAO?
?
，
?CAO?
?
?45?．
(2)由
PA
与平面
?
上射影为
?BAC
平分线还可推出下面结论：四面体
P?ABC
中，若
?PAB??PAC
，< br>?PBA??PBC
，则点
A
在面
ABC
上的射影为
?ABC
的内心．
典型例题十二


例12 如图所示，在平面< br>?
内有
?ABC
，在平面
?
外有点
S
，斜线
SA?AC
，
SB?BC
，
且斜线
SA
、
SB
分别与平面
?
所成的角相等，设点
S
与平面
?
的距离为
4cm
，
AC?BC
，
且
AB?6cm
． 求点
S
与直线
AB
的距离．

分析：由点
S向平面
?
引垂线，考查垂足
D
的位置，连
DB
、
DA
，推得
DA?AC
，
DB?BC
，又
?ACB?90 ?
，故
A
、
B
、
C
、
D
为矩形的 四个顶点．
解：作
SD
?
平面
?
，垂足为
D，连
DA
、
DB
．
∵
SA?AC
，
DB?BC
，
∴由三垂线定理的逆定理，有：
DA?AC
，
DB?BC
，
又
AC?BC
，∴
ACBD
为矩形．
又∵
SA? SB
，∴
DA?DB
，∴
ACBD
为正方形，
∴
AB
、
CD
互相垂直平分．
设
O
为< br>AB
、
CD
的交点，连结
SO
，
根据三垂线定理， 有
SO?AB
，则
SO
为
S
到
AB
的距离 ．

- 17 -

v1.0 可编辑可修改
在
Rt?SOD
中，
SD?4cm
，
DO?
∴
SO?5cm< br>．
因此，点
S
到
AB
的距离为
5cm
．
1
AB?3cm
，
2
说明：由本例可得到点到直线距离的作法：
(1)若点、直线在确定平面内，可直接由点向直线引垂线，这点和垂足的距离即为所求．
( 2)若点在直线所在平面外，可由三垂线定理确定：由这点向平面引垂线得垂足，由垂足
引直线的垂线得 斜足，则这点与斜足的距离为点到直线的距离．
(3)处理距离问题的基本步骤是：作、证、算，即作 出符合要求的辅助线，然后证明所作
距离符合定义，再通过解直角三角形进行计算．
典型例题十三


例13 如图，过
A
且垂直于
S C
的平面交
SB
、
ABCD
是正方形，
SA
垂直于 平面
ABCD
，
SC
、
SD
分别于点
E
、
F
、
G
，求证：
AE?SB
，
AG?SD
．

分析：本题考查线面垂直的判定与性质定理，以及线线垂直和线面垂直相互转化的思想．由于图形的对称性，所以两个结论只需证一个即可．欲证
AE?SB
，可证
A E?
平面
SBC
，
为此须证
AE?BC
、
AE?S C
，进而转化证明
BC?
平面
SAB
、
SC?
平面
AEFG
．
证明：∵
SA
?
平面
ABCD
，
BC?
平面
ABCD
，
∴
SA?BC
．
又∵
ABCD
为正方形，
∴
BC?AB
．
∴
BC?
平面
ASB
．
∵
AE?
平面
ASB
，
∴
BC?AE
．

- 18 -

v1.0 可编辑可修改
又∵
SC?
平面
AEFG
，
∴
SC?AE
．
∴
AE?
平面
SBC
．
又∵
SB?
平面
SBC
，
∴
AE?SB
，同理可证
AG?SD
．
说明：(1)证明 线线垂直，常用的方法有：同一平面内线线垂直、线面垂直的性质定理，
三垂线定理与它的逆定理，以及 与两条平行线中一条垂直就与另一条垂直．(2)本题的证明过
程中反复交替使用“线线垂直”与“线面 垂直”的相互联系，充分体现了数学化思想的优越
性．
典型例题十四


例14 如图，求证：如果一个角所在平面外一点到角的两边距离相等，那么这一点在平
面内的 射影在这个角的平分线上．
已知：
?BAC
在平面
?
内，点
P?
?
，
PE?AB
，
PF?AC
，
PO??
，垂足分别是
E
、
F
、
O
，
PE? PF
．求证：
?BAO??CAO
．

证明：∵
PO?
?
，
∴
OE
为
PE
在
?
内的射影．
∵
AB?PE
，
AB?平面
?
，
∴
AB?OE
．
同理可证：
AC?OF
．
又∵
PO?
?
，
PE?PF
，
OE?OF
，
∴
?BAO??CAO
．
说明：本题是一个较为典型的题目，与此题类似的有下面命题：从一个角的顶点引这个

- 19 -

v1.0 可编辑可修改
角所在平面的斜射线，使斜 射线和这个角两边的夹角相等，则斜射线在平面内的射影，是这
个角的平分线所在的直线．由此结论和上 一个例题很容易求解下面这道题：已知

?ACB?90?
，
S
为平 面
ACB
外一点，
?SCA??SCB?60?
，求
SC
与 平面
ACB
所成角．
典型例题十五


例15 判断题：正确的在括号内打“√”号，不正确的打“×”号．
(1)一条直线和一个平面平行，它就和这个平面内的任何直线平行．（ ）
(2)如果一条直线垂直于平面内的无数条直线，那么这条直线和这个平面垂直．（ ）
(3)垂直于三角形两边的直线必垂直于第三边．（ ）
(4)过点
A
垂 直于直线
a
的所有直线都在过点
A
垂直于
?
的平面内．（ ）
(5)如果三条共点直线两两垂直，那么其中一条直线垂直于另两条直线确定的平
面．（ ）
解：(1)直线与平面平行，则直线与平面内的直线的位置关系不外乎有两种①平行 ②异
面，因此应打“×”号
(2)该命题的关键是这无数条直线具有怎样的位置关系．①若为 平行，则该命题应打“×”
号；若为相交，则该命题应打“√”，正是因为这两种情况可能同时具备，因 此，不说明面内
无这数条线的位置关系，则该命题应打“×”号．
(3)垂直于三角形两边的 直线必垂直于三角形所在的平面，由线面垂直定义的逆用，则该
直线必垂直于三角形的第三边，∴该命题 应打“√”．
(4)前面介绍了两个命题，①过一点有且只有一个平面与已知直线垂直，②过一点有且 只
有一条直线与已知平面垂直，根据第一个命题知：过点
A
垂直于直线
a的平面惟一，因此，
过点
A
且与直线
a
垂直的直线都在过点A
且与直线
a
垂直的平面内，∴该命题应打“√”号．
(5)三条共点 直线两两垂直，设为
a
，
b
，
c
且
a
，< br>b
，
c
共点于
O
，
∵
a?b
，< br>a?c
，
b?c?0
，且
b
，
c
确定一平面 ，设为
?
，则
a?
?
，
同理可知
b
垂直 于由
a
，
c
确定的平面，
c
垂直于由了确定的平面，
∴该命题应打“√”号．
说明：本题是利用直线和平面垂直的定义及判定定理等知识来解答的问题．解答此类问

- 20 -

v1.0 可编辑可修改
题必须作到：概念清楚、问题理解透彻、相关知识能灵活运用．

典型例题十六


例16 如图，已知空间四边形
ABCD
的边
BC?AC
，
AD?BD
，引
BE?CD
，
E
为
垂足，作
AH?BE
于
H
，求证：
AH?平面B CD
．

分析：若证
AH?平面BCD
，只须利用直线和平面垂直 的判定定理，证
AH
垂直平面
BCD
中两条相交直线即可．
证明： 取
AB
中点
F
，连
CF
、
DF
，
∵
AC?BC
，∴
CF?AB
．
又∵
AD?BD
，∴
DF?AB
，∴
AB?平面CDF
，
又
CD?平面CDF
，∴
CD?AB

又
CD?B E
，∴
CD?平面ABE
，
CD?AH
，
又
AH?BE
，∴
AH?平面BCD
．
典型例题十七


例17 如果平面
?
与
?
外一条直线
a
都垂直
b
，那么
a
?
．
已知：直线
a?
?
，
a?直线b
，
b?
?
．求证：
a
?
．
分析：若证线面平行，只须设法在平面
?
内找到一条直线
a
，使得
aa
，由线面平行
判定定理得证．
证明：(1)如图，若
a
与
b
相交，则由
a
、
b
确定平面
?
，设
?
?
?
?a
．

'
''
- 21 -

v1.0 可编辑可修改

'
?
?
aa
∵b?
?
?
?
?''
?b?a?又a?
?
???
?a
?
．
'
a?
?
?
?
a?
?
a,b,a
'
?
?
?
?
?
b?a
(2)如图，若
a
与< br>b
不相交，
''
则在
a
上任取一点
A
，过
A
作
bb
，
a
、
b
确定平面
?< br>，设
?
?
?
?a
．
'

'
?
∵b
'
b
?
b?
?
?
?
''
'
?
?b?a
aa
?
?
?
?
'< br>b?
?
?
又a?
?
?
?
?
?
'
?又a?
?
??
?a
?
．
''
∵b b
?
b?a
?
a?
?
?
?
?
?< br>?
b?a
?
又b
'
,a
'
,a?
?
?
典型例题十八


例18 如图，已知在
?ABC
中，
?BAC?60?
，线段
AD?平面ABC
，
AH?平面DB C
，
H
为垂足．
求证：
H
不可能是
?DBC
的垂心．

分析：根据本题所证结论，可采用反证法予以证明．

- 22 -

v1.0 可编辑可修改
证明：如图所示，假设
H
是
?DBC
的垂心，则
BH?DC
．
∵
AH?平面DBC
，∴
DC?AH
，
∴
DC?平面ABH
，∴
AB?DC
．
又∵
DA?平面ABC
，∴
AB?DA
，
∴
AB?平面DAC
，
∴
AB?AC
，这与已知
?BAC?60?
矛盾，
∴假设不成立，故
H
不可能是
?DBC
的垂心．
说明：本题只要满足
?BAC?90?
，此题的结论总成立．不妨给予证明．
典型例题十九


例19 在空间，下列哪些命题是正确的（ ）．
①平行于同一条直线的两条直线互相平行
②垂直于同一条直线的两条直线互相平行
③平行于同一个平面的两条直线互相平行
④垂直于不一个平面的两条直线互相平行
A．仅②不正确 B．仅①、④正确
C．仅①正确 D．四个命题都正确 < br>分析：①该命题就是平行公理，即课本中的公理4，因此该命题是正确的；②如图，直线
a
?
平面
?
，
b?
?
，
c?
?
， 且
b?c?A
，则
a?b
，
a?c
，即平面
?内两条直交直线
b
，
c
都垂直于同一条直线
a
，但b
，
c
的位置关系并不是平行．另外，
b
，
c
的位置关系也可以是
异面，如果把直线
b
平移到平面
?
外，此时与< br>a
的位置关系仍是垂直，但此时，
b
，
c
的位置
关系 是异面．

③如图，在正方体
ABCD?A
1
B
1
C
1
D
1
中，易知
A
1
B
1
平 面ABCD
，
A
1
D
1
平面ABCD
，

- 23 -

v1.0 可编辑可修改
但
A
1< br>B
1
?A
1
D
1
?A
1
，因此该命 题是错误的．

④该命题是线面垂直的性质定理，因此是正确的．
综上可知①、④正确．
∴应选B．
典型例题二十


例20 设
a
，
b
为异面直线，
AB
为它们的公垂线
(1 )若
a
，
b
都平行于平面
?
，则
AB?
?
；
(2)若
a
，
b
分别垂直于平面
?
、
?
，且
?
?
?
?c
，则
ABc
．
分析：依据直线和平面垂直的判定定理证明
AB?
?
；证明线与线的平行，由 于此时垂直
的关系较多，因此可以考虑利用线面垂直的性质证明
ABc
．

图１ 图２

证明：(1)如图1，在
?
内 任取一点
P
，设直线
a
与点
P
确定的平面与平面
?
的交线为
a
，
设直线
b
与点
P
确定的平 面与平面
?
的交线为
b

∵
a
?
，
b
?
，∴
aa
，
bb

又∵
AB?a< br>，
AB?b
，∴
AB?a
，
AB?b
，
∴
AB?
?
．
(2)如图2，过
B
作
B B?
?
，则
BBa
，
''
''
''
'
'

- 24 -

v1.0 可编辑可修改
则
AB?BB
'

又∵
AB?b
，∴
AB
垂直于由
b
和
BB
'
确定的平面．
∵
b?
?
，∴
b?c
，
BB?
?
，∴
BB?c
．
∴
c
也垂直于由
BB
'
和
b
确定的平面．
故
cAB
．
说明：由第(2)问的证明可以看出：利用线面垂直的性质证明 线与线的平行，其关键是构
造出平面，使所证线皆与该平面垂直．如题中，通过作出辅助线
BB
'
，构造出平面，即由相
交直线
b
与
BB
'
确定的平面．然后借助于题目中的其他垂直关系证得．
''
典型例题二十一


例21 如图，在正方体
ABCD?A
1
B
1
C
1
D
1
中，
EF
为异面直线
A
1
D
与
AC
的公垂线，求
证：
EFBD
1
．

分析：证明
EFBD
1
，构造与
EF
、
BD
1
都垂直的平面是关键．由于
EF
是
AC
和
A
1
D
的公垂线，这一条件对构造线面垂直十分有用．
证明：连结
A
1
C
1
，由于
ACA
1
C
1
，< br>EF?AC
，
∴
EF?A
1
C
1
． 又
EF?A
1
D
，
A
1
D?A
1C
1
?A
1
，
∴
EF?平面A
1
C
1
D
． ①
∵
BB
1
?平面A
1
B
1
C
1
D
1
，
A
1
C
1
?平面A
1
B1
C
1
D
1
，
∴
BB
1
?A
1
C
1
．

- 25 -

v1.0 可编辑可修改
∵四边形
A
1
B
1
C
1
D
1
为正方形，
∴
A
1
C
1
?B
1
D
1
，
B1
D
1
?BB
1
?B
1
，
∴
A
1
C
1
?平面BB
1
D
1
D
，
而
BD
1
?平面BB
1
D
1
D
，∴
A
1
C
1
?BD
1
．
同理
DC
1
?BD
1
，
DC
1
?A
1
C
1
?C
1
，
∴
BD
1
?平面A
1
C
1
D
． ②
由①、②可知：
EFBD
1
．
典型例题二十二


例22 如图，已知
P
为
?ABC
外一点，
PA
、
PB
、
PC
两两垂直，
PA?PB?PC?a
，
求
P
点到平面
ABC
的距离．

分析：欲求点到平面的距离，可先过点作平面的垂线，进一步求出垂线段的长．
解：过
P
作
PO?平面ABC
于
O
点，连
AO
、
BO
、
CO
，
∴
PO?AO
，
PO?BO
，
PO?CO

∵
PA?PB?PC?a
，
∴
?PAO
≌
?PBO
≌
?PCO
，
∴
OA?OB?OC
，
∴
O
为
?ABC
的外心．
∵
PA
、
PB
、
PC
两两垂直，
∴
AB?BC?CA?2a
，
?ABC
为正三角形，
∴
AO?

363
AB?a
，∴
PO?PA
2
?AO
2
?a
．
333
- 26 -

v1.0 可编辑可修改
因此点
P
到平面
ABC
的距离
3
a
． < br>3
说明：(1)求点到平面距离的基本程序是：首先找到或作出要求的距离；然后使所求距离在某一个三角形中；最后在三角形中根据三角形的边角关系求出距离．
(2)求距离问题转化到解 三角形有关问题后，在三角形中求距离常常用到勾股定理、正弦
定理、余弦定理及有关三角函数知识．
(3)点到平面距离是立体几何中一个重要内容，高考命题中出现较多，应充分注意，除了
上面 提到方法之外，还有其他一些方法，比如以后学习的等积法，希望同学们在学习过程不
断总结．

典型例题二十三


例23 如图，已知在长方体
ABC D?A
1
B
1
C
1
D
1
中，棱
A A
1
?5
，
AB?12
，求直线
B
1
C< br>1
和平面
A
1
BCD
1
的距离．

分析：求线面距离，其基本方法是在线上选一点，作出点面距，距离然后根据求点面距
的有关方法求解 ．
解：如图，∵
B
1
C
1
BC
，且
B< br>1
C
1
?平面A
1
BCD
1
，
BC ?平面A
1
BCD
1
，
∴
B
1
C
1
平面A
1
BCD
1
．
从而点
B
1< br>到平面
A
1
BCD
1
的距离即为所求．
过点
B
1
作
B
1
E?A
1
B
于
E< br>，
∵
BC?平面A
1
ABB
1
，且
B1
E?平面AA
1
B
1
B
，
∴
BC?B
1
E
．
又
BC
?
A
1
B?B
，

- 27 -

v1.0 可编辑可修改
∴
B
1
E?平面A
1
BCD
1
．
即线段
B
1
E
的长即为所求，
在
Rt?A
1
B
1
B
中，
B
1
E?
A
1< br>B
1
?BB
1
5?1260
??
，
22< br>A
1
B13
5?12
∴直线
B
1
C
1
到平面
A
1
BCD
1
的距离为
60
．
13
说明：本题考查长方体的性质，线面距离的概念等基础知识以及计算能力和转化的数学思想，解答本题的关键是把线面距离转化为点面距离，进而转化为点线距离，再通过解三角
形求解， 这种转化的思想非常重要，数学解题的过程就是将复杂转化为简单，将未知转化为
已知，从而求解．
典型例题二十四


例24
AD
、
BC
分别为两条异面直线上的两条线段，已知这两条异面直线所成的角为
30?
，
AD?8 cm
，
AB?BC
，
DC?BC
．求线段
BC
的长 ．
分析：首先依据题意，画出图形，利用平移，将异面直线
AD
、
BC所成的角、垂直关系
转化到某一个或某几个平面内，应用平面几何有关知识计算出
BC之长．

解：如图，在平面
?
内，过
A
作
A EBC
，过
C
作
CEAB
，两线交于
E
．
∵
AEBC
，
∴
?DAE
就是
AD
、
BC
所成的角，
?DAE?30?
．
∵
AB?BC
，
∴四边形
ABCE
是矩形．连
DE
，
∵
BC?CD
，
BC?CE
，且
CD?CE?C
，
∴
BC?平面CDE
．

- 28 -

v1.0 可编辑可修改
∵
AEBC
，∴
AE?平 面CDE
．∵
DE?平面CDE
，∴
AE?DE
．
在Rt?AED
中，得
AE?43
，∴
BC?AE?43(cm)
．
说明：解决空间问题，常常将空间关系转化一个或几个平面上来，只有将空间问题归化
到平 面上来，才能应用平面几何知识解题，而平移变换是转化的重要手段．





- 29 -

v1.0 可编辑可修改
典型例题一

32
例1 解不等式：（1）
2x?x?15x?0
；（2）
(x?4)(x?5)(2?x)?0
．
23
分析：如果 多项式
f(x)
可分解为
n
个一次式的积，则一元高次不等式
f(x )?0
（或
f(x)?0
）可用
“穿根法”求解，但要注意处理好有重根的情 况．
解：（1）原不等式可化为
x(2x?5)(x?3)?0

把方程
x(2x?5)(x?3)?0
的三个根
x
1
?0,x
2< br>??,x
3
?3
顺次标上数轴．然后从右上开始画线顺
次经过三个根， 其解集如下图的阴影部分．
5
2

∴原不等式解集为
?
x?
（2）原不等式等价于
?
?
5
?
?x?0或x?3
?

2
?
(x?4)(x?5)
2
(x?2)
3
?0

?
x??5
?
x?5?0
?
?
?
?
?(x?4)(x?2)?0
?
x??4或x?2
∴原不等式解集为
xx? ?5或?5?x??4或x?2

说明：用“穿根法”解不等式时应注意：①各一次项中
x
的系数必为正；②对于偶次或奇次重根可转
化为不含重根的不等式，也可直接用“穿根法” ，但注意“奇穿偶不穿”，其法如下图．
??

典型例题二

例2 解下列分式不等式：
x
2
?4x?1
32
?1

?1?
（1）； （2）
2
3x?7x?2
x?2x?2

30

v1.0 可编辑可修改
分析：当分式不等式化为
f(x)
?0(或?0)
时，要注意它的等价变形
g(x)
①
f(x)
?0?f(x)?g(x)?0

g( x)
?
f(x)?g(x)?0
f(x)f(x)
②
?0?
?
或?0?f(x)?0或f(x)?g(x)?0

g(x)?0
g(x)g(x)
?

（1）解：原不等式等价于 < br>3x3x
????0
x?2x?2x?2x?2
3(x?2)?x(x?2)? x
2
?5x?6
??0??0
(x?2)(x?2)(x?2)(x?2)< br>?
?
(x?6)(x?1)(x?2)(x?2)?0
(x?6)(x?1)< br>?0?
?
(x?2)(x?2)
?
(x?2)(x?2)?0

用“穿根法”
∴原不等式解集为
(??,?2)?
?
?1,2?
?
?
6,??
?
。
2x
2
?3x?1
?0
（2）解法一：原不等式等价于
2
3x?7x?2
?(2x
2
?3x?1)(3x
2
?7x ?2)?0
22
?
?
2x?3x?1?0
?
?
2x ?3x?1?0
?
?
2
或
?
2

?
?
3x?7x?2?0
?
?
3x?7x?2?0
11
?x ?或?x?1或x?2
32
11
∴原不等式解集为
(??,)?(,1)?( 2,??)
。
32

解法二：原不等式等价于
(2x?1)(x?1)
?0

(3x?1)(x?2)
?(2x?1)(x?1)(3x?1)?(x?2)?0

用“穿根法”

31

v1.0 可编辑可修改
∴原不等式解集为
(??,)?(,1)?(2,??)

1
3
1
2
典型例题三


例3 解不等式
x
2
?4?x?2

分析：解此题的关键是去绝对值符号， 而去绝对值符号有两种方法：一是根据绝对值的意义
?
a(a?0)

a?< br>?
?
?a(a?0)
二是根据绝对值的性质：
x?a??a?x?a, x.a?x?a
或
x??a
，因此本题有如下两种解法．
22
??
?
x?4?0
?
x?4?0
或
?
解法一：原不等式
?
?

22
?
?
x?4?x?2
?
?
4?x?x?2
即
?
?
x?2或x??2
?
? 2?x?2

或
?
?2?x?xx??2或x?1
??
∴< br>2?x?3
或
1?x?2

故原不等式的解集为
x1?x?3
．
解法二：原不等式等价于
?(x?2)?x?4?x?2

2
?
?
?2?x?3?
x?4?x?2
故1?x?3
． 即
?
∴
?
2
x?1或x??2
?
?
?
x?4??(x?2)
2??

典型例题四


x
2
?6x?5
?0
． 例4 解不等式
12?4x?x< br>2
分析：这是一个分式不等式，其左边是两个关于
x
二次式的商，由商的符号法 则，它等价于下列两个
不等式组：
22
??
?
x?6x?5?0< br>?
x?6x?5?0
或
?

?
22
???
12?4x?x?0
?
12?4x?x?0
所以，原不等式的解集是上 面两个不等式级的解集的并集．也可用数轴标根法求解．
解法一：原不等式等价下面两个不等式级的并集：

32

v1.0 可编辑可修改
22
??
,
?
x ?6x?5?0　
?
x?6x?5?0,
或
?

?
22
??
?
12?4x?x?0
?
12?4x?x?0
?< br>(x?1)(x?5)?0,
?
(x?1)(x?5)?0,
?
?或
?

(x?2)(x?6)?0;(x?2)(x?6)?0;
??< br>?
x?1,或x?5,
?
1?x?5,
或
?

?
?
；
x??2,或x?6
?2?x?6
?
?
? 1?x?5,
或
x??2
或
x?6
．
∴原不等式解集是
{xx??2，或1?x?5，或x?6}
．
解法二：原不等式化为
(x?1)(x?5)
?0
．
(x?2)(x?6)
画数轴，找因式根，分区间，定符号．
(x?1)(x?5)
符号
(x?2)(x?6)

∴原不等式解集是
{xx??2，或1?x?5，或x?6}
．
说明：解法 一要注意求两个等价不等式组的解集是求每组两个不等式的交集，再求两组的解的并集，
否则会产生误解 ．
解法二中，“定符号”是关键．当每个因式
x
的系数为正值时，最右边区间一定是 正值，其他各区间正负相
间；也可以先决定含０的区间符号，其他各区间正负相间．在解题时要正确运用 ．
典型例题五


x
2
?2x?2
?x
． 例5 解不等式
3?2x?x2
分析：不等式左右两边都是含有
x
的代数式，必须先把它们移到一边，使另一边 为0再解．
(x?2)(x
2
?x?1)
?0
． 解：移项整理，将原不等式化为
(x?3)(x?1)

33

v1.0 可编辑可修改
由
x
2
?x?1?0恒成立，知原不等式等价于
(x?2)
?0
．
(x?3)(x?1)< br>解之，得原不等式的解集为
{x?1?x?2或x?3}
．
说明：此题易出现 去分母得
x
2
?2x?2?x(3?2x?x
2
)
的错误解 法．避免误解的方法是移项使一边为
０再解．
另外，在解题过程中，对出现的二项式要注意其 是否有实根，以便分析不等式是否有解，从而使求解过程
科学合理．
典型例题六


例6 设
m?R
，解关于
x
的不等式
m
2
x
2
?2mx?3?0
．
分析：进行分类讨论求解．
解：当
m?0
时，因
?3?0
一定成立，故原不等式的解集为
R．
当
m?0
时，原不等式化为
(mx?3)(mx?1)?0
；
31
?x?
；
mm
13
当
m?0
时，解得
?x??
．
mm
当
m?0
时，解得
?
?
31
?
∴当< br>m?0
时，原不等式的解集为
?
x??x?
?
；
mm
??
?
13
?
?x??
?
． 当m?0
时，原不等式的解集为
?
x
m
??
m
说 明：解不等式时，由于
m?R
，因此不能完全按一元二次不等式的解法求解．因为当
m ?0
时，原
不等式化为
?3?0
，此时不等式的解集为
R
， 所以解题时应分
m?0
与
m?0
两种情况来讨论．
3
13 1
，
x
2
?
后，认为
??
，这也是易出现的错误之 处．这
m
m
mm
3131
时也应分情况来讨论：当
m?0< br>时，
??
；当
m?0
时，
??
．
mmmm
在解出
m
2
x
2
?2mx?3?0
的两根 为
x
1
??
典型例题七


例7 解关于
x
的不等式
2ax?a
2
?1?x(a?0)
．

34

v1.0 可编辑可修改
分析：先按无理不等式的解法化为两个不等式组，然后分类讨论求解．
?
2ax?a
2
?0,
?
2x?a
2
?0,
?
解：原不 等式
?(1)
?
1?x?0,
或
(2)
?

?
?
1?x?0.
22
2ax?a?(1?x);
?
a< br>?
x?,
?
a
2
?
?
?
x?,由
a?0
，得：
(1)?
?
x?1,

(2)?
?
2

?
?
22
?
x? 1.
x?2(a?1)x?a?1?0;
?
?
由判别式
??4(a? 1)
2
?4(a
2
?1)?8a?0
，故不等式
x
2
?2(a?1)x?a
2
?1?0
的解是
a?1?2a?x?a? 1?2a
．
当
0?a?2
时，
组(2)的解是
x?1
．
当< br>a?2
时，不等式组(1)无解，(2)的解是
x?
a
?a?1?2a ?1
，
a?1?2a?1
，不等式组(1)的解是
a?1?2a?x?1，不等式
2
a
．
2
综上可知，当
0?a?2
时，原不等式的解集是
a?1?2a,??
；当
a?2
时，原不等式的解集是
?
?
?
a
?
,??
?
．
?2
??
说明：本题分类讨论标准“
0?a?2
，
a?2
”是依据“已知
a?0
及(1)中‘
x?
‘
x?
a
，
x?1
’，(2)中
2
a
，
x?1
’”确定的． 解含有参数的不等式是不等式问题中的难点，也是近几年高考的热点．一般
2
地，分类讨论标准 （解不等式）大多数情况下依“不等式组中的各不等式的解所对应的区间的端点”去确
定．
本 题易误把原不等式等价于不等式
2ax?a
2
?(1?x)
．纠正错误的办法 是熟练掌握无理不等式基本类型的
解法．
典型例题八


例8 解不等式
4x
2
?10x?3?3
．
分析：先去掉绝对值号，再找它的等价组并求各不等式的解，然后取它们的交集即可．
解答：去掉绝对值号得
?3?4x
2
?10x?3?3
，

35

v1.0 可编辑可修改
∴原不等式等价于不等式组
22
?
?
?3?4x?10x?3
?
?
4x?10x?0
?
?
2
?

?
2
??
?
4x?10x?3?3
?
4x?10x?6?0
5
?
x?0或x?,
?
?
2x(2x?5)?0
?
2

?
??
?
2(x?3)(2x?1)?0
?
?
1
?x?3.
?
?
2
??
15
∴原不等式的解集为
?
x??x ?0或?x?3
?
．
22
??
说明：解含绝对值的不等式，关键是 要把它化为不含绝对值的不等式，然后把不等式等价转化为不等
式组，变成求不等式组的解．
典型例题九


例9 解关于
x
的不等式
x
2
?(a?a
2
)x?a
3
?0
．
分析：不等 式中含有字母
a
，故需分类讨论．但解题思路与一般的一元二次不等式的解法完全一样：
求出方程
x
2
?(a?a
2
)x?a
3
?0的根，然后写出不等式的解，但由于方程的根含有字母
a
，故需比较两根
的大小， 从而引出讨论．
解：原不等式可化为
(x?a)(x?a
2
)?0
．
(1 )当
a?a
2
（即
a?1
或
a?0
）时，不等式的 解集为：
?
x
?
x
?
x
x?a或x?a
2
；
?
?
(2)当
a?a
2
（即
0?a ?1
）时，不等式的解集为：
x?a
2
或x?a
；
(3)当
a?a
2
（即
a?0
或1）时，不等式的解集为：
x?R且x?a
?
．
说明：对参数进行的讨论，是根据解题的需要而自然引 出的，并非一开始就对参数加以分类、讨论．比
如本题，为求不等式的解，需先求出方程的根
x
1
?a
，
x
2
?a
2
，因此不等式的解就 是
x
小于小根或
x
大于
大根．但
a
与
a< br>2
两根的大小不能确定，因此需要讨论
a?a
2
，
a?a2
，
a?a
2
三种情况．

36

v1.0 可编辑可修改
典型例题十


例10 已知不等式
ax?bx?c?0
的解集是
x
解集．
分析：按照一元 二次不等式的一般解法，先确定系数
c
的正负，然后求出方程
cx
2
?bx?a?0
的两根
即可解之．
解：(解法1)由题可判断出
?
，
?
是方程
ax
2
?bx?c?0
的两根，
∴< br>?????
2
?
?
?x?
?
?
(
?
?0)
．求不等式
cx
2
?bx?a?0
的
bc< br>，
????
．
aa
又
ax
2
?bx?c? 0
的解集是
?
x??x??
?
，说明
a?0
．
c
?0?c?0
，
a
ba
∴
cx
2?bx?a?0?x
2
?x??0
．
cc
而
??0< br>，
??0
????0?
?
?
?
11
?
b
b
?
?????,
?
?
?
??
?c
?
????
??
a

?
??
??
?
?
?
c
?
c
?
1
?(?
1
)(?
1
),
?
?
a
??
?< br>?
a
??
1111
ba
x??0
，即
x2
?(??)x?(?)(?)?0
，
????
cc
11
即
(x?)(x?)?0
．
??
11
又
0????
，∴
?
，
??< br>∴
x
2
?
∴
(x?
?
11
11?
)(x?)?0
的解集为
?
x?x?
?
．
??
??
??
(解法2)由题意可判断出
?
，
?
是 方程
ax
2
?bx?c?0
的两根，
∴
????
c
．
a
又
ax
2
? bx?c?0
的解集是
?
x??x??
?
，说明
a?0．
而
??0
，
??0
????0?
c
?0? c?0
．
a
对方程
cx
2
?bx?a?0
两边同 除以
x
2
得

37

v1.0 可编辑可修改
11
a?()
2
?b?()?c?0
．
xx
1
令
t?
，该方程即为
x
at
2< br>?bt?c?0
，它的两根为
t
1
??
，
t
2
??
，
∴
1
11
1
??
，
? ?
．∴
x
1
?
，
x
2
?
， ?
x
1
x
2
?
∴方程
cx
2
?bx?a?0
的两根为
∵
0????
，∴
1
1
， ．
?
?
11
?
．
??
∴不等式
cx< br>2
?bx?a?0
的解集是
?
x
?
?
11< br>?
?x?
?
．
??
?
说明：(1)万变不离其宗， 解不等式的核心即是确定首项系数的正负，求出相应的方程的根；(2)结合使用
韦达定理，本题中只有
?
，
?
是已知量，故所求不等式解集也用
?
，
?< br>表示，不等式系数
a
，
b
，
c
的关
系也用< br>?
，
?
表示出来；(3)注意解法2中用“变换”的方法求方程的根．
典型例题十二


例12 若不等式
x?ax?b
1的解为
?
(??，)?(1，??)
，求
a
、
b
的值．
3
x
2
?x?1x
2
?x?1
分析：不 等式本身比较复杂，要先对不等式进行同解变形，再根据解集列出关于
a
、
b
式子．
解：∵
x
2
?x?1?(x?)
2
?
13
?0
，
24
13
x
2
?x?1?(x?)
2
??0
，
24
∴原不等式化为
(2?a?b)x
2< br>?(a?b)x?a?b?0
．
?
?
2?a?b?0
?1
?
a?b
?
， 依题意
?
?
2?a?b3< br>4
?
a?b
?
?
?
2?a?b3
5
?
a?
?
?
2
． ∴
?
?
b?
3
?
2
?

38

v1.0 可编辑可修改
说明：解有关一元二次方程的不等式，要注意判断二次项系数的符号，结合韦达定理来解．
典型例题十三


例13 不等式
ax
2
?bx? 2?0
的解集为
?
x?1?x?2
?
，求
a
与b
的值．
分析：此题为一元二次不等式逆向思维题，要使解集为
?
x? 1?x?2
?
，不等式
ax
2
?bx?2?0
需满
足条件
a?0
，
??0
，
ax
2
?bx?2?0< br>的两根为
x
1
??1
，
x
2
?2
．
解法一：设
ax
2
?bx?2?0
的两根为
x
1< br>，
x
2
，由韦达定理得：
b
??
b
x?x ?????1?2
2
??
?
1
?
aa
由题意：
?

?
22
?
x?x??
?
?? ?1?2
12
??
a
??
a
∴
a?1
，< br>b??1
，此时满足
a?0
，
??b
2
?4a?(? 2)?0
．
解法二：构造解集为
?
x?1?x?2
?
的一元二次不等式：

(x?1)(x?2)?0
，即
x
2
?x?2?0
，此不等式与原不等式
ax
2
?bx?2?0
应为同解不等式，故需满足：
ab?2
∴
a?1
，
b??1
．
??
1?1?2
说明：本题考查一元二次方程、一元二次不等式解集的关系，同时还考查逆向思维的能力． 对有关字
母抽象问题，同学往往掌握得不好．

典型例题十四


例14 解关于
x
的不等式
ax
2
?(a?1)x?1?0
．
分析：本题考查一元一次不等式与一元二次不等式的解法，因为含有字母系数，所以还考查分类思想．
解：分以下情况讨论
(1)当
a?0
时，原不等式变为：
?x?1 ?0
，∴
x?1

(2)当
a?0
时，原不等式变为：
(ax?1)(x?1)?0
①
1
a
1
②当
a?0
时，①式变为
(x?)(x ?1)?0
． ②
a

39
①当
a?0
时， ①式变为
(x?)(x?1)?0
，∴不等式的解为
x?1
或
x?< br>1
．
a

v1.0 可编辑可修改
∵
为11?a11
1
，∴当
0?a?1
时，
?1
，此时②的 解为
1?x?
．当
a?1
时，
?1
，此时②的解
? 1?
aaaa
a
1
?x?1
．
a
说明：解本题要 注意分类讨论思想的运用，关键是要找到分类的标准，就本题来说有三级分类：
?
a?0?
?
a?0
?
?
?
a?R
?
?
0?a?1

?
a?0
??
?
a?0
?
a?1
?
?
?
a?1
?
?
?
?
?
分类应做到使所给参数
a
的集合的并集为全集，交集为空集，要做到不重不漏．另外， 解本题还要注意在
讨论
a?0
时，解一元二次不等式
ax
2
?(a?1)x?1?0
应首选做到将二次项系数变为正数再求解．
典型例题十五


例15 解不等式
x
2
?3x?10?8?x
．
分析：无理不等式转化为有理不等式，要注意平方的条件和根式有意义的条件，一般情况下，
f(x) ?g(x)
可转化为
f(x)?g(x)
或
f(x)?g(x)
，而
f(x)?g(x)
等价于：
?
f(x)?0
?
f(x) ?0
?
或
?
g(x)?0
．
?
g(x)?0?
?
f(x)?[g(x)]
2
?
解：原不等式等价于下面两个 不等式组：
?
8?x?0
8?x?0
?
?
①
?< br>2
②
?
x
2
?3x?10?0

x? 3x?10?0
?
2
?
2
?
x?3x?10?(8?x)< br>?
x?8
由①得
?
，∴
x?8

x?5或x ??2
?
?
?
x?8
?
74
由②得∴
?< br>x?5或x??2

?x?8
，
13
?
74
?
x?
?
13.
74
?
74
?
???x?8或x?8
?
，即为
?
xx?
所以原不等式的解集为?
x
?
．
1313
????

40

v1.0 可编辑可修改
说明：本题也可以转化为
f(x)?g(x)
型的不等式求解，注意：
?
f(x)?0
?
，
f(x)?g(x)?
?
g (x)?0
?
2
?
f(x)?[g(x)]
2
?
这 里，设全集
U?{xx
2
?3x?10?0}?{xx??2或x?5}
，< br>A?
?
?
xx?3x?10?8?x
?
，
??
则所求不等式的解集为
A
的补集
A
，
?8?x?0
?
74
?x??2
或
5?x?
由
x
2
?3x?10?8?x?
?
x
2
?3x?10?0
．
13
?
22
?
x?3x?10?(8?x)
?
74
?
即
A?
?
xx?2或5?x?
?
，∴原不 等式的解集是
13
??




?
74
?
A?
?
xx?
?
．
13
??

41

v1.0 可编辑可修改
典型例题一

例1 比较
x?3
与
3x
的大小，其中
x?R
．
解：
(x?3)?3x

2
3
?x
2
?3x?3
，
33
?[x< br>2
?3x?()
2
]?()
2
?3
，
22
33
?(x?)
2
?
，
24
3
??0
，
4
∴
x?3?3x
．
说明：由例1可以看出实数比较大小的依据是：①
a?b?0?a?b
；
②
a?b?0?a?b
；③
a?b?0?a?b
．
2
典型例题二

例2 比较
x?1
与
x?x
的大小，其中
x?R

解：
(x?1)?(x?x)

642
642
?x
6
?x
4
?x
2
?1
，
?x
4
(x
2
?1)?(x
2
?1)
，
?(x
2
?1)(x
4
?1)
，
?(x
2
?1)(x
2
?1)(x
2
?1)
，
?(x
2
?1)
2
(x
2
?1)
，
∴ 当
x??1
时，
x?1?x?x
；
当
x??1
时，
x?1?x?x.

说明：两个实数比较大 小，通常用作差法来进行，其一般步骤是：第一步：作差；第二步：变形，常
采用配方，因式分解等恒等 变形手段；第三步：定号，贵州省是能确定是大于0，还是等于0，还是小于0．最

642
642
42

v1.0 可编辑可修改
后得结论．概括为“三步，—结论”，这里的“变形”一步最为关键．
典型例题三


x1
?1)
与
(x?)
（
x
2
?x?1
）的大小．
22
x1
2
2
分析：直接作差需要将
(x?1)(x??1)
与
(x?)
（
x?x?1
）展开， 过程复杂，式子冗长，可否
22
例3
x?R
，比较
(x?1)(x ?
2
考虑根据两个式子特点，予以变形，再作差．
xx
?1)
=< br>(x?1)
（
x
2
?x??1
）
22
x
?(x?1)(x
2
?x?1)?(x?1)
， < br>2
11
(x?)(x
2
?x?1)?(x?1?)(x
2?x?1)

22
1
?(x?1)(x
2
?x?1)? (x
2
?x?1)
，
2
x1
22
∴
(x?1)(x??1)?(x?)(x?x?1)

22
111
?(x
2
?x?1)?x(x?1)??0
．
222
x1
2
2
则有
x?R
时，
(x?1 )(x??1)
?
(x?)
（
x?x?1
）恒成立．
22
解：∵
(x?1)(x?
2
说明：有的确问题直接作差不容易判断其符号，这 时可根据两式的特点考虑先变形，到比较易于判断
符号时，再作差，予以比较，如此例就是先变形后，再 作差．
典型例题四


例4 设
x?R
，比较
1
与
1?x
的大小．
1?x
1x
2
?(1?x)?
解：作差，
1?x1?x
x
2
?0
， 1）当
x?0
时，即
1?x
∴
1
?1?x
；
1?x
x
2
?0
， 2）当
1?x?0
，即
x??1
时，
1?x

43

v1.0 可编辑可修改
∴
1
?1?x
；
1?x
x
2
?0
， 3）当
1?x?0
但
x?0
，即
?1?x?0
或
x?0
时，
1?x
∴< br>1
?1?x
．
1?x
说明：如本题作差，变形，变形到最简形式时， 由于式中含有字母，不能定号，必须对字母根据式子
具体特点分类讨论才能定号．此时要注意分类合理恰 当．
典型例题五


例5 比较
18
与
16
的大小
分析：两个数是幂的形式，比较大小一般采用作商法。
16
18
18
16
18
16
19
16
1
16
9
16< br>?()()?()
解：
18
?()
2
168
161 6
282
?
9
82
9
16
?()＜1,

82
?
16
18
＞0,?18
16
＜16
18
.
说明：求商法比大小的变形要围绕与1比大小进行．
?(0,1)
典型例题六


例6 设
a＞0,b＞0，且
a?b
，比较：
a?b
与
ab
的大小。
分析：比较大小一般方法是求差法或求商法，利用不等式的性质进行变形，然后确定大小。
a bba
a
a
b
b
a
a?bb?a
?()
a ?b
解：
ba
?ab
b
ab
当
a＞b＞0
时，
＞1,a?b＞0
，
?()
a
b
a
b
a?b
＞1

＞1
当
b＞a＞0
时，
0＜＜1 ,a?b＜0?()
a
b
a
b
a?b
a
a
b
b
a
a?b
?()＞1
即
ba
＞1
，
ab
b

44

v1.0 可编辑可修改
又
?ab＞0
，
?ab＞ab

说明：求商法的基本步骤是：①求商，②变形，③与1比大小从而确定两个数的大小.
baaaba
典型例题七


例7 实数
a、b、c、d< br>满足条件：①
a?b,c?d
；②
?
a?c
??
b? c
?
?0
；③
?
a?d
??
b?d
??0
，则有
( )
A．
a?c?d?b
B．
c?a?b?d

C．
a?c?b?d
D．
c?a?d?b

（天津市2001年南开中学期末试题）
分析：先由 条件②③分析出
a、b
与
c、d
的关系，根据条件利用①用数轴数形结合比出 大小．
解：∵
?
a?c
??
b?c
?
?0
，∴
a、b
与
c
同侧
∵
?
a?d
??
b?d
?
?0
，∴
a、b
与
d
异侧
∵
a?b,c?d

∴把
a、b、c、d
标在数轴上，只有下面一种情况

由此得出
c?a?d?b
，∴此题选D．
说明：比较大小时可以借助于数轴 ，利用推出的一些结论在数轴上标出它们的相对位置，这样容易看
出几个数之间的大小关系，尤其是比较 的个数较多时适用．
典型例题八


例8 已知①
?1?a?b? 1
；②
1?a?b?3
，求：
3a?b
的取值范围．
分析 ：此题是给代数式的字母的范围，求另外代数式的范围．分为两步来进行：(1)利用待定系数法
将代数 式
3a?b
用
a?b
和
a?b
表示．(2)利用不等式性质 及题目条件确定
3a?b
的范围．
解：设：
3a?b?x(a?b)?y(a?b)?(x?y)a?(x?y)b

?
x?y?3
?
?
?
x?y??1

?
x?1

?
?
?
y?2
45

v1.0 可编辑可修改
由①+②×2得：
?1?2?(a?b)?2(a?b)?1?3?2

即
：
1?3a?b?7
．
说明：此题的一种典型错误做法，如下：
??1?a?b?1,1?a?b?3,
?0?2a?4
，即：
0?a?2< br>
??1?a?b?1,?3?b?a??1

??4?2b?0
即
：
?2?b?0

?0?3a?6,0??b?2,

?0?3a?b?8
此解法的错误原因是 因为
a
与
b
是两个相互联系，相互制约的量，而不是各自独立的，当
a?b
取到
最大值或最小值时，
a?b
不一定能取到最值，所以用以上方法可 能扩大变量的范围．
避免出错的方法是通过待定系数法“整体代入”，见解题过程．

典型例题九


例9 判断下列各命题的真假，并说明理由．
（1）若
ac?bc
，则
a?b.

22
11
?.

ab
cc
（3）若
a?b,c?0
，则
?.
ab
（2）若
a?b
，则
（4）若
a?b,c?d
，则
a?c?b?d.

（5）若
a?b?0,a?c
，则
a?bc.

（6）若
a?b,m?N
?
，则
a?b.

分析：利用不等式的性质来判断命题的真假．
mm
2
1
?
?0
?
222
解：（1）
ac?bc?c?0?
c
2
?
?a?b
，是真命题．
ac
2
?bc
2
?
?

46

v1.0 可编辑可修改
（2）可用赋值法：
a?3,b??2，有
也可这样说明：
11
?
，是假命题．
ab
11b?a
，
??
abab
1111
?的符号确定不了，所以
?
无法得到，实际上有：
abab
∵
a?b
，只能确定
b?a?0
，
但
ab
的符号无法确定，从而
11
?.

ab
11
a?b,ab?0??.

ab
a?b,ab?0 ?
11
?
?
?
cc
cc
（3）与（2）类似，由< br>a?b?
?
ab
?
??
，从而
a?b?
?< br>?
是假命题．
ab
ab
c?0
?
?
（4） 取特殊值：
a?5,b?1,c?2,d??3.

有
a?c?b?d
，∴ 是假命题．
定理3的推论是同向不等式可相加，但 同向不等式相减不一定成立．只有异向不等式可相减，即
a?b,c?d?a?c?b?d.

?
a?b?0
?
2
?
?a?ab
?
a?0
??
2
（5）
?
a?bc
， ∴是真命题．
a? c
?
?
?
ab?bc
?
b?0
?
?
（6）定理4成立的条件为必须是正数．
举反例：
a?3,b??4,m?2
， 则有
a
m
?b
m
.

说明：在利用不等式的性质解 题时，一定要注意性质定理成立的条件．要说明一个命题是假命题可通
过举反例．
典型例题十

例10 求证：
a?b,
11
??a?0,b?0.

ab
分析：把已知的大小关系转化为差数的正负，再利用不等式的性质完成推理．
证明：利用不等式的性质，得

47

v1.0 可编辑可修改
a?b?a?b?0
?
?
1111a?b
?
?ab?0

????0??0
?
abbaab
?
a,b异 号
?
?
?a?0,b?0.

a?b
?
典型例题十一

例11 若
a?b,c?d
，则下面不等式中成立的一个是（ ）
（A）
a?d?b?c
（B）
ac?bd

（C）
ab
?
（D）
d?a?c?b
< br>cd
解：由不等式的性质知：（A）、（B）、（C）成立的条件都不充分，所以选（D），其实 （D） 正是异向
不等式相减的结果．
a?b??a??b
?
?
?d?a?c?b.

c?d?d ?c
?
说明：本的解法都是不等式性质的基本应用，对于不等式的基本性质要逐条掌握准确，以 便灵活应用．
典型例题十二

例12 若
?1?????1
，则下面各式中恒成立的是（ ）．
（A）
?2?????0
（B）
?2??????1

（C）
?1?????0
（D）
?1?????1

分析 本题考查是否能正确使用不等式的性质来进行变形，应看到，已知条件中含有两个内容，即
?1???1
，
?1???1
和
???
，根据不等式的性质，可得
?1????1
，
????0
，继而得到
?2?????2
且
????0
，故
?2?????0
，因此选A．
典型例题十三


例13 若
a?b?c
，则一定成立的不等式是（ ）

48

v1.0 可编辑可修改
A．
ac?bc
B．
ab?ac
C．
a?c?b?c
D．
分析：A错，当
a?b,
以也不对．
111
??
< br>abc
c?0
时有
ac?bc
；同样B错；D没有考虑各数取零和正负 号的关系，所
故选C，因为不等式两边同时加上一个任意数（此题是
?c
），原不等式 成立．
说明：这类题可以采用特例法：令
c?0
即得C成立．
典型例题十四


例14 已知：
a＞b，e＞f，c?0
，求证：
f?ac＜e?bc
．
分 析：要证明的式子中，左右均为二项差，其中都有一项是两字母积的形式，因此在证明时，对两项
积要注 意性质的使用，对两项差的证明要注意使用同向加性或异向减性来处理．
证明：
?a＞b，c＞0，?ac＞bc，

??ac＜?bc．
又
f＜e，
∴由同向加性可得：
f?ac＜e?bc
．
说明：此题还 可采用异向减性来处理：
f＜e，ac＞bc，
做这类题过程并不复杂，
?f?ac＜ e?bc．
关键是记准性质，并能正确地应用．
典型例题十五


例15已知集合
I?R，A?x|x?5x?14＜０，B?x|x|?y?2,y?A,
求：
A?B
．
分析：要求
A?B
，需要先求集合
A
和
B
，从已知来看，
A
的范围容易求，
B
的元素由
y ?A
可以
推算，但在推算过程中，要注意运用不等式的性质．
解：
?x?5x?14?0且I?R,

2
?
2
?
??
??2?x?7.

?A? xx
2
?5x?14?0?
?
x?2?x?7
?
.

?y?A,??2?y?7.

??4?y?2?5.?|x|?y?2,

??4?|x|?5,?|x|?5.


49
??

v1.0 可编辑可修改
??5?x?5.

?B?
?
x?5?x?5
?
.

?A?B?{x?2?x?5}.

说明：本题中的条件
I?R
，意 在明确集合
A
中的元素为
R
，若去掉此条件，会出现不确定的情况．比
如，
?2?x?7
的实数和
?2?x?7
的整数显然是有区别的．另外，这 里集合
B
的元素是通过集合
A
的
元素求出的，解题时，一定要看清．


典型例题十六


例16 设
a
和< br>b
都是非零实数，求不等式
a?b
和
11
?
同时成立 的充要条件．
ab
分析：本题是求两个不等式同时成立的充要条件，因此，这两个不等式不能 分开来讨论．如果分开讨
论，则
a?b
成立的条件就是
a?b
本身； 而
是
11
?
成立的条件则是
a
与
b
同号， 且
a?b
，但这个条件只
ab
11
?
的一个充分条件，并且 与第一个不等式
a?b
是矛盾的．所以必须研究这两个不等式同时成立的
ab
1111
?
同时成立的必要条件，即当
a?b
，
?
同时成立 时，
a
与
b
应具备什么条
abab
条件．显然，应该从求它 们同时成立的必要条件入手．
解：先求
a?b
，
件．
?
a?b,
?
a?b?0,
??
由
?
11
，得
?
b?a

??0.
??
?
ab
?
ab
由
a?b?0
可知
b?a?0
，再由
与
b?a?0
知
ab?0
，即
a
与
b
异号，因此
a?0?b
是不等式
a?b
ab
11
?
同时成立的必要条 件．
ab
11
再求
a?b
，
?
同时成立的充分条件．
ab
事实上，当
a?0?b
时，必有
a?b
，且
1 111
?0,?0
，因而
?
成立．从而
a?0?b
是不等式
abab
a?b
，
11
?
同时成立的充分条件．
ab
11
因此，两个不等式
a?b
，
?
同时成立的充要条件 是
a?0?b
．
ab
50

v1.0 可编辑可修改
1111
?
同时成立，其充要条件是
a
为正数，b
为负数．这与
?
成
abab
11
立的条件
a b?0
，
b?a
不要混淆．解本题是从必要条件入手的，即若
a?b
，
?
同时成立，则要研
ab
11
究从不等式
?
和< br>a?b
看
a
与
b
的大小有什么关系，从中得出结论（
a?0?b
），再把这个结论作为
ab
11
一个充分条件去验证
a? b
及
?
能否同时成立．从而解决了本题．
ab
说明：本题结果表明，
a?b
与
典型例题十七


例17 已知函数
f(x)?ax?c
满足：
?4?f(1)?? 1,?1?f(2)?5.
则
f(3)
应满足（ ）
（A）
?7?f(3)?26
（B）
?4?f(3)?15

（C）
?1?f(3)?20
（D）
?
2
2835
?f(3)?

33
分析：如 果能用
f(1)
与
f(2)
将
f(3)
“线性”表示出：< br>f(3)?mf(1)?nf(2)
，就可利用不等式的基
本性质，由
f(1)
、
f(2)
的取值范围，推出
f(3)
满足的条件．
解：∵
f(1)?a?c,f(2)?4a?c,

∴
a?[f(2)?f(1)],c?[f(2)?4f(1)]

故
f(3)?9a?c?3[f(2)?f(1)]?[f(2)?4f(1)]


?
1
3
1
3
1
3
85f(2)?f(1)

33
由不等式的基本性质，得
5520
?
??f(1)?
?
333
?
?
??1?f(3)?20.

8840
?
?1?f(2)?5???f(2)?
3330
?
?
?4?f(1)??1?
故选（C）.
说明：（1）也可设
f(3)?mf(1)?nf(2)
，由代定系数法求得
m??
（2）下面的错误是值 得引以为戒的∵
f(1)?a?c,f(2)?4a?c,

58
，
n?
．
33

?4?f(1)??1??4?a?c??1?c?a?4
?
?

?1?f(2)?5??1?4a?c?5
?
51

v1.0 可编辑可修改
?0?3a?9?0?a?3
?
?
?1?c?7

1?c?a?4
?
又
f(3)?9a?c.

0?a?3?0?9a?27,
?
∴
?
??7?f(3)?26.

1?c?7??c??1
?
故选（A）
上述推理错误产生的原因是由于将条件
?
?4?f(1)??1
?
0?a?3
化为
?
使
a
、
c
的取值范围扩
?
?1?f(2)?51?c?7
??
大所致．事实上，作为点集

与
N?(a,c)0?a?3,1?1?7
之间的关系是
M?
?
N
，如图点集N是图中乱世形OABD所围成的区
域，点集M是由平行四边形MNBP所围成的区 域，这样就直观地表现了
M?

?
N
，揭示了上述解法的错误．
??

52