高中数学选修2-2综合试题

综合测试题
一、选择题（60分）
1．(2010·全国Ⅱ理，1)复数< br>?
?
3－i
?
2
＝( )
?
?
1＋i
?
D．3＋4i A．－3－4i B．－3＋4i C．3－4i
3
2曲线
y?x
在点
(1,1)
处的切线与
x
轴、直线
x?2
所围成的三 角形的面积为（ ）
（A）
8754
（B） （C） （D）
3333
3、已知直线
y?kx
是
y?lnx
的切线，则
k
的值为（ ）
（A）
1122
（B）
?
（C） （D）
?

eeee
4. 已知
a?1?7,b?3?5,c?4
则a，b，c的大小关系为（ ）
A．a>b>c B．c>a>b C．c>b>a D．b>c>a
5. 有一段“三段论”推理是这样的：
对于可导函数
f(x )
，如果
f
?
(x
0
)?0
，那么
x?x
0
是函数
f(x)
的极值点，因为函
数
f(x)?x
3
在
x?0
处的导数值
f
?
(0)?0
，所以，
x?0
是函数
f(x)?x
3
的极值点.
以上推理中（ ）
A．大前提错误 B． 小前提错误 C．推理形式错误 D．结论正确
6. .在复平面内, 复数1 + i与
1?3
i分别对应向量
OA
和
OB
, 其中
O
为坐标原点,则
AB
=
（ ） A.
2
B.
2
C.
10
D.
4

x
2
7、函数
f(x)?
（ ）
x?1
A．在
(0,2)
上单调递减 B．在
(??,0)
和
(2,??)
上单调递增
C．在
(0,2)
上单调递增 D．在
(??,0)
和
(2,??)
上单调递减
*
n?k (k?N)
时该命题成立，那么可推得当
n?
k?1
时8.某个命题与正整数 有关，若当
该命题也成立，现已知当
n?5
时该命题不成立，那么可推得( )
(A)当
n?6
时，该命题不成立 (B)当
n?6
时，该命题成立
(C)当
n?4
时，该命题成立 (D)当
n?4
时，该命题不成立
9、用数学归纳法证明不等式“
1111 3
?????(n?2)
”时的过程中，由
n?k
n?1n?22n24到
n?k?1
时，不等式的左边（ ）
（A）增加了一项
111
?
（B）增加了两项 < br>2(k?1)2k?12(k?1)

（C）增加了两项
11
1< br>?
，又减少了；
2k?12(k?1)
k?1
1
1
，又减少了一项；
2(k?1)
k?1
（D）增加了一项
10．已知f(x)＝x3
＋x，若a，b，c∈R，且a＋b>0，a＋c>0，b＋c>0，则f(a)＋f(b)＋f (c)的
值( )
A．一定大于0 B．一定等于0 C．一定小于0 D．正负都有可能
3
11．若点P在曲线y＝x
3
－3x
2
＋(3－3)x＋上移动，经过点P的切线的倾斜角为α，则角α
4
的取值范围是( )
ππ2π2πππ2π
A．[0，) B．[0，)∪[，π) C．[，π) D．[0，)∪(，]
2233223
12．(2010·江西理，5)等比数列{a
n
}中a
1
＝2，a
8
＝4，函数f(x)＝x(x－a
1
)(x－a
2
)…·(x－a
8
)，
则f′(0)＝( )
691215
A．2 B．2 C．2 D．2
二、填空题（20分）
13、函数
f(x)?x?3x?1
在闭区间
[?3,0]
上的最大值与最小值分别为：
14.由曲线
y?x
与
x?y
所围成的曲边形的面积为______ __________
15．(2010·福建文，16)观察下列等式：
①cos2α＝2cos
2
α－1；
②cos4α＝8cos
4
α－8cos
2
α＋1；
③c os6α＝32cos
6
α－48cos
4
α＋18cos
2
α－1；
④cos8α＝128cos
8
α－256cos
6
α ＋160cos
4
α－32cos
2
α＋1；
⑤cos10α＝m cos
10
α－1280cos
8
α＋1120cos
6
α ＋ncos
4
α＋pcos
2
α－1.
可以推测，
m
－
n
＋
p
＝________.
22
3
a
??
－∞，
16.
函数g(x)＝ax ＋2(1－a)x－3ax在区间
?
内单调递减，则a的取值范
3
?
??
围是________．

32
三、解答题（共6题，70分）
17．（10分）设函数f(x)＝－ax
2
＋1＋x＋a，x∈(0,1]，a∈R
*
.
(1)若f(x)在(0,1]上是增函数，求a的取值范围；
(2)求
f
(
x
)在(0,1]上的最大值．
19、(1 2分)如图，在四棱锥
O?ABCD
中，底面
ABCD
四边长为1的菱形，< br>?ABC?
?
4
,
OA?底面ABCD
,
OA? 2
,
M
为
OA
的中点，
N
为
BC
的中点
（Ⅰ）证明：直线
MN
‖
平面OCD
；
O

（Ⅱ）求异面直线AB与MD所成角的大小；
（Ⅲ）求点B到平面OCD的距离。



M
A
B
NC
D

20.

（12分）某商品每件成本9元，售价30元，每星期卖出432件，如果降 低价格，销售
量可以增加，且每星期多卖出的商品件数与商品单价的降低值x （单位：元，0≤x≤30 ）
的平方成正比。已知商品单价降低2元时，一星期多卖出24件。
（1）将一个星期的商品销售利润表示成x 的函数；
（2）如何定价才能使一个星期的商品销售利润最大？

21.（12分）、已知二 次函数
f(x)?ax?bx?3
在
x?1
处取得极值，且在
(0, ?3)
点处的切
线与直线
2x?y?0
平行． (1）求
f(x )
的解析式；(2）求函数
g(x)?xf(x)?4x
的
单调递增区间及极 值。（3）求函数
g(x)?xf(x)?4x
在
x?
?
0,2?
的最值。


21、（14分）、设函数
f(x)?x?a (x?1)ln(x?1),(x??1,a?0)
.
（1）求
f(x)
的单调区间；
（2）当
a?1
时，若方程
f(x)?t
在
[?
n
2
1
,1]
上有两个实数 解，求实数t的取值范围；
2
m
（3）证明：当m>n>0时，
(1?m)?(1?n)
. < br>22（14分）、数列{
a
n
}的通项
a
n
?(?1 )
a
1
= 1＝1
a
1
+a
2
= 1－4＝－3＝－（1＋2）
a
1
+a
2
+a
3
= 1－4＋9＝6＝＋（1＋2＋3）
……
试写出求数列{
a
n
}的前n项和
S
n
的公式，并用数学归纳法证明。
n?1
?n
2
，观察以下规律：

高中数学选修2-2复习题答案
一、选择题（每题5分）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 B C C C D A B B
二、填空题（每空5分）
9.
1?
1112 n?1
1
*
1?i
??
L
??
(
n
∈N
) ；10. ； 11. ；

222
23(n?1)n?1
3
444
12. 1＋a＋a
2
； 13.
(－∞，－1]
； 14.
C
12
C
8
C
4

a
13、【解析】 ∵g(x)在区间－∞，内单调递减，
3
a
－∞，
?
上的函数值非正， ∴g′(x)＝3ax
2
＋4(1－a)x－3a在
?
3
??
2?a－1?a
?a
3
4
?
由于a<0，对称轴x＝>0，故只需g′
?
3
?
＝＋a(1－a)－3a≤0，注意到a<0，
3a33
∴a
2
＋4(1－a)－9≥0，得a≤－1或a≥5(舍去)．
故所求
a
的取值范围是(－∞，－1]．

三、解答题
15.解：（1）当
m?9m?18
＝0即m＝3或m＝6时，z为实数； …………………………3分
当
m?8m?15?0
，
m?9m?18?0< br>即m＝5时，z为纯虚数.…………………………6分
22
2
?
m< br>2
?8m?15?0
?
3?m?5
（2）当
?
2即
?
即3?
m?9m?18?0
?
3?m?6
16.
解：记一星期 多卖商品
kx
2
件，若记商品在一个星期的获利为
f(x)
，
则
f(x)?(30?x?9)(432?kx
2
)?(21?x)(432?kx
2
)

又有条件可知
24?k?2
2
解得
k?6
所以
f (x)??6x
3
?126x
2
?432x?9072,x?
?0,30
?

（2）由（1）得
f

(x)??18x< br>2
?252x?432??18(x?2)(x?12)

所以
f(x)
在（0，2）递减（2，12）递增（12，30）递减

所以
x?12
时
f(x)
取极大值，又
f(0)?907 2,f(12)?11664
所以定价
30-12=18（元）能使一个星期的商品销售利润最 大。
17、(1)由,可得.
由题设可得
解得,.所以
即
.
,

(2)由题意得
所以.令,得,.








427





0


所以函数的单调递增区间为,.在有极小值为0。
在有极大值427。
的最大值为2，最小值为0。 （3）由
g(0)?0,g(2)?2
及（2），所以 函数
18、解：（Ⅰ）由
A
表示事件“购买该商品的3位顾客中至少有1位采用1期付 款”．
知
A
表示事件“购买该商品的3位顾客中无人采用1期付款”
P( A)?(1?0.4)
2
?0.216
，
P(A)?1?P(A)?1?0. 216?0.784
．
（Ⅱ）
?
的可能取值为
200
元，
250
元，
300
元．
P(
?
?200)?P(
?
?1)?0.4
，
P(
?
?250)?P(
?< br>?2)?P(
?
?3)?0.2?0.2?0.4
，
P(
?
?300)?1?P(
?
?200)?P(
?
?250)?1?0. 4?0.4?0.2
．
?
的分布列为

?

P

200

0.4

250

0.4

300

0.2

．
E
?
?200?0.4?250?0.4?300?0.2
?240
（元）
1 9、

20、解：通过观察，猜想
S
n
= a
1
+a
2
+a
3
+……+a
n
＝(-1)
n+1（1＋2＋3+……+n）=
(?1)
分
下面用数学归纳法给予证明：
n?1
（1）当n＝1时，S
1
= a
1
＝1，而
(?1)?
n?1
?
n(n?1)
…………4
2
n(n?1)1(1?1)
?(?1)
2
?1

22
∴当n＝1时，猜想成立 ……………………………………6分
（2）假设当n=k(k≥1，
k?N
)时，猜想成立，
k?1
即S
k
=
(?1)?
*
k(k?1)
………………………………7分
2

那么S
k
＋
1
=S
k
＋a
k+1
=
(?1)
k?1
?
k(k?1)
(k?1)?1
?(k?1)
2
……………9分 ＋
(?1)
2
k?2
?
=
(?1)
(k?1)
[(?1)
?1
k?2(k?1)]
………………………11分
2
(k?1)(k?1)[(k?1)?1]
(k?1)?1k?2
=
(?1)?
2
(k?2)?(?1)
这就是说当n=k+1时，猜想也成立.
根据(1)(2)可知，对任意
n?N
*
猜想都成立。

?
2
……12分
………………………13分
……………………14分