高中数学平面向量习题及答案

第二章 平面向量
一、选择题
1．在△ABC中，AB＝AC，D，E分别是AB，AC的中点，则( )．
A．
AB
与
AC
共线
C．
AD
与
AE
相等
2．下列命题正确的是( )．
A．向量
AB
与
BA
是两平行向量
B．若a，b都是单位向量，则a＝b
C．若
AB
＝
DC
，则A，B，C，D四点构成平行四边形
D．两向量相等的充要条件是它们的始点、终点相同
3．平面直角坐标系中，O为坐标原点， 已知两点A(3，1)，B(－1，3)，若点C满足
OC
＝
??
OA
＋
??
OB
，其中
?
，
?
∈R，且
?
＋
?
＝1，则点C的轨迹方程为( )．
A．3x＋2y－11＝0
C．2x－y＝0








B．(x－1)
2
＋(y－1)
2
＝5

D．x＋2y－5＝0


B．
DE
与
CB
共线
D．
AD
与
BD
相等
(第1题)


4．已知a、b是非零向量且满足(a－2b)⊥a，(b－2a)⊥b，则a与b的夹角是( )．
A．
?

6
B．
?

3
C．
2?

3
D．
5?
< br>6
5．已知四边形ABCD是菱形，点P在对角线AC上(不包括端点A，C)，则
AP
＝( )．
A．λ(
AB
＋
AD
)，λ∈(0，1)
C．λ(
AB
－
AD
)，λ∈(0，1)




B．λ(
AB
＋
BC
)，λ∈(0，
D．λ(
AB
－
BC
)，λ∈(0，
2
)
2
2
)
2
6．△ABC中，D，E，F分别是AB，BC，AC的中点，则
DF
＝( )．
A．
EF
＋
ED










B．
EF
－
DE

D．
EF
＋
AF
C．
EF
＋
AD

7．若平面向量a与b的夹角为60°， |b|＝4，(a＋2b)·(a－3b)＝－72，则向量a的
模为( )．
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A．2 B．4 C．6 D．12
8．点O是三角形ABC所在平面内的一点，满足
OA
·
OB＝
OB
·
OC
＝
OC
·
OA
，
则点O是△ABC的( )．
A．三个内角的角平分线的交点
C．三条中线的交点




B．三条边的垂直平分线的交点
D．三条高的交点
9．在四边形ABCD中，AB
＝a＋2b，
BC
＝－4a－b，
CD
＝－5a－3b，其 中a，b不
共线，则四边形ABCD为( )．
A．平行四边形 B．矩形 C．梯形 D．菱形
10．如图，梯形ABCD中，|
AD
|＝|
B C
|，
EF
∥
AB
∥
CD
则相等向量是( )．
A．
AD
与
BC

C．
AC
与
BD

二、填空题


B．
OA
与
OB

D．
EO
与
OF

(第10题)

11． 已知向量
OA
＝(
k
，12)，
OB
＝(4，5)，
OC
＝(－
k
，10)，且A，B，C三点共线，
则
k
＝ ．
12．已知向量a＝(x＋3，x
2
－3x－4)与
MN
相等， 其中M(－1，3)，N(1，3)，则x
＝ ．
13．已知平面上三点A ，B，C满足|
AB
|＝3，|
BC
|＝4，|
CA
|＝5 ，则
AB
·
BC
＋
BC
·
CA
＋
CA
·
AB
的值等于 ．
14．给定两个向量a＝( 3，4)，b＝(2，－1)，且(a＋mb)⊥(a－b)，则实数m等
于 ．
15．已知A，B，C三点不共线，O是△ABC内的一点，若
OA
＋
O B
＋
OC
＝0，则O
是△ABC的 ．
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16．设平面内有四边形ABCD和点O，
OA
＝a，
OB
＝b，
OC
＝c,
OD
＝d，若a＋c
＝b＋d，则四边形ABCD的形状是 ．
三、解答题
17．已知点A(2，3)，B(5，4)，C(7，10)，若点P满足
AP
＝
AB
＋λ
AC
(λ∈R)，试
求 λ为何值时，点P在第三象限内？








18．如图，已知△ABC，A(7，8)，B(3，5)，C(4，3)，M，N，D分别 是AB，AC，
BC的中点，且MN与AD交于F，求
DF
．







(第18题)

第 3 页 共 9 页

19．如图，在正方形ABCD中，E，F分别为A B，BC的中点，求证：AF⊥DE(利用向
量证明)．









20．已知向量a＝(cos θ，sin θ)，向量b＝(
3
，－1)，则|2a－b|的最大值．
(第19题)

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参考答案
一、选择题
1．B
解析：如图，
AB
与
AC
，
AD
与
AE
不平行，
AD
与
BD
共线反< br>向．
2．A
(第1题)

解析：两个单位向量可能方向不同，故B 不对．若
AB
＝
DC
，可能A，B，C，D四点
共线，故C不对．两 向量相等的充要条件是大小相等，方向相同，故D也不对．
3．D
解析：提示：设
OC
＝(x，y)，
OA
＝(3，1)，
OB
＝(－1，3)，??
OA
＝(3
?
，
?
)，
??
OB
＝(－
?
，3
?
)，又
?
OA
＋
??
OB
＝(3
?
－
?
，
?
＋3
?
)，
∴ (x，y)＝(3
?
－
?
，
?
＋3
?
)，∴
?
4．B
解析：∵(a－2b)⊥a，(b－2a)⊥b，
∴(a－2b)·a＝a
2
－2a·b＝0，(b－2a)·b＝b
2
－2a·b＝0，
∴ a
2< br>＝b
2
，即|a|＝|b|．∴|a|
2
＝2|a||b|cos θ＝2|a|
2
cosθ．解得cos θ＝
∴ a与b的夹角是
5．A < br>解析：由平行四边形法则，
AB
＋
AD
＝
AC
，又< br>AB
＋
BC
＝
AC
，由 λ的范围和向量
数乘的长度，λ∈(0，1)．
6．D
解析：如图，∵
AF
＝
DE
，
∴
DF
＝
DE
＋
EF
＝
EF
＋
AF
．

(第6题)
?
x＝3
?
－
?
，又
?
＋
?
＝1，由此得到答案为D．
y＝
?
＋3
?
?
1
．
2
π
．
3
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7．C
解析：由(a＋2b)·(a－3b)＝－72，得a
2
－a·b－6b
2
＝－72．
而|b|＝4，a·b＝|a||b|cos 60°＝2|a|，
∴ |a|
2
－2|a|－96＝－72，解得|a|＝6．
8．D
解析：由
OA
·
OB
＝
OB
·
OC
＝
OC
·
OA
，得
OA
·
O B
＝
OC
·
OA
,
即
OA
·(
OC
－
OB
)＝0，
故BC
·
OA
＝0，
BC
⊥
OA
，同理可证AC
⊥
OB
，
∴ O是△ABC的三条高的交点．
9．C
解析：∵
AD
＝
AB
＋
BC
＋
CD
＝－8a－2b＝2
BC
，∴
AD
∥
BC
且|
A D
|≠|
BC
|．
∴ 四边形ABCD为梯形．
10．D 解析：
AD
与
BC
，
AC
与
BD
，< br>OA
与
OB
方向都不相同，不是相等向量．
二、填空题
11．－
2
．
3
解析：A，B，C三点共线等价于
AB
，
BC
共线， < br>?
AB
＝
OB
－
OA
＝(4，5)－(
k< br>，12)＝(4－
k
，－7)，
BC
＝
OC
－OB
＝(－
k
，10)－(4，5)＝(－
k
－4，5)，
又 A，B，C三点共线，
∴ 5(4－
k
)＝－7(－
k
－4)，∴
k
＝－
12．－1．
解析：∵ M(－1，3)，N(1，3)，
∴
MN
＝(2，0)，又a＝
MN
，
2
．
3
?
x＋3＝2
?
x＝－1
∴
?
2
解得
?

x＝－1或x＝4
?
?
x－3x－4＝0
第 6 页 共 9 页

∴ x＝－1．
13．－25．
解析：思路1：∵
AB
＝3，
BC
＝4，
CA
＝5，
∴ △ABC 为直角三角形且∠ABC＝90°，即
AB
⊥
BC
，∴
AB
·
BC
＝0，
∴
AB
·
BC
＋
BC< br>·
CA
＋
CA
·
AB

＝
BC
·
CA
＋
CA
·
AB

＝
CA
·(
BC
＋
AB
)
＝－(
CA
)
2
＝－
CA

＝－25．
思路2：∵
AB
＝3，
BC
＝4，
CA
＝5，∴∠ABC＝90°，
BC
34
∴ cos∠CAB＝＝，cos∠BCA＝＝．
55
C A
CA
2
AB
根据数积定义，结合图(右图)知
AB
·BC
＝0，
BC
·
CA
＝
BC
·
C A
cos∠ACE＝4×5×(－
4
)＝－16，
5
3
)＝－9．
5
CA
·
AB
＝
CA
·
AB
cos∠BAD＝3×5×(－
∴
AB
·< br>BC
＋
BC
·
CA
＋
CA
·
AB< br>＝0―16―9＝－25．
14．
D
(第13题)


23
．
3
解析：a＋mb＝(3＋2m，4－m)，a－b＝(1，5)．
∵ (a＋mb)⊥(a－b)，
∴ (a＋mb)·(a－b)＝(3＋2m)×1＋(4 －m)×5＝0
?
m＝
15．答案：重心．
解析：如图，以
OA< br>，
OC
为邻边作
□
AOCF交AC于
23
．
3
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(第15题)

点E，则
OF
＝
OA
＋
OC
，又
OA
＋
OC
＝－
OB
，
∴
OF
＝2
OE
＝－
OB
．O是△ABC的重心．
16．答案：平行四边形．
解析：∵ a＋c＝b＋d，∴ a－b＝d－c，∴
BA
＝
CD
．
∴ 四边形ABCD为平行四边形．
三、解答题
17．λ＜－1．
解析：设点P的 坐标为(x，y)，则
AP
＝(x，y)－(2，3)＝(x－2，y－3)．
AB
＋λ
AC
＝(5，4)－(2，3)＋λ［(7，10)－(2，3)］
＝(3，１)＋λ(5，7)
＝(3＋5λ，１＋7λ)．
∵
AP
＝
AB
＋λ
AC
，
∴ (x－2，y－3)＝(3＋5λ，1＋7λ)．
?
x?2?3?5
?
?
x?5?5
?
∴
?
即
?

y?3?1?7
?
y?4?7< br>?
?
?
?
5?5
?
?0
要使点P在第三象限 内，只需
?
解得

λ＜－1．
4?7
?
?0
?
18．
DF
＝(
7
，2)．
4
解析：∵ A(7，8)，B(3，5)，C(4，3)，
AB
＝(－4，－3)，
AC
＝(－3，－5)．
又 D是BC的中点，
∴
AD
＝
＝
(第18题)

11
(
AB
＋
AC
)＝(－4－3，－3－5)
22
17
(－7，－8)＝(－，－4)．
22
又 M，N分别是AB，AC的中点，
∴ F是AD的中点，
∴
DF
＝－< br>FD
＝－
1177
AD
＝－(－，－4)＝(，2)．
2224
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19．证明 ：设
AB
＝a，
AD
＝b，则
AF
＝a＋
∴ AF
·
ED
＝(a＋
11
b，
ED
＝b－a．
22
11113
b)·(b－a)＝b
2
－a
2
＋ a·b．
22224
又
AB
⊥
AD
，且
AB＝
AD
，∴ a
2
＝b
2
，a·b＝0．
∴
AF
·
ED
＝0，∴
AF
⊥
ED
．
本题也可以建平面直角坐标系后进行证明．
20．分析：思路1：2a－b＝(2cos θ－
3
，2sin θ＋1)，
∴ |2a－b|
2
＝(2cos θ－
3
)
2
＋(2sin θ＋1)
2
＝8＋4sin θ－4
3
cos θ．
又4sin θ－4
3
cos θ＝8(sin θcos
(第19题)

πππ
－cos θsin)＝8sin(θ－)，最大值为8，
333
∴ |2a－b|
2
的最大值为16，∴|2a－b|的最大值为4．
思路2：将向量2 a，b平移，使它们的起点与原点重合，则|2a－b|表示2a，b终点间
的距离．|2a|＝2，所 以2a的终点是以原点为圆心，2为半径的圆上的动点P，b的终点是
该圆上的一个定点Q，由圆的知识 可知，|PQ|的最大值为直径的长为4．

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