高中数学试卷(含答案)与答案

~
高中数学试题
一、选择题：本大题共12小题，每小题3分.在每小题给 出的四个选项中，只有一项是符
合题目要求的.
1、已知集合
A?{1,2,3,4 ,5}
,B?{(x,y)x?A,y?A,x?y?A}
；,则
B
中所含元 素的个
数为 （ ）

(A)
3

(B)
6

(C)
?

(D)
??

2、为了解某地区的中小学生视力情况，拟从该地区的中小学生 中抽取部分学生进行调查，
事先已了解到该地区小学.初中.高中三个学段学生的视力情况有较大差异， 而男女生视力
情况差异不大，在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是 （ ）
A.简单随机抽样 B.按性别分层抽样 C.按学段分层抽样 D.系统抽样
3、设函数
f(x)
，
g(x)
的定义域都为R，且
f(x)
是奇函数，
g(x)
是偶函数，则下列结论
中正确的是 （ ）
（A）
f(x)g(x)
是偶函数
（C）
|f(x)|g(x)
是奇函数




（B）
f(x)|g(x)|
是奇函数
（D）
|f(x)g(x)|
是奇函数
4、直线L过点P(－1,2)，且与以A( －2，－3)，B(4,0)为端点的线段相交，则L的斜率的
取值范围是 ( )
?
2
??
2
?
A.
?
－， 5
?
B.
?
－，0
?
∪(0,5]
?
5
??
5
?
2
???
2π
??
π
?
C.
?
－∞，－
?
∪[5，＋∞) D.
?
－，
?
∪
?
，5
?

5< br>???
52
??
2
?
a,a,...,a
n
，输出
A,B
，则5、如果执行右边的程序框图，输入正整数
N(N?2)
和 实数
12
（ ）
(A)
A?B
为
a
1
,a
2
,...,a
n
的和
A?B
(B)
2
为
a
1
,a
2
,...,a
n
的算术 平均数
(C)
A
和
B
分别是
a
1
,a< br>2
,...,a
n
中最大的数和最小的数
(D)
A
和
B
分别是
a
1
,a
2
,...,a
n< br>中最小的数和最大的数
6、设等差数列
?
a
n
?
的 前
n
项和为
S
n
,S
m?1
??2,S
m
?0,S
m?1
?3
，
则
m?
( )
A.3 B.4 C.5 D.6



~~~

~
7.若直线y=kx+1与圆x2+y2+k x+my-4=0交于M,N两点,且M,N关于直线x+2y=0对称,则实
数k+m= ( )
A.-1 B.1 C.0 D.2
8、某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 （ ）
A．
16?8
?
B．
8?8
?

C．
16?16
?
D．
8?16
?








（第8题） （第9题）

9、如图，有一个水平放置的 透明无盖的正方体容器，容器高8cm，将一个球放在容器口，
再向容器内注水，当球面恰好接触水面时 测得水深为6cm，如果不计容器的厚度，则球的体
积为 （ ）
500
?
866
?
1372
?
cm
3
cm
3
cm
3
2048
?
cm< br>3
A.
3
B.
3
C.
3
D.
3
10、如图的矩形长为5、宽为2，在矩形内随机地撒300颗黄豆，数得落在阴影部 分的黄豆
数为138颗，则我们可以估计出阴影部分的面积为( )

2323
A. B. C. 10
550
D．不能估计
?
?x
2
?2x,x?0
?
ln(x?1),x?0
11、已知函数
f(x)?
?
，若|
f(x)
|≥
ax
，则
a
的取值范围是（ ）
A．
(??,0]
B．
(??,1]
C．
[?2,1]
D．
[?2,0]

12、阅读下列一段材 料，然后解答问题：对于任意实数x，符号[x]表示“不超过x的最大
整数”，在数轴上，当x是整数 ，[x]就是x，当x不是整数时，[x]是点x左侧的第一个整
数点，这个函数叫做“取整函数”，也 叫高斯(Gauss)函数如[-2]=-2，[-1.5]=- 2，[2.5]=2,
则
[ log
2
11
]?[log
2
]+[log
2
1] +[log
2
3]+[log
2
4]
43
的值为 ( )
A、0 B、-2 C、-1 D、l
~~~

~
二．填空题：本大题共4小题，每小题4分。
（13）已知向量
a,b
夹角为
45
，且
?
a?1,2a?b?10
；则
b?_____

(14) 设
x,y
满足约束条件：
?
x,y?0
?
?x?y??1
?
x?y?3
?
；则
z?x?2y
的取值 范围为
（15）已知
A
，
B
，
C
为圆
O
上的三点，若
___________．
AO ?
1
(AB?AC)
2
，则
AB
与
AC
的 夹角为
（16）已知
a
，
b
，
c
分别为
? ABC
三个内角
A
，
B
，
C
的对边，
(2 ?b)(sinA?sinB)?(c?b)sinC
，且
a?2
，则
?AB C
面积的最大值为_____________．
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17． （本小题满分8分）高一 军训时，某同学射击一次，命中10环，9环，8环的概率分
别为0.13,0.28,0.31.
(1)求射击一次，命中10环或9环的概率；
(2)求射击一次，至少命中8环的概率；
(3)求射击一次，命中环数小于9环的概率．






















~~~

~
18、（本小题满分8分）已知
a,b,c
分别为< br>?ABC
三个内角
A,B,C
的对边，
acosC?3asinC?b ?c?0

（1）求
A
（2）若
a?2
，
?ABC
的面积为
3
；求
b,c
。






































~~~

~
19、（本小题满分8分）已知数列
其中
?
为常数．
（Ⅰ ）证明：
?
a
n
?
的前
n
项和为
S
n
，
a
1
?1
，
a
n
?0
，< br>a
n
a
n?1
?
?
S
n
?1
，
a
n?2
?a
n
?
?
；
（Ⅱ）是否存在
?
，使得




































?
a
n
?
为等差数列？并说明理由．
~~~

~
20、（本小题满分8分）定义在实数集R上的函数y= f（x）是偶函数，当x≥0时，
（fx）??4x
2
?8x?3
.
（Ⅰ）求f（x）在R上的表达式；

（Ⅱ）求y=f（x）的最大值，并写出f（x）在R上的单调递增区间（不必证明）.






































~~~

~
21、（本小题满分10分）已知圆C的圆心在直线y=x+1上,且过点A(1,3)与直线x+2y -7=0
相切.
(1)求圆C的方程.
(2)设直线l:ax-y-2=0(a>0)与圆C相交于A,B两点,求实数a的取值范围.








































~~~

~

22、（本小题满分10分）已知△
BCD
中，∠
BCD
=90°，
BC
=
CD
=1，
AB
⊥平面
BCD
，
∠
ADB
=60°，
E、F
分别是
AC、AD
上的动点，且
AEAF
??
?< br>(0?
?
?1).

ACAD
（Ⅰ）求证：不论λ为何值，总有平面
BEF
⊥平面
ABC
；
（Ⅱ）当λ为何值时，平面
BEF
⊥平面
ACD
？






































~~~
A
E
C
F
B
D

~
答案
一、选择题：DCBCC CBAAA DC
二．填空题：13.
32
14.
[?3,3]
15.
90?
16.
3

17．解 设事件“射击一次，命 中
i
环”为事件
A
i
(0≤
i
≤10，且
i
∈N)，且
A
i
两两互斥．由
题意知
P
(
A
10
)＝0.13，
P
(
A
9
)＝0.28，
P
(
A
8
)＝0.31.
(1)记“射击一次，命中10 环或9环”的事件为
A
，那么
P
(
A
)＝
P
(
A
10
)＋
P
(
A
9
)＝0.13＋ 0.28
＝0.41.
(2)记“射击一次，至少命中8环”的事件为
B
， 那么
P
(
B
)＝
P
(
A
10
)＋
P
(
A
9
)＋
P
(
A
8
)＝0.13＋
0.28＋0.31＝0.72.
(3)记“射击一次，命中环数小于9环” 的事件为
C
，则
C
与
A
是对立事件，∴
P
(
C
)＝1－
P
(
A
)
＝1－0.41＝0.59 .
18.（1）由正弦定理得：
acosC?3asinC?b?c?0?sinAco sC?3sinAsinC?sinB?sinC

?sinAcosC?3sinAsinC ?sin(a?C)?sinC
?3sinA?cosA?1?sin(A?30
?
) ?

?A?30?30?A?60
???
1
2

1
S?bcsinA?3?bc?4
2
（2）

a?b?c?2bccosA?b?c?4

解得：
b?c?2

19.解：（Ⅰ）由题设，
两式相减得
由于
222
a
n
a
n?1
?
?
S
n
?1
，
a
n?1
a
n?2
?
?
S
n?1
?1
．
a
n?1
(a
n?2
? a
n
)?
?
a
n?1
．
a
n?1
?0
，所以
a
n?1
?a
n
?
?
．
a
3
?
?
?1
． （Ⅱ）由（Ⅰ）知
令
故

2a
2
?a
1
?a
3
，解得
?
?4
．
a
n?2
?a
n
?4
，由此可得
?
a< br>2n?1
?
是首项为
1
，公差为4的等差数列，
a
2 n?1
?4n?3
；
~~~

~

?
a
2n
?
是首项为3，公差为4的等差数列，
a
2n
?4n?1
．
a
n
?2n?1
，
a
n?1?a
n
?2
． 所以
?
a
?
因此存在
?
?4
，使得
n
为等差数列．
20.解：（Ⅰ）设x＜0，则- x＞0，
22
f(?x)??4(?x)?8(?x)?3??4x?8x?3

∵f（x）是偶函数， ∴f（-x）=f（x）
2
f(x)??4x?8x?3
∴x＜0时，
2
?< br>?
?4x?8x?3,(x?0)
f(x)?
?
?
?4x2
?8x?3,(x?0)
?
∴
（2）
f
(x)=-4x
2
-8x-3=-4(x-1)
2
+1
f
(x)最大值是1
f
(x)单调增区间为（-∞，-1），（0,1）
21.【解析】(1)设圆心坐标为(a,a+1),则由题意得,
错误！未找到引用源。=错误！未找到引用源。,
解得:a=0,所以圆心坐标为(0,1) ,半径r=错误！未找到引用源。=错误！未找到引用源。,
所以圆C的方程为x2+(y-1)2=5 .
(2)把直线ax-y-2=0,即y=ax-2代入圆的方程,消去y整理,得(a2+1)x2 -6ax+4=0.由于直线
ax-y-2=0交圆C于A,B两点,
故Δ=36a2-16(a2+1)>0.
即5a2-4>0,由于a>0,解得a>错误！未找到引用源。.
所以实数a的取值范围是(错误！未找到引用源。,+∞).
22、证明：（Ⅰ）∵AB⊥平面BCD， ∴AB⊥CD，
∵CD⊥BC且AB∩BC=B， ∴CD⊥平面ABC.



又
?
AE
?
AF
?
?
(0?
?
?1),

ACAD
∴不论λ为何值，恒有E F∥CD，∴EF⊥平面ABC，EF
?
平面BEF,
∴不论λ为何值恒有平面BEF⊥平面ABC.
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，BE⊥EF，又平面BEF⊥平面ACD，
∴BE⊥平面ACD，∴BE⊥AC.
∵BC=CD=1，∠BCD=90°，∠ADB=60°，
∴
BD?2,AB?2tan60
?
?6,

7
AC7
2
?AC?AB
2
?BC
2
?7 ,
由AB=AE·AC 得
AE?
6
,?
?
?
AE
?
6
,

故当
?
?

6
时，平面BEF⊥平面ACD.
7
~~~