高中数学听不懂怎么办-贵阳高中数学会考卷

专题8:导数(文)
经典例题剖析
考点一:求导公式。
例1.
f
?
(x)
是
f(x)?
1
3<
br>x?2x?1
的导函数,则
f
?
(?1)
的值是
。
3
2
解析:
f
'
?
x
?
?
x?
2
,所以
f'
?
?1
?
?1?2?3
答案:3
考点二:导数的几何意义。
例2. 已知函数
y?f(x)
的图象在点
M(1,f(1))
处的切线方程是
y?
1
x?2
,则
2
f(1)?f
?
(1)?
。
解析:因为
k?
1
1
,所以
f'
?
1
?
?
,由切线过点
M(1,f(1))
,可得点M的纵坐标为2
2
5
5
,所以
f
?
1
?
?
,所以
f
?
1
?
?f'
?
1
?<
br>?3
2
2
答案:3
,?3)
处的切线方程是
。
例3.曲线
y?x?2x?4x?2
在点
(1
,?3)
处切线的斜率为
k?3?4?4??5
,所以设切
解析:
y
'
?
3
x?
4
x?
4
,
?
点
(1
2
32
线方程为
y??5x?b
,将点
(1
所以,
过曲线上点
(1,?3)
带入切线方程可得
b?2
,
,?3)
处的切线方程为:
5x?y?2?0
答案:
5x?y?2?0
点评:以上两小题均是对导数的几何意义的考查。
考点三:导数的几何意义的应用。 例4.已知曲线C:
y
?
x
?
3x
?
2x,直线
l:y?kx
,且直线
l
与曲线C相切于点
32
?
x
0
,y
0
?
x
0
?0
,求直
线
l
的方程及切点坐标。
解析:
?<
br>直线过原点,则
k?
y
0
?
x
0
?
0
?
。由点
?
x
0
,y
0
?
在曲
线C上,则
x
0
y
0
?x
0
?3x
0?2x
0
,
?
32
y
0
2
?x
0
?3x
0
?2
。又
y
'
?
3
x
2
?
6
x?
2
,
?
在x
0
2
?
x
0
,y
0
?
<
br>处曲线C的切线斜率为
k?f'
?
x
0
?
?3x0
?6x
0
?2
,
?
22
2x
0?3x
0
?0
,整理得:解得:
x
0
?
x0
?
3
x
0
?
2
?
3
x0
?
6
x
0
?
2
,
3
或x
0
?0
2
(舍),此时,
y
0
??
311
,
k??
。所以,直线
l
的方程为
y??x
,切点坐标是
844
?
33
?
?
,?
?
。
?
28
?
答案:直线
l
的方程为
y
??<
br>1
?
33
?
x
,切点坐标是
?
,?
?
4
?
28
?
点评:本小题考查导数几何意义的应用。
解决此类问题时应注意“切点既在曲线上又在
切线上”这个条件的应用。函数在某点可导是相应曲线上过
该点存在切线的充分条件,而不
是必要条件。
考点四:函数的单调性。
例5.已知
f
?
x
?
?ax?
3
x?x?
1
在R上是减函数,求
a
的取值范围。
32
解析:函数
f
?
x
?
的导数为
f
'
?
x
?
?3
ax?
6
x?
1
。对于
x?R
都有
f'
?
x
?
?0
时,
f
?
x
?<
br>2
为减函数。由
3ax?6x?1?0
?
x?R
?
可
得
?
2
?
a?0
,解得
a??3
。所以,
??36?12a?0
?
当
a??3
时,函数
f
?
x
?
对
x?R
为减函数。
1
?
8
?
(1) 当
a??3
时,
f?
x
?
??3x
3
?3x
2
?x?1??3<
br>?
x?
?
?
。
3
?
9
?
由函数
y?x
在R上的单调性,可知当
a??3
是,函数
f
?
x
?
对
x?R
为减函数。
3
3
(2)
当
a??3
时,函数
f
?
x
?
在R上存在增区间。
所以,当
a??3
时,函数
f
?
x
?
在
R
上不是单调递减函数。
综合(1)(2)(3)可知
a??3
。
答案:
a??3
点评:本题考查导数在函数单调性中的应用。对于高次函数单调性问题,要有求导意识。
考点五:函数的极值。
例6. 设函数
f(x)?2x?3ax?3bx?8c在
x?1
及
x?2
时取得极值。
(1)求a
、
b的值;
(2)若对于任意的
x?[0,3]
,都有
f(x)?c
成立,求c的取值范围。
解析:(1)
f
?
(x)?6x?6ax?3b
,因为函数
f(x)
在
x?1
及
x?2
取得极值,则有
2
2
32
?
6?6a?3
b?0,
,解得
a??3
,
b?4
。
f
?
(1)?0
,
f
?
(2)?0
.即
?
?
24?12a?3b?0
.
(2)由(Ⅰ)可知,
f(x)?2x?9x?12x?8
c
,
f
?
(x)?6x?18x?12?6(x?1)(x?2)
。
当
x?(01),
时,
f
?
(x)?0
;当
x?(1,2)
时,
f
?
(x)?0
;当
x?(2,3)
时,
f
?
(x)?0
。所以,
当
x?1
时
,
f(x)
取得极大值
f(1)?5?8c
,又
f(0)?8c,
f(3)?9?8c
。则当
x?
?
0,3
?
时,
f(x)
的最大值为
f(3)?9?8c
。因为对于任意的
x?
?
0,3
?
,有
f(x)?c
恒成立,
2
322
所以
9?8c?c
,解得
c??1
或
c?9
,因此
c
的取值范围为
(??,?1)U(9,??)
。
2
?1)U(9,??)
。
答案:(1)
a??3
,
b?4
;(2)
(??,
点评:
本题考查利用导数求函数的极值。求可导函数
f
?
x
?
的极值步骤:
①求导数
f'
?
x
?
;
②求
f'
?x
?
?0
的根;③将
f'
?
x
?
?0
的根在数轴上标出,得出单调区间,由
f'
?
x
?
在各区间上取值的正负可确定并求出函数
f
?
x
?
的极值。
考点六:函数的最值。
例7. 已知
a
为实数,
f
?x
?
?x?4
?
x?a
?
。求导数
f'
?
x
?
;(2)若
f'
?
?1
?
?0<
br>,求
f
?
x
?
2
??
在区间
??2,2
?
上的最大值和最小值。
解析:(1)
f
?
x
?
?
x
?
ax
?
4x
?
4a<
br>,
?
f'
?
x
?
?3x?2ax?4
。
322
(2)
f'
?
?1
?
?3?2a?4?0
,
?a
?
1
2
。
?f'
?
x
?
?3x
?x?4?
?
3x?4
??
x?1
?
2
令
f'
?
x
?
?0<
br>,即
?
3x?4
??
x?1
?
?0
,解得<
br>x??1
或
x?
上随
x
的变化情况如下表:
4
, 则
f
?
x
?
和
f'
?x
?
在区间
?
?2,2
?
3
4
3
0
极小值
x
?2
0
?
?2,?1
?
+
增函数
?1
0
极大值
4
??
?
?1,
?
3
??
—
减函数
?
4
?
?
,2
?
?
3
?
+
增函数
2
0
f'
?
x
?
f
?
x
?
f
?
?1
?
?
5050
9
?
4<
br>??
4
?
,
f
??
??
。所以,
f
?
x
?
在区间
?
?2,2
?
上的最大值为
f
??
??
,最
327327
2
????
小值为
f
?
?1
?
?
9
。
2
2
答案:(1)
f
'
?
x
?
?
3
x
?
2
ax?
4
;(2)最大值为
f
??
??
?
4
?
?
3
?
50
9
,最小值为
f
?
?1
?
?
。
27
2
点评:本题
考查可导函数最值的求法。求可导函数
f
?
x
?
在区间
?<
br>a,b
?
上的最值,要先求
出函数
f
?
x
?
在区间
?
a,b
?
上的极值,然后与
f
?
a
?
和
f
?
b
?
进行比较,从而得出函数的最大最
小值。
考点七:导数的综合性问题。
例8. 设函数
f(x)?ax?b
x?c
(a?0)
为奇函数,其图象在点
(1,f(1))
处的切线与直线<
br>3
x?6y?7?0
垂直,导函数
f'(x)
的最小值为
?1
2
。(1)求
a
,
b
,
c
的值;
(2)
求函数
f(x)
的单调递增区间,并求函数
f(x)
在
[?1,3]
上的最大值和最小值。
解析:
(1)∵
f(x)
为奇函数,∴<
br>f(?x)??f(x)
,即
?ax?bx?c??ax?bx?c
33
∴
c?0
,∵
f'(x)?3ax?b
的最小值为
?1
2
,∴
b??12
,又直线
x?6y?7?0
的斜率为
2<
br>1
,因此,
f'(1)?3a?b??6
,∴
a?2
,
b??12
,
c?0
.
6
2
3
(2)
f(x)?2x?12x
。
f'(x)?6x?12?6(x?2)(x?2)
,列表如下:
x
(??,?2)
?
?2
(?2,2)
2
(2,??)
?
f'(x)
0
?
0
f(x)
增函数 极大 减函数 极小 增函数
所以函数
f(x)
的单调增区间是
(??,?2)
和
(2,??)
,∵
f(?1)?10
,
f(2)??82
,
f(3)?18
,∴
f(x)
在
[?1,3]
上的最大值是
f(3)?18
,最小值是
f(2)??82
。
答案:(1)
a?
2
,
b??12
,
c?0
;(2)最大值是
f(3)?18
,最小值是
f(2)??82
。
点评:本题考查函数的奇偶性、单调性、二
次函数的最值、导数的应用等基础知识,以
及推理能力和运算能力。
导数强化训练
(一) 选择题
x
2
1
1.
已知曲线
y?
的一条切线的斜率为,则切点的横坐标为( A )
4
2
A.1
3
B.2
2
C.3
D.4
( B ) 2.
曲线
y?x?3x?1
在点(1,-1)处的切线方程为
A.
y?3x?4
2
B.
y??3x?2
C.
y??4x?3
D.
y?4x?5
3.
函数
y?(x?1)(x?1)
在
x?1
处的导数等于 ( D
)
A.1 B.2 C.3 D.4
( A ) 4.
已知函数
f(x)在x?1处的导数为3,则f(x)
的解析式可能为
A.
f(x)?(x?1)?3(x?1)
C.
f(x)?2(x?1)
D.
f(x)?x?1
32
2
2
B.
f(x)?2(x?1)
5. 函
数
f(x)?x?ax?3x?9
,已知
f(x)
在
x??3
时取得极值,则
a
=( D )
(A)2
6.
函数
f(x)?x?3x?1
是减函数的区间为( D )
(A)
(
2,??)
(B)
(??,2)
(C)
(??,0)
(D)
(0,2)
32
(B)3 (C)4 (D)5
7. 若函数
f
?
x
?
?x?b
x?c
的图象的顶点在第四象限,则函数
f'
?
x
?
的图象
是( A )
2
8. 函数
f(x)?2x
2
?x
3
在区间
[0,6]
上的最大值是( A )
A.
A
o x
o
B
x
o
C
x
o
D
x
y
y
y
y
1
3
32
3
3
B.
16
3
C.
12
D.
9
9. 函数
y?x?3x
的极大值为
m
,极小值为
n
,则
m?n
为 ( A
)
A.0 B.1 C.2
3
D.4
10. 三次函数
f
?
x
?
?ax?x
在
x?
?
??,??
?
内是增函数,则 (
A )
A.
a?0
3
B.
a?0
C.
a?1
D.
a?
1
3
11.
在函数
y?x?8x
的图象上,其切线的倾斜角小于
是
A.3
B.2
?
的点中,坐标为整数的点的个数
4
D.0
( D )
C.1
12. 函数
f(x)
的定
义域为开区间
(a,b)
,导函数
f
?
(x)
在
(
a,b)
内的图象如图所示,则函数
f(x)
在开区间
(a,b)
内有极小值点( A )
A.1个
C.3个
(二) 填空题
B.2个
D. 4个
y
y?f
?
(x)
b
a
O
x
3
13. 曲线
y?x
在点
?
1,1
?
处的切线与
x
轴、直线
x?2
所围成的三角形的面积为<
br>__________。
14.
已知曲线
y?
______________
1
3
4
x?
,则过点
P(2,4)
“改为在点
P(2,4)
”的切线方程是33
15. 已知
f
都有
f
(n)
(n)
(x)
是对函数
f(x)
连续进行n次求导,若f(x)?x
6
?x
5
,对于任意
x?R
,
(
x)
=0,则n的最少值为 。
16. 某公司一年购买某种货物400
吨,每次都购买
x
吨,运费为4万元/次,一年的总存储
费用为
4x
万元,要使一年的总运费与总存储费用之和最小,则
x?
吨.
(三) 解答题
17. 已知函数
f
?
x
?
?x
?ax?bx?c
,当
x??1
时,取得极大值7;当
x?3
时,取
得极
32
小值.求这个极小值及
a,b,c
的值.
18.
已知函数
f(x)??x?3x?9x?a.
(1)求
f(x)
的单调减区间;
(2)若
f(x)
在区
间[-2,2].上的最大值为20,求它在该区间上的最小值.
19. 设
t?0
,点P(
t
,0)是函数
f(x)?x?
ax与g(x)?bx?c
的图象的一个公共点,
两函数的图象在点P处有相同的切线。
(1)用
t
表示
a,b,c
;
(2)若函数
y?
f(x)?g(x)
在(-1,3)上单调递减,求
t
的取值范围。
32
20. 设函数
f
?
x
?
?x?bx?cx(x?R)
,已知
g(x)?f(x)?f
?
(x)
是奇函数。
(1)求
b
、
c
的值。
(2)求
g(x)
的单调区间与极值。
32
32
21.
用长为18 cm的钢条围成一个长方体形状的框架,要求长方体的长与宽之比为2:1,问
该长方体的
长、宽、高各为多少时,其体积最大?最大体积是多少?
22. 已
知函数
f(x)?
2
1
3
1
2
3]
内各有
一个极值点.
,
,
(1,
x?ax?bx
在区间
[?11
)
32
(1)求
a?4b
的最大值;
(1) 当
a?4b
?8
时,设函数
y?f(x)
在点
A(1,f(1))
处的切线为<
br>l
,若
l
在点
A
处穿
过函数
y?f(x)<
br>的图象(即动点在点
A
附近沿曲线
y?f(x)
运动,经过点
A
时,
从
l
的一侧进入另一侧),求函数
f(x)
的表达式
.
强化训练答案:
1.A 2.B 3.D 4.A 5.D 6.D
7.A 8.A 9.A 10.A 11.D 12.A
(四) 填空题
13.
2
8
14.
y?4x?4?0
15. 7 16. 20
3
(五) 解答题
17.
解:
f'
?
x
?
?3x
2
?2ax?b
。
2
据题意,-1,3是方程
3x?2ax?b?0
的两个根,由韦达定理得
2a
?
?1?3??
?
?
3
?
?
?1?3?
b
?
3
?
∴
a??3,b??9
∴
∵
f
?
x
?
?x
3
?3
x
2
?9x?c
f
?
?1
?
?7
,∴
c?2
f
?
3
?
?3
3
?3?3
2
?9?3?2?
?25
极小值
∴极小值为-25,
a??3,b??9
,
c?2
。
18. 解:(1)
所以函数
(2)因为
所以
f
?
(x)??3x
2
?6x?9.
令
f
?
(x)?0
,解得
x??1或x?3,
f(x)
的单调递减区间为
(??,?1),(3,??).
f(?2)?8?12?18?a?2?a,
f(2)??8?12?18?a?22?a,
f(2)?f(?2).
因
为在(-1,3)上
f
?
(x)?0
,所以
f(x)
在[-
1,2]上单调递增,又由
于
f(x)
在[-2,-1]上单调递减,因此
f
(2)
和
f(?1)
分别是
f(x)
在区间
?
?2
,2
?
上的最大值和最小
值.于是有
22?a
故
即函数
?20
,解得
a??2.
f(x)??x
3
?3x
2
?9x?2.
因此
f(?1)?1?3?9?2??7,
f(x)
在区间
?
?2,2
?
上的最小值为-7.
19. 解:(1)因为函数
即
t
3
f(x)<
br>,
g(x)
的图象都过点(
t
,0),所以
f(t)?0,
?at?0
.因为
t?0,
所以
a??t
2
.
g(t)?0,即bt
2
?c?0,所以c?ab.
f(x),
g(x)
在点(
t
,0)处有相同的切线,所以
f
?
(t)?g
?
(t).
又因为
而
f
?
(x)?3x
2
?a,g
?
(x)?2bx,所以3t
2
?
a?2bt.
将
a??t
2
代入上式得
b?t.
因此
c?ab??t
3
.
故
a??t
2
,
b?t
,
c
??t
3
.
(2)
y?f(x)?g(x)?x
3
?t
2
x?tx
2
?t
3
,y
?
?3x
2
?2tx?t
2
?(3x?t)(x?t)
.
当
y
?
?(3x?t)(x?t)?0
时,函数
y?f(x)?g(x)单调递减.
y
?
?0
,若
t?0,则?
由
t
t
?x?t
;若
t?0,则t?x??.
33
由题意,函数
y?f(x)?g(x)
在(-1,3)上单调递减,则
ttt
(?1,3)?(?,t)或(?1,3)?(t,?).
所以
t?3
或??3.即t??9或t?3.
333
又当
?9?t?3
时,函
数
y?f(x)?g(x)
在(-1,3)上单调递减.
所以
t
的取值范围为
(??,?9]?[3,??).
20. 解:(1)∵
f
?
x
?
?x
3
?
bx
2
?cx
,∴
f
?
?
x
?
?
3x
2
?2bx?c
。从而
g(x)?f(x)?f
?
(x
)?x
3
?bx
2
?cx?(3x
2
?2bx?c)
=
x
3
?(b?3)x
2
?(c?2b)x?c
是一个奇函数,所以
g(0)?0
得
c?0
,由奇函数定义得
b?3
;
(2)由(Ⅰ)知
g(x)?x
3
?6x
,从而
g
?
(x)?3x
2
?6
,
由此可知,
(??,?2)
和
(2,??)
是函数
g(x)
是单调递增区间;
(?2,2)
是函数
g(x)
是单调递减区间;
取得极大值,极大值为
42
,取得极小值,极小值为
?42
。 g(x)
在
x??2
时,
g(x)
在
x?2
时
,
21. 解:设长方体的宽为
x
(m),则长为
2x
(m),高为
h?
18?12x
?4.5?3x(m)
4
3
??
?
0<x<
?
.
2
??
故长方体的体积为
V
?
x
?
?2x
2
?
4.5?3x
?
?9x
2
?6x
3
m
3
从而
V?(x
)
令
V'
??
3
??
?
0?x?
?
2
??
?18x?18x
2
(4.5?3x)?18x(1?x
).
?
x
?
?0
,解得
x?0
(舍去)
或
x?1
,因此
x?1
.
x?1
时,
V'
?
x
?
?0
;当
1?x?
3
时,
V'<
br>?
x
?
?0
,
2
当
0?
故在x?1
处
V
?
x
?
取得极大值,并且这个极大值就是<
br>V
?
x
?
的最大值。
?V'
?
x
?
?9?1
2
?6?1
3
m
3
从而最大体积
V
??
,此时长方体的长为2 m,高为1.5 m.
3
答:当长方体的长为2 m时,宽为1 m,高为1.5
m时,体积最大,最大体积为
3m
。
22. 解:(1)因为函数
113]
内分别有一个极值点,所以
,
,
(1,
f(x)?x
3
?ax
2
?bx
在区间
[?11)
32
f?
(x)?x
2
?ax?b
?0
在
[?11)
3]
内分别有一个实根,
,
,
(1,
设两实根为
x
1
,x
2
(
x
1
?x
2
),则
x
2
?x
1
?a
2
?4b
,且
0?x2
?x
1
≤4
.于是
,x
2
?3
,
且当
x
1
??1
即
a??2
,故
b??3
时等号成立.
0?a
2
?4b≤4
,
0?a
2
?4
b≤16
,
a
2
?4b
的最大值是16.
(2)解法一:
由
f
?
(1)?1?a?b
知
f(x)
在点
(1,
f(1))
处的切线
l
的方程是
21
y?f(1)?f
?
(1)(x?1)
,即
y?(1?a?b)x??a
,
32
因为切线
l
在点
所以
g(x)?
A(1,f(x))
处空
过
y?f(x)
的图象,
21
f(x)?[(1?a?b)x??a]在
x?1
两边附近的函数值异号,则
32
x?1
不是
g(x)
的极值点.
而
g(x)
11
21
?x
3
?ax
2
?bx?(1?a?b)x??a
,且
3232
g
?
(x)?x
2
?ax?b?(1?a?b)?
x
2
?ax?a?1?(x?1)(x?1?a)
.
若
1??1?
a
,则
x?1
和
x??1?a
都是
g(x)
的极值
点.
1
?4b?8
,得
b??1
,故
f(x)?x
3
?x
2
?x
.
3
21
解法二:同解法一得<
br>g(x)?f(x)?[(1?a?b)x??a]
32
13a3
?
(x?1)[x
2
?(1?)x?(2?a)]
.
322
所以1??1?a
,即
a??2
,又由
a
2
因为切线
l
在点
A(1,f(1))
处穿过
y?f(x)
的图象,所以g(x)
在
x?1
两边附近的函数值异号,于是
?1?m
2). 存在
m
1
,m
2
(
m
1
当m
1
?x?1
时,
g(x)?0
,当
1?x?m
2
时,
g(x)?0
;
?x?1
时,
g(x)?0,当
1?x?m
2
时,
g(x)?0
. 或当
m
1
设
h(x)
3a
??
3a
??
?x
2
?
?
1?
?
x?
?
2?
?
,则
2
??
2
??
当
m
1
?x?1
时
,
h(x)?0
,当
1?x?m
2
时,
h(x)?0
;
?x?1
时,
h(x)?0
,当
1?x?m
2
时,
h(x)?0
. 或当
m
1
由
h(1)?0
知
x?1
是
h(x)
的一个极值点,则
h(1)?2?1?1?所以
a??2
,又由
a
2
3a
?0
,
2
1
?4b?8
,得b??1
,故
f(x)?x
3
?x
2
?x
.
3