2020年高中数学导数练习题

专题8：导数（文）
经典例题剖析
考点一：求导公式。
例1.
f
?
(x)
是
f(x)?
1
3< br>x?2x?1
的导函数，则
f
?
(?1)
的值是 。
3
2
解析：
f
'
?
x
?
? x?
2
，所以
f'
?
?1
?
?1?2?3

答案：3

考点二：导数的几何意义。
例2. 已知函数
y?f(x)
的图象在点
M(1，f(1))
处的切线方程是
y?
1
x?2
，则
2
f(1)?f
?
(1)?
。
解析：因为
k?
1
1
，所以
f'
?
1
?
?
，由切线过点
M(1，f(1))
，可得点M的纵坐标为2
2
5
5
，所以
f
?
1
?
?
，所以
f
?
1
?
?f'
?
1
?< br>?3

2
2
答案：3
，?3)
处的切线方程是 。
例3.曲线
y?x?2x?4x?2
在点
(1
，?3)
处切线的斜率为
k?3?4?4??5
，所以设切
解析：
y
'
?
3
x?
4
x?
4
，
?
点
(1
2
32
线方程为
y??5x?b
，将点
(1
所以， 过曲线上点
(1，?3)
带入切线方程可得
b?2
，
，?3)
处的切线方程为：
5x?y?2?0

答案：
5x?y?2?0

点评：以上两小题均是对导数的几何意义的考查。
考点三：导数的几何意义的应用。 例4.已知曲线C：
y
?
x
?
3x
?
2x，直线
l:y?kx
，且直线
l
与曲线C相切于点
32
?
x
0
,y
0
?
x
0
?0
，求直 线
l
的方程及切点坐标。

解析：
?< br>直线过原点，则
k?
y
0
?
x
0
?
0
?
。由点
?
x
0
,y
0
?
在曲 线C上，则
x
0
y
0
?x
0
?3x
0?2x
0
，
?

32
y
0
2
?x
0
?3x
0
?2
。又
y
'
?
3
x
2
?
6
x?
2
，
?
在x
0
2
?
x
0
,y
0
?
< br>处曲线C的切线斜率为
k?f'
?
x
0
?
?3x0
?6x
0
?2
，
?
22
2x
0?3x
0
?0
，整理得：解得：
x
0
?
x0
?
3
x
0
?
2
?
3
x0
?
6
x
0
?
2
，
3
或x
0
?0
2
（舍），此时，
y
0
??
311
，
k??
。所以，直线
l
的方程为
y??x
，切点坐标是
844
?
33
?
?
,?
?
。
?
28
?
答案：直线
l
的方程为
y
??< br>1
?
33
?
x
，切点坐标是
?
,?
?

4
?
28
?
点评：本小题考查导数几何意义的应用。 解决此类问题时应注意“切点既在曲线上又在
切线上”这个条件的应用。函数在某点可导是相应曲线上过 该点存在切线的充分条件，而不
是必要条件。
考点四：函数的单调性。
例5.已知
f
?
x
?
?ax?
3
x?x?
1
在R上是减函数，求
a
的取值范围。
32
解析：函数
f
?
x
?
的导数为
f
'
?
x
?
?3
ax?
6
x?
1
。对于
x?R
都有
f'
?
x
?
?0
时，
f
?
x
?< br>2
为减函数。由
3ax?6x?1?0
?
x?R
?
可 得
?
2
?
a?0
，解得
a??3
。所以，
??36?12a?0
?
当
a??3
时，函数
f
?
x
?
对
x?R
为减函数。
1
?
8
?
（1） 当
a??3
时，
f?
x
?
??3x
3
?3x
2
?x?1??3< br>?
x?
?
?
。
3
?
9
?
由函数
y?x
在R上的单调性，可知当
a??3
是，函数
f
?
x
?
对
x?R
为减函数。
3
3
（2） 当
a??3
时，函数
f
?
x
?
在R上存在增区间。 所以，当
a??3
时，函数
f
?
x
?
在
R 上不是单调递减函数。
综合（1）（2）（3）可知
a??3
。

答案：
a??3

点评：本题考查导数在函数单调性中的应用。对于高次函数单调性问题，要有求导意识。
考点五：函数的极值。
例6. 设函数
f(x)?2x?3ax?3bx?8c在
x?1
及
x?2
时取得极值。
（1）求a
、
b的值；
（2）若对于任意的
x?[0，3]
，都有
f(x)?c
成立，求c的取值范围。
解析：（1）
f
?
(x)?6x?6ax?3b
，因为函数
f(x)
在
x?1
及
x?2
取得极值，则有
2
2
32
?
6?6a?3 b?0，
，解得
a??3
，
b?4
。
f
?
(1)?0
，
f
?
(2)?0
．即
?
?
24?12a?3b?0
．
（2）由（Ⅰ）可知，
f(x)?2x?9x?12x?8 c
，
f
?
(x)?6x?18x?12?6(x?1)(x?2)
。
当
x?(01)，
时，
f
?
(x)?0
；当
x?(1，2)
时，
f
?
(x)?0
；当
x?(2，3)
时，
f
?
(x)?0
。所以，
当
x?1
时 ，
f(x)
取得极大值
f(1)?5?8c
，又
f(0)?8c，
f(3)?9?8c
。则当
x?
?
0，3
?
时，
f(x)
的最大值为
f(3)?9?8c
。因为对于任意的
x?
?
0，3
?
，有
f(x)?c
恒成立，
2
322
所以
9?8c?c
，解得
c??1
或
c?9
，因此
c
的取值范围为
(??，?1)U(9，??)
。
2
?1)U(9，??)
。 答案：（1）
a??3
，
b?4
；（2）
(??，
点评： 本题考查利用导数求函数的极值。求可导函数
f
?
x
?
的极值步骤： ①求导数
f'
?
x
?
；
②求
f'
?x
?
?0
的根；③将
f'
?
x
?
?0
的根在数轴上标出，得出单调区间，由
f'
?
x
?
在各区间上取值的正负可确定并求出函数
f
?
x
?
的极值。
考点六：函数的最值。
例7. 已知
a
为实数，
f
?x
?
?x?4
?
x?a
?
。求导数
f'
?
x
?
；（2）若
f'
?
?1
?
?0< br>，求
f
?
x
?
2
??
在区间
??2,2
?
上的最大值和最小值。
解析：（1）
f
?
x
?
?
x
?
ax
?
4x
?
4a< br>，
?

f'
?
x
?
?3x?2ax?4
。
322
（2）
f'
?
?1
?
?3?2a?4?0
，
?a ?

1
2
。
?f'
?
x
?
?3x ?x?4?
?
3x?4
??
x?1
?

2

令
f'
?
x
?
?0< br>，即
?
3x?4
??
x?1
?
?0
，解得< br>x??1
或
x?
上随
x
的变化情况如下表：
4
， 则
f
?
x
?
和
f'
?x
?
在区间
?
?2,2
?
3
4

3
0
极小值
x

?2


0
?
?2,?1
?

＋
增函数
?1

0
极大值
4
??
?
?1,
?

3
??
—
减函数
?
4
?
?
,2
?

?
3
?
＋
增函数
2


0
f'
?
x
?

f
?
x
?

f
?
?1
?
?
5050
9
?
4< br>??
4
?
，
f
??
??
。所以，
f
?
x
?
在区间
?
?2,2
?
上的最大值为
f
??
??
，最
327327
2
????
小值为
f
?
?1
?
?
9
。
2
2
答案：（1）
f
'
?
x
?
?
3
x ?
2
ax?
4
；（2）最大值为
f
??
??
?
4
?
?
3
?
50
9
，最小值为
f
?
?1
?
?
。
27
2
点评：本题 考查可导函数最值的求法。求可导函数
f
?
x
?
在区间
?< br>a,b
?
上的最值，要先求
出函数
f
?
x
?
在区间
?
a,b
?
上的极值，然后与
f
?
a
?
和
f
?
b
?
进行比较，从而得出函数的最大最
小值。
考点七：导数的综合性问题。
例8. 设函数
f(x)?ax?b x?c
(a?0)
为奇函数，其图象在点
(1,f(1))
处的切线与直线< br>3
x?6y?7?0
垂直，导函数
f'(x)
的最小值为
?1 2
。（1）求
a
，
b
，
c
的值；
（2） 求函数
f(x)
的单调递增区间，并求函数
f(x)
在
[?1,3]
上的最大值和最小值。
解析：
（1）∵
f(x)
为奇函数，∴< br>f(?x)??f(x)
，即
?ax?bx?c??ax?bx?c

33
∴
c?0
，∵
f'(x)?3ax?b
的最小值为
?1 2
，∴
b??12
，又直线
x?6y?7?0
的斜率为
2< br>1
，因此，
f'(1)?3a?b??6
，∴
a?2
，
b??12
，
c?0
．
6
2
3
（2）
f(x)?2x?12x
。
f'(x)?6x?12?6(x?2)(x?2)
，列表如下：
x

(??,?2)

?

?2

(?2,2)

2

(2,??)

?

f'(x)

0

?

0

f(x)

增函数 极大 减函数 极小 增函数
所以函数
f(x)
的单调增区间是
(??,?2)
和
(2,??)
，∵
f(?1)?10
，
f(2)??82
，
f(3)?18
，∴
f(x)
在
[?1,3]
上的最大值是
f(3)?18
，最小值是
f(2)??82
。
答案：（1）
a? 2
，
b??12
，
c?0
；（2）最大值是
f(3)?18
，最小值是
f(2)??82
。
点评：本题考查函数的奇偶性、单调性、二 次函数的最值、导数的应用等基础知识，以
及推理能力和运算能力。



导数强化训练
（一） 选择题
x
2
1
1. 已知曲线
y?
的一条切线的斜率为，则切点的横坐标为（ A ）
4
2
A．1
3
B．2
2
C．3 D．4
（ B ） 2. 曲线
y?x?3x?1
在点（1，－1）处的切线方程为
A．
y?3x?4

2
B．
y??3x?2
C．
y??4x?3
D．
y?4x?5

3. 函数
y?(x?1)(x?1)
在
x?1
处的导数等于 （ D ）
A．1 B．2 C．3 D．4
（ A ） 4. 已知函数
f(x)在x?1处的导数为3,则f(x)
的解析式可能为


A．
f(x)?(x?1)?3(x?1)

C．
f(x)?2(x?1)
D．
f(x)?x?1

32
2
2
B．
f(x)?2(x?1)

5. 函 数
f(x)?x?ax?3x?9
，已知
f(x)
在
x??3
时取得极值，则
a
=（ D ）
（A）2

6. 函数
f(x)?x?3x?1
是减函数的区间为( D )
（Ａ）
( 2,??)
（Ｂ）
(??,2)
（Ｃ）
(??,0)
（Ｄ）
(0,2)


32
（B）3 （C）4 （D）5

7. 若函数
f
?
x
?
?x?b x?c
的图象的顶点在第四象限，则函数
f'
?
x
?
的图象 是（ A ）
2









8. 函数
f(x)?2x
2
?x
3
在区间
[0,6]
上的最大值是（ A ）
A．
A
o x
o
B
x
o
C
x
o
D
x
y
y
y
y
1
3
32

3

3
B．
16

3
C．
12
D．
9

9. 函数
y?x?3x
的极大值为
m
，极小值为
n
，则
m?n
为 （ A ）
A．0 B．1 C．2
3
D．4
10. 三次函数
f
?
x
?
?ax?x
在
x?
?
??,??
?
内是增函数，则 （ A ）
A．
a?0

3
B．
a?0
C．
a?1
D．
a?
1

3
11. 在函数
y?x?8x
的图象上，其切线的倾斜角小于
是
A．3

B．2
?
的点中，坐标为整数的点的个数
4
D．0
（ D ）
C．1

12. 函数
f(x)
的定 义域为开区间
(a,b)
，导函数
f
?
(x)
在
( a,b)
内的图象如图所示，则函数

f(x)
在开区间
(a,b)
内有极小值点（ A ）
A．1个
C．3个




（二） 填空题




B．2个
D． 4个
y

y?f
?
(x)
b

a
O


x

3
13. 曲线
y?x
在点
?
1,1
?
处的切线与
x
轴、直线
x?2
所围成的三角形的面积为< br>__________。
14. 已知曲线
y?
______________
1
3
4
x?
，则过点
P(2,4)
“改为在点
P(2,4)
”的切线方程是33

15. 已知
f
都有
f
(n)
(n)
(x)
是对函数
f(x)
连续进行n次求导，若f(x)?x
6
?x
5
，对于任意
x?R
，
( x)
=0，则n的最少值为 。
16. 某公司一年购买某种货物400 吨，每次都购买
x
吨，运费为4万元／次，一年的总存储
费用为
4x
万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则
x?
吨．

（三） 解答题
17. 已知函数
f
?
x
?
?x ?ax?bx?c
，当
x??1
时，取得极大值7；当
x?3
时，取 得极
32
小值．求这个极小值及
a,b,c
的值．






18. 已知函数
f(x)??x?3x?9x?a.

（1）求
f(x)
的单调减区间；
（2）若
f(x)
在区 间[－2，2].上的最大值为20，求它在该区间上的最小值.




19. 设
t?0
，点P（
t
，0）是函数
f(x)?x? ax与g(x)?bx?c
的图象的一个公共点，
两函数的图象在点P处有相同的切线。
（1）用
t
表示
a,b,c
；
（2）若函数
y? f(x)?g(x)
在（－1，3）上单调递减，求
t
的取值范围。




32
20. 设函数
f
?
x
?
?x?bx?cx(x?R)
，已知
g(x)?f(x)?f
?
(x)
是奇函数。
（1）求
b
、
c
的值。
（2）求
g(x)
的单调区间与极值。


32
32

21. 用长为18 cm的钢条围成一个长方体形状的框架，要求长方体的长与宽之比为2：1，问
该长方体的 长、宽、高各为多少时，其体积最大？最大体积是多少？



22. 已 知函数
f(x)?
2
1
3
1
2
3]
内各有 一个极值点．
，
，
(1，
x?ax?bx
在区间
[?11 )
32
（1）求
a?4b
的最大值；
（1） 当
a?4b ?8
时，设函数
y?f(x)
在点
A(1，f(1))
处的切线为< br>l
，若
l
在点
A
处穿
过函数
y?f(x)< br>的图象（即动点在点
A
附近沿曲线
y?f(x)
运动，经过点
A
时，
从
l
的一侧进入另一侧），求函数
f(x)
的表达式 ．
强化训练答案：
1.A 2.B 3.D 4.A 5.D 6.D 7.A 8.A 9.A 10.A 11.D 12.A
（四） 填空题
13.
2
8
14.
y?4x?4?0
15. 7 16. 20
3
（五） 解答题
17. 解：
f'
?
x
?
?3x
2
?2ax?b
。
2
据题意，－1，3是方程
3x?2ax?b?0
的两个根，由韦达定理得
2a
?
?1?3??
?
?
3

?
?
?1?3?
b
?
3
?
∴
a??3,b??9
∴
∵
f
?
x
?
?x
3
?3 x
2
?9x?c

f
?
?1
?
?7
，∴
c?2

f
?
3
?
?3
3
?3?3
2
?9?3?2? ?25
极小值
∴极小值为－25，
a??3,b??9
，
c?2
。

18. 解：（1）
所以函数
（2）因为
所以
f
?
(x)??3x
2
?6x?9.
令
f
?
(x)?0
，解得
x??1或x?3,

f(x)
的单调递减区间为
(??,?1),(3,??).

f(?2)?8?12?18?a?2?a,

f(2)??8?12?18?a?22?a,

f(2)?f(?2).
因 为在（－1，3）上
f
?
(x)?0
，所以
f(x)
在[－ 1，2]上单调递增，又由
于
f(x)
在[－2，－1]上单调递减，因此
f (2)
和
f(?1)
分别是
f(x)
在区间
?
?2 ,2
?
上的最大值和最小
值.于是有
22?a
故
即函数
?20
，解得
a??2.

f(x)??x
3
?3x
2
?9x?2.
因此
f(?1)?1?3?9?2??7,

f(x)
在区间
?
?2,2
?
上的最小值为－7.
19. 解：（1）因为函数
即
t

3
f(x)< br>，
g(x)
的图象都过点（
t
，0），所以
f(t)?0，
?at?0
.因为
t?0,
所以
a??t
2
.
g(t)?0,即bt
2
?c?0,所以c?ab.

f(x)，
g(x)
在点（
t
，0）处有相同的切线，所以
f
?
(t)?g
?
(t).
又因为
而
f
?
(x)?3x
2
?a,g
?
(x)?2bx,所以3t
2
? a?2bt.

将
a??t
2
代入上式得
b?t.
因此
c?ab??t
3
.
故
a??t
2
，
b?t
，
c ??t
3
.

（2）
y?f(x)?g(x)?x
3
?t
2
x?tx
2
?t
3
,y
?
?3x
2
?2tx?t
2
?(3x?t)(x?t)
.
当
y
?
?(3x?t)(x?t)?0
时，函数
y?f(x)?g(x)单调递减.
y
?
?0
，若
t?0,则?
由
t t
?x?t
；若
t?0,则t?x??.

33
由题意，函数
y?f(x)?g(x)
在（－1，3）上单调递减，则
ttt
(?1,3)?(?,t)或(?1,3)?(t,?).
所以
t?3 或??3.即t??9或t?3.

333
又当
?9?t?3
时，函 数
y?f(x)?g(x)
在（－1，3）上单调递减.
所以
t
的取值范围为
(??,?9]?[3,??).


20. 解：（1）∵
f
?
x
?
?x
3
? bx
2
?cx
，∴
f
?
?
x
?
? 3x
2
?2bx?c
。从而
g(x)?f(x)?f
?
(x )?x
3
?bx
2
?cx?(3x
2
?2bx?c)
＝
x
3
?(b?3)x
2
?(c?2b)x?c
是一个奇函数，所以
g(0)?0
得
c?0
，由奇函数定义得
b?3
；

（2）由（Ⅰ）知
g(x)?x
3
?6x
，从而
g
?
(x)?3x
2
?6
， 由此可知，
(??,?2)
和
(2,??)
是函数
g(x)
是单调递增区间；
(?2,2)
是函数
g(x)
是单调递减区间；
取得极大值，极大值为
42
，取得极小值，极小值为
?42
。 g(x)
在
x??2
时，
g(x)
在
x?2
时 ，

21. 解：设长方体的宽为
x
（m），则长为
2x
(m)，高为
h?
18?12x
?4.5?3x(m)
4
3
??
?
0＜x＜
?
.
2
??
故长方体的体积为
V
?
x
?
?2x
2
?
4.5?3x
?
?9x
2
?6x
3
m
3
从而
V?(x )
令
V'
??
3
??
?
0?x?
?

2
??
?18x?18x
2
(4.5?3x)?18x(1?x ).

?
x
?
?0
，解得
x?0
（舍去） 或
x?1
，因此
x?1
.
x?1
时，
V'
?
x
?
?0
；当
1?x?
3
时，
V'< br>?
x
?
?0
，
2
当
0?
故在x?1
处
V
?
x
?
取得极大值，并且这个极大值就是< br>V
?
x
?
的最大值。
?V'
?
x
?
?9?1
2
?6?1
3
m
3
从而最大体积
V
??
，此时长方体的长为2 m，高为1.5 m.
3
答：当长方体的长为2 m时，宽为1 m，高为1.5 m时，体积最大，最大体积为
3m
。
22. 解：（1）因为函数
113]
内分别有一个极值点，所以
，
，
(1，
f(x)?x
3
?ax
2
?bx
在区间
[?11)
32
f?
(x)?x
2
?ax?b
?0
在
[?11)
3]
内分别有一个实根，
，
，
(1，
设两实根为
x
1
，x
2
（
x
1
?x
2
），则
x
2
?x
1
?a
2
?4b
，且
0?x2
?x
1
≤4
．于是
，x
2
?3
， 且当
x
1
??1
即
a??2
，故
b??3
时等号成立．
0?a
2
?4b≤4
，
0?a
2
?4 b≤16
，
a
2
?4b
的最大值是16．
（2）解法一： 由
f
?
(1)?1?a?b
知
f(x)
在点
(1， f(1))
处的切线
l
的方程是
21
y?f(1)?f
?
(1)(x?1)
，即
y?(1?a?b)x??a
，
32
因为切线
l
在点
所以
g(x)?
A(1，f(x))
处空 过
y?f(x)
的图象，
21
f(x)?[(1?a?b)x??a]在
x?1
两边附近的函数值异号，则
32

x?1
不是
g(x)
的极值点．
而
g(x)
11 21
?x
3
?ax
2
?bx?(1?a?b)x??a
，且
3232
g
?
(x)?x
2
?ax?b?(1?a?b)? x
2
?ax?a?1?(x?1)(x?1?a)
．
若
1??1? a
，则
x?1
和
x??1?a
都是
g(x)
的极值 点．
1
?4b?8
，得
b??1
，故
f(x)?x
3
?x
2
?x
．
3
21
解法二：同解法一得< br>g(x)?f(x)?[(1?a?b)x??a]

32
13a3
? (x?1)[x
2
?(1?)x?(2?a)]
．
322
所以1??1?a
，即
a??2
，又由
a
2
因为切线
l
在点
A(1，f(1))
处穿过
y?f(x)
的图象，所以g(x)
在
x?1
两边附近的函数值异号，于是
?1?m
2）． 存在
m
1
，m
2
（
m
1
当m
1
?x?1
时，
g(x)?0
，当
1?x?m
2
时，
g(x)?0
；
?x?1
时，
g(x)?0，当
1?x?m
2
时，
g(x)?0
． 或当
m
1
设
h(x)
3a
??
3a
??
?x
2
?
?
1?
?
x?
?
2?
?
，则
2
??
2
??
当
m
1
?x?1
时 ，
h(x)?0
，当
1?x?m
2
时，
h(x)?0
；
?x?1
时，
h(x)?0
，当
1?x?m
2
时，
h(x)?0
． 或当
m
1
由
h(1)?0
知
x?1
是
h(x)
的一个极值点，则
h(1)?2?1?1?所以
a??2
，又由
a



2
3a
?0
，
2
1
?4b?8
，得b??1
，故
f(x)?x
3
?x
2
?x
．
3