高中数学高考总复习定积分与微积分基本定理习题及详解

高考总复习
高中数学高考总复习定积分与微积分基本定理习题及详解

一、选择题
x
1．(2010·山东日照模考)a＝
?
xdx，b ＝e
?
??
dx，c＝
?
?
sinxdx，则a、b、c的 大小关系是
000
222
( )
A．aC．c[答案] D
1
22
22
x
2
x222
[解析] a＝
?
xdx＝x|
0
＝2，b＝
?
edx＝e|
0
＝ e－1>2，c＝
?
sinxdx＝－cosx|
0
＝1
?
0
?
0
?
0
2
－cos2∈(1,2)，
∴c2．(2010·山东理，7)由曲线y＝x
2
，y＝x< br>3
围成的封闭图形面积为( )
A.
1

12
1
B.
4

1
C.
3
D.
7

12








B．aD．c[答案] A
2
?
?
y＝x
[解析] 由
?
3
得交点为(0,0)，(1,1)．
?
y＝x
?< br>1
23
?
1
x
3
－
1
x
4
??
0
1
＝
1
. ∴S＝
?
(x－x)d x＝
?
0
?
34
??
12


[点评] 图形是由两条曲线围成的时，其面积是上方曲线对应函
数表达式减去下方曲线对应函 数表达式的积分，请再做下题：
(2010·湖南师大附中)设点P在曲线y＝x
2
上从原点到A(2,4)移动，如果把由直线OP，直
线y＝x
2
及直线x＝2所围成 的面积分别记作S
1
，S
2
.如图所示，当S
1
＝S
2
时，点P的坐标是
( )
416
?
A.
?
?
3
，
9
?

415
?
C.
?
?
3
，
7
?

[答案] A
t
2
2
[解析] 设P(t，t)(0≤t≤2)，则直线OP：y＝tx， ∴S
1
＝
?
(tx－x)dx＝；S
2
＝
?
(x－
?
0
?
t
6
2
t
2
3< br>





416
?
B.
?
?
5
，
9
?

413
?
D.
?
?
5
，
7
?

8t4416
t x)dx＝－2t＋，若S
1
＝S
2
，则t＝，∴P
?
，< br>?
.
?
39
?
363
3．由三条直线x＝0、x＝ 2、y＝0和曲线y＝x
3
所围成的图形的面积为( )
A．4
4
B.
3
C.
18

5
D．6
含详解答案
3

高考总复习
[答案] A
x
4
?
2
[解析] S＝
?
?
0
xdx＝
4
?
0
＝4.
2
3

1
4．(2010·湖南省考试院调研)
?
?
－1(sinx＋1)dx的值为( )
A．0





B．2
D．2－2cos1 C．2＋2cos1
[答案] B
11
[解析]
?
?
－1(sinx＋1) dx＝(－cosx＋x)|
－
1
＝(－cos1＋1)－(－cos(－1)－1) ＝2.
5．曲线y＝cosx(0≤x≤2π)与直线y＝1所围成的图形面积是( )
A．2π
C.
3π

2








B．3π
D．π
[答案] A
[解析] 如右图，
S＝∫
0
(1－cosx)dx
＝(x－sinx)|
0
2π
＝2π.
[点评] 此题可利用余弦 函数的对称性①②③④面积相等解决，但若把积分区间改为
2π
?
π
，π?
，则对称性就无能为力了．
?
6
?
6．函数F(x)＝?
?
t(t－4)dt在[－1,5]上( )
0
x
A．有最大值0，无最小值
32
B．有最大值0和最小值－
3
32
C．有最小值－，无最大值
3
D．既无最大值也无最小值
[答案] B
[解析] F′(x)＝x(x－4)，令F′(x)＝0，得x
1
＝0，x
2
＝4，
73225
∵F(－1)＝－，F(0)＝0，F(4)＝－，F(5)＝－.
333
32
∴最大值为0，最小值为－.
3
[点评] 一般地，F(x)＝
?
φ(t)dt的导数F′(x)＝φ(x)．
?
0< br>x
x
1
2
7．已知等差数列{a
n
}的前n项和S< br>n
＝2n＋n，函数f(x)＝
?
?
1
t
dt，若f (x)3
，则x的取
含详解答案

高考总复习
值范围是( )
A.
?
3
，＋∞
?

?
6
?
C．(e
－
11
，e)
[答案] D
x
1
x11
[解析] f(x)＝
?
dt＝lnt|
1
＝lnx，a
3
＝S
3
－S
2
＝21－10＝11，由lnx<11得，0?
1
t






B．(0，e
21
)
D．(0，e
11
)
8．(2010·福建厦门一中)如图所示，在一个 长为π，宽为2的矩形OABC内，曲线y＝
sinx(0≤x≤π)与x轴围成如图所示的阴影部分， 向矩形OABC内随机投一点(该点落在矩形
OABC内任何一点是等可能的)，则所投的点落在阴影部 分的概率是( )

1
A.
π

2
B.
π

3
C.
π

π
D.
4
[答案] A
[解析] 由图可知阴影部分是曲边图形，考虑用定积分求出其面积 ．由题意得S＝
?
sinxdx＝－cosx|
0
π
＝－(cosπ －cos0)＝2，再根据几何概型的算法易知所求概率P＝
21
＝.
2ππ
x＋2?－2≤x<0?
?
?
9．(2010·吉林质检)函数f(x)＝
?
π
的图象与x轴所围成的图形面积S为
?
?
2cosx?0≤x≤
2
?
( )
3
A.
2
B．1 C．4
1
D.
2
S
?
0
π
＝< br>S
矩形
OABC

[答案] C
ππ
0
[解析] 面积S＝∫
－
2
f(x)dx＝
?
－2(x＋2)dx＋∫2cosxdx＝2＋2＝4.
?
22
0
10．(2010·沈阳二十中)设函数f(x)＝x－[x]，其中[x]表示不超过x的最大整数，如[－ 1.2]
x
＝－2，[1.2]＝1，[1]＝1.又函数g(x)＝－，f(x)在区间(0 ,2)上零点的个数记为m，f(x)与g(x)
3
的图象交点的个数记为n，则
?< br>g(x)dx的值是( )
?
m
n
5
A．－
2

4
B．－
3
含详解答案

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5
C．－
4
[答案] A

7
D．－
6
[解析] 由题意可得，当0所以当x∈(0,2) 时，函数f(x)有一个零点，由函数f(x)与g(x)的图象可知两个函数有4个交点，
xx
4
5
所以m＝1，n＝4，则
?
g(x)dx＝
?
?－
?
dx＝－
?
1
＝－.
?
m
?< br>1
?
3
?
6
?
2
n4

2
11．(2010·江苏盐城调研)甲、乙两人进行一项游戏比赛，比赛规则如下：甲从区间[0,1]
上随机等可能地抽取一个实数记为b，乙从区间[0,1]上随机等可能地抽取一个实数记为c(b、< br>c可以相等)，若关于x的方程x＋2bx＋c＝0有实根，则甲获胜，否则乙获胜，则在一场比
赛中甲获胜的概率为( )
1
A.
3

2
B.
3

1
C.
2

3
D.
4
2
[答案] A
[解析] 方程x
2
＋2bx＋c＝0 有实根的充要条件为Δ＝4b
2
－4c≥0，即b
2
≥c，
12
?
?
0
bdb
1
由题意知，每场比赛中甲获胜的概率 为p＝
1×1
＝.
3
12．(2010·吉林省调研)已知正方形四个顶点 分别为O(0,0)，A(1,0)，B(1,1)，C(0,1)，曲
线y＝x
2
( x≥0)与x轴，直线x＝1构成区域M，现将一个质点随机地投入正方形中，则质点
落在区域M内的概 率是( )
1
A.
2
1
C.
3












1
B.
4
2
D.
5
[答案] C
2
[解析] 如图，正方形面积1，区域M的面积为S＝
?
x
?
dx
0
1
111
＝x
3
|
0
1< br>＝，故所求概率p＝.
333
二、填空题
1
13．(2010·芜 湖十二中)已知函数f(x)＝3x
2
＋2x＋1，若
?
?
－1f( x)dx＝2f(a)成立，则a＝
________.
1
[答案] －1或
3
[解析] ∵
?
?
－1f(x)dx＝
?
?－1(3x＋2x＋1)dx＝(x＋x＋x)|
－
1
＝4，
?
?
－1f(x)dx＝2f(a)，
∴6a＋4a＋2＝4，
2
1123211
含详解答案

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1
∴a＝－1或.
3
π
1
14．已知a＝∫
0< br>(sinx＋cosx)dx，则二项式(ax－)
6
的展开式中含x
2
项的系数是
2
x
________．
[答案] －192
ππππ
[解析] 由已知得a＝∫
0
(sinx＋cosx)dx＝(－c osx＋sinx)|
0
＝(sin－cos)－(sin0－cos0)
2222< br>＝2，
(2x－
1
)的展开式中第r＋1项是T
r
＋
1
＝(－1)×C
6
×2
x
6rr6
－
r
×x
3
－
r
，令3－r＝2得，r＝1，
故其系数为(－1)1
×C
6
1
×2
5
＝－192.
15．抛物线y＝2x与直线y＝4－x围成的平面图形的面积为________．
[答案] 18
2
?
?
y＝2x
y
2
[解析] 由方程组
?
解得两交点A(2,2)、B(8，－4)，选y作为积分变量x＝、
2
?
y＝4－x
?
2

x＝4－y
y
2
y
2
y
3
2
∴S＝
?
?
－4[(4－y)－
2
]dy＝(4y－
2
－
6
)|
－
4
＝18 .
2


4
16．(2010·安徽合肥质检)抛物线y
2
＝ax(a>0)与直线x＝1围成的封闭图形的面积为，
3
若直线l与抛物线相切 且平行于直线2x－y＋6＝0，则l的方程为______．
[答案] 16x－8y＋1＝0
[解析] 由题意知
?
?
0
1
2
axdx＝，∴a＝1，
3
含详解答案

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设l：y＝2x＋b代入y
2
＝x中，消去y得，
4x
2
＋(4b－1)x＋b
2
＝0，
1
由Δ＝0得，b＝，
8
∴l方程为16x－8y＋1＝0.
1 7．(2010·福建福州市)已知函数f(x)＝－x
3
＋ax
2
＋bx( a，b∈R)的图象如图所示，它与x
1
轴在原点处相切，且x轴与函数图象所围成区域(图中 阴影部分)的面积为，则a的值为
12
________．

[答案] －1
[解析] f ′(x)＝－3x
2
＋2ax＋b，∵f ′(0)＝0，∴b ＝0，∴f(x)＝－x
3
＋ax
2
，令f(x)＝0，
得x＝0或 x＝a(a<0)．
S
阴影
＝－
?
?
(－x＋ax)dx ＝
a
0
32
1
4
1
a＝，∴a＝－1.
1212
三、解答题
18．如图所示，在区间[0,1]上给定曲线y＝x
2
，试在此区间内确定t的值，使图中阴影
部分的面积S
1
＋S
2< br>最小．

2
3
t
2
[解析] 由题意得S
1
＝t·t
2
－
?
xdx＝t，
?
0
3
含详解答案

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S
1
?
2
dx－t
2
(1－t)＝
2
t
3
－t
2
＋
1
2
＝
?
x，
t33
所以S＝SS
41
1
＋
2
＝
3
t
3
－t
2
＋
3
(0≤t≤1)．
又S′(t)＝ 4t
2
－2t＝4t
?
1
?
t－
2
??
，
令S′(t)＝0，得t＝
1
2
或t＝0.
因 为当01
2
时，S′(t)<0；当
1
2
0.
所以S(t)在区间
?
?
0，
1
2< br>?
?
上单调递减，在区间
?
1
?
2
，1?
?
上单调递增．
所以，当t＝
11
2
时，S
min
＝
4
.

含详解答案