高中数学几何部分试题汇总

高中数学几何部分试题汇总
1.如图：在四棱锥
P?ABCD中，底面
ABCD
是菱形，
?ABC?60?
，
PA?
平面
ABCD
，
点
M
、
N
分别为
BC< br>、
PA
的中点，且
PA?AB?2
．
⑴ 证明：
BC?
平面
AMN
；
⑵ 在线段
PD
上是 否存在一点
E
，使得
NM∥
平面
ACE
；若存在，求出PE
的长；若不存在，说明理由．
A
N
P



,A
上
D
，
D
，点
E,F
分别 在线段
AB
2.如图，在矩形
ABC
中
AE?E?B
2A?F
3
4F?D
.沿直线
EF
将
'
BM
C
VAEF
翻折成
VA
'
EF
，使平面AEF?平面BEF
.
点
M,N
分别在线段
FD,BC
上，若沿直线
MN
将四边形
MNCD
向上翻折，使
C
与A
重合，求
线段
FM
的长。



3.如图，直三棱柱
ABC?A
1
B
1
C
1
中，< br>AC?BC
，
AA
1
?AB
，
D
为
BB
1
的中点，
E
为
AB
1
上的一点，
A E?3EB
1
．求证：
DE
为异面直线
AB
1
与< br>CD
的公垂线。



'

1
B
1
C
1
D
1
中，
E
、F
分别是棱4.如图，在长方体
ABCD?A
BC
,
CC
1
上的点，
CF?AB?2CE
,
AB:AD:AA
1
? 1:2:4

证明：
AF?
平面
A
1
ED




5.如图，四棱锥S-ABCD中，SD
?
底面AB CD，ABDC，AD
?
DC，
AB=AD=1，DC=SD=2，E为棱SB上的一 点，平面EDC
?
平面SBC .
证明：SE=2EB；





6.在四棱锥
P?ABCD
中，底面
ABC D
是矩形，
PA?
平面
ABCD
，
PA?AD?4
，
AB?2
. 以
AC
的中点
O
为球心、
AC为直径的球面交
PD
于点
M
，交
PC
于点
N< br>.
A
NM
P
D
（1）求证：平面
ABM
⊥ 平面
PCD
；
（2）求点
N
到平面
ACM
的距离.


7.
如图， 在四面体ABOC中,
OC?OA,OC?OB,?AOB?120
。
, 且
OA?OB?OC?1
。
设为
P
为
AC
的中点， 证明： 在
AB
上存在
O
B
C
AB
一点
Q
，使
PQ?OA
，并计算
AQ
的值；

答案部分
1.如图：在四棱锥
P?ABCD
中， 底面
ABCD
是菱形，
?ABC?60?
，
PA?
平面ABCD
，
点
M
、
N
分别为
BC
、
PA
的中点，且
PA?AB?2
．
⑴ 证明：
BC?
平面
AMN
；
⑵ 在线段
PD
上是 否存在一点
E
，使得
NM∥
平面
ACE
；若存在，求出PE
的长；若不存在，说明理由．
A
N
P

证明：⑴ 因为
ABCD
为菱形，所以
AB?BC

又
?ABC?60?
，所以
AB?BC?AC
，
又
M
为
BC
中点，所以
BC?AM

而< br>PA?
平面
ABCD
，
BC?
平面
ABCD
，所以
PA?BC

又
PAAM?A
，所以
BC?
平面
AMN

⑵ 存在。取
PD
中点
E
，连结
NE
，
E C
，
AE
，
因为
N
，
E
分别为
PA
、
PD
中点，所以
NE∥AD
且
又在菱形
AB CD
中，
CM∥AD
，
CM?
1
AD
2

B
M
C
NE?
1
AD
2

所以< br>NE∥MC
，
NE?MC
，即
MCEN
是平行四边形
所以
NMEC
，又
EC?
平面
ACE
，
NM?< br>平面
ACE

所以
MN
平面
ACE
，即在< br>PD
上存在一点
E
，使得
NM∥
平面
ACE
，
1
PE?PD?2
2
此时．
—————————————华 丽 丽 滴 分 割 线———————————
,A
上
D
，
D< br>，点
E,F
分别在线段
AB
2.如图，在矩形
ABC
中
AE?E?B
2
A?F
3
4F?D
.沿直线
EF
将
'
VAEF
翻折成
VA
'
EF
，使平 面
AEF?平面BEF
.
点
M,N
分别在线段
FD,BC< br>上，若沿直线
MN
将四边形
MNCD
向上翻折，使
C
与
A
重合，求
'

线段
FM
的长。

解：设
FM?x
,因为翻折后，
C
与
A'
重合，所以
CM?A'M
，
22222
CM?DC?DM?8?(6?x)
而，
2
A'M
2
?A'H
2
?MH
2
?A'H
2
?MG
2
?GH
2

?(22)
， 得
x?
21
4
，
经检验，此时点
N
在线段
BC
上，所以
FM?
21
4
。
—————————————华 丽 丽 滴 分 割 线———————————
3.如图 ，直三棱柱
ABC?A
1
B
1
C
1
中，
A C?BC
，
AA
1
?AB
，
D
为
BB1
的中点，
E
为
AB
1
上的一点，
AE?3E B
1
．求证：
DE
为异面直线
AB
1
与
C D
的公垂线。

证明：连接A1B，记A1B与AB1的交点为F.
因为 面AA1BB1为正方形，故A1B⊥AB1，且AF=FB1，
又AE=3EB1，所以FE=EB1 ，又D为BB1的中点，故
DE∥BF，DE⊥AB1.
作CG⊥AB，G为垂足，由AC=BC知，G为AB中点.
又由底面ABC⊥面AA1B1 B.连接DG，则DG∥AB1，故
DE⊥DG，故DE⊥面CGD，得DE⊥CD.
所以DE为异面直线AB1与CD的公垂线.

—————————————华 丽 丽 滴 分 割 线———————————
11
D
1
中，
E、
F
分别是棱
BC
,
CC
1
4.如图，在长 方体
ABCD?A
1
BC
上的点，
CF?AB?2CE
,< br>AB:AD:AA
1
?1:2:4

证明
AF?
平面
A
1
ED

CDEC1
??
证明：连接AC，设AC与DE交点N 因为
BCAB2，所以
Rt?DCERt?CBA
，从而
?CDE??B
，又由于
?CDE??CED?90?
,所以
?BCA??CED?90?
，故AC⊥DE, 又因为CC1⊥DE且

CC
1
?AC?C
，所以DE⊥平面ACF，从而AF⊥DE.
连 接BF，同理可证B1C⊥平面ABF,从而AF⊥B1C,所以AF⊥A1D因为
DE?A?D
1
D
，所以AF⊥平面A1ED
—————————————华 丽 丽 滴 分 割 线———————————
5.如图，四棱锥S-ABCD中，SD
?
底面AB CD，ABDC，AD
?
DC，
AB=AD=1，DC=SD=2，E为棱SB上的一 点，平面EDC
?
平面SBC .
证明：SE=2EB；


—————————————华 丽 丽 滴 分 割 线———————————
6.在四 棱锥
P?ABCD
中，底面
ABCD
是矩形，
PA?
平面< br>ABCD
，
PA?AD?4
，
AB?2
. 以
AC< br>的中点
O
为球心、
AC
为直径的球面交
PD
于点M
，交
PC
于点
N
.
P
（1）求证：平面
ABM
⊥平面
PCD
；
（2）求点
N
到平面
ACM
的距离.

解：（1）依题设知，AC是所作球面的直径，则AM
⊥MC。又因为P A⊥平面ABCD，则PA⊥CD，又CD
⊥AD，所以CD⊥平面ＰＡＤ，则CD⊥AM，所以A M
⊥平面PCD，所以平面ABM⊥平面PCD。
（2）由（1）知，
AM?PD< br>，又
PA?AD
，则
M
是
PD
的中点可得
A M?22
，
O
B
C
A
NM
D
MC?MD< br>2
?CD
2
?23

则
S
?ACM
1
AM?MC?26
2

设 D到平面ACM的距离为
h
，由
V
D?ACM
?V
M?AC D
即
26h?8
，
h?
PNPA8
26
?
?
3
，可求得PC=6。因为AN⊥NC，由
PAPC
，得PN
3
。所以可求得
5
NC:PC?5:9
。故N点到平面ACM的距离等于P点到 平面ACM距离的
9
。
又因为M是PD的中点，则P、D到平面ACM的距离相等， 由（2）可知所求距离
5106
h?
27
。 为
9
—————————————华 丽 丽 滴 分 割 线———————————
7.
如图， 在四面体ABOC中,
OC?OA,OC?OB,?AOB?120
。
, 且
OA?OB?OC?1
。
设为
P
为
AC
的中点， 证明： 在
AB
上存在一点
Q
，使
AB
PQ?OA
，并计算
AQ
的值；