2018高中数学导数大题集

18． (本小题满分13分)
已知函数
f(x)?
lnx?1
?ax
．
x
（Ⅰ ）当
a?2
时，（ⅰ）求曲线
y?f(x)
在点
(1,f(1))< br>处的切线方程；
（ⅱ）求函数
f(x)
的单调区间；
（Ⅱ）若
1?a?2
，求证：
f(x)
18． (本小题满分13分)
??1
．
lnx?1
?2x
.
x
2?lnx2?2x
2
?lnx
.
f
?
(x)??2?
22
xx

（Ⅰ）当
a?2
时，
f(x)?
（ⅰ）可得
f
?
(1)?0
，又
f(1)??3
，所以
f(x)
在点（
1,?3
）处的切线方程为
y??3
.
….3分
（ⅱ）在区间（
0,1
）上
2?2x
2
? 0
，且
?lnx?0
，则
f
?
(x)?0
.
在区间（
1,??
）上
2?2x
2
?0< br>，且
?lnx?0
，则
f
?
(x)?0
.
所以
f(x)
的单调递增区间为（
0,1
），单调递减区间为（
1, ??
）. ….8分
（Ⅱ）由
x?0
，
f(x)??1
，等价于
lnx?1
?ax??1
，等价于
ax
2
?x? 1?lnx?0
.
x
设
h(x)?ax
2
?x?1 ?lnx
，只须证
h(x)?0
成立.
12ax
2
?x?1
因为
h
?
(x)?2ax?1??
，
1?a?2
，
xx
由
h
?
(x)?0
，得
2ax
2
?x?1?0
有异号两根.
令其正根为
x
0
，则
2ax
0
2
?x
0
?1?0
.
在
(0,x
0
)
上
h
?
(x)?0
，在< br>(x
0
,??)
上
h
?
(x)?0
.
2
?x
0
?1?lnx
0
则
h(x)< br>的最小值为
h(x
0
)?ax
0
1?x
0
? x
0
?1?lnx
0

2

3?x
0
??lnx
0
.
2

1a3
又
h
?
(1)?2a?2?0
，
h< br>?
()?2(?)?a?3?0
，
222
?

1
?x
0
?1
.
2
3?x
0
则
?0,?lnx
0
?0
.
2
3?x
0
因此
?lnx
0
?0
，即
h(x
0
)?0
.所以
h(x)?0

2
所以
f(x)??1
. ….….13分
所以

(19)（本小题14分）
已知函数
f(x)?e
x
?a(x?1)
.
若曲线
y?f(x)
在
(0,f(0))
处的切线斜率为0，求a的值；
(Ⅱ）若
f(x)?0
恒成立，求a的取值范围；
(Ⅲ）求证：当a
a?0
时，曲线
y?f(x)
(x>0)总在曲线
y?2?lnx
的上方．

19）（共14分）
解：（I）函数
f(x)?e?a(x?1)
的定义域为
R
.
因为
f(x)?e?a(x?1)
，所以
f'(x)?e?a
.
由
f'(0)?1?a?0
得
a?1
. ……………………………4分
（II）
f'(x)?e?a(x?R)
.
①当
a?0
时，令
f'(x)?0
得
x?lna
.
x
xx
x
x?lna
时，
f'(x)?0
；
x?lna
时，
f'(x)?0
.
f(x)
在
(??, lna)
上单调递减，在
(lna,+?)
上单调递增.
所以当
x ?lna
时，
f(x)
有最小值
f(lna)?a?a(1?lna)??a lna
.
“
f(x)?0
恒成立”等价于“
f(x)
最小 值大于等于0”，即
?alna?0
.
因为
a?0
，所以
0?a?1
.
②当
a?0
时，
f(x)?e?0
符合题意；
11
?1??1?
1
1
a
?a(?1??1)?e
a
?1?0
，不符合③当
a?0
时，取
x
0
??1?
，则f(x
0
)?e
a
a
x
题意.

综上，若
f(x)?0
对
x?R
恒成立，则
a
的取值范围 为
[0,1]
. ……………………9分
x
（III）当
a?0
时，令
h(x)?f(x)?(2?lnx)?e?lnx?2(x?0)
，可求h'(x)?e?
x
1
.
x
1
1
1
x
因为
h'()?e
2
?10?0
，
h'(1)?e?1? 0
，且
h'(x)?e?
在
(0,??)
上单调递增，
2
x
所以在（0，
+?
）上存在唯一的
x
0
，使得< br>h'(x
0
)?e
0
?
x
11
?0
，即
e
x
0
?
，且
x
0
x
0
1
0
<1
. 2
当
x
变化时，
h(x)
与
h'(x)
在（0 ，
+?
）上的情况如下：
x

(0,x
0
)

x
0

0
极小
x
(x
0
,??)

h'(x)

h(x)

?


?


则当< br>x?x
0
时，
h(x)
存在最小值
h(x
0
)
,且
h(x
0
)?e
0
?lnx
0
?2 ?
1
?x
0
?2
.
x
0
因为
x
0
?(,1)
，所以
h(x
0
)?
1
2< br>11
?x
0
?2?2?x
0
?2?0
.
x
0
x
0
所以当
a?0
时，
f(x)?2?lnx( x?0)

所以当
a?0
时，曲线
y?f(x)(x?0)
总在曲线
y?2?lnx
的上方. .. …………14分

（19）（本小题
13
分）
已知函数
f
?
x
?
＝－alnx(a?R)
．
（Ⅰ）当
a＝-1
时，
（i）求
f(x)
在
(1,f(1))
处的切线方程；
（ ii）设
g(x)?xf(x)?1
，求函数
g
?
x
?的极值；
（Ⅱ）若函数f(x)在区间
?
1
x
?
1< br>?
,??
?
有两个的零点，求实数a的取值范围．
2
e
??

（19） (Ⅰ)解：
a＝-1
，
f
?
x
?
＝－lnx
，
f
?
1< br>?
＝1
，
f?
?
x
?
＝
1
x
?11
?
.
2
xx
?k?f?
?
1
?
＝0
.
故所求切线方程为：
y＝1

(Ⅱ) 解：
g
?
x
?
?xlnx
,函数定义域为：
{x|x?0}

1
g?
?
x
?
?lnx?1
，
x
0
?
e
1
(0,)
e
g?(x)?
x
g(x)< br>1
e
极小值
1
(,??)
e
?

故
g
?
x
?
的极小值为
?
，无极大值.
(Ⅲ)解法1：令
f
?
x
?
?
问题等价于函数y?
1
e
11
?alnx?0
，解得：
＝xlnx（显然
a?0
）
xa
1
与函数
y＝xlnx
的图像有两个不同交点.
a
1
?
1
??
e
2
1211
?
?< br>ae
?a??e
由(Ⅱ)可知：
g(
2
)??
2< br>，
g()??
，
?
，解得：
?
12
2
eeee
?
??
2
?
e
?
a
?
e
2
?
故实数a的取值范围是
?
?,?e
?
.
?
2
?
(Ⅲ)解法2：
f
，
?
x
?
??
1aax?1

???
22
xxx
1
?
1
?
在
?
2
,??
?
上是减函数，
f
?
x
?
不能有 两个零点；
x
?
e
?
（1）
a?0
时，
f
?
x
?
?
（2）
a?0
时，
ax?1 ?0
，所以
f
，
?
x
?
??
ax?1?
1
?
,??
?0在
?
恒成立，所以
2
?
e
x
2
??
?
1
?
f
?x
?
在
?
2
,??
?
上是减函数，
f
?
x
?
不能有两个零点；
?
e
?
（3）
a?0
时，令
f
，
?
x
?
??
a x?11

?0,x??
2
xa
f
?
x
?
,f
，
?
x
?
变化情况如下表：

x
f
,
?
x
?
f
?
x
?
（i）
?
点；
（ii）
?
1
??
0,?
??
a
??
?
1
?
1
?
?,??
??
a
?
a
?

0?
极大值
?
1 1
?
1
?
?
2
时，即
a??e
2
，
f
?
x
?
在
?
2
,??
?上是增函数，所以
f
?
x
?
不能有两个零
ae
?
e
?
1
?
11
?
1
?
1
?
?
2
时，
?e
2
?a?0
f
?
x
?
在
?
2
,?
?
上是减函数，
f?
x
?
在
?
?,??
?
上是
a
?
ae
?
e
?
a
?
?
1
?f
?
1
?
?0
所以若
f
?
x
?
在
?
2
,??
?
有两个零点只需：
?
e
?
增函数.
?
?
1
?
?< br>?
1
?
f??0
?a?aln
?
a??e
?
?
a
?
?
?
?
?0
2
?
e
???
?
a
?
??
即：
?
解得
?
?
e
2
所以
?
2
?a??e

?
f
?
1
?
?0
?
e
2
?aln
1
?0
?
a??
?2
?
2
?
?
?
e
2
?< br>?
?
e
?
?
e
2
?
综上可知
a
的范围是
?
?,?e
?

?
2
?

（18）（本小题共13分）
已知函数
f(x)?e?a(lnx?1)(a?R)
．
（Ⅰ）求函数
y?f(x)
在点
(1,f(1))
处的切线方程；
（Ⅱ）若函数
y?f(x)
在
(,1)
上有极值，求
a的取值范围．

（18）（本小题共13分）
解：函数
x
1
2
f(x)
的定义域为
(0,??)
，
f
?
(x)?e
x
?
（
a
． ……………………1分
x
Ⅰ）因为
f(??a1
，
f
?< br>(1)?e?a
， ……………………3分
所以曲线
y?f(x)
在点
(1,f(1))
处的切线方程为
y?(e?a)?(e?a)(x?1)
，
即

y?(e?a)x
． ……………………5
分
（Ⅱ）
f
?
(x)?e
x
?
a
．
x
当（ⅰ）
a?0
时，对于任意
x?(
1
2
,1
，
)
都有
f
?
(x?)
， ……………………6分
所以函数
f(x)
在
(,1)
上为增函数， 没有极值，不合题
意． ……………………8分
（ⅱ）当
1
2
a?0
时，令
g(x)?e
x
?
a
x< br>，则
g
?
(x?)
x
?
a
……………………9分
e?
．
0
2
x
所以
g(x)
在
(,1)
上单调递增，即
f
?
(x)< br>在
(,1)
上单调递
增， ……………………10分
所以函数
1
2
1
2
f(x)
在
1
(,1)
2
上有极值，等价于
1)0,
?
f
?
(?
?
……………………12分
?
1
?f(?)0.
?
?
2
?
e
?
e?a?0,?a?e
． 所以
?
所以
2
?
?
e?2a? 0.
所以
a
的取值范围是
(


e
,e)
． ……………………13分
2

18.

（本题满分
13
分）

（Ⅰ）当
a?0
时，
f(x)?
lnx

x
1
?x?lnx
1?lnx

故
f'(x)?
x
?
x
2
x
2

令

故
f'(x)?0
，得
0?x?e

f(x)
的单调递增区间为
(0,e)
···················· ···································· 4
分

x?aa
?lnx1??lnx

（Ⅱ）方法
1
：
x
f'(x)?
x
?
(x?a)
2
(x?a)
2

令
g(x)?1?

则
g'(x)??

由
g(e)?


a
?lnx

x
a1x?a
????0

x
2
xx
2
aa1
?0
，
g(e
a?1
)?1?
a?1
?(1?a)?a?(
a?1
?1)?0

eee
a?1

故存在
x
0
?(e,e)
，
g(x
0
)?0


故当
x?(0,x0
)
时，
g(x)?0
；当
x?(x
0
,?? )
时，
g(x)?0

x

(0,x
0
)

x
0

0

(x
0
,??)

f'(x)

f(x)


故
f(x
0
)?
?

?

↘

↗

极大值

1

e2
?
a
2
?
1?
x
?lnx
0
?0
?
?
?
x
0
?e
0

故< br>?
·········································· ········· 13
分

，解得
?
2
?
?< br>lnx
0
?
1
?
a?e
2
?
?x
0
?ae

故
a
的值为
e
2
.
（Ⅱ）方法
2
：
f(x)
的最大值为
1lnx1
x?(0,??)
?
的 充要条件为对任意的，且存
e
2
x?ae
2
在
x
0
?(0,??)
，使得
lnx
0
1
?
2
， 等价于对任意的
x?(0,??)
，
a?e
2
lnx?x
且 存
x
0
?ae
2
在

x
0
?(0 ,??)
，使得
a?elnx
0
?x
0
，

等价于
g(x)?e
2
lnx?x
的最大值为
a
.
e
2
g'(x)??1
，

x
令
g'(x)?0
，得
x?e
2
.
x

(0,e
2
)

e
2

0

(e
2
,??)

g'(x)

g(x)

2
?

?

↘

↗

2222
极大值

·························· 13
分

故g(x)
的最大值为
g(e)?elne?e?e
，即
a?e
2
. ·

be
x
?aln(x?2)
19.（本题满分14 分）已知
f(x)?
在
(?1,f(?1))
处的
x?2
1
切线方程为
y?x??1
。
e
（1）求
y?f(x)
的解析式；
（2）设
h(x)? (x?2)e
x
?
1
（x??2)
，求
h(x)
零 点的个数；
x?2
（3）求证：
y?f(x)
在
(?2,??)< br>上单调递增。

be
x
?aln(x?2)
19.（本题满 分14分）已知
f(x)?
在
(?1,f(?1))
处的
x?2
1
切线方程为
y?x??1
。
e
（1）求
y?f(x)
的解析式；
（2）设
h(x)? (x?2)e
x
?
1
（x??2)
，求
h(x)
零 点的个数；
x?2
（3）求证：
y?f(x)
在
(?2,??)< br>上单调递增。
be
x
?aln(x?2)be
x
(x?1) ?a?aln(x?2)

?f(x)?
解：（1）
f(x)?
……2 分
2
x?2(x?2)
e
x
?ln(x?2)
1
f(?1)?a?1
，
f(?1)?be??b?1
，所以
f(x)?
……5分
x?2
e

?1

（2）
h(x) ?(x?2)e
x
?
11
（x??2)?h

(x)?(x? 3)e
x
??0

2
x?2(x?2)
11
h(x )
在
(?1,0)
上递增，
h(?1)??1?0,h(0)?2??0，
e2
存在一个零点
x
0
，且
?1?x
0< br>?0
…………………………………8分
11
注：若没有说明
h(?1)??1?0,h(0)?2??0
扣1分。
e2
(x?1)e
x
?1?ln(x?2)
x
g(x)?( x?1)e?1?ln(x?2)
（3）由（1）得，
f(x)?
，设
2< br>(x?2)

g

(x)?(x?2)e
x
?
1
，由（2）可知，存在一个零点
x
0
，且
?1?x
0
?0

(x?2)
g

(x
0
)?0
，< br>g

(x)
在
(?2,x
0
)
上递减，在(x
0
,??)
上递增，
x
0
?1?0,1?x0
?2?2?ln(x
0
?2)?1?1?ln(x
0
?2)? 0
，………10分
所以，
g(x)
min
?g(x
0)?(x
0
?1)e
x
0
?1?ln(x
0
? 2)
，
g(x)
min
?g(x
0
)?0
， g(x)?g(x)
min
?g(x
0
)?0
，………………… …………………………12分
(x?1)e
x
?1?ln(x?2)
?0< br>，
y?f(x)
在
(?2,??)
上单调递增…14分 得
f(x)?
2
(x?2)


19．（本小题共14分）
已知
f(x)?e
x
?ax
2
，曲线
y?f(x)
在
(1,f(1))
处的切线方程为
y?bx?1
.
（Ⅰ）求
a,b
的值；
（Ⅱ）求
f(x)
在
[0,1]
上的最大值；
（Ⅲ）当< br>x?R
时，判断
y?f(x)
与
y?bx?1
交点的个数.（ 只需写出结论，不要求证明）
19．（本小题共14分）
解：（Ⅰ）
f
?
(x)?e
x
?2ax
,
由已知可得
f
?
(1)?e?2a?b
，
f(1)?e?a?b? 1

解之得
a?1,b?e?2
． …………3分
（Ⅱ）令
g(x)?f'(x)?e
x
?2x
．

则
g'(x)?e
x
?2
, …………5分
故当
0?x?ln2
时，
g'(x)?0
，
g(x)
在
[0,ln2)
单调递减；
当
l n2?x?1
时，
g'(x)?0
，
g(x)
在
(ln2, 1]
单调递增；
所以
g(x)
min
?g(ln2)?2?2ln2?0
， …………8分
故
f(x)
在
[0,1]
单调递增，
所以
f(x)
max
?f(1)?e?1
． ………11分

（Ⅲ）当
x?R
时，
y?f(x)
与y?bx?1
有两个交点. ………14分

18．（本小题满分13分）
已知函数
f(x)?e
x
?(a?< br>1
x
?lnx)
，其中
a?R
．
（Ⅰ）若曲线y?f(x)
在
x?1
处的切线与直线
y??
x
e垂直，求
a
的值；
（Ⅱ）当
a?(0,ln2)
时，证明：
f(x)
存在极小值．
18．（本小题满分13分）
解：（Ⅰ）
f(x)
的导函数为
f< br>?
(x)?e
x
?(a?
1
x
11
x
?lnx)?e?(
x
?
x
2
)



?e
x
?(a?
2
x
?
1
x
2< br>?lnx)
．
分]

依题意，有
f
?
(1)?e?(a?1)?e
，
分]
解
a?0
． [ 5分]


（Ⅱ）由
f
?
(x)?e
x
?(a?
2
x
?
121
x
2
?lnx)
及
e
x
?0
知，
f
?
(x)
与
a ?
x
?
x
2
?lnx
同号．
令
g(x )?a?
2
x
?
1
x
2
?lnx
，
分]
2
4
得
6
[
[

[

则
x
2
?2x?2(x?1)
2
?1
． [ 8分]
g
?
(x)??
33
xx
所以 对任意
x?(0,??)
，有
g
?
(x)?
故
g(x)
在
(0,??)
单调递增． [ 9
0
，
分]
11
因为
a?(0,ln2)
，所以
g(1)?a?1?0
，
g()?a?ln?0
，
22
1
故 存在
x
0
?(,1)
，使得
g(x
0
)?0
． [11
2
分]
1
f(x)
与
f
?
(x)
在区间
(,1)
上的情况如下：
2
x

f
?
(x)

f(x)

1
(,x
0
)

2
x
0

0

(x
0
,1)

?

+

↘
1
2
极小值 ↗
所以
f(x )
在区间
(,x
0
)
上单调递减，在区间
(x
0< br>,1)
上单调递增．
所以
f(x)
存在极小值
f(x
0
)
． [13分]


18.（本小题满分13分）
已知函数
f(x)?e?x
（
e
为自然对数的底数）.
x
（Ⅰ）求曲线
y?f(x)
在点
(0,f(0))
处的切线方程；
（Ⅱ）设不等式
f(x)?ax
的解集为
P
，且
{x|0? x?2}?P
,求实数
a
的取值范围；
（Ⅲ）设
g
?x
?
?f
?
x
?
?ax
，写出函数
g (x)
的零点的个数.（只需写出结论）
x
18（Ⅰ）
f'(x)?e?1 ,
所以切线的斜率
k?f
?
?
0
?
?0

又因为
f
?
0
?
?1
，
……2分

所以切线方程为
y?1
.
……3分

（Ⅱ）因为不等式
f(x)?ax< br>的解集为P，且
{x|0?x?2}?P
，
所以，对任意的
x?[0,2]
，不等式
f(x)?ax
恒成立， ………4分
x
由
f(x)?ax
得
(1?a)x?e
.当
x?0
时， 上述不等式显然成立，故只需考虑
x?(0,2]
的
情况. ………5分
e
x
?1

………6分
将
(1?a)x?e
变形得
a?
x
x
e
x
(x?1)e
x
?1
，
g'(x)?
令
g(x)?

………7分

2
x
x
令
g'(x)?0
， 解得
x?1
；令
g'(x)?0
，解得
x?1.

从而
g(x)
在（0,1）内单调递减，在（1，2）内单调递增.
………8分

当
x?1
时，
g(x)
取得最小值
e?1
，所以实数的取值范围是
(??,e?1)
.……9分

（Ⅲ）当
a??1
时有一个零点；当

-1?a?e?1

无零点

当
a?e?1
时有一个零点；当

a?e?1

时有两个零点
.
………13分


文科

20.（本小题满分13分）
已知函数
f(x)?
lnx?1
?ax(a?R)
.
x< br>（Ⅰ）若
a?0
，求曲线
y?f(x)
在点
(1,f(1))
处的切线方程；
（Ⅱ）若
a??1
，求函数
f(x)
的单调区间；
（Ⅲ）若
1?a?2
，求证：
f(x)
20. （本小题满分13分）
解：（Ⅰ）若
a?0
，则
f(1)??1
，
f
?
(x)?
??1
.
2?lnx
，
f
?
(1)?2
，
2
x< br>所以
f(x)
在点
?
1，?1
?
处的切线方程为2x?y?3?0
． ……………… 3分

2?ax
2
?lnx
（Ⅱ）
x?(0,??)
，
f
?
(x)?
.
x
2
?2ax
2
?1
令
g(x)?2 ?ax?lnx
，则
g
?
(x)?
．
x
2
令
g
?
(x)?0
，得
x???
1
1
． （依题意
??0
）
2a
2a
由
g
?
(x )?0
，得
x??
11
；由
g
?
(x)?0
，得
0?x??
．
2a2a
1
1
)
上单调递减 ，在区间
(?,??)
上单调递增
2a
2a
所以，
g(x )
在区间
(0,?
所以，
g(x)
min
?g(?
151
)??ln?
．
2a22a
1
11
ln??0
． ，
?
2a
2a2
因为
a??1
，所以
0??
所以
g(x)?0，即
f
?
(x)?0
．
所以函数
f(x)
的单调递增区间为
(0,??)
． ……………… 8
分
（Ⅲ）由
x?0
，
f(x)??1
， 等价于
lnx?1
?ax??1
，等价于
ax
2
?x?1? lnx?0
.
x
设
h(x)?ax
2
?x?1? lnx
，只须证
h(x)?0
成立.
12ax
2
?x?1
因为
h
?
(x)?2ax?1??
，
1?a?2
，
xx
由
h
?
(x)?0
，得
2ax
2
?x?1?0
有异号两根.
令其正根为
x
0
，则
2ax
0
2
?x
0
?1?0
.
在
(0,x
0
)
上
h
?
(x)?0
，在< br>(x
0
,??)
上
h
?
(x)?0
.
2
?x
0
?1?lnx
0
则
h(x)< br>的最小值为
h(x
0
)?ax
0
1?x
0
? x
0
?1?lnx
0

2

3?x
0
??lnx
0
.
2

?

1a3
又
h
?
(1)?2a?2? 0
，
h
?
()?2(?)?a?3?0
，
222
1
所以
?x
0
?1
.
2
3?x
0
则
?0,?lnx
0
?0
.
2
3?x
0
因此
?lnx
0
?0
，即
h(x
0
)?0
.所以
h(x)?0

2
所以
f(x)??1
. ……………13分


（20）（本小题13分）
已知函数
f(x)?xsinx?acosx?x
，
a?R
. （Ⅰ）当
a??1
时，求曲线
y?f(x)
在点
(0,f(0) )
处的切线方程；
（Ⅱ）当
a=2
时，求
f(x)
在区间
[0,]
上的最大值和最小值；
（Ⅲ）当
a?2
时，若方程
f(x)?3?0
在区间
[0,]
上有唯一解，求
a
的取值范围.
（20）（共13分）
解：（Ⅰ）当
a??1
时，
f(x)?xsinx?cosx?x
，
所以
f'(x)?2sinx?xcosx?1
，
f'(0)?1
.
又因为
f(0)??1
，
所以曲线
y?f(x)
在点(0,f(0))
处的切线方程为
y?x?1
. ………4分
（Ⅱ）当
a?2
时，
f(x)?xsinx?2cosx?x
，
所以
f'(x)??sinx?xcosx?1
．
当
x?(0,)
时，
1?sinx?0
，
xcosx?0
，
所以
f'(x)?0
.
?
2
?
2
?2
?
2
??
因此
f(x)
在区间
[0,]上的最大值为
f()??
，最小值为
f(0)?2
.………8分
22
所以
f(x)
在区间
[0,]
上单调递增．
（Ⅲ）当
a?2
时，
f'(x)?(1?a)sinx?xcosx?1
.

设
h(x)?(1?a)sinx?xcosx?1
，
h'(x)?(2?a)cosx?xsinx
，
因为
a?2
，
x?[0,]
,
所以
h'(x)?0
.
所以
h(x)
在区间
[0,]
上单调递减．
因为
h(0)?1?0
，
h()?1?a?1?2?a?0
， 所以存在唯一的
x
0
?[0,]
，使
h(x
0
)?0
，即
f'(x
0
)?0
.
所以
f(x)< br>在区间
[0,x
0
]
上单调递增，在区间
[x
0，]
上单调递减．
因为
f(0)=a
，
f()??
，
又因为方程
f(x)?3?0
在区间
[0,]
上有唯一解，
所以
2?a?3
. ………13分
?
2
?
2
?
2
?
2
?
2
?
2
?
2

（20）（本小题
13
分）
已知函数
f(x)?(2x?1)lnx?
切线．
（Ⅰ）求
l
的方程；
（Ⅱ）求
f(x)
的单调区间； < br>（Ⅲ）设
g(x)?f'(x)?x?a
，若关于
x
的不等式
g(x)?0
有解，求实数
a
的取值范围．
(20)解：（Ⅰ）
f'(x)?2lnx?
所以
f(1)??< br>1
2
x?2x
，
l
为曲线
C
:
y? f(x)
在点
(1,f(1))
处的
2
1
?x
.
x
55
，切点为
(1,?)
.
22
f'(1)?0

所以
L
的方程为
y??
5
………………… 5分
2
（Ⅱ）定义域为
xx?0
?

?
f'(x)?2lnx?
1
?x

x

设
g(x)?2lnx?
1
x
?x

2
g'
(x)??
?
x?1
?
x
2
?0
恒 成立
所以
g(x)
在
?
0,??
?
上是减函数， 且
g(1)?0

则当
x?
?
0,1
?
时
g(x)?0
，即
f'(x)?0

则当
x?
?< br>1,??
?
时
g(x)?0
，即
f'(x)?0
< br>所以
f(x)
的单调递增区间为
?
0,1
?
，
f(x)
的单调递减区间
?
1,??
?
.
………………… 9分
g(x)?2lnx?
1
x
?a


g
'
(x)?
21
x
?
2x?1
x
2
?
x
2

当x?
?
?
1
?
?
0,
2
?
?
时
g
'
(x)?0
，当
x?
?
?
1
?
2
,??
?
?
?
时
g
'< br>(x)?0

所以
g(x)
在
?
0 ,??
?
上的最小值为
g(
1
1
2
)
=< br>2ln
2
?2?a?2?2ln2?a

所以若关于< br>x
的不等式
g(x)?0
有解，则
2?2ln2?a?0
，即
a?2?2ln2
………………… 13分

20）（本小题共13分）
已知函数
f(x) ?
1
e
x
?alnx(a?R)
．
a?
1
e
时，求曲线
y?f(x)
在
(1,f(1))
处的切线方程；
f(x)
在定义域内不单调，求
a
的取值范围．
20）（本小题共13分）
解：函数
f(x)
的定义域
(0,??)
， ……………………1分
导函
为

数
（Ⅲ）因为





（
（Ⅰ）当
（Ⅱ）若函数
（