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2013年全国高中数学联赛试题及解答

作者:高考题库网
来源:https://www.bjmy2z.cn/gaokao
2020-09-15 02:59
tags:高中数学题

高中数学竞赛 最好辅导书-高中数学作业本必修5答案高一


2013年全国高中数学联合竞赛
第一试
一、填空题(每小题8分,共64分)

1. 设集合
A?
?
2,0,1,3
?
,集合
B?x|?x?A,2-x
2< br>?A
.则集合
B
中所有元素的和为
__________.
解:易知
B?
?
?2,0,?1,?3
?
.当
x??2,? 3
时,
2?x
2
??2,?7
,有
2?x
2
?A
;而当
??
x?0,?1
时,
2?x
2
?2 ,1
,有
2?x
2
?A
.因此,根据
B
定义可知< br>B?
?
?2,?3
?

所以,集合
B
中所有元素的和为
?5

2. 在平面直角 坐标系
xOy
中,点A

B在抛物线
y?4x
上,满足OA?OB??4

F

抛物线的焦点,则
S
OFA< br>?S
OFB
?
__________.







3. 在△ABC中,已知
sinA?10sin BsinC

cosA?10cosBcosC
,则
tanA
的值为
___________.
解:
sinA?cosA?10
?
si nBsinC?cosBcosC
?
??10cos
?
B?C
??10cosA

所以
sinA?11cosA
,故
tanA?11

4. 已知正三棱锥
P?ABC
底面边长为1,高为
2
,则其内切球半径为____ _______.












5. 设
a,b
为实数,函数
f
?
x
?
?ax?b
满足:对任意
x?[0,1]
, 有
f(x)?1
.则
ab
的最
大值为___________. < /p>


解:易知
a?f
?
1
?
?f
?
0
?
,b?f
?
0
?
,则
22
1?1 11
?
ab?f
?
0
?
?
?
f
?
1
?
?f
?
0
?
?
??
?
f
?
0
?
?f
?
1
?
?
??
f
?
1
?
?
?
?
f
?1
?
?
?

244
?
?
4
2
1
1
1

2f
?
0
?
?f?
1
?
??
时,
ab?
.故
ab
的最 大值为.
24
4
6. 从
1,2,,20
中任取5个不同的数,其 中至少有两个是相邻数的概率为
___________.










7. 若实数
x,y
满足
x?4y?2x?y
,则
x
的取值范围是___________.









8. 已知数列
?
a
n
?
共有9项,其中
a
1
?a
9
?1
,且对每个
i?
?
1,2,,8< br>?
,均有
a
t?1
?
1
?
?
?2,1,?
?
,则这样的数列的个数为____________.
a
t
?
2
?










二、解答题(3小题,共56分)
9. (本题满分16分)给定正数数列
?
x
n
?
满足
S
n
?2S
n?1
,n?2 ,3
S
n
?x
1
??x
n
.证明:存在常数
C?0
,使得
,这里

x
n
?C?2
n
,n?1,2,.





















x
2
y
2
10. (本题满分20分)在平面直角坐标系
x Oy
中,椭圆的方程为
2
?
2
?1(a?b?0)

ab
A
1
,A
2
分别为椭圆的左、右顶点,
F
1
,F
2
分别为椭圆的左、右焦点,
P
为椭圆上不
同于
A
1

A
2
的任意一点.若平面中两个点
Q
、< br>R
满足
QA
1
?PA
1

QA
2< br>?PA
2

RF
1
?PF
1

R F
2
?PF
2
,试确定线段
QR
的长度与
b
的大小关系,并给出证明.




























11. (本题满分20分)求所有的正实数对
?
a ,b
?
,使得函数
f
?
x
?
?ax
2?b
满足:对任
意实数
x,y
,有

f
?
xy
?
?f(x?y)?f
?
x
?< br>f
?
y
?


< br>加试
一、(本题满分40分)如图,
AB
是圆
?
的一条弦,< br>P
为弧
AB
内一点,
E

F
为线段AB上两点,满足
AE?EF?FB
,连线
PE

PF
并延 长,与圆
?
分别交于点
C

D
,求证

EF?CD?AC?BD

P
A
E
F
B

C
D








二、(本题满分40分)给定正整数
u,v
.数 列
?
a
n
?
定义如下:
a
1
?u?v,对整数
m?1

?
a
2m
?a
m
?u

?
a?a ?v
m
?
2m?1

S
m
?a
1
?a
2
?

?a
m
?
m?1,2,
?.证明:数列
?
S
m
?
中有无穷多项是完全平方数.


三、(本题满分50分)一次考试共有
m
道试题,n个学生参加,其中
m,n?2
为给定的整数,
每道题的得分规则是:若该题恰有x个学生没有答对,则每个答对该 题的学生得x分,未答
对的学生得零分.每个学生的总分为其m道题的得分总和,将所有学生总分从高到 低排列

p
1
?p
2
??p
n
,求
p
1
?p
n
的最大可能值.


四、(本题满分50 分)设
n,k
为大于1的整数,
n?2
k
.证明:存在
2k
个不被
n
整除的整数,
若将它们任意分成两组,则总有一组有若干个数的和被
n
整除.

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