2013年全国高中数学联赛试题及解答

2013年全国高中数学联合竞赛
第一试
一、填空题（每小题8分，共64分）

1. 设集合
A?
?
2,0,1,3
?
，集合
B?x|?x?A，2-x
2< br>?A
．则集合
B
中所有元素的和为
__________．
解：易知
B?
?
?2,0,?1,?3
?
．当
x??2,? 3
时，
2?x
2
??2,?7
，有
2?x
2
?A
；而当
??
x?0,?1
时，
2?x
2
?2 ,1
，有
2?x
2
?A
．因此，根据
B
定义可知< br>B?
?
?2,?3
?
．
所以，集合
B
中所有元素的和为
?5
．
2. 在平面直角 坐标系
xOy
中，点A
、
B在抛物线
y?4x
上，满足OA?OB??4
，
F
是
抛物线的焦点，则
S
OFA< br>?S
OFB
?
__________．







3. 在△ABC中，已知
sinA?10sin BsinC
，
cosA?10cosBcosC
，则
tanA
的值为
___________．
解：
sinA?cosA?10
?
si nBsinC?cosBcosC
?
??10cos
?
B?C
??10cosA
，
所以
sinA?11cosA
，故
tanA?11
．
4. 已知正三棱锥
P?ABC
底面边长为1，高为
2
，则其内切球半径为____ _______．












5. 设
a,b
为实数，函数
f
?
x
?
?ax?b
满足：对任意
x?[0,1]
， 有
f(x)?1
．则
ab
的最
大值为___________． < /p>

解：易知
a?f
?
1
?
?f
?
0
?
,b?f
?
0
?
，则
22
1?1 11
?
ab?f
?
0
?
?
?
f
?
1
?
?f
?
0
?
?
??
?
f
?
0
?
?f
?
1
?
?
??
f
?
1
?
?
?
?
f
?1
?
?
?
．
244
?
?
4
2
1
1
1
当
2f
?
0
?
?f?
1
?
??
时，
ab?
．故
ab
的最 大值为．
24
4
6. 从
1,2,,20
中任取5个不同的数，其 中至少有两个是相邻数的概率为
___________．










7. 若实数
x,y
满足
x?4y?2x?y
，则
x
的取值范围是___________．









8. 已知数列
?
a
n
?
共有9项，其中
a
1
?a
9
?1
，且对每个
i?
?
1,2,,8< br>?
，均有
a
t?1
?
1
?
?
?2,1,?
?
，则这样的数列的个数为____________．
a
t
?
2
?

二、解答题（3小题，共56分）
9. （本题满分16分）给定正数数列
?
x
n
?
满足
S
n
?2S
n?1
,n?2 ,3
S
n
?x
1
??x
n
．证明：存在常数
C?0
，使得
，这里

x
n
?C?2
n
,n?1,2,．





















x
2
y
2
10. （本题满分20分）在平面直角坐标系
x Oy
中，椭圆的方程为
2
?
2
?1(a?b?0)
，
ab
A
1
,A
2
分别为椭圆的左、右顶点，
F
1
,F
2
分别为椭圆的左、右焦点，
P
为椭圆上不
同于
A
1
和
A
2
的任意一点．若平面中两个点
Q
、< br>R
满足
QA
1
?PA
1
，
QA
2< br>?PA
2
，
RF
1
?PF
1
，
R F
2
?PF
2
，试确定线段
QR
的长度与
b
的大小关系，并给出证明．

11. （本题满分20分）求所有的正实数对
?
a ,b
?
，使得函数
f
?
x
?
?ax
2?b
满足：对任
意实数
x,y
，有

f
?
xy
?
?f(x?y)?f
?
x
?< br>f
?
y
?
．

< br>加试
一、（本题满分40分）如图，
AB
是圆
?
的一条弦，< br>P
为弧
AB
内一点，
E
、
F
为线段AB上两点，满足
AE?EF?FB
，连线
PE
、
PF
并延 长，与圆
?
分别交于点
C
、
D
，求证

EF?CD?AC?BD

P
A
E
F
B

C
D

二、（本题满分40分）给定正整数
u,v
．数 列
?
a
n
?
定义如下：
a
1
?u?v,对整数
m?1
，
?
a
2m
?a
m
?u

?
a?a ?v
m
?
2m?1
记
S
m
?a
1
?a
2
?

?a
m
?
m?1,2,
?．证明：数列
?
S
m
?
中有无穷多项是完全平方数．