高中数学教材重点习题集(1).

高中数学教材重点习题集
必修一
1.已知集合
A
?
{x|3
?
x
?
7},B
?
{x|2
?
x
?
10}
5.全集
U?{1,2,3,4,5,6,7,8,9},
且
C
U
(A
?
B)?{1,3,},A
?
(C< br>U
B)?{2,4}
，求集合B



求
(C
R
A)
?
B;A
?
(C
R
B)








2.已知全集
U?A
?
B?{x?N|0?x?10},A
?
(C
U
B )?{1,3,5,7}
，求集合B






3.下列函数中哪个与函数
y?x
相等
A.
y?(x)
2
B.
y?
3
x
3
C.
y?x
2
D.
y?
x
2
x





4.函数
f(x)?[x]
的函数值表示 不超过
x
的最大整数，例如[-3.5]=-4，
x?(?2.5,3]
时， 写出函数
f(x)
的解析式，并作出函数的图象






，当



6.证明
（1）
若f(x)?ax?b,则f(
x
1
?x
2
f(x
1)?f(x
2
)
2
)?
2










（2）
g(x) ?x
2
?ax?b,则g(
x
1
?x
2
g(x1
)?g(x
2
)
2
)?
2










7.已知函数
y?x
?2
，判断它的奇偶性，并指出它的单调区间






1
[2.1]=2

8.比较下列各题中两个值的大小
（1）1.7
2.5
，1.7
3
（2）0.8
-0.1
，0.8
-0.2
（3）1.7
0.3
，0.9
3.1















9.设
y
?1
1
?a
3x
,y
2
?a
?2x
(a?0且a?1),
确定
x
为何值时有
（1）
y
1
?y
2
（2）
y
1
?y
2












10.求函数定义域（1）
y?
3
log
x
（2）
y?log
(4x?3)
2

0.5







11.若
xlog
4
3
?1,求4
x
?4
?x
的值






3
12.若
log
4
a
?1
（a>0且a≠1) 求实数a的取值范围






13.已知< br>f(x)?lg
1?x
1?x
,a,b?(?1,1)
，求证：
f(a)?f(b)?f(
a?b
1?ab
)









14.已知集合
A?{y| y?log
x
2
,x?1},B?{y|y?(
1
2
)x
,x?1}
，则A
?
B=






15.
f(x)?a?
2
2
x?1
，判断
f(x)
的单调性，是否存在实数a，使
f(x)
为 奇函数
2

x)?
e
x
?e
?x
e
x
?e
?x
16.设
f(
2
,g(x) ?
2
，求证：
（1）
[g(x)]
2
?[f(x)]
2
?1







（2）
f(2x)?2f(x)?g(x)







（3）
g(2x)?[g(x)]
2
?[f(x)]
2







17.若函数
f(x)唯一的零点同时在区间（0，16）；（
下列命题中正确的是（ ）
A 函数
f(x)
在区间（0，1）内有零点
B 函数
f(x)
在区间（0，1）或（1，2）内有零点
C 函数
f(x)
在区间[2，16）上无零点
D 函数
f(x)
在区间（1，16）内无零点

0，8）；（0，4）；（< br>18.用二分法求函数
f(x)?lgx
和
g(x)?
1
x< br>交点的横坐标（精确到0.1）






必修二
1.（P21）2题










0，2）内
2.正方体各面所在平面将空间分成几部分？


3.（P52）B组1题








3

4.已知正方体A—C
1
，求证平面AB1
D
1
平面C
1
BD








5.如图
?

?

?
，直线
a与b
分别交
?，?，?
于点A、B、C和D、 E、F
求证
ABDE
BC
?
EF







6.如图AB是⊙O的直径，点C是⊙O上的动点，过动点 C的直线VC垂直于⊙O所在平
面。D、E分别是VA、VC的中点，试判断DE与平面VBC的位置关 系。




7.如图连长为2的正方形ABCD中
（ 1）点E是AB的中点，点F是BC的中点，将△AED、△DCF分别沿DE、DF折起，使
A、C两 点重合于点A?,求证A?D⊥EF
（2）当BE=BF=
1
4
BC时，求三棱锥A?——EFD的体积







4

8.经过点P（0，-1）作直线
l
，若直线
l
与连结A（1，-2）， B（2，1）的线段总有公
共点，找出直线
l
的倾斜角
?
与斜率k的 取值范围






9.一条直线过点A（2，-3）并且它的斜率等于直线
y?
的方程






10.若直线
l
沿
x
轴向左平移3个单位，再沿
y
轴向上平移1个单位后回到原来的位置，
求直线
l
的斜率






11. 在
x
轴上求一点P，使以点A（1，2），B（3，4）和P为顶点的三角形面积为10






12.求平行于直线
x?y?2?0
且与它的距离为
22
的直线方程


1
x
的斜率2倍，求这条直线
3
13.若函数
y?f(x)
在
x?a
及
x?b
之间的一段图象可近似地看 作直线，求证：
a?c?b
，
f(c)?f(a)?
c?a
[f(b )?f(a)]

b?a







14.长为
2a
的线段AB的两个端点A和B分别在
x
轴 和
y
轴上滑动，求线段AB中点的轨
迹方程







15.求圆心在直线
x?y?4?0
上， 并且过圆
x
2
?y
2
?6x?4?0
与圆
x
2
?y
2
?6y?28?0
的交点的圆的方程







16.求过点M（3，-1）且与圆C：
x
2
?y
2
?2x?6y?5?0
相切于点N（1，2）的圆的方
程




5

17.已知圆
x
2
?y
2
?4
，直线
l
：
y? x?b
，当
b
为何值时，圆上恰有3个点到直线
l
距
6.一 个盒中6支圆珠笔，其中3支一等品，2支二等品，1支三等品，从中任取3支，
离都等于1







必修三
1.（P13）例6






2.把二进制数110011
（2）
化为十进制数




3.10212
（3）
=
（10）
412
（5）
=
（7）

4.（P82）7题






5.（P101）8题







求下列事件的概率
（1）恰有1支一等品 （2）恰有2支一等品（3）没有三等品










7.你家订了一份校报，送报人可能在早上6：30——7 ：30之间把报纸送到你家，父亲
离家上班7：00——8：00之间，问父亲离家前能得到报纸的概率 是多少？







8.甲、乙两 艘船都要在某个泊位停靠6小时，假定它们在一昼夜时间中随机地到达，
试求这两艘船中至少有一艘停靠 泊位时必须等待的概率







9.甲袋中有1只白球，2只红球，3只黑球；乙袋中有2只白球，3只红球，1只黑球。
现从两袋中各 取一球，求两球颜色相同的概率
10.有2个人在一座7层大楼的底层进入电梯，假定每一个人自第二 层开始在每一层离
开电梯是等可能的，求2个人在不同层离开的概率


6

必修四
1.求下列三角函数值
sin(?
67
12
?
),tan(?
15
4
?
)








2.已知
tan
?
?2,求
sin
?
?cos
?
sin
?
? cos
?
的值








3.求下列函数的周期
y?sin2x,y?2sin(
1
?2
x?
6
)










4.求函数
y?3sin(2x?
?4
),x?[0,
?
]
的单调递减区间






5.比较下列各组中两个三角函数的大小
（1）
sin508
0
与sin144
0
（2）
cos(?
47
10
?
)与cos(?
44
9?
)
（3）
tan
7
??
8
与tan
6













6.设
f(x)
，
(x?R)
是以2为最小正周期的周期 函数，且
x?[0,2]
时
f(x)?(x?1)
2
，求
f (3),f(
7
2
)的值







7.（P55）2题






8.（P57）1题






7

9.说明下列函数的图象可由正弦函数曲线经怎样变化得到 < br>（1）
y?8sin(
x
4
?
?
8
),x? [0,??)
（2）
y?
1
?
3
sin(3x?
7
),x?[0,??)










10.已知
tan
?
?3
，计算（1）
sin
?
cos
?
（2）
(sin
?
?cos
?
)
2










11.一个扇形的弧长与面积的数值都是5，求这个扇形中心角的度数







12.（P118）2题（选择题）







13.已知△ABC的顶点坐标分别为A（1， 1），B（4，1），C（4，5），求
cosA,cosB,cosC的值








14.已知|
|a|?3, |b|?2,a与b
|夹角为30
0
，求
|a?b|,|a?b|







15.（P119）1选择题






16.求函数
y?sinx?3cosx
的周期，最大值，最小值。






17.已知OPQ是半径为1，圆心角为
?
3
的扇形，C是扇形弧上的动点，ABCD是扇形的内
接矩形，记∠COP=?
，当
?
取何值时，矩形ABCD面积最大
8

18.求函数
f(x)?sin(
??
3
?4x)?cos(4x?
6
)
的最小正周期和递减 区间







19.已知函数< br>f(x)?co
4
sx?2sinxcoxs?si
4
nx
， 求
f(x)
的最小正周期，
x?[0,
?
2
],求
f(x)
最小值







20.已知函数
f(x)?2sinx(sinx?cosx)
，求
f(x)
最小正周期和最大值




21.已知
sin(?
?
?
3
)?sin
?
??
43
5< br>,?
?
2
?
?
?0,求cos
?
的值








22.已知
cos(
?
317
?
4
?x)?
5
,
12
?x?
7
?
sin2x?2sin
2
x
4
,求
1?tanx
的值






必修五
1.（P11）例2







2.（P13）例3



9

当

3.轮船A和轮船B中午12时离开海港C，两船航行方向夹角120
0
，船A速度25nmileh,
船B速度15nmileh。下午2时两船之间的距离是多 少？
4.海中一小岛，周围3.8nmile内有暗礁，海轮由西向东航行，望见这岛在北偏东75< br>0
，
航行8nmile后，望见这岛在北偏东60
0
，如果海轮不改变 航向继续前进，有无触礁的
危险？
5.（P59）阅读九连环问题
6.求知
（1）(a-1)+(a
2
-2)+...+(a
n
-n)
（2）(2-3×5
-1
)+(4-3×5
-2
)+...+(2n-3× 5
-n
)
（3）
1?2x?3x
2
?...?nx
n?1














7.某家庭计划从2004年初开始，每年年初存入相同款项到2010年底连本 带利共40
万。依年利2%计复利，问每年该存入多少钱？






8.数列
{a
n
}
是等差数列，
a< br>1
?f(x?1),a
2
?0,a
3
?f(x?1)
，其中
f(x)?x
2
?4x?2
，求通
项公式
a
n



9.已知数列
{a
n
}
中，a
1
?5,a
2
?2,a
n
?2a
n?1?3a
n?2






10.已知
x?0
，求证
1?x?1?
x

2
(n?3),求a
n







11.某码头南偏东45
0
方向600KM处热带风暴中心正以 20KMh向正北方向移动。距
中心450KM内受影响。从现在起多长时间后码头受影响？





12.（P89）例6






10

13.画出
(x?2y?1)(x?y?3)?0
表示的平面区域







14.（P93）B组3题






15.在周长为定值P的扇形中，半径是多少时扇形面积最大？







16.某服装制造商现有10m
2
棉布料 ，10m
2
的羊毛料，6m
2
的丝绸料，做一条裤子要
1m
2
棉布料，2m
2
羊毛料，1m
2
丝绸料，一条裙子要1m
2
棉布料，1m
2
羊毛料，1m
2
丝绸料，一条裤子纯收益20元， 一条裙子纯收益40元，为使收益最大，该如何安排
生产？
选修2-1
1.下列各题中，哪些p是q的充要条件
(1)p：b=0，q：函数
f(x)?ax
2
?bx?c
是偶函数
（2）p：a>b，q：a+c>b+c






2.已知⊙O半径为r，圆心O到直线L的距离为d。求证：d=r是直线L与⊙O相切的充
要条件







3.已 知
A?{x|x满足条件p},B?{x|x满足条件q}
，下列问题中p是q的什么条件：
（1）
A?B
（2）
B?A
（3）A=B









4.写出下列命题的否定，判断它们的真假
（1）p：
y?sinx
是周期函数 （2）q：3<2







11

5.判断下列命题真假
（1）pVq：这里p：
?
是无理数 q：
?
是实数
（2）p^q：这里p：2>3， q：8+7≠15










2
?2x
0
?2?0
6.写出命题的否定，并判断真假：（1）< br>?x
0
?R,x
0
8.一动圆与圆
x
2
?y
2
?6x?5?0
外切，同时与圆
x
2
?y
2?6x?91?0
内切，求动圆圆心
的轨迹方程







x
2
y
2
5
? 1
有公共焦点，且离心率
e?
的双曲线的方程 9.求与椭圆
?
49 24
4
（2）
?x?N,x
3
?x
2












x
2
y
2
?1
右焦点F
2
作直线AB，交 椭圆于A、B两点，F
1
是椭圆左焦点，求7.过椭圆
?
2516







10.直线
y?x?2与抛物线
y
2
?2x
相交于A、B两点，求证：OA⊥OB







11.已知等边三角形一顶点在原点 ，另两个顶点在抛物线
y
2
?2px(p?0)
上，求这个等
边三角 形的边长。





△AF
1
B的周长






12

x
2
y
2
?1
交于A、B 两点，且|AB|=4， 求直线L的12.斜率为2的直线L与双曲线
?
32
方程







13.已知△ABC的两 个顶点A、B的坐标分别是（-5，0），（5，0）且AC、BC所在直线
的斜率之积等于m(m≠0 )，求顶点C轨迹







14 .已知点P是椭圆
16x
2
?25y
2
?1600
上一点， 且在
x
轴上方，F
1
，F
2
分别是左、右焦
点，直 线PF
2
斜率为
?43
，求△PF
1
F
2
的面积







x
2< br>y
2
15.如图，从椭圆
2
?
2
?1
一点P 向
x
轴作垂线，垂足为左焦点F，ABOP，|F
1
A|=
ab10?5
，求椭圆方程




16.直线与抛物线
y
2
?2px
交于A、B两点，OA⊥OB，OD⊥AB交AB于D，点D坐 标
（2，1），求
p
的值







17.证明三垂线定理









18.四棱锥P——ABCD中，底面ABCD是正方形， 侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，E是PC
中点，作EF⊥PB于F
（1）证：PA平面EDB
（2）证明：PB⊥平面EFD
13

（3）求二面角C——PB——D的大小 20.长方体A-C
1
中E 、F分别在BB
1
、DD
1
上且AE⊥A
1
B，AF⊥A< br>1
D
（1）求证：A
1
C⊥平面AEF
（2）当AB=4 ，AD=3，AA
1
=5时，求平面AEF与平面D
1
B
1
BD所成角余弦值












1.求下列函数的导数

19.直三棱 柱ABC——A
1
B
1
C
1
底面ABC中，CA=CB=1 ，∠BCA=90
0
，AA
1
=2，点M、N分别是
y?e
?0.05x?1

y?sin(
?
x?
?
)
A
1
B
1
，A
1
A中点

（1）求BN的长

（2）求
cos?BA

1
?CB
1
?


（3）求证：A
1
B⊥C
1
M








2.求下列函数的导数


y?x
3
?log
x
x
3
?1

2

y?
5sinx








14
选修2-2
y?ln(x?2)

y?2xsin(2x?5)

3.求曲线
y?
sinx
x
在点M
(
?
,0)
处的切线方程







4.设函数
f(x)?1?e
x
的图象与
x
轴相 交于点P，求曲线在点P处的切线方程







5.求下列函数单调区间
f(x)?x?cosx,x?(0,
?
2
)

f(x)?x
3
?x
2
?x










6.求下列函数在给定区间上的最大值与最小值
f(x)?x
3
?12x,x?[?3,3]

f(x)?48x?x
3
,x?[?3,5]








7.利用函数单调性证明下列不等式
（1）
sinx?xx?(0,
?
)
（2）
e
x
?1?x,x?0
（3）
lnx?x?e
x
,x?0













8 .已知点P和点Q是曲线
y?x
2
?2x?3
上的两点，且点P的横坐标1， 点Q的横坐标
是4，求割线PQ的斜率；点P处的切线方程







9.求下列函数的导数
y?2xtanx

y?2
x
lnx

y?(x?2)
3
(3x?1)
2







10.已知函数
f(x)?x(x?c)
2
在
x?2
处有极大值，求
c
的值



15

11.一艘船的燃料费与船速度的平方成正比，当速度10K Mh，那么每小时的燃料费是16.（P98）1题
80元，船航行时其它费用为480元时，在20KM航程中，航速多少时行驶总费用最少？






12.在数列
{a
1
17.计算：
11
?
......
??
1? 22
??
......
???
2

n
}
中
a
1
?1,a
n
?
2
(a
1
n? 1
?
a
)
，猜想它的通项公式
2n个n个
n?1







13.数列
{ a
2
1
18.设sin
?
是sin
?
,cos?
的等差中项，sin
?
是sin
?
,cos
?
的等比中项，
n
}
前n项和Sn，
a
1
??
3< br>，满足
S
n
?
S
?2?a
n
(n?2)，计算S
1
，S
2
，S
3
，猜
n
想S
cos4
?
?4cos4
?
?3

n
表达式






14.△ABC三边a,b,c的倒数成等差数列，求证：
B?
?

2

19.计算：


133113
5(4?i)
2
(?

2
?
2
i)(1?i)

(
2
i ?
2
)(?
2
?
2
i)

i(2?i)



15.设a,b,c为三角形的三边且S
2
?2ab
，这里
S?
1
(a?b?c

2
)
，试证：
S?2a





16
求证：

20.已知复数z与
(z?2)< br>2
?8i
都是纯虚数，求z






3.用五种不同颜色对图中四个部分着色，有公共边的两部分不用同种颜色，有几种着
色方法？
选修2-3
1.从5男4女中选4人参加辩论比赛，问以下条件有多少种选法
（1）男、女各2人
（2）男甲、女乙至少有一人在其中
（3）4人中必须有男生有女生












2.彩票方案：1～37个数字，如 果选出7个数字与开出的7个数字一样（不管排列顺序）
1
得一等奖，多少注彩票可有一个一等 奖？如果要将一等奖机会提高到以上且
6000000
1
不超过，可在37个数中取几 个数？
500000








17




4.求
(1?
1
10
1
)
含
5
的项
x
2x






5.（1）由数字1，2，3，4，5，6组成的没有重复数字的正整数的个数
（2）由数字1，2，3，4，5，6可组成多少没有重复数字比500000大的正整数

6.求
(9x?
1
3x
)
展开式中常数项
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7.用数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的数，问：
（1）可组成多少个六位奇数
（2）大于201345的正整数











8 .老师要从10篇诗文中随机抽3篇让同学背诵，规定至少背出其中2篇才能及格，某
同学只能背诵其中 6篇，求：
（1）抽到他能背诵的诗文的数量的分布列
（2）他能及格的概率











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9.某种彩票开奖是从1，2...36中任选7个基本号码，购买彩票只含4个或4 个以上
基本号码中奖，含基本号码数为4，5，6，7中奖等级分别为4等，三等，二等，一等
奖。
求至少中三等奖的概率