高中数学必做100题之数学1(16道题含答案)

高中数学必做100题—必修1
时量：120分钟 班级： 姓名： 计分：
（说 明：《必修1》共精选16题，每题12分，“◎”为教材精选，“☆”为《精讲精练.必修1》精选）
1. 试选择适当的方法表示下列集合：
（1）函数
y?x
2
?x?2
的函数值的集合； （2）
y?x?3
与
y??3x?5
的图象的交点集合.


2. 已知集合
A?{x|3?x?7}
，
B?{x|5?x?1 0}
，求
C
R
(A?B)
,
C
R
(A?B )
,
(C
R
A)?B
,
A?(C
R
B)< br>.（◎P
14
10）

1
少壮不努力，老大徒伤悲。

高中数学必做100题◆必修1
C
U
(A?B)
，
(C
U
A)?(C
U
B)
，
(C
U
A)?(C
U
B)
.
A?{1,2,3}
，
B?{3,4,5,6}
. 求
C
U
(A?B)
，3. 设全集
U?{x?N
*
|x?9}
，
由上面的练习，你能得出什么结论？请结合Venn图进行分析. （◎P
12
例8改编）


4. 设集合
A?{x|( x?4)(x?a)?0,a?R}
，
B?{x|(x?1)(x?4)?0}
. （◎P
14
B 4改编）
（1）求
A?B
，
A?B
； （2）若
A?B
，求实数a的值；
（3）若
a?5
，则
A?B
的真子集共有 个, 集合P满足条件
(A?B)刎P(A?B)
，写出所有可能的P.

数学是思维体操。
2

5. 已知函数
f(x)?

3?x1
.（1）求
f(x)
的定义域与值域（用区间表示）；（2）求证
f(x)
在
(?,??)
上递减.
4x?14

?
x(x?4),x?0
6. 已知函数
f(x)?
?
，求
f(1)
、
f(?3)
、
f(a?1)
的值.（◎P
49
B4）
x(x?4),x?0
?

3
少壮不努力，老大徒伤悲。

高中数学必做100题◆必修1
7. 已知函数
f(x)??x
2
?2x
. （☆P
16
8题）
（1）证明
f(x)
在
[1,??)
上是减函数;（2）当
x?
?
2,5
?
时，求
f(x)
的最大值和最小值 .


8. 已知函数
f(x)?log
a
(x?1), g(x)?log
a
(1?x)
其中
(a?0且a?1)
． （◎P
84
4）
（1）求函数
f(x)?g(x)
的定义域； （2）判断
f(x)?g(x)
的奇偶性，并说明理由；
（3）求使
f(x)?g(x)?0
成立的
x
的集合.

数学是思维体操。
4

bx
(b?0,a?0)
. （☆P
37
例2）
ax
2
?1
11
（1）判断
f(x)
的奇偶性； （2）若
f(1)?,log
3
(4a?b)?log
2
4
，求a，b的值.
22

9. 已知函数
f(x)?

10. 对于函数
f(x)?a?
2
(a?R)
.
2< br>x
?1
（1）探索函数
f(x)
的单调性；（2）是否存在实数a使得
f(x)
为奇函数. （◎P
91
B3）

5
少壮不努力，老大徒伤悲。

高中数学必做100题◆必修1
11. （1）已知函数
f(x)
图象是连续的，有如下表格，判断函数在哪几个区间上有零点. （☆P
40
8）
x
f (x)
－2
－3.51
－1.5
1.02
－1
2.37
－0.5
1.56
0
－0.38
0.5
1.23
1
2.77
1.5
3.45
2
4.89
（2）已知 二次方程
(m?2)x
2
?3mx?1?0
的两个根分别属于(-1,0)和 (0,2),求
m
的取值范围. （☆P
40
9）


12. 某商场经销一批进货单价为40元的商品，销售单价与日均销售量的关系如下表：
50 51 52 53 54 55 56
销售单价元
48 46 44 42 40
日均销售量个
为了获取最大利润，售价定为多少时较为合理？ （☆P
49
例1）

38 36
数学是思维体操。
6

13. 家用冰箱使用的氟化物的释放破坏了大气上层臭氧层. 臭氧含量Q呈指数函数型变化，满足关系式
Q? Q
0
e
?
t
400
，其中
Q
0
是 臭氧的初始量. （1）随时间的增加，臭氧的含量是增加还是减少？ （2）多少
年以后将会有一半的臭氧消失？ （参考数据：
ln2?0.695
） （☆P
44
9）


14. 某工厂今年1月、2月、3月生产 某种产品分别为1万件、1.2万件、1.3万件，为了以后估计每个月
的产量，以这三个月的产品数据 为依据. 用一个函数模拟产品的月产量
y
与月份数
x
的关系，模拟函数可< br>选用二次函数
f(x)?px
2
?qx?r
（其中
p,q,r
为常数，且
p?0
）或指数型函数
g(x)?a?b
x
?c
（其中
a,b,c
为常数），已知4月份该产品产量为1.37万件，请问用上述哪个 函数模拟较好？说明理由.（☆P
51
例2）

7
少壮不努力，老大徒伤悲。

高中数学必做100题◆必修1
15. 如图，
?OAB
是边长为2的正三角形 ，记
?OAB
位于直线
x?t(t?0)
左侧的图形的面积为
f(t )
. 试求
函数
f(t)
的解析式,并画出函数
y?f(t)
的图象. （◎P
126
B2）

y
B
O

x=t
A x

16. 某医药研究所开发一种新药，如果成年人按规定 的剂量服用，据监测：服药后每毫升血液中的含药量
y（微克）与时间t（小时）之间近似满足如图所示 的曲线.
（1）写出服药后y与t之间的函数关系式y=f(t)； （2）据进一步测定：每毫 升血液中含药量不少于0.25
微克时，治疗疾病有效.求服药一次治疗疾病有效的时间？（☆P
45
例3）


数学是思维体操。
8

参考答案
1. 试选择适当的方法表示下列集合：
（1）函数
y?x
2
?x?2
的函数值的集合； （2）
y?x?3
与
y??3x?5
的图象的交点集合.
2
解：（1）
y?x
2
?x?2?
?
?
?
x?1
?
2
?
?
?
7
4
……（3分）

?y?
7
4
，……（5分）
故所求集合 为
?
?
y|y?
7
?
?
4
?
?< br>.……（6分）
（2）联立
?
?
y?x?3
，……（8分）
?
y??3x?5
解得
?
?
x?2
y??1
，……（10分）
?
故所求集合为
?
?
2,?1
??
.……（12分）
2. 已知集合
A?{x|3?x?7}
，
B?{x|5?x?10}
，求
C
R
(A?B)
、
CR
(A?B)
、
(C
R
A)?B
、
A?(C< br>R
B)
.
P
14
10）
解：
C
R
(A?B)?
?
x|x?3或x?10
?
，……（3分） C
R
(A?B)?
?
x|x?5或x?7
?
，……（6 分）
(C
R
A)?B?
?
x|7?x?10
?
， ……（9分）
A?(C
R
B)?
?
x|x?7或x?10
?
.……（12分）
3. 设全集
U?{x?N
*
|x?9}，
A?{1,2,3}
，
B?{3,4,5,6}
. （◎P
12
例8改编）
（1）求
A?B
，
A?B
，
C
U
(A?B)
，
C
U
(A?B)
；
解：
A?B?
?
1,2,3,4,5,6
?
，……（1分）
A?B?
?
3
?
，……（2分）
C
U
(A?B)?
?
7,8
?
，……（3分） < br>C
U
(A?B)?
?
1,2,4,5,6,7,8
?
.……（4分）
（2）求
C
U
A
，
C
U
B
，
(C
U
A)?(C
U
B)
，
(C
U
A)?(C
U
B)
；
解：
C
U
A?
?
4,5,6,7,8
?
，……（5分）
C
U
B?
?
1,2,7,8
?
，……（6分）
9
少壮不努力，老大徒伤悲。
（◎

高中数学必做100题◆必修1
(C
U
A)?(C
U
B)?< br>?
1,2,4,5,6,7,8
?
，……（7分）
(C
U< br>A)?(C
U
B)?
?
7,8
?
. ……（8分）
（3）由上面的练习，你能得出什么结论？请结合Venn图进行分析.
解：
CU
(A?B)?(C
U
A)?(C
U
B)
，……（9分 ）
C
U
(A?B)?(C
U
A)?(C
U
B). ……（10分）
Venn图略. ……（12分）
4. 设集合
A?{x |(x?4)(x?a)?0,a?R}
，
B?{x|(x?1)(x?4)?0}
. （◎P
14
B 4改编）
（1）求
A?B
，
A?B
；
解：①当
a?4
时，
A?
?
4
?
，
B?
?
1,4
?
，故
A?B?
?
1,4
?
，
A?B?< br>?
4
?
；……（2分）
②当
a?1
时，
A ?
?
1,4
?
，
B?
?
1,4
?
，故
A?B?
?
1,4
?
，
A?B?
?
1 ,4
?
；……（4分）
③当
a?4
且
a?1
时，
A?
?
a,4
?
，
B?
?
1,4
?
，故
A?B?
?
1,a,4
?
，
A?B?
?
4
?
. ……（6分）
（2）若
A?B
，求实数a的值；
解：由（1）知，若
A?B
，则
a?1
或4. ……（8分）
（3）若
a?5
，则
A?B
的真子集共有 个, 集合P满足条件
(A?B)刎P(A?B)
，写出所有可能的集
合P.
解： 若
a?5
，则
A?
?
4,5
?
，
B??
1,4
?
，故
A?B?
?
1,4,5
?，此时
A?B
的真子集有7个. ……（10
分）
又
?A?B ?
?
4
?
，
?
满足条件
(A?B)刎P(A?B)
的所有集合
P
有
?
1,4
?
、
?
4,5
?
. ……（12分）
5. 已知函数
f(x)?
3?x
.
4x?1
1
4
（1 ）求
f(x)
的定义域与值域（用区间表示） （2）求证
f(x)
在
(?,??)
上递减.
解：（1）要使函数有意义，则
4x?1?0
，解得
x??
. ……（2分）
所以原函数的定义域是
{x|x??}
.……（3分）
1< br>4
1
4
3?x112?4x1?(4x?1)?1311311
y?? ?????????0??
，……（5分）
4x?144x?144x?144
?< br>4x?1
?
44
1
4
所以值域为
{y|y??}.……（6分）
（2）在区间
?
?
?
1
?
, ??
?
上任取
x
1
,x
2
，且
x
1
?x
2
，则
?
4
?
f
?
x< br>1
?
?f
?
x
2
?
?
13
?
x
2
?x
1
?
3?x
1
3?x
2
……（8分）
??
4x
1
?14x
2
?1?
4x
1
?1
??
4x
2
?1
??x
1
?x
2
，
?x
2
?x
1
?0
……（9分）
又
x
1
,x
2
?
?
?
?
1
?
,??
?
，
?4x
1< br>?1?0,4x
2
?1?0
，……（10分）
?
4
?
数学是思维体操。
10

?f
?
x
1
?
?f
?
x
2
?
?0

?f
?
x
1
?
?f
?
x
2
?
，……（11分）
?
函数
f(x)
在
(?,??)
上递减. ……（12分）
?
x(x?4),x?0
6. 已知函数
f(x)?
?
，求
f(1)
、
f(?3)
、
f(a?1)
的值.（◎P
49
B4）
?
x(x?4),x?0
解：
f(1)?5
，……（3分）
f
?
?3
?
?21
，……（6分） 2
?
?
a?6a?5,a??1
f
?
a?1
?
?
?
2
.……（12分）
?
?
a?2a?3,a??1
1
4
7. 已知函数
f(x)??x
2
?2x
. （☆P
16
8题）
（1）证明
f(x)
在
[1,??)
上是减函数;（2）当
x?
?
2,5
?
时，求
f(x)
的最大值和最小值 .
解：（1）证明：在区间
[1,??)
上任取
x
1
, x
2
，且
x
1
?x
2
，则有……（1分）
f(x
1
)?f(x
2
)?(?x
1
2
?2x< br>1
)?(?x
2
2
?2x
2
)?(x
2?x
1
)?(x
1
?x
2
?2)
，……（3分 ）
∵
x
1
,x
2
?[1,??)
，
x< br>1
?x
2
，……（4分）
∴
x
2
?x1
???x
1
?x
2
???0,
即
f(x1
)?f(x
2
)?0
……（5分）
∴
f(x
1
)?f(x
2
)
，所以
f(x)
在
[1,?? )
上是减函数．……（6分）
（2）由（1）知
f(x)
在区间
?
2,5
?
上单调递减，所以
f(x)
max
?f(2)? 0,f(x)
min
?f(5)??15
……（12分）

8. 已知函数
f(x)?log
a
(x?1),g(x)?log
a
(1 ?x)
其中
(a?0且a?1)
．（◎P
84
4）
（1）求函数
f(x)?g(x)
的定义域；
（2）判断
f(x)?g(x)
的奇偶性，并说明理由；
（3）求使
f(x)?g(x)?0
成立的
x
的集合. 解：（1）
f(x)?g(x)?log
a
(x?1)?log
a
(1?x)
.
?
x?1?0
若要上式有意义，则
?
，即
?1?x?1
. ……（3分）
1?x?0
?
所以所求定义域为< br>?
x?1?x?1
?
……（4分）
（2）设
F(x)?f(x)?g(x)
，则
F(?x)?f(?x)?g (?x)?log
a
(?x?1)?log(1?x)??F(x)
.……（7分）
所以
f(x)?g(x)
是偶函数. ……（8分）
（3）
f(x)?g(x)?0
，即
log
a
(x?1) ?log
a
(1?x)?0
，
log
a
(x?1)?log
a
(1?x)
.
?
x?1?0
?
当
0? a?1
时，上述不等式等价于
?
1?x?0
，解得
?1?x?0.……（10分）
?
?
x?1?1?x
?
x?1?0
?
当
a?1
时，原不等式等价于
?
1?x?0
，解得
0?x?1
.……（12分）
?
?
x?1?1?x
综上所述, 当
0?a? 1
时，原不等式的解集为
{x?1?x?0}
；当
a?1
时，原不等 式的解集为
{x0?x?1}
.

11
少壮不努力，老大徒伤悲。

高中数学必做100题◆必修1
bx
(b?0,a?0)
. （☆P
37
例2）
ax
2
?1
11
（1）判断
f(x)
的奇偶性； （2）若
f(1)?,log
3
(4a?b)?log
2
4
，求a，b的值.
22
9. 已知函数
f(x)?
解：（1）
f( x)
定义域为R，
f(?x)?
（2）由
f(1)?
?bx
??f(x)
，故
f(x)
是奇函数. ……（6分）
2
ax?1
b1
?
，则
a?2b?1?0
.……（8分）
a?12
又log
3
(4a-b)=1，即4a-b=3. ……（10分）
?
a?2b?1?0
由
?
，解得a=1，b=1. ……（12分）
4a?b?3
?

10. 对于函数
f(x)?a?
奇函数. （◎P
91
B3）
解: (1)
?f(x)
的定义域为R, 设
x
1
?x
2
,
2
(a?R)
. （1 ）探索函数
f(x)
的单调性；（2）是否存在实数a使得
f(x)
为
2
x
?1
2
x
1
?2
x
2
11
则
f(x
1
)?f(x
2
)?a?
x
=, ……（3分）
?a?
x
2
x
1
x
2
1< br>(1?2)(1?2)
2?12?1
?x
1
?x
2
,
?2
x
1
?2
x
2
?0,(1?2
x1
)(1?2
x
2
)?0
,……（5分）
?f(x
1
)?f(x
2
)?0,

即
f (x
1
)?f(x
2
)
,所以不论
a
为何实数f(x)
总为增函数. ……（6分）
（2）假设存在实数a使
f(x)
为奇函数,
?f(?x)??f(x)
……（7分）
即
a?
22
,……（9分）
??a?
2
?x
?12
x
?1
解得:
a?1.
……（12分）

11. （1）已知函数
f(x)
图象是连续的，有如下表格，判断函数在哪几个区间上有零点. （☆P
40
9）
x
f (x)
－2
－3.51
－1.5
1.02
－1
2.37
－0.5
1.56
0
－0.38
0.5
1.23
1
2.77
1.5
3.45
2
4.89
（2）已知 二次方程
(m?2)x
2
?3mx?1?0
的两个根分别属于(-1,0)和 (0,2),求
m
的取值范围.
解：（1）由
f(?2)?f(?1.5 )?0
，
f(?0.5)?f(0)?0
，
f(0)?f(0.5)?0，……（3分）
得到函数在（－2，－1.5）、（－0.5，0）、（0，0.5）内有零点. ……（6分）
（2）设
f(x)
=
(m?2)x
2
?3m x?1
，则
f(x)
=0的两个根分别属于(-1,0)和(1,2).
?
f(?1)?f(0)?0
?
(?2m?1)?1?0
所以
?
，……（8分）即
?
， ……（10分）
f(2)?f(0)?0(10m?7)?1?0
??
∴
??m?


12. 某商场经销一批进货单价为40元的商品，销售单价与日均销售量的关系如下表：
50 51 52 53 54 55 56
销售单价元
48 46 44 42 40
日均销售量个
为了获取最大利润，售价定为多少时较为合理？ （☆P
49
例1）
数学是思维体操。
38 36
12
1
2
7
．……（12分）
10

解：由题可知，销售单价增加1元，日均销售量就减少2个.
设销售单价定为x元，则每个 利润为（x－40）元，日均销量为
[48?2(x?50)]
个.
由于
x ?40?0
，且
48?2(x?50)?0
，得
40?x?74
.… …（3分）
则日均销售利润为
y?(x?40)[48?2(x?50)]??2x
2
?228x?5920
，
40?x?74
.……（8分）
易知，当
x??
228
?57
，y有最大值. ……（11分）
2?(?2)
所以，为了获取最大利润，售价定为57元时较为合理. ……（12分）

13. 家用冰箱使用的氟化物的释放破坏了大气上层臭氧层. 臭氧含量Q呈指数函数型变 化，满足关系式
?
t
400
Q?Q
0
e
，其中Q
0
是臭氧的初始量. （1）随时间的增加，臭氧的含量是增加还是减少？ （2）多少
年以后将会有一半的臭氧消失？（☆P
44
9）

t
?
t
400
解：（1）∵
Q
0
?0
，
??0
，
e?1
， ∴
Q?Q
0
e
为减函数. ……（3分）
400
∴ 随时间的增加，臭氧的含量是减少. ……（6分）
（2）设x年以后将会有一半的臭氧消失，则
Q
0
e
两边去自 然对数，
?
?
x
400
x
?
11
?Q0
，即
e
400
?
，……（8分）
22
x1
?ln
，……（10分）
4002
解得
x?400ln2?278
.……（11分）
∴ 287年以后将会有一半的臭氧消失. ……（12分）


14. 某工厂今 年1月、2月、3月生产某种产品分别为1万件、1.2万件、1.3万件，为了以后估计每个月
的产量 ，以这三个月的产品数据为依据. 用一个函数模拟产品的月产量
y
与月份数
x
的关系，模拟函数可
选用二次函数
f(x)?px
2
?qx?r
（ 其中
p,q,r
为常数，且
p?0
）或指数型函数
g(x)?a?b
x
?c
（其中
a,b,c
为常数），已知4月份该产品的产量为1. 37万件，请问用上述哪个函数作为模拟函数较好？并说明理由.
（☆P
51
例2）
解：当选用二次函数
f(x)?px
2
?qx?r
的模型时， ∵
f
?
x
?
?px
2
?qx?r
?< br>p?0
?
，由
f
?
1
?
?2,f
?
2
?
?1.2,f
?
3
?
?1.3
，有
?
p?q?r?1
?
?
4p?2q?r?1.2
， 解得
p??0.05,q?0.35,r?0.7
，……（4分）
?
9p?3q?r?1.3
?
∴
f
?
4
?
?1.3
.……（5分）
当选用指数型函数
g(x)?a?b
x
?c
的模型时，
∵
g
?
x
?
?a?b
x
?c,
由
g
?
1
?
?1,g
?
2
?
?1 .2,g
?
3
?
?1.3,
有
?
a?b?c?1
?
2
?
a?b?c?1.2
，解得
a??0.8,b?0.5,c?1.4
， ……（9分）
?
3
?
a?b?c?1.3
∴
g
?
4
?
?1.35
.……（10分）
13
少壮不努力，老大徒伤悲。

高中数学必做100题◆必修1
根据4月份的实际产量可知，选用
y??0.8?
?
0.5
?
?1.4
作模拟函数较好. ……（12分）
15. 如图，
?OAB
是边长为2的正三角形，记
?OAB
位于直线
x?t (t?0)
左侧的图形的面积为
f(t)
. 试求
函数
f(t)
的解析式,并画出函数
y?f(t)
的图象. （◎P
126
B2）
解：（1）当
0?t?1
时，
如 图，设直线
x?t
与
?OAB
分别交于
C
、
D两点，则
OC?t
，
又
y
，
x
CDBE< br>3
???3
OCCE1
?CD?3t
，
B
?f?
t
?
?
113
2
OC?CD??t?3t?t

222
O

x=t
A x
……（4分）
（2）当
1?t?2
时，
如图，设直线
x?t
与
?OAB
分别交于
M
、
N
两点，则
AN?2?t
，
MNBE
3
???3
，
?MN?3
?
2?t
?
又
ANAE1
1133
2
?f
?
t
?
??2?3??AN?MN?3?
?
2?t
?
??t
2< br>?23t?3

2222
……（8分）
（3）当
t?2< br>时，
f
?
t
?
?3
. ……（10分）
?
3
2
?
t,0?t?1
?
2
?
?
3
2
?f
?
t
?
?
?
?t?23t?3, 1?t?2
……（12分）
?
2
?
3,t?2
?
?
?

16. 某医药研究所开发一种新药，如果成年人按规定的剂量服用，据监测：服药后每毫升血液中的含 药量
y（微克）与时间t（小时）之间近似满足如图所示的曲线.
（1）写出服药后y与t之间的函数关系式y=f(t)；
（2）据进一步测定：每毫升血液 中含药量不少于0.25微克时，治疗疾病有效.求服药一次治疗疾病有效
的时间？（☆P
45
例3）
解：（1）当0≤t≤1时，y=4t；……（2分）
当t≥1时，y?()
t?a
，此时
M(1,4)
在曲线上，
∴
4?()
1?a
,a?3
，这时
y?()
t?3
. ……（5分）
1
2
1
2
1
2
(0?t?1)?
4t
?
所以
y?f(t)?
?
1
t?3.……（6分）
()(t?1)
?
?
2
数学是思维体操。
14

?
4t?0.25
?
（2）∵
f(t)?0.25,即
?
1
t?3
， ……（8分）
()?0.25
?
?
2
1
?
1
?
t?解得
?
16
，……（10分）∴
?t?5
.……（11分）
16
?
?
t?5
115
∴ 服药一次
治疗疾病有效的时间为
5??4
个小时.
……（12分）




15
1616
少壮不努力，老大徒伤悲。