函数及其表示 练习100题 高中数学 有答案

x?C
U
A
.所以
f
?
U
A
?
x
?
?0,f
A
?
x
?
?1
.所以
f
?
U
A
?
x
?
?1?f
A
?
x
?
.
x?AB
时，
f
A?B
?
x
?
?1
，
f
A
?
x
??1,f
B
?
x
?
?1
..所以
x?U,都有
f
A?B
?
x
?
?f
A
?
x
?
?f
B
?
x
?
即
②正确；当
x?AB
时，
f
A?B
?
x
?
?0
.< br>f
A
?
x
?
,f
B
?
x
?
不能同时为1，所以
f
A
?
x
?
?f
B< br>?
x
?
?0
.所以
x?U,
都有
f
A?B
?
x
?
?f
A
??
x?
x?Af
?
B
即③正确；当
?
x
B
且
x?A B
时，
f
A?B
?
x
?
?1
，
f
A
?
x
?
?f
B
?
x
?
?2
.所以④不正确.
考点：1.新定义的函数问题.2.集合间的关系.3.分类的数学思想.



36．若函数
f(2x?1)?x
2
?2x
，则
f(3)
=
【答案】
?1




37 ．若
f
?
x
?
是
R
上的奇函数，则函数
y ?f
?
x+1
?
-2
的图象必过定
点 .
【答案】
?
-1，-2
?




38．若
f(z?i)??z?i
,则
f(2i)?

f(2i)?1?
．
【答案】
?2i




5

?
3x?2,x?1,
39．已知函数
f( x)?
?
2
若
f(f(0))?4a
，则实数
a
＝ .
?
x?ax,x?1,
【答案】2
【解析】本题主要考查复合函数求值 的方法．由题知
f
?
0
?
?2?f
?
f
?
0
?
?
?f
?
2
?
?4?2a?4a?a ?2
．



?
”

如下：40．定义一 种新运算“当
a?b
时，
a?b?a
;当
a?b
时，
a?b?b
2
,
试卷第18页，总56页

?
对于 函数
f(x)?[(?2)?x]?x?2?x,x?(?2,2)
（“· ”和“”仍为通常的乘
法和减法运算）,把
f(x)
的图像按向量
a平移后得到
g(x)
的图像，若
g(x)
是
奇函数，则
a?
____________．
【答案】
(0,2)




41．若函数
f
?
x
?
?
1

1 0
x
1?x
2
2
f
(n)
?
x
?
?f
?
且
?
f
?
f
?
2
1?x
x
?
99
?
f
?
x
?
?< br>，则
f
?
1
?
?

?
?
?
n
【答案】
【解析】
f
?
1
??
x
?
?f
?
x
?
?
f
?< br>2
?
，
?
x
?
?
?
x
?
?
f
?
?
f
?
x
?
?
?
?
x
1?2x

??
f
?
99
?
x
1?99x
2
．
故
f
?
99
?
?
1
?
?



1
．
10
42．4. 设函数
f(x)的定义域为
D
，如果对于任意的
x
1
?D
，存在唯一的
f(x
1
)?f(x
2
)
?c
（
c
为常数）成立，则称函数
f(x)
在
D
上的均值
2
为c
，请写出满足在其定义域上均值为1的两个函数___________
【答案】见解析
x
2
?D
，使
【解析】
y?x< br>3
；
y?lgx
等



43．
若函数f
?
x
?
?
【答案】
1

10x
1?x
2
,且f
?
n
?
?
x
?
?f
?
?
?
f
?
?
99
?< br>?
f
?
x
?
?
,则f
?
1
?
?_______.

?
?
【解析】
f
?
1
?
?
111
?
3
?
??
,f
?
2
?
?
1
?
?f
?
f1?,f1?ff f1?,

???
??????
????
??
234
试卷第19页，总56页

?f
?
99
?
?
1
?
?
1

10



44． 已知集合M={
(x,y)|y?f(x)
}，若对于任意
(x
1
, y
1
)?M
，存在
(x
2
,y
2
)?M< br>，使得
x
1
x
2
?y
1
y
2
?0
成立，则称集合M是“垂直对点集”．给出
下列四个集合：
①M={
(x,y)|y?
1
}；
x
②M={
(x,y)|y?sinx?1
}；
③M={
(x,y)|y?log
2
x
}；
④M={
(x,y)|y?e
x
?2
}．
其中是“垂直对点集”的序号是 ；
【答案】②④

【解析】
试题分析：对于①
y?
1
是以x，y轴为渐 近线的双曲线，渐近线的夹角是90°，
x
所以在同一支上，任意（x
1
，y
1
）∈M，不存在（x
2
，y
2
）∈M，满足“垂直对点集”的定义；在另一支上对任意（x
1
，y
1
）∈M，不存在（x2
，y
2
）∈M，使
得x
1
x
2
+y
1
y
2
=0成立，所以不满足“垂直对点集”的定义，不是“垂直对点集”．
对于②M={（x，y）|y=sinx+1}，对于任意（x
1
，y
1）∈M，存在（x
2
，y
2
）∈
M，使得x
1
x
2
+y
1
y
2
=0成立，例如（0，1）、（π，0）， 满足“垂直对点集”的
定义，所以M是“垂直对点集”；
对于③M={（x，y）|y=lo g
2
x}，取点（1，0），曲线上不存在另外的点，使得
两点与原点的连线互相垂直 ，所以集合M不是“垂直对点集”．
对于④M={（x，y）|y=e
x
-2}，如 下图红线的直角始终存在，对于任意（x
1
，
y
1
）∈M，存在（x
2
，y
2
）∈M，使得x
1
x
2
+y1
y
2
=0成立，例如取M（0，-1），
则N（ln2，0），满足“ 垂直对点集”的定义，所以是“垂直对点集”；正确．

所以②④正确．
考点：函数的基本性质


试卷第20页，总56页

45．设函数
f(x)?asinx?x
2
，若< br>f(1)?0
，则
f(?1)
的值为 ．
【答案】2
【解析】
?asi?n1?1
，
f(?1)?asin(?1)?1??a sin1?1
，所以试题分析：
f(1)
f(?1)?f(1)?2
，即f(?1)?2
．
考点：函数值与诱导公式．



46．设函数
f(x)?asinx?x
2
，若
f(1)?0
，则
f(?1)
的值为 ．
【答案】2
【解析】
?a si?n1?1
，
f(?1)?asin(?1)?1??asin1?1
，所以试题 分析：
f(1)
f(?1)?f(1)?2
，即
f(?1)?2
．
考点：函数值与诱导公式．



47．设集合
P
={1，2，3，4，5},对任意
k?P
和正整数
m
，记
f(m ,k)?
?
[m
i?1
5
k?1
]
，其中，
[a]
表示不大于
a
的最大整数，则
f(2,2)
=，若
i?1
f(m,k)?19
，则
m
k
?
.
【答案】
7
，
64
.
【解析】
试题分
f(2,2)
=
[2
析：由已知，
33333
]?[2]?[2]? [2]?[2]
=
2?2?1?1?1?7
；
23456
5
观察可知，当
k
一定时，
f(m,k)?
?
[m
i?1< br>k?1
]
随
m
的增大而增大，进一步
i?1
考察如下 ：
f(3,2)
=
[3
33333
]?[3]?[3]?[3]? [3]
=
3?3?2?2?2?12
；
23456
33333]?[4]?[4]?[4]?[4]
=
4?4?3?3?3?17
；
23456
f(4,2)?
[4
试卷第21页，总56页

< br>f(5,2)?
[5
33333
]?[5]?[5]?[5]?[5]
=
6?5?4?3?3?21
；
23456
5
当
m
一定时，
f(m,k)?
?
[m
i?1
k?1
]
随
k
的增大而增大，进一步考察如下：
i?1
f(4,3)?[4
44444
]?[4]?[4]?[4]?[4]
=
5?4?4?3?3?19
；
23456
故
m
k
?
64
，综上知，答案为
7
，
64
.
考点：新定义，取整函数.



48．已知函数
y?f(x),x?N
*
,y?N
*，对任意
n?N
*
都有
f[f(n)]?3n
，且
f( x)
是增函数，则
f(3)?

【答案】6
【解析】
试题分析：本题看起来很难，好像没处下手，事实上，我们只要紧紧抓住函
)
，
3
首先
f(1)?1
数的定义，从
n
的初始值开始，如
f (f(1)?
，否则
f(f(1)?)f(1)?
不合题意，其次若
1f(1 )?3
，则
f(f(1))?f(3)?3

?f(1)
与
f(x)
是增函数矛盾，当然
f(1)?3
更不可能(理由同上)，因此
f( 1)?2
，
f(2)?f(f(1))?3
，
f(3)?f(f(2))?6
．
考点：函数的定义与性质．



49．若函数f(x)
满足
?m?R,m?0
，对定义域内的任意
x,f(x?m)? f(x)?f(m)
恒成立，则称
f(x)
为m函数，现给出下列函数：
1
； ②
y?2x
； ③
y?sinx
； ④
y?1nx

x
其中为m函数的序号是 .（把你认为所有正确的序号都填上）
【答案】②③
【解析】
1111
??
，即试题分析：①若
f(x)?
，则由
f(x?m)?f(x)?f(m )
得
xx?mxm
①
y?
111?m
???
，所以 不存在常数
m
使
f(x?m)?f(x)?f(m)
成立，
mx?m xx(x?m)
试卷第22页，总56页

所以①不是m函数。②若
f (x)?2x
，由
f(x?m
得
)?f(x)?f(m)
，
，此时恒成立，所以②
y?2x
是m函数。③若
f(x)?sinx
，
2(x?m)?2x?2m
由
f(x?m)?f(x)?f(m)
得
sin (x?m)?sinx?sinm
，所以当
m?
?
时，
f(x?m) ?f(x)?f(
成立，所以③
m)y?sinx
是m函数。④若
f(x)? 1nx
，则
由
f(x?m)?f(x)?f(m)
得
ln(x?m) ?lnx?lnm
，即
ln(x?m)?lnmx
，所以
?
m?1< br>要使
x?m?mx
成立则有
?
，所以方程无解，所以④
y?1 nx
x?m?mx
，
m?0
?
不是m函数。所以为m函数的序号是② ③。
考点：函数的概念，抽象函数.



50．已知函数
是 .
1
【答案】
9
【解析】
111
试题分析：由分段函数解析式得
f(f())? f(log
2
)?f(?2)?3
?2
?
.
449
考点：1.分段函数；2.函数值的求法



a
2
y?f(x)
是定义在R上的奇函数，51．设
a
为实常数，当< br>x?0
时，
f(x)?9x??7
.
x
0，??)
若 “
?x?[
?
log
2
x,x?0
, 则
f
?
x
?
?
?
x
?
3,x?0
?
?
1
?
?
f
?
f
??
?
的值?
?
4
?
?
，
f(x)?a?1
”是假命题， 则
a
的取值范围为 .
8
7
【答案】
a≤?

【解析】
试题分析：y?f(x)
是定义在R上的奇函数，故可求解析式为
?
a
2
? 7，x?0，
?
9x?
x
?
?
f(x)?
?
0，x?0，

?
2
?
9x?
a
?7，x?0< br>?
x
?
a?1
”又“
?x≥0，f(x)?
是假命题 ，则
?x≥0，
f(x)≥a?1
是真命题，当
x?0
时，
试卷第23页，总56页

a
2
0≥a?1
，解得
a ≤?1
，①当
x?0
时，
9x??7
≥a?1
，结合均值不 等式有
x
8
8
6|a|?7
≥a?1
，得
a≥或
a≤?
，②
5
7
①②取交集得
a
的取值范围是
a≤?
.
考点：1.根据奇偶性求函数解析式；2.特称命题的否定；3.不等式恒成立问
题.



x
f(1?x)?f(1?x)
f(x)
f (x)?2
0?x?1
R
52．上的偶函数满足,若时，,则
8
7< br>f(log
2
6)
= .
【答案】
3

2
【解析】
试题分析：因为
f(1?x)?f(1?x)
，所以< br>f(x)?f(2?x)
，又因为
f(x)
是
R
上
的 偶函数，所以有
f(log
2
6)?f(2?log
2
6)?f(l og
2
6?2)
，又
0?log6
2
2?1?
所以
f(log
2
6?2)?2
log
2
6?2
?考点：函数的综合运用.



53．若实数
t
满足
f(t)??t
，则称
t
是函数
f(t)
的一个次不动点. 设函数
f(x)?lnx
与函数
g(x)?e
x
的所有次不动点之和 为
m
，则
m?
____________.
，
3
.
2
【答案】0
【解析】
试题分析：作出函数图象如下图：由图知两交点的横坐标互为相反数，因此
m?0
.

考点：1.“新定义”题型；2.数形结合思想.


试卷第24页，总56页

?
log(1?x)?1,x? 1
54．已知函数
f(x)?
?
2
?2
，若
f(a )?3
，则
a?
.
x,x?1
?
【答案】-3
【解析】
试题分析：令
lo g
2
(1?a)?1?3
，得
a??3
，令
a
?2
?3
，得
a?
所以
a??3
.
考点：1.分段函数；2.对数方程的解法.



55．定义一 ：对于一个函数
f(x)
（
x?D
），若存在两条距离为
d
的直线
3
（舍去），
3
y?kx?m
1
和
y?kx ?m
2
，使得在
x?D
时，
kx?m
1
?f(x) ?kx?m
2
恒成立，
则称函数
f(x)
在
D
内有一个宽度为
d
的通道。
定义二：若一个函数
f(x )
，对于任意给定的正数
?
，都存在一个实数
x
0
，使得函数
f(x)
在
[x
0
,??)
内有一个宽度为?
的通道，则称
f(x)
在正无穷处有永
恒通道。
下列函数①
f(x)?lnx
，②
f(x)?
sinx
，③
f(x)? x
2
?1
，④
f(x)?x
2
，
x
⑤< br>f(x)?e
?x
，其中在正无穷处有永恒通道的函数的序号是___________ __
【答案】②③⑤
【解析】因为①f（x）=lnx，随着x的增大，函数值也在增大， 无渐近线，
故不存在一个实数x
0
，使得函数f（x）在[x
0
，+ ∞）内有一个宽度为?的通
道，故f（x）在正无穷处无永恒通道；
sinx
②f(x)?
，随着x的增大，函数值趋近于0，对于任意给定的正数?，
x
都存在 一个实数x
0
，使得函数f（x）在[x
0
，+∞）内有一个宽度为?的通道 ，
故f（x）在正无穷处有永恒通道；
③
f(x)?x
2
?1，随着x的增大，函数值也在增大，有两条渐近线y=±x，
对于任意给定的正数?，都存在一个实 数x
0
，使得函数f（x）在[x
0
，+∞）
内有一个宽度为?的通 道，故f（x）在正无穷处有永恒通道；
④f（x）=x
2
，随着x的增大，函数值 也在增大，无渐近线，故不存在一个实
数x
0
，使得函数f（x）在[x
0< br>，+∞）内有一个宽度为?的通道，故f（x）在
正无穷处无永恒通道；、
⑤f（x） =e
-x
，随着x的增大，函数值趋近于0，趋近于x轴，对于任意给定
的正数?，都 存在一个实数x
0
，使得函数f（x）在[x
0
，+∞）内有一个宽度
为?的通道，故f（x）在正无穷处有永恒通道．故答案为：②③⑤
试卷第25页，总56页

56．函数
y?[x]
称为高斯函数 ，又称取整函数，对任意实数
x,[x]
是不超过
x
的最大整数，则函数y?[x]?1(?0.5?x?2.5)
的值域为 .
【答案】
?
0,1,2,3
?

【解析】
试题分析：：①当-0.5＜x＜0时，y=[x]+1的函数值为0；
②当0≤x＜1时，y=[x]+1的函数值为1；
③当1≤x＜2时，y=[x]+1的函数值为2；
④当2≤x＜2.5时，y=[x]+1的函数值为3；
综上所述，得函数y=[x]+1（-0.5＜x＜2.5）的值域为{0，1，2，3}。
考点：函数的值域。
点评：本题给出与高斯函数相关的一个函数，在给出函数的定义域的情况 下，
求函数的值域，着重考查了基本初等函数的定义域与值域等知识点，属于基
础题．



57．对于函数
f(x)?
x
(x?R)< br>，有下列结论：①
?x?R
，函数
f(x)
是偶
1?|x|< br>函数； ②
?m?(0,1)
，使得方程
|f(x)|?m
有两个不等实数根； ③< br>?x
1
,x
2
?R
，
若
x
1
?x
2
，则一定有
f(x
1
)?f(x
2
)；④
?k?(
使得函数
g(x)?f(x)?kx1,??)
，
在
R
上有三个零点。
上述四个结论正确的是__________.（填序号）
【答案】②③
【解析】解：因为函数
f(x)?
x
(x?R)
，
1?| x|
①
?x?R
，函数
f(x)
是偶函数；显然不成立。
②
?m?(0,1)
，使得方程
|f(x)|?m
有两个不等实数根；作图可 知成立。
③
?x
1
,x
2
?R
，若
x< br>1
?x
2
，则一定有
f(x
1
)?f(x
2
)
；作图可知成立。
④
?k?(1,??)
，使得函数
g (x)?f(x)?kx
在
R
上有三个零点，显然不成立。



58．已知函数f（x）的图象关于直线x=1对称，如图所示，则满足等式f（a
﹣1）=f（5）的实数a的值为 或 ．
试卷第26页，总56页

【答案】﹣2和6
【解析】
试题分析：已知函数f（x ）的图象关于直线x=1对称，分两种情况：a﹣1
与5重合或不重合，从而求解
解：∵函数f（x）的图象关于直线x=1对称，
若a﹣1与5重合，可得a﹣1=5，∴a=6；
若不重合，=1，∴a=﹣2；
考点：二次函数的图象
点评：此题考查点关与直线对称的问题，要考虑a﹣1与5重合的问题 ，这
种情况很容易遗漏，此题是一道基础题



59．函数y?
1
x?2
?(x?3)
0
的定义域为
【答案】
?
x?R|x?2,且x?3
?




e
x
?e
?x
x?
2
60．在技术工程 上常用双曲正弦函数sh和双曲余弦函数
e
x
?e
?x
x?
2
ch,而这两个函数与我们学过的正弦函数和余弦函数有类似的性
质,如关于正、余弦函数有
sin(x?y)?sinxcosy?cosxsiny
,而双曲正、余弦函
数也满 足sh（x+y）=shxchy+chxshy,请你运用类比的方法另外写一个双曲正、
余弦函数满 足的关系式__________________．
【答案】ch（x+y）=chxchy+shxshy, ch（x-y）=chxchy- shxshy, sh（x-y）
=shxchy-chxshy



61．已知函数
f(x)
的定义域为R，且对任意
x?Z
，都有
f(x)?f(?x1?)f(?x
。
若
f(?1)?6
，
f(1)?7
，则
f(2012)?f(?2012)?
。
【答案】－13
试卷第27页，总56页

62．若函数f(x)?x
2
?x?a
为偶函数，则实数
a?
[
【答案】0



?
log(1?x),(x?0)
63．已知
f(x)?
?
2
则f(3)
=
?
f(x?1)?f(x?2)(x?0)
【答案】0



64．幂函数
f(x)
的图像经过点
(3,3)
，则f(x)
的解析式为 。
【答案】




?
x
2
?2x(x?0)
65．若函数
f(x) ?
?
为奇函数，则
f(g(?1))?
______________.
(x?0)
?
g(x)
【答案】-15


< br>66．已知f(3
x
)＝4xlog
2
3＋233，则f(2)＋f( 4)＋f(8)＋?＋f(2
8
)的值等于_______

【答案】2010



67．为了保证信息安全传输必须使用加密方式，有一种方式其加密、解密原
理如下：
加密发送解密
明文――→密文――→密文――→明文
已知加密为y＝a
x< br>－2(x为明文、y为密文)，如果明文“3”通过加密后得到
密文为“6”，再发送，接受方通 过解密得到明文“3”，若接受方接到密文
为“14”，则原发的明文是____
【答案】4




试卷第28页，总56页

?1,1?x?2
68．设函数f(x)＝
?
，g(x)＝f(x)－ax，x∈[ 1,3]，其中a∈R，
?
x?1,2?x?3
记函数g(x)的最大值与最小值的差 为h(a)．
(1)求函数h(a)的解析式；
(2)画出函数y＝h(x)的图象并指出h(x)的最小值．
?
1?2a,a?0
?
?
1?a,0?a?
1
?
2
【答案】（1）h (a)＝
?
?
a,
1
?a?1
?
2
?2a?1,a?1
?
（2）见解析
?
?
1?ax,1?x?2
【解析】解：(1)由题意知g(x)＝
?

1?ax?1,2?x?3?
?
?
?
当a<0时，函数g(x)是[1,3]上的增函数，
此时g(x)
max
＝g(3)＝2－3a，
g(x)
min
＝g(1)＝1－a，
所以h(a)＝1－2a；
当a>1时，函数g(x)是[1,3]上的减函数，
此时g(x)
min
＝g(3)＝2－3a，
g(x)
max
＝g(1)＝1－a，
所以h(a)＝2a－1；
当0≤a≤1时，若x∈[1,2]，
则g(x)＝1－ax，有g(2)≤g(x)≤g(1)；
若x∈(2,3]，则g(x)＝(1－a)x－1，
有g(2)因此g(x)
min
＝g(2)＝1－2a，
而g(3)－g(1)＝(2－3a)－(1－a)＝1－2a，
1
故当0≤a≤时 ，g(x)
max
＝g(3)＝2－3a，有h(a)＝1－a；
2
1当max
＝g(1)＝1－a，有h(a)＝a.
2?
1?2a,a?0
?
?
1?a,0?a?
1
?
2
综上所述，h(a)＝
?

1
?
a,?a?1
?
2
?
2a?1,a?1
?
(2)画出y＝h(x)的图象，如图所 示，数形结合可得h(x)
min
＝h(
11
)＝.
22
试卷第29页，总56页

< br>69．已知定义域为
[0,1]
的函数
f(x)
同时满足以下三个条件 ：
（1） 对任意的
x?[0,1]
，总有
f(x)?0
；（2）
f(1)?1
；（3） 若
x
1
?0
，
x
2
?0
，
且
x
1
?x
2
?1
，则 有
f(x
1
?x
2
)?f(x
1
)?f(x
2
)
成立，则称
f(x)
为“友谊函数”，
请解答下列各题：
（1）若已知
f(x)
为“友谊函数”，求
f(0)
的值； （2）函数
g(x)?2
x
?1
在区间
[0,1]
上是 否为“友谊函数”？并给出理由.
（3）已知
f(x)
为“友谊函数”，假定存在< br>x
0
?[0,1]
，使得
f(x
0
)?[0,1]< br>且
f[f(x
0
)]?x
0
， 求证：
f(x
0
)?x
0
.
【答案】（1）
f(0)?0
（2）是友谊函数（3）见解析.
【解析】
试题分析：（1）利用赋值法由
f(x)?0
得
f(0)?0
，再由
f(
1
x?
2
x)?f(
1
x)?
得(0)?f(0)?f(0)?f(0)?0
，所以
f(0)?0
（2）
f(
2
f
x)
分别验证（1）由指数函数的性质
g(x)?2
x
?1
在区间
[0,1]
上的最小值为0，（2）
直接带入验证易 得
g(1)?1
（3）利用做差法直接比较
g(x
1
?x
2
)?[g(x
1
)?g(x
2
)]?

2
x
1
?x
2
?1?[(2
x
1
?1)?(2
x
2
?1)]?(2
x
2
?1)(2
x
1
?1)?0

（3） 先利用单调性的定义证明抽象函数的单调性，然后再证明
f( x
0
)?x
0

取
x
1
?x
2< br>?0
得
f(0)?f(0)?f(0)?f(0)?0
， 又由
f(0)?0
，
试卷第30页，总56页

得
f(0)?0

（2）显然
g(x)?2x
?1
在
[0,1]
上满足（1）
g(x)?0
；（ 2）
g(1)?1
.（3）若
x
1
?0
，
x
2
?0
g(
1
?x
，
2
且
x
1
?x
2
?1
，
x
1
则有
)?x[
x
1
?
?
?g(
x
2
1?
x)?
[2?
g(
(
x
2
)
x
2

?< br>]
?1
x
)?
故
g(x)?2
x
?1
满足条件（1）、（2）、（3），所以
g(x)?2
x
?1
为友谊函数.
（3）由 （3）知任给
x
2
,x
1
?[0,1]
其中
x
2
?x
1
，且有
x
2
?x
1
?1
，不妨设
x
2
?x
1
??x (?x?0)

f(x
2
)?f(x
1
)?f(x
1
??x)?f(x
1
)?f(x
1
)?f(?x)?f(x
1
)?f(?x)?0

所以：
f(x
2
)?f(x
1
)
.
下面 证明
f(x
0
)?x
0
：(i)若
f(x
0
)?x
0
，则有
x
0
?f(x
0
)
或< br>x
0
?f(x
0
)

若
x
0
?f(x
0
)
，则
f(x
0
)?f[f(x
0< br>)]?x
0
，这与
x
0
?f(x
0
)
矛盾；
（2）若
x
0
?f(x
0
)
，则f(x
0
)?f[f(x
0
)]?x
0
，这与
x
0
?f(x
0
)
矛盾；
综上所述：
f(x
0
)?x
0

考点：函数的概念与性质.



4
x
70．已知函数
f(x)?
x

4?2
（1）若
0?a?1
，求
f(a)?f(1?a)
的值；
12
)?f()?
20132013
【答案】（1）1；（2）1006
【解析】
（2）求
f(?f(
2012
)
的值.
2013
4
x
试题分析：（1）因为
f(x)?
x
.所以 可以计算出
f(a)?f(1?a)
的值为1，
4?2
即表示两个自变量的和 为1的函数值的和为1.
（2）由（1）可知两个自变量的和为1的函数值的和为1.所以令
1232012
S?f()?f()?f()?????f()
?①.利用倒序又可得到
2013
21
S?f()?f()?f()?????f()?f()
?②.所以由 ①+②
20132013
试卷第31页，总56页

可得2S=2012.所以S=1006.
4
a
4
1?a
试题解析：
f(a)?f(1?a)?
a

?
4?2 4
1?a
?2
4
a
44
a
2
?
a
????1
． 5分
aaa
4?24?2?44?24? 2
122012
)?f()??f()?1?1006?1006
． 10分
2
考点：1.函数的表示法.2.倒序求和法.


< br>（2）
f(
71．设二次函数
f(x)?(k?4)x
2
?k x
恒成立；数列
{a
n
}
满足
a
n?1
? f(a
n
)
.
（1）求函数
f(x)
的解析式和值域；
对任意实数
x
，有
f(x)?6x?2
(k?R)
，
1
（2）证明：当
a
n
?(0,)
时，数列
{a
n
}
在该区间上是递增数列；
2
1
（3）已知
a
1
?
，是否存在非零整数
?
，使得对任意
n?N
?
，都有
3
??????
?
1
??
1
??
1
?
n?1
1
2
?1?(?
2
1)2
?< br>log
?n
log
3
?
?log?????log??1?
n?
?n?1
??
???
3
2
恒成
3
?
3
?
3
log
111
?
?a
1
??
?a
2
??
?a
n
?
?2??2 ??2?
立，若存在，求之；若不存在，说明理由.
1
【答案】(1)
f( x)??2x
2
?2x
，值域为
(??,]
；（2）证明见解析；（ 3）存在，
2
且
?
??1
．
【解析】
试题分析 ：（1）这是一个不等式恒成立问题，把不等式转化为
(k?4)x
2
?(k?6)x ?2?0
恒成立，那么这一定是二次不等式，恒成立的条件
?
k?4?0,
是
?
可解得
k?2
，从而得到
f(x)
的解析式，其
2
?
??(k?6)?4(k?2)(?2)?0,
值域也易求得；（2）要证明数列
{a
n
}
在该区间上是递增数列，即证
a
n?1
? a
n
，
也即
a
n?1
?a
n
?0
，根据
a
n?1
的定义，可把
a
n?1
?a
n化为关于
a
n
的二次函数，再
1
利用
a
n?(0,)
，可得结论
a
n?1
?a
n
?0
； （3）这是一道存在性问题，解决问题
2
的方法一般是假设存在符合题意的结论，本题中假设< br>?
存在，使不等式成立，
为了求出
?
，一般要把不等式左边的和求出来 ，这就要求我们要研究清楚第
111
一项是什么？这个和是什么数列的和？由
a
n
?(0,)
，从而
?a
n
?(0,)
，
222
试卷第32页，总56页

111
22
?a
n?1< br>??(?2a
n
?2a
n
)?2a
n
?2a
n
?

222
111
2
?2(a
n
?)< br>2
，不妨设
b
n
??a
n
，则
b
n ?1
?2b
n
（
b
n
?(0,)
），对这个递推公 式
222
我们可以两边取对数把问题转化为
log
3
b
n? 1
?log
3
2?2log
3
b
n
，这是数列?
log
3
b
n
?
的递推公式，可以变为一个等比数列 ，方法是上式可变为
log2
3
b
n?1
?log
3
?2(lbo?
3n
g
3
lo
，即数列
g2)
?
log
3
b
n
?log
3
2
?
是 公比为2的等
比数列，其通项公式易求，反过来，可求得
log
3
边的和，化 简不等式．
1
1
?a
n
2
，从而求出不等式左
试 题解析：（1）由
f(x)?6x?2
恒成立等价于
(k?4)x
2
?(k?6)x?2?0
恒成
立，
?
k?4?0
从而得：
?
，化简得
2
(k?6)?8(k?4)?0
?
?
k?4
，从而得
k?2
，所以
?
2
(k?2)?0
?f(x)??2x
2
?2x
，
3分
1
其值域为
(??,]
. 4分
2
11
2
?2a
n
?a
n
??2( a
n
?)
2
?
（2）解：
a
n?1
?a
n
?f(a
n
)?a
n
??2a
n
4 8
6分
1111111111
a
n
?(0,)???a
n
???(a
n
?)
2
???2(a
n
?)
2
????2(a
n
?)
2
??0
24444164848
， 8分
1
从而得
a
n?1
?a
n
?0
，即
a
n?1
?a
n
，所以数列
{a
n< br>}
在区间
(0,)
上是递增数列.
2
10分 111
（3）由（2）知
a
n
?(0,)
，从而
?a< br>n
?(0,)
；
222
1111
22
?a
n?1
??(?2a
n
?2a
n
)?2a
n
?2a
n
??2(a
n
?)
2
，即
2222
11
?a
n?1
?2(?a
n
)
2
；
22
12分
11
2
令
b
n
??a
n
，则有
b
n?1
?2b
n
且
b
n?(0,)
；
22
从而有
lgb
n?1
?2lgb< br>n
?lg2
，可得
lgb
n?1
?lg2?2(lgb
n
?lg2)
，所以数列
1
{lgb
n
?lg2}
是
lgb
1
?lg2?lg
为首项，公比为
2
的等比数列 ，
3
试卷第33页，总56页

1
?
1
?
从而得
lgb
n
?lg2?lg?2
n?1
?lg
??
3
?
3
?
?
1
?
??
3所以
b
n
?
??
2
2
n?1
2n?1
2
n?1
?
1
?
??
3
，即< br>lgb
n
?lg
??
2
2
n?1
，
?
1
?
1
?
??
2
?
3
?，
??
??
n?1
11
1
2
n?1
?
?log
3
(2?3
2
)?log
3
2?2n?1
， 所以
??2?3
，所以
log
3
?
1
b
n
?
1
?a
?
?a
n
?n
?
?
2
?
2
??????
?
1??
1
??
1
?
?
?log
3
??< br>?????log
3
??
所以，
log
3
?
111
?
?a
??
?a
??
?a
?
?? ?
1
?
2
?
n
?
?
2
??
2
??
2
?
1?2
n
?nlog
3
2? ?2
n
?nlog
3
2?1
.
1?2
n
2
n
2
?(logn?1?
?
?1
?
即
?nlog
3
2)
3
2?1
n?1
2
2
?
?n
n
log?
?
1
1
，所以，
2
n?1
?
?
?1
?
log
3
3
2
n?1
?
恒成立.
15分
2
n?1
有 最小值
1
为.
?
?
?1
当
n为奇数时，即
?
?2
n?1
恒成立，当且仅当
n?1
时 ，
16分
当
n
为偶数时，即
?
??2
n?1恒成立，当且仅当
n?2
时，有最大值
?2
为.
?
?< br>??2
17分
所以，对任意
n?N
?
，有< br>?2?
?
?1
.又
?
非零整数，
?
?
??1
18分
考点：（1）二次不等式恒成立问题与函数的值域；（2）递 增数列；（3）递推
m
公式
a
n?1
?pa
n
，< br>a
n?1
?pa
n
?q
的数列通项公式，等比数列的前
n
项和．



72．(本小题满分12分)
已知二 次函数
f(x)
满足
f(0)?1
，
f(x?1)?f(x)?2x
.
（1）求
f(x)
的解析式；
（2）求
f(x)在
?
?1,1
?
上的最大值和最小值.
【答案】解：（1）设
f(x)?ax
2
?bx?c
,
由
f(0)?1
得
c?1
?????3分
试卷第34页，总56页

f(x?1)?f(x)?a(x?1)
2
?b(x?1)?c?(ax
2
?bx?c)
?2x

得
f(x)?x
2
?x?1
；??????8分
（2）< br>f(x)
min
?f()?
，
f(x)
max
?f( ?1)?3
??????12分



73．二次函数f(x)满足f(x+1)-f(x)=2x,且f(0)=1.
（1）求f(x)的解析式；
（2）在区间[－1，1]上，y=f(x)的图象恒在y=2 x+m的图象上方，求实数m
的取值范围
【答案】（1）f(x)=x2-x+1，（2）
m??1.

【解析】 < br>试题分析：（1）求二次函数解析式，一般方法为待定系数法.二次函数解析
式有三种设法，本题 设一般式f(x)=ax2+bx+1，再利用等式恒成立，求出项
的系数.由a(x+1)2+b(x +1)-ax2-bx=2x得2ax+a+b=2x，所以
1
2
3
4
?
2a?2
?
a?1
?
??
?
a?b?0
?
b??1
.（2）恒成立问题一般转化为最值问题.先构造不等式
x
2< br>?x?1?2x?m恒成立,x?
?
?1,1
?
2
，再变量分 离
m?x?3x?1
，这样就转化
2
g(x)?x?3x?1,x?[?1, 1]
的最小值问题. 为求函数
试题解析：（1）设f(x)=ax2+bx+1
?
a(x+1)2+b(x+1)-ax2-bx=2x
2ax+a+b=2x < br>?
2a?2
?
a?1
?
??
a?b?0
?< br>b??1

?
?
?
f(x)=x2-x+1
（2）
x
2
?x?1?2x?m恒成立,x?
?
?1,1
?

m?x
2
?3x?1
令g(x)?x
2
?3x?1,x ?
?
?1,1
?
?g(x)min?g(1)??1
?m??1
考点:二次函数解析式，二次函数最值，不等式恒成立



74．求下列函数f(x)的解析式．
(1) 已知f(1－x)＝2x
2
－x＋1，求f(x)；
试卷第35页，总56页

1
1
??
(2) 已知f
?
x?
?
＝x
2
＋
2
，求f(x)；
x
x
??
(3) 已知一次函数f(x)满足f(f(x))＝4x－1，求f(x)；
(4) 定义在(－1，1)内的函数f(x)满足2f(x)－f(－x)＝lg(x＋1)，求f(x)．
21
【答案】（1）f(x)＝2x
2
－3x＋2（2）f(x)＝lg(x＋1)＋ lg(1－x)，x∈(－
33
1，1)．
【解析】(1) (换元法)设t＝1－x，则x＝1－t，
∴ f(t)＝2(1－t)
2
－(1－t)＋1＝2t
2
－3t＋2，
∴ f(x)＝2x
2
－3x＋2.
1
1
?
1
???
(2) (配凑法)∵ f
?x?
?
＝x
2
＋
2
＝
?
x?
?
2
＋2，
x
x
?
x
???
∴ f(x)＝x
2
＋2.
(3) (待定系数法)∵ f(x)是一次函数，∴设f(x)＝ax＋b(a≠0)，则
f(f(x))＝f(ax＋b)＝a(ax＋b)＋b＝a
2
x＋ab＋b. ?
a＝2，
?
a
2
＝4，
?
a＝－2，
?
∵f(f(x))＝4x－1，∴
?
解得
?
1
或
?

ab＋b＝－1，
b＝，1
b＝，
?
?
?
?
3
1
∴f(x)＝2x－或f(x)＝－2x＋1.
3
(4) (消去法)当x∈(－1，1)时，有2f(x)－f(－x)＝lg(x＋1)，①
以－x代替x得2f(－x)－f(x)＝lg(－x＋1)，②
21
由①②消去f (－x)得，f(x)＝lg(x＋1)＋lg(1－x)，x∈(－1，1)
33



75．求下列各题中的函数f(x)的解析式．
(1) 已知f(
x
＋2)＝x＋4
x
，求f(x)；
?
2
?
(2) 已知f
?
?1
?
＝lgx，求f(x)；
?
x
?
?
1
?
(3) 已知函数y＝f(x)满足2f(x)＋f
??
＝2x，x∈R且x≠0，求f(x)；
?
x
?
(4) 已知f(x)是二次函数，且满足f(0)＝1，f(x＋1)＝f(x)＋2x，求f(x)．
24
【答案】（1）f(x)＝x
2
－4(x≥2)（2）f(x)＝lg(x>1)．（ 3）f(x)＝x
x?13
2
－（4）f(x)＝x
2
－x＋1.
3x
【解析】(1) (解法1)设t＝
x
＋2，则
x
＝t －2，即x＝(t－2)
2
，
∴ f(t)＝(t－2)
2
＋4(t－2)＝t
2
－4，
∴ f(x)＝x
2
－4(x≥2)．
试卷第36页，总56页

(解法2)∵ f(
x
＋2)＝(
x
＋2)
2
－4，∴ f(x)＝x
2
－4(x≥2)．
(2) 设t＝
2222
＋1，则x＝，∴ f(t)＝lg，即f(x)＝lg(x>1)． xx?1
t?1t?1
11
?
1
??
1
?(3) 由2f(x)＋f
??
＝2x，①将x换成，则换成x，得2f
??＋f
?
x
?
＝
xx
?
x
??
x
?
2
，②
x
242
①×2－②，得3f(x)＝4x－，得f(x)＝x－.
x3
3x
2
(4) ∵ f(x)是二次函数，∴ 设f(x)＝ax＋bx＋c(a≠0)．由f(0)＝1，
得c＝1.
由f(x＋1)＝f (x)＋2x，得a(x＋1)
2
＋b(x＋1)＋1＝(ax
2
＋bx＋1 )＋2x，
1
?
2a－2＝0，
?
a＝，
整理，得(2a －2)x＋(a＋b)＝0，由恒等式原理，知
?

?
1，
?
a＋b＝0
?
b＝－
∴f(x)＝x
2
－x＋1



?
x
2
＋bx＋c，x?0，
76．设函数f (x)＝
?
其中b>0，c∈R.当且仅当x＝－2时，
?
2，x?0，函数f(x)取得最小值－2.
(1)求函数f(x)的表达式；
(2)若方程f(x)＝x＋a(a∈R)至少有两个不相同的实数根，求a取值的集合．
?
x
2
＋4x＋2，x?0，
?
1
?
【答案】（1） f(x)＝
?
（2）
?
?,2
?

?
4< br>?
?
2，x?0，
【解析】(1)∵当且仅当x＝－2时，函数f(x)取得最 小值－2.
b
∴二次函数y＝x
2
＋bx＋c的对称轴是x＝－＝－2.
2
且有f(－2)＝(－2)
2
－2b＋c＝－2，即2b－c＝6. ?
x
2
＋4x＋2，x?0，
∴b＝4，c＝2.∴f(x)＝
?

?
2，x?0，
(2)记方程①：2＝x＋a(x>0)，
方程②：x
2
＋4x＋2＝x＋a(x≤0)．
分别研究方程①和方程②的根的情况：
(ⅰ)方程①有且仅有一个实数根a<2，方程①没有实数根a≥2.
(ⅱ)方程②有且仅有 两个不相同的实数根，即方程x
2
＋3x＋2－a＝0有两个
42－a）?0
?
?＝9－（
不相同的非正实数根．∴
?
?
2－a?0
1< br>?
?
a?－
4
?
?
?
a?2
－1
4
试卷第37页，总56页

方程②有且仅有一个实数根，即方程x
2
＋3x＋2－a＝0有且仅有一个非正实
数根 ．
1
∴2－a<0或Δ＝0，即a>2或a＝－.
4
1
综上可知 ，当方程f(x)＝x＋a(a∈R)有三个不相同的实数根时，－4
1
当方程f(x)＝x＋a(a∈R)有且仅有两个不相同的实数根时，a＝－或a＝
4
2. < br>?
1
?
∴符合题意的实数a取值的集合为
?
?,2
?

?
4
?



77．设
V
为全体平面向量构成的集合，若映射
f
：
V
→R满足：
对任意向量
a
＝(
x
1
，
y
1
)∈
V
，
b
＝(
x
2
，
y
2
)∈
V
，以及任意λ∈R，均有
f
[λ< br>a
＋(1－λ)
b
]＝λ
f
(
a
)＋(1－ λ)
f
(
b
)，则称映射
f
具有性质
p
.
现给出如下映射：
①
f
1
：
V
→R，
f
1
(
m
)＝
x
－
y
，
m
＝(
x
，
y
)∈V；
②
f
2
：
V
→R，
f
2
(
m
)＝
x
2
＋< br>y
，
m
＝(
x
，
y
)∈V；
③< br>f
3
：
V
→R，
f
3
(
m
)＝
x
＋
y
＋1，
m
＝(
x
，
y
)∈V.
分析映射①②③是否具有性质
p
.
【答案】①具有性质
p
②不具有性质
p
. ③具有性质
p
.
【解析】
a
＝(
x
1
y
1
)，
b
＝(
x
2
，
y
2
)，
λ
a
＋(1－λ)
b
＝(λ
x
1
＋(1－λ)
x
2
，λ
y
1
＋(1－λ)
y
2
)．
对于①，
f
1
(
m
)＝
x－
y

∴
f
(λ
a
＋(1－λ)
b< br>)＝[λ
x
1
＋(1－λ)
x
2
]－[λ
y
1
＋(1－λ)
y
2
]
＝λ(
x
1－
y
1
)＋(1－λ)(
x
2
－
y
2
)．
λ
f
(
a
)＋(1－λ)
f
(b
)＝λ(
x
1
－
y
1
)＋(1－λ)(x
2
－
y
2
)
f
(λ
a
＋ (1－λ)
b
)＝λ
f
(
a
)＋(1－λ)
f(
b
)．
∴①具有性质
p
.
对于②，
f< br>2
(
m
)＝
x
2
＋
y
，设
a
＝(0,0)，
b
＝(1,2)，
λ
a
＋(1－λ)
b
＝(1－λ，2(1－λ))，
f< br>(λ
a
＋(1－λ)
b
)＝(1－λ)
2
＋2(1－ λ)＝λ
2
－4λ＋3，
而λ
f
(
a
)＋(1－ λ)
b
＝λ(0
2
＋0)＋(1－λ)(1
2
＋2)＝3( 1－λ)．
又λ∈R，∴
f
(λ
a
＋(1－λ)
b
)＝λ
f
(
a
)＋(1－λ)
f
(
b
) 不恒成立
故②不具有性质
p
.
对于③，
f
3
(
m
)＝
x
＋
y
＋1，
f
(λ
a
＋(1－λ)
b
)＝[λ
x
1
＋(1－λ)
x2
]＋[λ
y
1
＋(1－λ)
y
2
]＋1 < br>＝λ(
x
1
＋
y
1
)＋(1－λ)(
x2
＋
y
2
)＋1，
又λ
f
(
a)＋(1－λ)
f
(
b
)＝λ(
x
1
＋
y
1
＋1)＋(1－λ)(
x
2
＋
y
2
＋1)
试卷第38页，总56页

＝λ(
x
1
＋< br>y
1
)＋(1－λ)(
x
2
＋
y
2
)＋λ＋(1－λ)
＝λ(
x
1
＋
y
1
)＋(1 －λ)(
x
2
＋
y
2
)＋1.
∴
f(λ
a
＋(1－λ)
b
)＝λ
f
(
a
)＋(1－λ)
f
(
b
)
③具有性质
p
.



78．已知函数
f(x)
和
g(x)
的图像关于原点对称，且
g(x)??x
2
?2x
．
（1）求函数
f(x)
的解析式；
（2）解不等式
f(x)?g(x)?|x?1|
；
（3）若函数
h(x)?f(x)?
?
?g(x)?1
在区间
[?1,1]
上是增 函数，求实数
?
的
取值范围．
?
【答案】(1)
f(x)?x
2
?2x
；(2) 解集为
?
?1,
?
1
?
；(3)
[0,??)
．
2
?
?
【解析】
试题分析：( 1)两个函数的图象关于某点或某条直线对称，一般设待求解析
式的函数图象上任一点的坐标为
(x,y)
，求出这点的对称点的坐标
(x
1
,y
1
)，当
然这里
x
1
,y
1
是用
x,y
表 示的式子，然后把点
(x
1
,y
1
)
代入已知解析式，就能 求
出结论；(2)这是含有绝对值的不等式，解题时，一般按照绝对值的定义分
类讨论以去掉绝 对值符号，便于解题；(3)
h(x)?x
2
?2x?
?
(?x< br>2
?2x)?1?(1?
?
)x
2
?2(1?
?)x?1
，这是含参数的二次
函数，解题时，首先对二次项系数
1?
?< br>分类，即分二次项系数
1?
?
为0，不
为0，其中
1?
?
不为0还要分为是正数，还是负数进行讨论，在二次项系数
1?
?
不为0 时，只要讨论其对称轴与给定区间的关系就能求得结论．
试题解析：（1）设
P(x,y)< br>是函数
f(x)
图像上任一点，则
P
关于原点对称的
点
Q(?x,?y)
在函数
g(x)
的图像上， （1分） < br>所以
?y??(?x)
2
?2(?x)
，故
y?x
2
?2x
． （2分）
所以，函数
f(x)
的解析式是f(x)?x
2
?2x
． （1分）
（2）由
f(x )?g(x)?|x?1|
，得
x
2
?2x??x
2
?2x ?|x?1|
， （1分）
即
2x
2
?|x?1|?0
． （1分）
当< br>x?1
时，有
2x
2
?x?1?0
，△
?1?8?? 7?0
，不等式无解； （1分）
当
x?1
时，有
2x
2
?x?1?0
，
(2x?1)(x?1)?0
，解得
?1?x?
试卷第39页，总56页
1
． （2分）
2

?
综上，不等式
f(x)?g(x)?|x?1|
的解集为
?
?1,< br>?
1
?
． （1分）
?
2
?
（3）
h(x)?x
2
?2x?
?
(?x
2
?2x )?1?(1?
?
)x
2
?2(1?
?
)x?1
． （1分）
①当
?
?1
时，
h(x)?4x?1
在区间[?1,1]
上是增函数，符合题意． （1分）
②当
?
?1时，函数
h(x)
图像的对称轴是直线
x?
因为
h(x)
在区间
[?1,1]
上是增函数，所以，
1）当
?
?1
时，
1?
?
?0
，函数
h(x)
图像开口向上，故
解得
0?
?
?1
； （1分）
1?
?
?0
，2）当
?
?1
时，函数
h(x)图像开口向下，故
?
?1
． （1分）
?
?1
?
?1
??1
，
?
?1
?
?1
?1
，解得
?
?1
． （1
?
?1
分）
综上，
?
的取值范围是
[0,??)
． （1分）
考点：(1)函数图象的对称问题；(2)含绝对值的不等式；(3)函数的单调性．



79．已知A、B、C是直线
l
上的不同三点，O是
l
外一点，向量
OA,OB,OC
满
3
足
OA?(x
2
?1)OB?(lnx?y)OC
，记
y?f(x)
；
2
（1）求函数
y?f(x)
的解析式；
（2）求函数
y?f(x)
的单调区间．
【答案】（1）
y?3
2
x?lnx
；（2）单调增区间为
(0,??)
．
2
【解析】
试题分析：（1）利用平面向量基本定理求解；（2）由（1）得解析式 ，然后
利用导数求解单调增区间.
3
试题解析：（1）∵
OA?(x
2
?1)OB?(lnx?y)OC
，且A、B、C是直线
l
上
2
的不同三点，
3
∴
(x
2
?1)?(lnx?y)?1
，
2
3
∴
y?x
2
?lnx
；
2
13x
2
?1
3
2
3
（2）∵
f(x )?x?lnx
，∴
f
?
(x)?3x??
， ∵
f( x)?x
2
?lnx
22
xx
试卷第40页，总56页