高中数学解答题专题

(已做)1.已知函数
f(x)?sin
?
x

(< br>?
?0)
在区间
[0,
??
2
?
]
上单调递增,在区间
[,]
上单调
333
C
递减;如图,四边形OACB
中,
a
,
b
,
c
为
△ABC
的
内角
A，B，C
的对边,且满足
4
?
?cosB?cosC
sinB?sinC
3
.
?
sinAcosA
(1)证明:
b?c?2a

(2)若
b?c
,
?AOB?
?
,
(0?
?
??
)
,
OA?2OB?2
,
求四边形
OACB
面积的最大值.


2
(已 做)1.已知函数
f(x)?sin
?
x?cos
?
x?sin?
x?
B
O
?
A
1
(
?
?0 )
，其相邻两个零点间的距离为
2
?
．
2
（1）求
f(x)
的解析式； （2）锐角
?ABC
中，
f(
求
BC
的值．



2
(已做)2.已知正数数列
{a
n
}
的前
n
项和为
S
n
，且满足：
a
n

?a
n
?2S
n
?0
，
c
n
? a
n
b
n
，
A
?
1
?)?,AB?4,? ABC
的面积为
6
，
282
（1）求数列
{a
n< br>}
的通项公式；
（2）若
b
1
?1
?
c< br>n
?
的前n项和T
n
并判断是否存在整
， 2b
n
?b
n?1
?0(n?2,n?N
*
)，
求出数列
数m、M，使得
m?T
n
?M
对任意正整数
n恒成立，且
M?m?4
？说明理由.



B
，(已做)3.在
?ABC
中，角
A
，
c.且满足
(2a?c)cosB?bcosC
，
C
对应的边分别是
a
，
b
，
sin
2
A?sin
2
B?s in
2
C?
?
sinBsinC.(
?
?R).

（I）求角B的大小； （II）若
?
?3
，求角C； （Ⅲ）如果
?ABC
为钝角三角形，求
?
的
范围.

(已做)1.已知数列
?
a
n
?
中，
a
1
?1,a
n?1
a
n?(n?N
*
)

a
n
?3
?
11< br>?
?
?
是等比数列，并求
?
a
n
?
的通项公式
a
n
； （1）求证：
?
?
a
n
2
?
n
n
b?(3?1)??a
n
，数列
?b
n
?
的前
n
项和为
T
n
，若不等式 （2）数列
?
b
n
?
满足
n
n
2
(?1)
n
?
?T
n
?


n
2
n?1
对一切
n?N
恒成立，求
?
的取值范围.
*

(已做)2.已知角
?
的顶点在原点，始边与
x
轴的正半 轴重合，终边经过点
P(?3,
(1)求
sin2
?
(2)若函数< br>3)
.
?tan
?
的值；
?
f(x)?cos( x?
?
)cos
?
?sin(x?
?
)sin
?< br>，求函数
y?3f(?2x)?2f
2
(x)
2
?
2 π
?
在区间
?
0，
?
上的取值范围.
?
3
?


(已做)3.已知一非零向量列
?a
?
n
满足：
a
1
?(1,1)
,
1
a
n
?(x
n
,y
n
)?(x
n?1< br>?y
n?1
,x
n?1
?y
n?1
)
?n?2
?
.
2
（1）证明：
?
a
?
n
是等比数列；
（2）设
?
n
是
a
n?1
,a
n
的夹角< br>?
n?2
?
，
b
n
=
2n
?
n
?1
，
S
n
?b
1
?b
2
? L
，问数列
?b
n
，求
S
n
；
（3）设
c
n
?
a
n
log
2
a
n
?
c
n
?
中是否存在最小项？若存在，求出最小值；
若不存在，请 说明理由.

数学作业11.29
(已做)1.已知 函数
1
'
?
'
?
f(x)?3sin2x?f()cos2 x?f()
．
2124
?
??
?
,
?
恒 成立，求实数
m
的取值范围．
123
??
（Ⅰ）求
f(x)
的最小正周期和最小值；
（Ⅱ）若不等式
|f(x)?m|?3
对任意
x?
?


(已做)2.已知
?
a
n
?
是单调递增的等差数 列，首项
a
1
?3
，前
n
项和为
S
n；数列
?
b
n
?
是等比数列，
首项
b
1
?1,且a
2
b
2
?12,S
3
?b
2
?20.

（Ⅰ）求
?
a
n
?
和
?
b
n
?
的通项公式；
（Ⅱ）令
c
n
?S
n
cos
?


(已做)3. 若三个正整数
2a,1,a?3
按某种顺序排列成等差数列．
（I）求
a
的值；
（II）若等差数列
?
a
n< br>?
的首项和公差都是
a
，等比数列
?
b
n
?
的首项和公比也都是
a
，前
n
项
和分别为
S
n
,T
n
，若



(已做)4.在
? ABC
中，角
A,B,C
的对边分别为
a,b,c
．若
a? 2sinA
，
(I)求角
B
；
(II)求
?ABC
面积的最大值．


2
?< br>a
n
?
?
?
?
n?N
?
?
求
{c
n
}
的前20项和
T
20
.
?< br>3
?
1
(
T
n
＋2)＞
S
n
－208，求满足条件的正整数
n
的最大值．
n
2
cosBb
??0
．
cosC2a?c

数学作业12.5
(已做)1. 如图,四棱锥< br>P?ABCD
中，
ABCD
，
AB?AD
，
BC?C D?2AB?2
，
?PAD
是等边三角形，
M、N
分别为
BC、PD
的中点．
(1)求证：
MN平面PAB
；
(2)若
MN?PD
，求二面角
P?AD?C
的余弦值．
解析：（1）证明：取
PC
中点
Q
，可证面
NQM
面PAB
，
得
MN
面
PAB
；
（2）解： 取
AD
中点
O
，
PO?AD,MO?AD
，
B

P

N

A

D

1
?POM
是二面角
P?AD?C
平面角，
cos?POM ?
．
3

M

C

(已做)2.过抛物 线
C:y
2
?2px
上的点
M(4,?4)
作倾斜角互补的 两条直线
MA、MB
，分别交
抛物线于
A、B
两点．
(1)若
AB?410
，求直线
AB
的方程；
(2)不经 过点
M
的动直线
l
交抛物线
C
于
P、Q
两 点，且以
PQ
为直径的圆过点
M
，那么直线
l
是否过定点？ 如果是，求定点的坐标；如果不是，说明理由．
解析：（1）直线
AB
的方程是
x?2y?2?0

（2）恒过
(8,4)
点

(已做)3.
?ABC
中，
a,b,c
分别是内角
A,B,C
对边，且
a?bc
．
（1）当
a?4,
2
bcosB
?
，求
?AB C
的面积；
ccosC
（2）求函数
f(A)?sin(A?
?< br>3
)
的定义域和值域．
解析：(1)
S?43
；（2）
A?(0,







?
3
],f(A)?[
3
,1]

2

数学作业12.07
(已做)1.在
?ABC
中 ，内角
A,B,C
所对的边分别为
a,b,c
，已知
c?2
，
C?
（Ⅰ）当
2sin2A?sin
?
2B?C
?
?sinC
时，求
?ABC
的面积；
（Ⅱ）求
?ABC
周长的最大值；


(已做)2.如图 ，在梯形
ABCD
中，
ABCD
，
AD?DC?CB?1,?ABC ?60
，四边形
?
?
3

ACFE
为矩形，平面< br>ACFE?
平面
ABCD
，
CF?1
.
（Ⅰ）求证：
BC?
平面
ACFE
；
（Ⅱ）点
M
在线段
EF
上运动，设平面
MAB
与平面
FCB
所 成二面角的平面角为
??
?90
，
试求
cos
?
的取值范围.





第2题
?
?
?
x
2
y
2(已做)3.已知椭圆
C:
2
?
2
?1
?
a? b?0
?
，经过椭圆
C
上一点
P
的直线
ab
l:y??
232
与椭圆
C
有且只有一个公共点，且点
P
横坐标为
2
.
x?
42
（Ⅰ）求椭圆
C
的标准方程；
（Ⅱ）若
AB
是椭圆的一条动弦且直线方程为
y?kx?b
，
（ⅰ）用
k,b
表示
AB
；（ⅱ）若
AB?





第3题
5
，
O
为坐标原点，求
?AOB
面积的最大值.
2

数学作业12.12
(已做)1．如图，在四棱锥P-ABCD中 ，PA⊥面ABCD，AB=BC=2，
AD=CD=7，PA=3，∠ABC=120°，G为线段P C的中点.
(Ⅰ)证明：PA平面BGD；
(Ⅱ)求直线DG与平面PAC所成的角的正切值.





x
2
y
2
(已做)2．如图，已知椭圆
C
：
2
?
2
?1
，其左右焦点为
F
1
?< br>?1,0
?
及
F
2
?
1,0
?
，过 点
F
1
的直
ab
线交椭圆
C
于
A,B两点，线段
AB
的中点为
G
，
AB
的中垂线与
x
轴和
y
轴分别交于
D,E
两
点，且
AF
1
、
F
1
F
2
、
AF
2
构成等差 数列.
(Ⅰ)求椭圆
C
的方程；
(Ⅱ)记△
GF
1D
的面积为
S
1
，△
OED
（
O
为原 点）的面积为
S
2
．试问：
B
G
A
y
D
O
E
x
F
1
F
2
是否存在直线
AB
，使得
S
1
?S
2
？说明理由．







x
xx
,1)
，
n?(cos,cos
2
)
．记
f(x)?m?n

4
44
(Ⅰ) 若
x?
?
0,
??
，求函数
f(x)
的值域；
(Ⅱ) 在
?ABC
中，角
A
、
B
、
C
的对边分别是
a
、b
、
c
，且满足
(2a?c)cosB?bcosC
，
(已做)3.已知向量
m?(3sin
若
f(A)?





1?3
，试判断
?ABC
的形状．
2

数学作业12.14
1.已知数列
?
a
n
?
的前
n
项和为
S
n
，满足
3S
n
?a
n
?1
(n?N
*
)
.
（Ⅰ）求
?
a
n
?
的通项公式；
2
a
n
1
（Ⅱ）设
b
n
?
，数 列
?
b
n
?
前
n
项的和为
T
n< br>，证明：
T
n
＜．
3
1?a
n


n?1
2.已知数列
?
a
n
?
的前
n项和
S
n
??a
n
?()?2
（
n
为 正整数）．
1
2
（Ⅰ）令
b
n
?2
n
a
n
，求证：数列
?
b
n
?
是等差数列，并求数列< br>?
a
n
?
的通项公式；
（Ⅱ）令
c
n?
n?15n
a
n
，
T
n
?c
1?c
2
?........?c
n
试比较
T
n
与的大小，并予以证明．
，
n2n?1



3.如图， 在四面体
P?ABC
，底面ABC是边长为1的正三角形，
AB?BP
，点P 在底面ABC
上的射影为H，
BH?
6
3
，平面ACP与平面PBH 所成的锐二面角的余弦值为．
3
3
P
（Ⅰ）求证：
PA?BC
;
（Ⅱ）求二面角
C?AB?P
的正切值．





A

4.已知抛物线的顶点在坐标原点，焦点在
y
轴上，且过点（2，1），
（Ⅰ）求抛物线的标准方程及焦点坐标；
22
C
H
B
（Ⅱ）与圆
x?(y?1)?1
相切的直线
l:y?kx?t
交抛物 线于不同的两点
M,N
，若抛物线
上一点
C
满足
OC??
(OM?ON)
(
?
?0)
，求
?
的取值范 围．







4题图