全国高中数学联赛试题及解答

2000年全国高中数学联合竞赛试卷
（10月15日上午8:00?9:40）
一、 选择题（本题满分36分，每小题6分）
1．设全集是实数，若
A=
{
x
|≤0}，
B=
{
x
|10
=
10< br>x
}
，
则
A
∩?
R
B
是() (
A
){2}(
B
){?1}(
C
){
x|
x
≤2}(
D
)?
2．设sin
?
＞0< br>，
cos
?
＜0
，
且sin＞cos
，
则的 取值范围是()
(
A
)(2
k?
+
，
2
k?
+)
，k
?
Z
(
B
)(+
，
+)
，k
?
Z

(
C
)(2
k?
+
，
2
k?
+
?
)
，k
?
Z(
D
)(2
k?
+
，
2
k?
+)∪( 2
k?
+
，
2
k?
+
?
)
，k< br>?
Z

3．已知点
A
为双曲线
x
2
?
y
2
=
1的左顶点，点
B
和点
C
在双曲 线的右分支上，
△
ABC
是等边三角形，则△
ABC
的面积是()
(
A
)(
B
)(
C
)3(
D
)6
4．给定正数
p，q，a，b，c
，其中
p
?
q
， 若
p，a，q
是等比数列，
p，b，c，
q
是等差数列，则一元二次 方程
bx
2
?2
ax
+
c=
0()
(< br>A
)无实根(
B
)有两个相等实根(
C
)有两个同号相异实根 (
D
)有两个异号实根
5．平面上整点（纵、横坐标都是整数的点）到直线
y=x
+的距离中的最小值
是()
(
A
)(
B
)(
C
)(
D
) < br>6．设
ω=
cos+
i
sin，则以
?，?
3
，?
7
，?
9
为根的方程是()
(
A
)
x
4
+
x
3
+
x
2
+
x
+1
=
0(
B
)
x
4
?
x
3< br>+
x
2
?
x
+1
=
0
(
C
)
x
4
?
x
3
?
x
2
+
x
+1
=
0(
D
)
x
4
+x
3
+
x
2
?
x
?1
=
0
二．填空题（本题满分54分，每小题9分）
1．arcsin(sin2000?)
=
__________．
2．设
a
n
是(3?)
n
的展开式中
x
项的系数(
n=
2
，
3
，
4
，
…)，则(++…
+ ))
=
________.
3．等比数列
a
+log
2< br>3
，a
+log
4
3
，a
+log
8
3的公比是____________.
4．在椭圆+
=
1(
a
＞
b
＞0)中，记左焦点为
F
，右顶点为
A
，短轴上方的端 点
为
B
.若该椭圆的离心率是，则∠
ABF=
_________.
5．一个球与正四面体的六条棱都相切，若正四面体的棱长为
a
，则这个球
的 体积是________.
6．如果：(1)
a
，
b
，
c
，
d
都属于{1，2，3，4}；
(2)
a
?
b
，
b
?
c
，
c
?
d
，
d
?
a
；
(3)
a
是
a
，
b，
c
，
d
中的最小值，
那么，可以组成的不同的四位数的个数是_________
三、解答题(本题满分60分，每小题20分)
1．设
S
n
=1+2+3+…+
n，n
?
N
*
，求
f
(n
)
=
的最大值．

2．若函数
f
(< br>x
)
=
－
x
2
+在区间[
a，b
] 上的最小值为2
a
，最大值为2
b
，求[
a
，
b< br>]．
3．已知
C
0
：
x
2
+
y< br>2
=
1和
C
1
：+
=
1(
a
＞
b
＞0)．试问：当且仅当
a
，
b
满足什么
条 件时，对
C
1
上任意一点
P
，均存在以
P
为顶点， 与
C
0
外切，与
C
1
内接的平行
四边形？并证明你 的结论．

2000年全国高中数学联赛二试题
（10月15日上午10∶00-12∶00）
一．（本题满分50分）
如图，在 锐角三角形
ABC
的
BC
边上有两点
E
、
F
，满足∠
BAE=
∠
CAF
，作
FM
⊥
AB，
FN
⊥
AC
（
M
、
N
是垂足），延 长
AE
交三角形
ABC
的外接圆于
D
．证明：四
边 形
AMDN
与三角形
ABC
的面积相等．
二．（本题满分50分）
A
设数列{
a
n
}和{
b
n
}满足a
0
=
1，
a
1
=
4，
a
2
=
49，且
n=
0，1，2，……
M
证明
a
n
（
n=
0，1，2，…）是完全平方数．
N
三．（本题满分50分）
B
C
E F
有
n
个人，已知他们中的任意两人至多通电话一
次，他们中的任意
n
－2个人 之间通电话的次数相等，
D
都是3
k
次，其中
k
是自然数 ，求
n
的所有可能值．
2000年全国高中数学联合竞赛试题解答
第一试
一．选择题（本题满分36分，每小题6分）
1．设全集是实数，若
A=
{
x
|≤0}，
B=
{
x
|10
=
10x
}
，
则
A
∩?
R
B
是()
(
A
){2}(
B
){?1}(
C
){
x
|
x
≤2}(
D
)?
解：
A=
{2}，
B=
{2，－1}，故选
D
．
2．设sin
?
＞0
，
cos
?
＜0
，< br>且sin＞cos
，
则的取值范围是()
(
A
)(2
k?
+
，
2
k?
+)
，k
?Z(
B)(+
，
+)
，k
?Z
(
C
)(2
k?
+
，
2
k?
+
?
)
，k
?Z (
D
)(2
k?
+
，
2
k?
+)∪(2< br>k?
+
，
2
k?
+
?
)
，k
?Z
解：满足sin
?
＞0，cos
?
＜0的
α
的范围是(2
k?
+，2
k?
+
π
)，于是的取值范围是(+
，
+)，
满足sin＞cos的的取值范围为(2
k?
+
，
2
k?
+)．故所求范围是(2
k?
+
，< br>2
k?
+)∪(2
k?
+
，
2
k?
+
?
)
，k
?Z．选
D
．
3．已知点
A
为双曲线
x
2
?
y
2
=
1的左顶点，点< br>B
和点
C
在双曲线的右分支上，
△
ABC
是等边三角 形，则△
ABC
的面积是()
(
A
)(
B
)(
C
)3(
D
)6
y
解：
A
(－1，0)，
AB
方程：
y=
(
x
+1)，代入双曲线方程，解
B
得
B
(2，)，
x
A
O
∴
S=
3．选
C
．
C< br>4．给定正数
p，q，a，b，c
，其中
p
?
q
，若
p，a，q
是等
比数列，
p，b，c，q
是等差数列，则一元二次方 程
bx
2
?2
ax
+
c=
0()
(A
)无实根(
B
)有两个相等实根(
C
)有两个同号相异实根(
D
)有两个异号实根
解：
a
2
=pq
，
b
+
c=p
+
q
．
b=
，
c=
；
△
=a
2
－
bc=pq
－(2
p
+
q
)(
p
+2
q
)
=
－(
p
－
q
)
2
<0．选
A
．
5．平面上整点（纵、横坐 标都是整数的点）到直线
y=x
+的距离中的最小值

是()
(
A
)(
B
)(
C
)(
D
) < br>解：直线即25
x
－15
y
+12
=
0．平面上点(
x
，
y
)到直线的距离
==
．
∵5
x< br>－3
y
+2为整数，故|5(5
x
－3
y
+2)+2 |≥2．且当
x=y=
－1时即可取到2．选
B
．
6．设
ω=
cos+
i
sin，则以
?，?
3
，?
7，?
9
为根的方程是()
(
A
)
x
4
+
x
3
+
x
2
+
x
+1
=0(
B
)
x
4
?
x
3
+
x< br>2
?
x
+1
=
0
(
C
)
x
4
?
x
3
?
x
2
+
x
+1
=
0(
D
)
x
4
+
x
3+
x
2
?
x
?1
=
0
解：
ω
5
+1
=
0，故
?，?
3
，?
7
，?
9
都是方程
x
5
+1
=
0的根．
x
5
+1
=
(
x
+1)(
x
4
－< br>x
3
+
x
2
－
x
+1)
=
0．选
B
．
二．填空题（本题满分54分，每小题9分）
1．arcsin(sin2000?)
=
__________.
解：2000°
=
180°×12－160°．故填－20°或－．
2．设
a
n
是(3?)
n
的展开式中
x
项的系数(
n=
2
，
3
，
4
，
…)，则(++…
+ ))
=
________.
解：
a
n
=
3
n
－2
C
．∴
==
，故填18．
3．等比数列
a
+log
2
3
，a
+log
4
3
，a< br>+log
8
3的公比是____________.
解：
q=====
．填．
4．在椭圆+
=
1(
a
＞
b
＞0)中，记左焦点为
F
，右顶点为
A
，短轴 上方的端点
为
B
.若该椭圆的离心率是，则∠
ABF=
______ ___.
y
解：
c=a
，∴|
AF
|
=a
．|
BF
|
=a
，|
AB
|
2
=
|
AO
|
2
+|
OB
|
2
=a
2
．
故有|
AF
|
2
=
|
AB
|
2
+|
BF
|
2
．即∠
ABF=
90° ．填90°．
B
或由
b
2
=a
2
－
c< br>2
=a
2
=ac
，得解．
O
A
x
F
5．一个球与正四面体的六条棱都相切，若正四面体的
A
棱长为
a
，则这个球的体积是________.
H
解：取球心
O
与任一棱的距离即 为所求．如图，
O
AE=BE=a
，
D
B
G
E< br>AG=a
，
AO=a
，
BG=a
，
AB
∶< br>AO=BG
∶
OH
．
C
OH==a
．
V= πr
3
=πa
3
．填
πa
3
．．
6．如 果：(1)
a
，
b
，
c
，
d
都属于{1， 2，3，4}；
(2)
a
?
b
，
b
?
c
，
c
?
d
，
d
?
a
；
(3)
a
是
a
，
b
，
c
，
d中的最小值，
那么，可以组成的不同的四位数的个数是_________
解：
a
、
c
可以相等，
b
、
d
也可以相等．
⑴当
a
、
c
相等，
b
、
d
也相等时，有
C=
6种；
⑵当
a
、
c
相等，
b
、
d
不相等时，有
A
+
A=
8种；
⑶当
a
、
c
不相等，
b
、
d
相等时，有
CC
+
C=
8种；
⑷当
a
、
c
不相等，b
、
d
也不相等时，有
A=
6种；共28种．填28．
三、解答题(本题满分60分，每小题20分)

1．设
S
n
=
1+2+3+…+
n，n
?
N
*
，求
f
(
n
)
=
的最大值．
解：
S
n
=n
(
n
+1)，
f
(
n
)
==
≤．(
n=
8时取得最大值)．
2．若函数
f
(
x
)
=
－
x
2
+在区间[
a，b
]上的最小值为2
a
，最大值为2
b
，求[
a，
b
]．
解 ：⑴若
a
≤
b
<0，则最大值为
f
(
b
)
=
－
b
2
+
=
2
b
．最小值为< br>f
(
a
)
=
－
a
2
+
=< br>2
a
．即
a
，
b
是方程
x
2
+4
x
－13
=
0的两个根，而此方程两根异号．故不可能．
⑵ 若
a
<0<
b
，当
x=
0时，
f
(
x
)取最大值，故2
b=
，得
b=
．
当
x=a
或
x=b
时
f
(
x
)取最小值，①
f(
a
)
=
－
a
2
+
=
2a
时．
a=
－2±，但
a
<0，故
取
a=－2－．由于|
a
|>|
b
|，从而
f
(
a< br>)是最小值．②
f
(
b
)
=
－
b
2
+
==
2
a
>0．与
a
<0
矛盾．故舍．
⑶0≤
a
<
b
．此时，最大值为
f
(
a< br>)
=
2
b
，最小值为
f
(
b
)=
2
a
．
∴－
b
2
+
=
2
a
．－
a
2
+
=
2
b
．相减得< br>a
+
b=
4．解得
a=
1，
b=
3．
∴[
a
，
b
]
=
[1，3]或[－2－，]． < br>3．已知
C
0
：
x
2
+
y
2
=
1和
C
1
：+
=
1(
a
＞
b
＞0)．试问：当且仅当
a
，
b
满足什么
条件时，对
C
1
上任意一点
P
，均存在以
P
为顶点，与
C< br>0
外切，与
C
1
内接的平行
四边形？并证明你的结论． 解：设
PQRS
是与
C
0
外切且与
C
1
内接的平行四
y
边形．易知圆的外切平行四边形是菱形．即
PQRS
是P
菱形．于是
OP
⊥
OQ
．
设
P
(
r
1
cos
θ
，
r
1
sin
θ< br>)，
Q
(
r
2
cos(
θ
+90°)，S
r
2
sin(
θ
+90°)，则在直角三角形
POQ
中有
O
x
Q
2222
r
1
+
r< br>2
=r
1
r
2
(利用△
POQ
的面积)．即 +
=
1．
但+
=
1，即
=
+，
R
同理，
=
+，相加得+
=
1．
反之，若+=
1成立，则对于椭圆上任一点
P
(
r
1
cos
θ
，
r
1
sin
θ
)，取椭圆上
点
Q< br>(
r
2
cos(
θ
+90°)，
r
2
sin(
θ
+90°)，则
=
+，，
=
+，，于是+=
+
=
1，此时
PQ
与
C
0
相切．即 存在满足条件的平行四边形．
故证．
第二试
一．（本题满分50分）
如图，在锐角三角形
ABC
的
BC
边上有两点
E
、
F
，满足∠
BAE=
∠
CAF
，作
FM
⊥
AB
，
FN
⊥
AC
（
M
、
N
是垂 足），延长
AE
交三角形
ABC
的外接圆于
D
．证明：四< br>边形
AMDN
与三角形
ABC
的面积相等．
证明：连
MN
，则由
FM
⊥
AM
，
FN
⊥
AN< br>知
A、M、F、N
四
A
点共圆，且该圆的直径为
AF
．又?
AMN=
?
AFN
，但?
FAN=
?
MAD
，
M
故?
MAD
+?
AMN=
?
FAN< br>+?
AFN=
90?．∴
MN
⊥
AD
，且由正弦定理 知，
MN=AF
sin
A
．
N
∴
S
AM DN
=AD
·
MN=AD
·
AF
sin
A
．
B
C
E
F
连
BD
，由?
ADB=?
ACF
，?
DAB=
?
CAF
，得⊿
ABD
∽⊿
AFC
．
D
∴
AD
∶
AB=AC< br>∶
AF
，即
AD
·
AF=AB
·
AC
．

∴
S
AMDN
=AD
·
AF
sin
A=AB
·
AC
sin
A=S
ABC
．
二．（本题满分50分）
设数列{
a
n
}和{
b
n
}满足
a
0
=
1，
a
1
=
4，
a
2
=
49，且
n=
0，1，2，……
证明
a
n
（
n=
0，1，2，…）是完全平方数．
证明⑴×7：7
a
n
+1
=
49
a
n
+ 42
b
n
－21，
⑵×6：6
b
n
+1
=
48
a
n
+42
b
n
－24．
两式相 减得，6
b
n
+1
－7
a
n
+1
=
－
a
n
－3，即6
b
n
=
7
a
n
－
a
n
－1
－3．
代入⑴：
a
n+1
=
14
a
n
－
a
n
－1
－6．故
a
n
+1
－
=
14(
a
n
－)－(
a
n
－1
－)．
其特征方程为
x
2< br>－14
x
+1
=
0，特征方程的解为
x=
7±4．
故
a
n
=α
(7+4)
n
+
β
( 7－4)
n
+,现
a
0
=
1，
a
1
=
4，
a
2
=
49．解得
α=β=
．
∴
a
n
=
(7+4)
n
+(7－4)
n
+
=
(2+)
2
n
+(2－)
2
n
+
=
[(2+)
n
+(2－)
n
]
2
． < br>由于[(2+)
n
+(2－)
n
]是整数，故知
a
n
是整数的平方．即为完全平方数．
三．（本题满分50分）
有
n
个人，已知他们中的任意两人至多通电话一次，他们中的任意
n
－2个
人之间通电话的 次数相等，都是3
k
次，其中
k
是自然数，求
n
的所有可能 值．
解：由条件知，统计各
n
－2人组的通话次数都是3
k
次，共 有
C=C
个
n
－2人
组，若某两人通话1次，而此二人共参加了C=C
个
n
－2人组，即每次通话都被
重复计算了
C
次 ．即总通话次数应为·3
k
次．
由于(
n
－1，
n
－2)
=
1，故
n
－2|
n
?3
k
．
若
n
－2|
n
，故
n
－2|2，易得
n=
4，(
n=
3舍去)此时
k=
0．
由
n
－2|3
k
，
n=
3
m
+2，(
m
为自然 数，且
m
≤
k
)，此时
·3
k
=
·3< br>k
=
[3
m
+4+]·3
k
－
m
， 即3
m
－1|6．
∴
m=
0，1．当
m=
0时，
n=
3(舍去)，当
m=
1时，
n=
5．
又：< br>n=
4时，每两个人通话次数一样，可为1次(任何两人都通话1次)；当
n=
5时，任何两人都通话1次．均满足要求．
∴
n=
0，5．