高中数学选修4--4经典综合试题

过点
P(
10
,0)
作倾斜角为
?
的直线与 曲线
x
2
?12y
2
?1
交于点
M,N
，
2
求
|PM|?|PN|
的值及相应的
?
的值．
19．（本小题满分12分）
已知
?ABC
中，
A(?2,0), B(0,2),C(cos
?
,?1?sin
?
)
(
?为变数)，
求
?ABC
面积的最大值．
20．（本小题满分12分） 已知直线
l
经过点
P(1,1)
,倾斜角
?
?
（1 ）写出直线
l
的参数方程．
（2）设
l
与圆
x?y?4< br>相交与两点
A,B
，求点
P
到
A,B
两点的距离之积 ．
21．（本小题满分12分）
22
?
6
，

1
t
?
?t
x?(e?e)cos
?
?
?
2
分别在下列两种情况下，把参数方程
?
化为普通方程：
1
?y?(e
t
?e
?t
)sin
?
?
?2
（1）
?
为参数，
t
为常数；（2）
t
为参数，
?
为常数．
22．（本小题满分12分）
已知直线
l
过定点P(?3,?)
与圆
C
：
?
3
2
?
x ?5cos
?
(
?
为参数)
相交于
A
、
B
两点．
?
y?5sin
?
求：（1）若
|AB|?8，求直线
l
的方程；
（2）若点
P(?3,?)
为弦
AB
的中点，求弦
AB
的方程．
答案与解析：
3
2211
，而
y?1?2t
，即
y?
，得与
y
轴 的交点为
(0,)
；
555
111
当
y? 0
时，
t?
，而
x??2?5t
，即
x?
，得与< br>x
轴的交点为
(,0)
．
222
1．B 当
x?0
时，
t?
2．D
xy?1
，
x
取非零实数，而A，B，C中的
x
的范围有各自的限制．
3．D
k?
y?2?3t3
???
．
x?12t2
22
4．A ∵点
(1,2)
到圆心
( ?1,0)
的距离为
(1?1)?2?22?8
(圆半径)
∴点
(1,2)
在圆的内部．
5．D
y?2
表示一 条平行于
x
轴的直线，而
x?2,或x??2
，所以表示两条射线．

6．B 两圆的圆心距为
(?3?0)
2
?(4?0)2
?5
，两圆半径的和也是
5
，因此两圆外切．
y
2
y
2
22
?1?t?1?x,x??1,而t?0,0?1?t?1,得0? y?2
． 7．D
x?t,
44
2
8．D 曲线是圆< br>x?y?25
的一段圆弧，它所对圆心角为
?
?
所以曲线的长度为22
?
3
?
2
?
．
3
10
?
．
3
x
2
y
2
??1
，设
P(6cos
?
,2sin
?
)
， 9．D 椭圆为
64
x?2y?6cos
?
?4sin
??22sin(
?
?
?
)?22
．
10．D < br>(1?
1
2
3
2
t?t
t)?(?33?t)?16
，得
t
2
?8t?8?0
，
t
1
?t2
?8,
12
?4
，
22
2
1
?< br>x?1??4
?
?
2
??
x?3
中点为
?
．
?
?
?
y??3
?
y??3 3?
3
?4
?
?
?2
11．C 抛物线为
y?4 x
，准线为
x??1
，
|PF|
为
P(3,m)
到 准线
x??1
的距离，即为
4
．
2
?
2
x??2?2t?
?
x??2?t
?
?
x??2?t
?2
12．C
?
，把直线
?

?
?
y?1?t
y?1?t
?
?
?
y?1?2t?
2
?
?2
代入
(x?3)?(y?1)?25
，得
(?5?t)?(2 ?t)?25,t?7t?2?0
，
22222
|t
1
?t
2
|?(t
1
?t
2
)
2
?4t
1t
2
?41
，弦长为
2|t
1
?t
2
|?82
．
y
?
?
x?e
t
?e
?t< br>x??2e
t
?
yy
xy
??
2
??(x? )(x?)?4
．
??1,(x?2)

?
y
13．
?
t?t
22
416
?
?e?e
?
x?< br>y
?2e
?t
?2
?
?2
22
14．
(?3,4)
,或
(?1,2)

(?2t)?(2t)?(2) ,t?
15．
2222
12
,t??
．
22
5
?
?
22
，或 直线为
y?xtan< br>?
，圆为
(x?4)?y?4
，作出图形，相切时，
6
6

易知倾斜角为
5
?
?
，或．
6
6
4t
?
x?
?
4t
?
1?t
2
22
x?(tx)?4tx?0
16．
?
，当时，，或；
x?
y?0
x?0
2
2
1?t
4 t
?
y?
?
1?t
2
?
4t
?
x ?
?
4t
2
?
1?t
2
而
y?tx
，即
y?
，得
?
．
2
21?t
?
y?
4t
?
1?t
2
?
?< br>?
x?1?t
17．解：将
?
，代入
x?y?23?0
，得
t?23
，
?
?
y??5?3t
得
P(1 ?23,1)
，而
Q(1,?5)
，
得
|PQ|?(23)?6?43
．
22
?
10
?tcos
?
?
x?
18．解：设直线为
?
(t为参数)< br>，代入曲线
2
?
y?tsin
?
?
并整理得
(1?sin
?
)t?(10cos
?
)t?
22
3?0
，
2
3
2
则
|PM|?|PN|?|t
1
t
2
|?
，
2
1?sin
?
所以当< br>sin
?
?1
时，即
?
?
2
?
2< br>，
|PM|?|PN|
的最小值为
3
?
，此时
??
．
42
19．解：设
C
点的坐标为
(x,y)，则
?
22
?
x?cos
?
，
y??1?s in
?
?
即
x?(y?1)?1
为以
(0,?1)
为圆心，以
1
为半径的圆．
∵
A(?2,0),B(0,2)
，
∴
|AB|?4?4?22
，
且
AB
的方程为
xy
??1
，
?22
即
x?y?2?0
，

则圆心
(0, ?1)
到直线
AB
的距离为
|?(?1)?2|
1
2
?(?1)
2
3
2
，
2
?
3
2
．
2
∴点
C
到直线< br>AB
的最大距离为
1?
∴
S
?ABC
的最大值是13
?22?(1?2)?3?2
．
22
?
?
?< br>3
x?1?tcos
x?1?t
?
?
?
?
6
2
， 20．解：（1）直线的参数方程为
?
，即
?
?y?1?tsin
?
?
y?1?
1
t
?
?6
?
?2
?
3
x?1?t
?
?
2，代入
x
2
?y
2
?4
， （2）把直线
?
?
y?1?
1
t
?
?2
得
(1 ?
3
2
1
t)?(1?t)
2
?4,t
2
?(3?1)t?2?0
，
22
t
1
t
2
??2
，则点
P
到
A,B
两点的距离之积为
2
．
21．解：（1）当
t?0
时，
y?0,x?cos
?
，即
x?1,且y?0
；
当
t?0
时，
co s
?
?
x
1
t?t
(e?e)
2
,sin
?
?
y
1
t?t
(e?e)
2
，
而
x?y?1
，
22
即
x
2
1
t
(e?e
?t
)
2
4
?
y
2
1
t?t2
(e?e)
4
?1
；
（ 2）当
?
?k
?
,k?Z
时，
y?0
，
x ??
1
t?t
(e?e)
，即
x?1,且y?0
；
2
?
1
t?t
当
?
?k
?
?,k?Z< br>时，
x?0
，
y??(e?e)
，即
x?0
； 22
2x
?
t?t
e?e?
?
k
?
?
cos
?
,k?Z
时，得
?
当
?
?
，
2y
2
?
e
t
?e
?t
?
?
sin
?
?

2x2y
?
t
2e? ?
?
2x2y2x2y
?
cos
?
sin
?
t?t
即
?
，得
2e?2e?(?)(?)
，
cos< br>?
sin
?
cos
?
sin
?
?
? t
2x2y
?
?
2e?
cos
?
?
sin
?
即
x
2
cos
2
?
?
y
2
sin
2
?
?1
．
22．解：（1）由圆
C
的参数方程
?
?
x?5cos
?
?
y?5sin< br>?
?x
2
?y
2
?25
，
?
x ??3
设直线
l
的参数方程为①
?
?tcos
?
?
?
?
y??
3
2
?tsin
?
(t为参数 )
，
将参数方程①代入圆的方程
x
2
?y
2
?25
< br>得
4t
2
?12(2cos
?
?sin
?
) t?55?0
，
∴△
?16[9(2cos
?
?sin
?
)
2
?55]?0
，
所以方程有两相异实数根
t
1
、
t
2
，
∴
|AB|?|t
2
1
?t
2
|?9(2cos
?
?sin
?
)?55?8
，
化简有
3cos
2< br>?
?4sin
?
cos
?
?0
，
解之cos
?
?0
或
tan
?
??
3
4< br>，
从而求出直线
l
的方程为
x?3?0
或
3x?4 y?15?0
．
（2）若
P
为
AB
的中点，所以
t
1
?t
2
?0
，
由（1）知
2cos
?
?sin
?
?0
，得
tan
?
??2
，
故所求弦
AB
的方程为
4x?2y?15?0(x
2
?y< br>2
?25)
．

备用题：
1．已知点
P(x?
x?3?8cos
?
0
,y
0
)
在圆
?
?8sin
?
上，则
?
y??2
x
0
、
y
0
的取值范围是（
A．
?3?x
0
?3,?2?y
0
?2

）．

B．
3?x
0
?8,?2?y
0?8

C．
?5?x
0
?11,?10?y
0
?6

D．以上都不对
1．C 由正弦函数、余弦函数的值域知选C．
?
x? 1?2t
2．直线
?
(t为参数)
被圆
x
2
?y< br>2
?9
截得的弦长为（ ）．
?
y?2?t
A．
121299
B．
5
C．
5
D．
10
5555
2
?
x?1?2t
5
，把直线
?
代入
1
y?2?t
?
5
?
x?1?5t?
?
x ?1?2t
?
?
2．B
?
?
?
?
y ?2?t
?
y?1?5t?
?
?
x
2
?y
2
?9
得
(1?2t)
2
?(2?t)
2
?9,5 t
2
?8t?4?0
，
81612
12
|t
1< br>?t
2
|?(t
1
?t
2
)
2
?4 t
1
t
2
?(?)
2
??
，弦长为
5|t
1
?t
2
|?5
．
555
5
?
x?2pt
2
(t为参数,p为正常数)
上的两点
M,N
对应的参数 分别为
t
1
和t
2,
，3．已知曲线
?
?
y?2pt
且t
1
?t
2
?0
，那么
|MN|?< br>_______________．
3．
4p|t
1
|
显然线段
MN
垂直于抛物线的对称轴，即
x
轴，
|MN|?2p|t
1
?t
2
|?2p|2t
1
|
．
4．参 数方程
?
?
x?cos
?
(sin
?
?cos?
)
(
?
为参数)
表示什么曲线
?
y?si n
?
(sin
?
?cos
?
)
y
2
11
y
2
,cos
?
?
4．解：显然
?tan< br>?
，则
2
?1?
，
2
2
y
xco s
?
x
?1
2
x

x?cos
2
?
?sin
?
cos
?
?sin2
?
?cos
2
?
??
2
1
2
12tan
?< br>2
?cos
?
，
2
21?tan
?
yy< br>?1
y
2
y
11
xx
x(1?)??1
， 即
x??
，
??
x
2
x
y
2
y< br>2
y
2
2
1?
2
1?
2
1?
2
xxx
y
2
y
??1
， 得
x?
xx

即
x?y?x?y?0
．
5．已知点
P(x,y)
是圆
x?y?2y
上的动点，
（1）求
2x?y
的取值范围；
（2）若
x?y?a?0
恒成立，求实数
a
的取值范围．
22
22
5．解：（1）设圆的参数方程为
?
?
x?cos
?
，
?
y?1?sin
?
2x?y?2cos
?
?sin
?
?1?5sin(
?
?
?
)?1
，
∴
?5?1?2x?y?5?1
．
（2）
x?y?a?cos
?
?sin
?
?1?a?0
，
∴
a??(cos
?
?sin
?
)?1??2sin(
?
?
即
a?

?
4
)?1
恒成立，
2?1
．