高中数学专题练习-定积分问题

高中数学专题练习-定积分问题
[题型分析·高考展望] 定积分在理科高考中，也是 重点考查内容.主要考查定积分的计算和利
用定积分求不规则图形的面积，题目难度不大，多为中低档题 目，常以选择题、填空题的形式
考查，掌握定积分的计算公式，会求各种类型的曲边图形的面积是本节重 点.
常考题型精析
题型一 定积分的计算
x
例1 (1)(·陕西)定积分?
1
0
(2x＋e)dx的值为( )
A.e＋2
C.e
B.e＋1
D.e－1
1
(2)(·江西)若f(x)＝x
2
＋2?
1
0
f(x)dx，则 ?
0
f(x)dx等于( )
A.－1
1
C.
3

1
B.－
3

D.1
点评 (1)计算定积分要先将被积函数化简后利用运算性质分解成几个简单函数的定 积分，再
利用微积分基本定理求解；
(2)对有关函数图象和圆的定积分问题可以利用定积分的几何意义求解.
?
x
2
， x∈[0，1]，
2
变式训练1 (1)设f(x)＝
?
则?
0
f(x)dx等于( )
?
2－x， x∈?1，2]，
3
A.
4

5
C.
6

4
B.
5

D.不存在

π
2
(2)若定积分?
m
－x－2 xdx＝
－
2
4
，则m等于( )
A.－1
C.1
B.0
D.2
题型二 利用定积分求曲边梯形的面积
例2 (1)(·山东)直线y＝4x与曲线y＝x
3
在第一象限内围成的封闭图形的面积为( )
A.22
C.2
B.42
D.4

( 2)直线l过抛物线C：x
2
＝4y的焦点且与y轴垂直，则l与C所围成的图形的面积等于( )
4
A.
3

8
C.
3

B.2
162
D.
3

π
(3)由曲线y＝sin x，y＝cos x与直线x＝0，x＝
2
所围成的平面图形(如图中的阴影部分所示)的
面积是( )

A.1
22
C.
3

π
B.
4

D.22－2
点评 求曲边多边形面积的步骤：
(1)画出草图，在直角坐标系中画出曲线或直线的大致图形.
(2)借助图形确定被积函数，求出交点坐标，确定积分的上限、下限.
(3)将曲边梯形的面积表示为若干个定积分之和.
(4)计算定积分.
变式训练2 (·陕西)如图，一横截面为等腰梯形的水渠，因泥沙沉积，导致水渠截面边界呈抛
物线型(图中虚线表示)，则原始的最大流量与当前最大流量的比值为________.

高考题型精练
1.已知自由落体运动的速率v＝gt，则落体运动 从t＝0到t＝t
0
所走的路程为( )
gt
2
0
A.
3

2
gt
0
C.
2

?
2
2.(·广州模拟)若
?
0
(sin x－acos x)dx＝2，则实数a等于( )

2
0

gt
2
0
D.
6

A.－1
C.－3
B.1
D.3
ππ
3.由直线x＝－
3
，x＝
3
，y＝0与曲线y＝cos x所围成的封闭图形的面积为( )
1
A.
2

3
C.
2

B.1
D.3
3
4.已知等差数列{a
n
}的前n项和 为S
n
，且S
10
＝?
0
(1＋2x)dx，S
2 0
＝17，则S
30
为( )
A.15
C.25
B.20
D.30
5.(·德州模拟)图中阴影部分的面积是( )

A.16
C.20
B.18
D.22
x
2
，x∈[0，1]，
?
?
6.(· 北京朝阳区模拟)设f(x)＝
?
1
(其中e为自然对数的底数)，则
，x ∈[1，e]
?
?
x
?
e
0
f(x)dx的值为( )
4
A.
3
6
C.
5

5
B.
4
7
D.
6

2
?
3
0

7.(·湖南)已知函数f(x)＝sin(x－φ)，且
?
是( )
5π
A.x＝
6

π
C.x＝
3

?
f(x)dx＝0，则函数f(x)的图象的一条对称轴
7π
B.x＝
12

π
D.x＝
6

1
2
8.设n＝
?
0
4sin xdx，则二项式(x－
x
)
n
的展开式的常数项是( )
A.12
C.4
B.6
D.1
1
9.曲线 y＝
x
与直线y＝x，x＝2所围成的图形的面积为________.
10.(· 青岛模拟)已知函数f(x)＝－x
3
＋ax
2
＋bx(a，b∈R)的图象 如图所示，它与x轴在原点处相
1
切，且x轴与函数图象所围区域(图中阴影部分)的面积为< br>12
，则a的值为________.

11.(·福建)如 图，点A的坐标为(1,0)，点C的坐标为(2,4)，函数f(x)＝x
2
，若在矩形AB CD内随
机取一点，则此点取自阴影部分的概率等于______.

1
12.求曲线y＝x，y＝2－x，y＝－
3
x所围成图形的面积.

答案精析
定积分问题
常考题型精析
例1 (1)C (2)B
x2x1
解析 (1)?
1
0
(2x＋e)dx＝(x＋e)|
0
＝e.故选C.
(2)∵f(x)＝x
2
＋2?
1
0
f(x)dx， 1
311
∴?
1
0
f(x)dx＝(x＋2x?
0f(x)dx)|
0

3
11
1
＝
3
＋2?
1
f(x)dx，∴?f(x)dx＝－
00
3
.
变式训练1 (1)C (2)A
122
解析 (1)?
2
0f(x)dx＝?
0
xdx＋?
1
(2－x)dx
1
2
?
2
1
?
＝
3
x
3
|
1
0
＋
?
2x－x
?
|
1

2< br>??
1
?
51
?
4－2－2＋
＝
3
＋
?
＝.
2
?
??
6
(2)根据定积分的几何意 义知，定积分?
m
－x
2
－2xdx的值就是函数y＝－x
2
－2x的图象与x
－
2
轴及直线x＝－2，x＝m所围成图形的面积，y＝－x2
－2x是一个半径为1的半圆，其面积等
ππ
1
m2
于
2
，而?
－
－x－2xdx＝，即在区间[－2，m]上该函数图象应为
2
44
个圆，于是得m＝－1，故
选A.
例2 (1)D (2)C (3)D
解析 (1)令4x＝x
3
，解得x＝0或x＝±2，
3
∴S＝?
2
0
(4x－x)＝

4
?< br>2
x
??
2
?
2x－
4
??
0＝8－4＝4，故选D.
???
(2)∵抛物线方程为x
2
＝4y，
∴其焦点坐标为F(0,1)，故直线l的方程为y＝1.
1
如图所示，可知l与C 围成的图形的面积等于矩形OABF的面积与函数y＝
4
x
2
的图象和x轴正
半轴及直线x＝2围成的图形的面积的差的2倍(图中阴影部分的2倍)，

即
2
2
x
S＝4－2?
0
dx＝
4

x
3
?
2
48
4－2·
?
0
＝4－＝.
12
?
33
ππ
(3)方法一 由sin x＝cos x(x∈(0，
2
))，得x＝
4
.
故所求阴影部分的面积
?
S＝
?
(cos x－sin x)dx＋
?
2
(sin x－cos x)dx
?
4
?
?
0
?
π
π
4
π
?
2
?
4
?
＝(sin x＋cos x)
?
＋(－cos x－sin x)
?
?

π
?
0
?
π

π
4


ππππππ
＝sin
4
＋cos
4
－sin 0－cos 0＋[(－cos
2
－sin
2
)－(－cos
4
－sin
4
)]＝22－2.
故选D.
ππ
方法二 由sin x＝cos x(x∈(0，
2
))，得x＝
4
.
根据图象的对称性，可知所求阴影部分的面积
S＝2
?
?
4
(cos x－sin x)dx
?
0
?
4
＝2(sin x＋cos x)
?
?

?
0
π
π

ππ
＝2(sin
4
＋cos
4
－sin 0－cos 0)
＝22－2.
故选D.
变式训练2 1.2
解析 由题意可知最大流量的比即为横截面面积的比，建立以抛物线顶点为原点的直角坐标
系，如图所示，

22
设抛物线方程为y＝ax
2
，将点(5,2)代入抛物线方程 得a＝
25
，故抛物线方程为y＝
25
x
2
，抛物线
2
??
的横截面面积为S
1
＝2
?
5
?
2－
25
x
2
?
dx
?
?
0
?
2
3
?
?
5
40
?
＝2
?
2x－
75
x
??
＝
3
(m
2
)，
??
?
0
2
而原梯形下底为10－
tan 45°
×2＝6(m)，
1
故原梯形面积为S
2
＝
2
(10＋6)×2＝16，
S
2
16
S
1
＝
40
＝1.2.
3
高考题型精练
1.C [由题意，可知所走路程为
?
v
dt
＝
?
t
0
0
t
0
0
1
2
?
t
0
1
gtdt
＝
2
gt
?
＝
2
gt
2
0
.]
?
0

?
π
?
2
＝－a＋1＝2，a＝－1.] 2.A [
?
?sinx－acosx?dx＝?－cos x－asin x?
?
?
2
?
0
?
0
?
?
3.D [
?
3
cos xdx=sin x
?

—
π?
π
?
3
?
-
3
π
π

?
3
π


π
?
π
?
＝sin
3
－sin
?
－
3
?
＝3.]
??
3
4.A [由已知得S
10
＝?
0
(1＋2x)dx＝12，
据等差数列性 质可得S
10
＝12，S
20
－S
10
＝5，S
3 0
－S
20
＝S
30
－17亦成等差数列，
故有12＋S
30
－17＝10?S
30
＝15.]
y
2
??
5.B [S＝?
－
2
?
y＋ 4－
2
?
dy＝
??
4
2
y
3
? ?
4
?
y
?
2
＋4y－
6
??
－
2
＝18.]
???
1
31
14
12e
1
e
6.A [根据定积分的运算法则，由题意，可知?
e
0
f(x)dx＝?
0
xdx＋?
1
dx＝x|
0
＋ln x|
1
＝＋1＝.]
x333
?
2π
?
3
7.A [∵
?
s in(x－φ)dx＝－cos(x－φ)
?
?
3
?
0
?< br>0
2π
∴－cos(
3
－φ)＋cos φ＝0.
2π
∴cos(
3
－φ)－cos φ＝0.
33
∴
2
sin φ－
2
cos φ＝0.
π
∴3sin(φ－
3
)＝0.
π
∴φ－
3
＝k
1
π(k
1
∈Z).
π
∴φ＝k
1
π＋(k
1
∈Z).
3
π
∴f(x)＝sin(x－k
1
π－
3
)(k
1
∈ Z).
ππ
由x－k
1
π－
3
＝k
2
π ＋
2
(k
1
，k
2
∈Z)
5
得x＝(k
1
＋k
2
)π＋
6
π(k
1
，k
2
∈Z)，
2π

＝0，

5
5π
∴f(x)的对称轴方程为x＝(k
1
＋k
2
)π＋
6
π (k
1
，k
2
∈Z).故x＝
6
为函数f(x)的一
条对称轴.]
?
π
8.B [由定积分得n＝－4cos x
?
2
?

＝4，
?
0
二项式的通项公 式为T
k
＋
1
＝C
k
4
x
4
－< br>k
(－
1
x
)
k

＝C
k
4
(－1)
k
x
4
－
2k
，
由4－2k＝0，得k＝2，
所以常数项为T
3
＝C
2
4
(－1)
2
＝6，故选B.]
9.
3
2
－ln 2
解析 S＝?
2
1
(x－
1
x
)dx
＝

?
?
1
?
2
x
2
－ln x
?
?
?
?
?
?
2
1

＝
3
2
－ln 2.
10.－1
解析 由曲线在原点处 与x轴相切，可得f′(0)＝b＝0，
此时f(x)＝－x
3
＋ax
2＝x
2
(a－x)，
据定积分知阴影部分面积－?
0
a
(－x
3
＋ax
2
)dx＝
1
12
，
解得a＝－1.
11.
5
12

解析 由题意知，阴影部分的面积
?
2
1
1
(4－x
2
)dx＝

?
?
?
4x－
3
x
3
?
?
??
?
?
2
1
＝
5
3
，
5< br>∴所求概率P＝
S
3
5
S
＝＝
矩形
ABCD
1×4
12
.
12.解 由
?
?
y＝x，
?
y＝2－x

得交点A(1,1)；
y＝2－x，
?
?
由
?
1
y＝－
3
x
?
?


得交点B(3，－1).
1
?
1
??
3
?
x＋x2－x＋
???
故所求面积S＝?
1
dx＋?dx
01< br>3
?
3
x
?
???
1
2
??
3
?
2
3
1
?
?
2x－
??
＝
?
x
2
?x
2
?
1
＋
0
3
x
?
???
1
36
??
21413
＝
3
＋
6
＋
3
＝
6
.