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高中数学经典例题

作者:高考题库网
来源:https://www.bjmy2z.cn/gaokao
2020-09-15 03:09
tags:高中数学题

王威 高中数学-高中数学涂色问题好题集锦大全


高中数学经典例题讲解

高中数学经典例题讲解
典型例题一


1
下列图形中,满足唯一性的是


).
A
.过直线外一点作与该直线垂直的直线
B
.过直线
外一点与该直线平行的平面
C
.过平面外一点与平面平行的直
线
D
.过一点作已知平面的垂线

分析:本题考查的是空间线线
关系和线面关系,对定义的准确理解是解本题的关键.要注意空间垂直并非一定相关.

解:
A
.过直线外一点作与这条直线
垂直的直线,由于并没有强调相交,所以这样的垂线可以作无
数条.事实上这无数条直线还在同一个平面 内,这个平面为该
直线的一个垂面.
B
.过直线外一点可以作一条而且仅能作一条直线与该直线平行,但可以作无数个平面和该直线平
行.
C
.过此点作平面内 任一直线的平行线,这条平行线都平
行于平面.所以过平面外一点与平面平行的直线应有无数
条 .

.过一点作已知平面的垂线是有且仅有一条.假设
直线、都垂直空间点、平面,过 点有两条
于,由于、为相交直线,不妨设、所确定的平面为
,与的交线为,则必有,,又由于、、都在平面内,这样在内经过点就有两条直线和直线
垂直,与平面几何中经过一点有县仅有一条 直线与已知直线垂
直相矛盾.

故选
D


说明: 有关“唯一性”结论的问题,常用反
证法,或者借助于其它已证明过的唯一性命题来证明.在本书
中,过一点作已知平面的垂线有且仅有一条,同时,过一点作


已知直线的垂面也是有且 仅有一个.它们都是“唯一性”命题,
在空间作图题中常常用到.

典型例题二




2
已知下列命
题:


1
)若一直线垂直于一个平面的一条斜 线,则该直线必
垂直于斜线在这个平面内的射影;


2
)平面内与这个平面的
一条斜线垂直的直线互相平行;


3
)若平面外的两条直线,
在这个平面上的射影互相垂直,则这两条直线互相垂直 ;


4

若两条直线互相垂直,且其中的一条平行一个平面,另一 条是
这个平面的斜线,则这两条直线在这个平面上的射影互相垂
直.

上述命题正确的是(

).
A
.(
1
)、(
2

B
.(
2
)、

3

C
.(
3
)、(
4

D
.(
2
)、(
4


分析:本题考查的三垂线定理及其逆定理的简单应用.应用这两个定理时要特别注意
“平面内”这一条件,同时要注意各种 不同位置的两定理的基本
图形及其变式图形.

解:(
1
)已知直线 不一定在平面内,所以
不能用三垂线逆定理来判断垂直关系;


- 1 -

高中数学经典例题讲解

(2)平面内与这个平面的一 条斜线
垂直的直线必定与斜线在平面内的射影垂直,所以它们
之间也平行; (3)根据三垂线定理可证明直线与另一
直线的射影垂直,但不能进一步说明直线和直线垂直;
(4)根据三垂线定理的逆定理和空间两直线所成角的
概念,不难证明此命题的正确性. 故选D. 说明:(3)
中若一直线与另一直线的射影垂直,则有另一直线必与
这一直线的射影 垂直.如E、FGBC在


正方体中,分别为棱和上的点,为棱上的点,且
,,求 . 111
典型例题三

例3 如图,在正方体中,是的
中点,是底面正方形的
面.
中心,求证:平
分析: 本题考查的是线面垂直的判定方
法.根据线面垂直的判定方法,要证明平面ACDACDOE,
只要在平面内找两条相交直线与垂直. 11

BDADBBDBD
证明:连结、、,在△中, 111BBDBE、O∵分别是和的中
点, 1EOBD∴. 1∵面,
又∵,
理可
1111DADBAADD∴为在面内的射影. 1111


证,.
. 同
又∵,、面,
∴平面. 11BDEO∵, ∴平
面. 1

- 2 -

高中数学经典例题讲解

a
DODBAE、
另证:连结,,设
又∵,



正方体的棱长为,易证.

∴.
DB
在正方体中易求出:
1






2



22








∵,

∴.
1DO
∵,、


平面,

∴平面.
1
说明:要证线面垂直可找线线
垂直,这是立体几何证明线面垂直 时常用的转化方法.在证明
线线垂直时既要注意三垂线定理及其逆定理的应用,也要注意
有时是 从数量关系方面找垂直,即勾股定理或余弦定理的应
用.

典型例题四



4
如图,在△中,,平面,点在和上的射影分
M、
别为,求证:.

分 析:本题考查的仍是线面垂直的
判定和性质定理,以及线线垂直和线面垂直相互转化思
想.欲证 ,可证面,为此须
证,进而可转化为证明平面,而已知,
所以只要证即可.由于图中线线垂直、 线面垂直关系较多,所
以本题也可以利用三垂线定理和逆定理来证线线垂
直.


证明:∵面,平面,

∵,即,,

∵平面.


- 3 -

∴.

∴平面.

高中数学经典例题讲解

∴.

∵平面,


∴,

∴平
另证:
∵,,

∴平面.

AMSC又∵,,

∴.

面.

∵平面.

由上面可证平面.
MNAMSBC
∴为在平面内的射
影.

AM∵,

∴.

说明:在上面的证题过
程中我们可以看出,证明线线垂直常转化为证明 线面垂


直,而证明线面垂直又转化为证明线线垂直.立体几何
中的证明常常是在 这种相互转化的过程中实现
的.本题若改为下题,想想如何证:已
知⊙所在平面,为⊙的直径, 为⊙
CA

BSBSBSCM

NA
上任意一点(与不重合 ).过点作的垂面交、于点,求
证:.

典型例题五

BC
B

5
如图,为平面的斜线,为斜足,垂直平面于点,为平面内
s
的直线,,,,求证:.

分析:本题考查的是线面角的定
义和计算.要证明三个

角余弦值之间关 系,可考虑构
造直角三角形,在直角三角形中求出三个角的余弦值,
再代入验证证明,其中构造 直角三角形则需要用三垂线
定理或逆定理.
HHDDADBC
证明:过点作垂直于点,
连.



∵,

∴在平面内射影
∵,,


∴.




在△中
在△中有:




在△中有:




由①、②、③可得:.

说明:
有:

由此题结论易知:斜线与平面所成的角,是这条斜线和
这个平面内的直线所成的

- 4 -


高中数学经典例题讲解
< br>一切角中最小的角.若平面的
斜线与平面所成角为,则斜线与平面内其它直线所成角
的< br>,
范围为.


F

AB
6

典型例题六

CG
面,,分别是
此题是
19 91
如图,已知正方形边长为
4
,平

ADGEFB
中点, 求点到平面的距离.

分析:
年高考题,考查了直线与直线、直线与平面
等位 置关系以及逻辑推理和空间想像能力.本题是求平
面外一点到平面的距离,可用转移法将该点到平面的距
离转化
GEFB
为求另一点到该平面的距离.为此要寻找过
点与平面平行的直 线,因为与平面平行的直线上所有点
到平面的距离相等.


BD

ACEFBDAC
证明:连结,和分别交

H
、,连,作于.< br> ABCDE

FAB

AD
∵为正方形,
∵,平面 ,

分别为的中点,
EFBDHAO
∴,为中点.

BD

GFE
∴平面.
BDGFEOEFG
∴与平面的距离就是点到平面的

距离.
∴.

∴.

∵,∴.
∵,


GC∵面,
∵平面,

∴平面.

又∵,,


∴平面.
OKGEFB
即长
∵正方形边长为
4
就是点到平面的距离.

∴,,.
中,.


,,




2
在△
在△中,.


HG11
说明:求点到平面
的距离常用三种方法:一是直接法.由该点向平面引垂
线,直接计算
FECB
垂线段的长.用此法的关键在于准确


找到垂足位置.如本题可 用下列证法:延长交的
延长线于,连结,作于,作交于,连
结,再作

- 5 -

高中数学经典例题讲解

于,可
得平面,长即 为点到平面的距离.二是转移法.将
该点到平面的距离转化为直线到平面的距离.三是
体积法. 已知棱锥的体积和底面的面积.求顶点到
底面的距离,可逆用体积公式. 典型例题七
例7 如图所示,直角所在平面外
一点,且.
连线面;
垂直,从而得到线面垂直.
连、. ED

BCBC
求证:点与斜边 中点的
若直角边,求证:
证明:
∵,,
面.


分析:由等腰三角形底边上的中线得到线线
SD
(1)在等腰中,为中点,∴. ABDESEE取中点,
∴.
∴.
线).
∵面,∴.
∵,∴.
SAC
又,∴面,
∴面(、是面内两相交直

∵,∴面. 说明:证
明线面垂直的关键在于寻找直线与平面内的两条相
交直线垂直.寻找途径可由等腰三角形底边上 的中
线与底边垂直,可由勾股定理进行计算,可由线面


垂直得线线垂直等. 典型例题八

例8 如果两条平
行线中的一条垂直于一个平面,那么另一条也垂直
于这个平面.
证:.
内找到两条相交直线与垂直即可.


线、.
从而有,.

- 6 -

∵,∴,.
已知:,.求
证明:
又∵,
分析:由线面垂直的判定定理知,只需在
如图所 示,在平面内作两条相交直
由作图知、为内两条相
交直线.

∴.

说明:本题的结论可以作
为判定线面垂直的依据,即当要证的直线与
平面的垂直关系不 明确或不易证出时,可以
考虑证明与已知直线平行的直线与平面垂
直.

典型例题九


9

图所示,已知平面
平面
=
,为、外一点,于,
于,于.证
明:.



分析:先证、、、四
点共面,再证明平面,从而得
到.

证明:∵,,
∴.
CDAB
∴、、、四点共
面.

∵,,,
∴,.

又,∴平
高中数学经典例题讲解


面.

∴.

说明:
与线面平行和线线平行
交替使用一样,线面垂直和线线垂直也常互
为条件和结
CAB
论.即要证线面 垂直,先找
线线垂直;要证线线垂直,先找线面垂
直.本题证明“、、、四点共面”
非 常重要,仅由平面,就断定,则证明是无
效的.

典型例题十


10
平面
内有一半圆,直径,过作平面,在半圆上任
取一点,连

HSMSBNSMSBA
、,且、分别是在、
上的射影.

求证:;
(2)
这个图形中有
多少个线面垂直关系?
(3)
这个图形中有多少
个直角三角形?
(4)
这个图形中有多少对相互
垂直的直线?

分析:注意利用直线与直线、
直线与平面垂直的有关知识进行判
断.


AMBM(1)
证明:连、.如上图所示,


-
7 -

高中数学经典例题讲解

∵为已知圆的直径,
∵平


面,,















∴.

面.

∵于,,∴平
∵于,且是在平面的射影,


∴.

平面,平面.

中共有
4
个线面垂直关系.

∴、均为直角三角形.

均为直角三角形.


形.

、、均为

(2)
:由
(1)< br>知,平面,
∵且,∴平面,

∴图
∵平面,
∵平面,∴、∵平面,
直角三角
∵平面,∴、、、均
为直角三角形.

综上,图中共有
11
个直角三角
形.

知,,,.

知,,,.

知,,,.

共有
11
对互相垂直的直线.

由平面
由平面
由平面
由平面知,,.

综上,图中
说明:为了保证
(2)(3)(4)

面案不出错,首先应找准
(2)
的答案,由“线面”可得到“线
内线”,当“线面内线”且相交时,可得到直角三角形;当“线面内线”且不相交时,可得到异面且垂直的一对直线.

典型例
题十一

内,是的斜线,
的角.



定在平面上射影的位置.由

11
如图所示,.在平面
.求与平面 所成
分析:求与平面所成角,关键是确
,可考虑通过构
造直角三角形,通过全等三角形 来确定位置,构造直角三角形
则需用三垂线定理.

解:如图所示,过作


于.连结,

面所成的角.


得.


∴.

∴.

高中
则为在面上的射影,为与平
作,由三重线定理可
作,同理可.

由,,,

得≌,
∵、分别为、在内射影,
所以点在的平分线上.


- 8 -

数学经典例题讲解

设,又,∴,,


2

2

中,

∴.


2




∴,即与所成角为.

说明:

本 题在得出在面上的射
影为的平分线后,可由公式
来计
算与平面所成的角,此时,,.< br> (2)
由与平面
上射影为平分线还可推出下面结论:四面体中,若
,,则点在 面上的
射影为的内心.

典型例题十二

且斜线、分别
,例
12
如图所示,在平面内有,
在平面外有点,斜 线,
与平面所成的角相等,设点与平面的距离为,,
且.求点与直线的距离.



分析:由点


向平面引垂线,考查垂足的位置,连、,推得,

,又,故、、、为矩形的四个顶
点.

连、.

解:作平面,垂足为,
∵,,

∴由三垂线定理
又,∴为矩
又∵,∴,∴为正方形,
ABCD
∴、
的逆定理,有:,,

形.

互相垂直平分.
ABOCDSO
设为、的交点,连结,

根据三垂线定理,有,则为到的距
离.

高中数学经典例题讲解

在中,,,


2

- 9 -

∴.
AB5cm
S
因此,点
到的距离为.

说明:由本例可得到点到直线
距离的作法:
(1)
若点、直线在确定平面内 ,
可直接由点向直线引垂线,这点和垂足的距
离即为所求.
(2)
若点在直 线所在平面外,可
由三垂线定理确定:由这点向平面引垂线得
垂足,由垂足引直线的垂线得斜足 ,则这点
与斜足的距离为点到直线的距离.
(3)
处理距
离问题的基本步骤 是:作、证、算,即作出
符合要求的辅助线,然后证明所作距离符合
定义,再通过解直角三角形 进行计算.

典型
例题十三
ABCDSAABCDSCSBA
是正方形,垂直
于平面,例
13
如图,过且垂直于的平面交、


、分别于点、、,求
证:,.



分析:本题考查线面垂直的判定与
性质定理,以及线线垂直和 线面垂直相互转
化的思想.由于图形的对称性,
所以两个结论只需证一个即可.欲证,可证平面,
AESCSCAEFG
为此须证、,
进而转化证明平面、平面.
SAABCD
BC
证明:∵平面,平面,

∴.
ABCD
又∵
为正方形,

∴.

∴平
面.

∵平面,

∴.


∵平面,

∴.


∴平
面.

又∵平面,

∴,同
理可证.

说明:
(1)
证明线线垂直,常用的方
法有:同一平面内线线垂直、线面垂直 的性
质定理,三垂线定理与它的逆定理,以及与
两条平行线中一条垂直就与另一条垂直.
(2)
本题的证明过程中反复交替使用“线线垂直”
与“线面垂直”的相互联系,充分体现了 数学
化思想的优越性.

典型例题十四


14
如图,
求证:如果一个角所在平面外一点到角的两
边距离相等,那么这一点在平面内的 射影在
这个角的平分线


上.

已知:在
平面内,点,,,,垂足分别是

- 10 -

高中数学经典例题讲解

、、,.求
证明:∵,
∵,,
∴为在内的射
∴. 同
证:.
影.


平面
理可证:. 又∵,,,
∴. 说明:本题是一个较为典型的 题目,
与此题类似的有下面命题:从一个角的顶点引这个角所
在平面的斜射线,使斜射线和这个 角两边的夹角相等,
则斜射线在平面内的射影,是这个角的平分线所在的直
线.由此结论和上一 个例题很容易求解下面这道题:已
知,为平
面外一点,,求与平面所成角.
典型例题十五

15 判断题:正确的在括号内打“√”号,不正确的打“×”
号. (1)一条直线和一个平面平行,它就和这个平面内
的任何直线平行.( ) (2)如果一条直线垂直于平面内的
无数条直线,那么这条直线和这个平面垂直.( ) (3)垂
直于三角形两边的直线必垂直于第三边.( )
过点垂直于直线的所有直线都在过点垂直于的平面
内.( ) (5)如果三条共点直线两两垂直,那么其中一条
直线垂直于另两条直线确定的平面.( ) 解:( 1)直线与
平面平行,则直线与平面内的直线的位置关系不外乎有


两种①平行 ②异面,因此应打“×”号

(2)该命题的关键
是这无数条直线具有怎样的位 置关系.①若为平行,则
该命题应打“×”号;若为相交,则该命题应打“√”,正是
因为这两 种情况可能同时具备,因此,不说明面内无这
数条线的位置关系,则该命题应打“×”号. (3)垂直 于三
角形两边的直线必垂直于三角形所在的平面,由线面垂
直定义的逆用,则该直线必垂直于三 角形的第三边,∴
该命题应打“√”. (4)前面介绍了两个命题,①过一点有
且只有一个平 面与已知直线垂直,②过一点有且只aA
有一条直线与已知平面垂直,根据第一个命题知:过点
垂直于直线的平面惟一,因此,aaAA过点且与直线垂
直的直线都在过点且与直线垂直的平面内,∴该 命题应
打“√”号. acacbbO(5)三条共点直线两两垂直,设为,,
且,,共点于, ∵,,,且,
确定一平面,设为,则, accb同理可知垂直于由,确
定的平面,垂直于由了确定的平面, ∴该命题应打“√”
号. 说明:本题是利用直线和平面垂直的定义及判定定
理等知识来解答的问题.解答此类问

- 11 -

高中数学经典例题讲解

题必须作到:概念清楚、问题理解透
彻、相关知识能灵活运用.

E例
引,为平面
16

典型例题十六

如图,已知空间四边形的边,,
平垂足,作于,求证:.




BCDAH
分析:若证,只须利用直线和平面垂直的判定定
BCD
理,证垂直平面
取中点,连、,

∵,∴,∴,

又,∴,,


么.

aa
17
中两条相交直线即可.
ABFCFDF
证明:
∵,∴.

平面
平面

平面
平面
又,∴

又,∴.

典型例题十七



如果平面与外一条直线都垂直,那
直线已知:直线,,.求
证:.
''
a
分析:
若证线面平行,只须设法在平面
内找到
一条直线,使得 ,由线面平行判定定理得
证.

证明:
(1)
如图,若与相交,则由、确定
平面,设.


- 12 -

高中数学经典例题讲解




如图,若与不相交, ''
'

则在上任
取一点,过作,、确定平面,
设.








典型例题十八
平面
例18 如图,已知在中,,线段,

平面DBCH,为垂足. 求证:不可能是的


垂心.


分析:根据本题所证结论,可采用反证法予
以证明.
心,则. 平面
证明:如图所示,假设是的垂
∵,∴,

- 13 -

高中数学经典例题讲解

平面
又∵,∴,
∴,
平面∴.
DAC∴,
心.
平面
∴,这与已知矛盾,
说明:本题只要满足
,此题的结论总
19 在空间,
∴假设不成立,故不可能是的垂
成立.不妨给予证明.
典型例题十九 例
下列哪些命题是正确的( ). ①平行于同一条直线
的两条直线互相平行 ②垂直于同一条直线的两条直
线互相平行 ③平行于同一个平面的两条直线互相平
行 ④垂直于不一个平面的两条直线互相平行 A.仅
②不正确 B.仅①、④正确 C.仅①正确
D.四个命题都正确 a分析:①该命题就是平行公
理,即课本中的公理4,因此该命题是正确 的;②
如图,直线平
面,,,且,则,,即平面内两条直交直线,accbb都
垂直于 同一条直线,但,的位置关系并不是平
行.另外,,的位置关系也可以是
但此时,,的位置关系 是异面.


异面,如果
把直线平移到平面外,此时与的位置关 系仍是垂直,


平面ABCDAD平面ABCD③如图,在正方体中,易
知,,但 ,因此该命题是错误
的.

11111


④该命题是线面垂直的性质定理,因
此是正确的. 综上可知①、④正确. ∴应选
B. 典型例题二十

- 14 -

高中数学经典例题讲解

abAB

20
设,为异面直线,为它们的公垂
线

若,都平行于平面,则;
ab
AB
若,
分别垂直于平面、,且,则.

分析:依据直线和平面 垂直
的判定定理证明;证明线与线的平行,由于此时垂直
AB
c
的关
系较多,因此可以考虑利用线面垂直的性质证明.


图1

图2

证明:
(1)
如图1
,在内任取一点,设直线与点确定的
设直线与点确定的平面与平面的交
又∵,, ∴,,




∵,∴,,
平面与平面的交线为,

线为

∴.

∵,,∴,

如图
2
,过作,则,

∵,∴垂直于由和确定的平面.

∴.
'cBBb
∴也垂直于由和确定的平面.


cAB
故.

说明:由第
(2)
问的证明可以看出:利用线 面垂直的性质证明线与线的平行,
其关键是构
'BB
造出平面,使所证线皆与该平面垂 直.如题中,
通过作出辅助线,构造出平面,即由相
'BBb
交直线与确定的平
面.然后借助于题目中的其他垂直关系证得.

典型例题二
十一


21
如图,在正方体中,为异面直线与
的公垂线,求
11111 EFBD
证:.
1

- 15 -


高中数学经典例题讲解


EFBDBD ADEFEFAC
分析:证明,
构造与、都垂直的平面是关键.由于是和
111
的公垂
线,这一条件对构造线面垂直十分有
用.

∴.

平面
ACD
∴.



ABCD
∵,,

证明:连结,由于,,

又,,

平面平面
∴,,

BBDD
∴,

∴.
111ABCD
∵四边
平面平面

形为正方形,

而,∴.

理,,
111111

平面
ACD
∴.


111EFBD
由①、
②可知:.
1
典型例题二十二


22
如图,已知为外
一点,、、两两垂直,,
ABCP
求点到平面的距离.


-
16 -

高中数学经典例题讲解

分析:欲求点到平面的距离,可先过
点作平面的垂线,进一步求出垂线段的长.
PO
解:过作于点,连、、,

∴≌≌,

两两垂直,


平面ABCOAOBOCOP
∴,,

∴,

∵,

∴为的外心.
PAPBPC
∵、、

363

∴,为正三角形,

∴,∴.


333

3aABCP


因此点到平面的距离

3
说明:
(1)
求点到平面距离 的基本程序是:首先找到或作出要求


的距离;然后使所求距离在某一个三角形中;最后在 三角形中
根据三角形的边角关系求出距离.
(2)
求距离问题转化到解三角
形有关问题后,在三角形中求距离常常用到勾股定理、正弦定
理、余弦定理及有关三角函数知识.
(3)
点到平面距离是立体几
何中一个重要内容,高考命题中出现较多,应充分注意,除了
上面提到方法之外,还有其他一些方法,比如以后学习的等积
法,希望同学们在学习过程不断总 结.


典型例题二十


12

23
如图,已知在长方体中,棱,,
求直线
111 1111ABCD
和平面的距离.
11

分析:求线面距离,其基
本方法是在线上选一点,作出点面距,距离然后根据求点面距


- 17 -

高中数学经典例题讲解

的有关方法求解.

平面
平面
ABCD
解:如图,∵,且,,

11111111BC
平面
ABCD
∴.
1111BABCD
从而点到平
面的距离即为所求.

平面
∴.

又,

过点作于,

平面
AABB
∵,且,

平面
ABCD
∴.
111BE
即线段的长即为所求,

在中,,




∴直线到平面的距离为

111113
说明:本题考查长方体的性质,线面距离的
概念等基础知识以及计算能力 和转化的数学思想,


解答本题的关键是把线面距离转化为点面距离,进
而转化为 点线距离,再通过解三角形求解,这种转
化的思想非常重要,数学解题的过程就是将复杂转
化为 简单,将未知转化为已知,从而求解.

典型例
题二十四


ADBC

24
、分别为两条异面直线上
的两条线 段,已知这两条异面直线所成的角为
,,,.求线段的
长.
ADBC
分析: 首先依据题意,画出图形,利用平
移,将异面直线、所成的角、垂直关系
BC
转化到某
一个或某几个平面内,应用平面几何有关知识计算
出之长.



AEBCCCEABAE
解:如图,在平面内,
过作,过作,两线交于.
AEBC
∵,

就是、所成的角,

高中数学经典例题讲解

AB




- 18 -

BC
∵,
ABCEDE
∴四边形是矩
∵,,且,

平面
,∴.∵

平面

形.连,


CDE
∴.


CDEAE

∴.


在中,得,
∴.

说明:解决空间问题,常常将空间关系转化一个或
几个平面上来,只有将空间问题归化到平面上来,才能
应用平面几何知识解题,而平移变换是转化的重要 手
段.


- 19 -





典型例题一
例1 解不等式:
(1);(2). 分析:如果多项式可分
解为个一次式的积,则一元高次不等式( 或)可用“穿
根法”求解,但要注意处理好有重根的情况. 解:(1)
原不等式可化为
把方程的三个根顺次
标上数轴.然后从右上开始画线顺

1232次经过三个根,
其解集如下图的阴影部分.


∴原不等式解集为



(2)原不等式等价于

或或

∴原不等式解集为 x说
明:用“穿根法”解不等式时 应注意:①各一次项中的系
数必为正;②对于偶次或奇次重根可转化为不含重根的
不等式,也可 直接用“穿根法”,但注意“奇穿偶不穿”,
其法如下图.

典型例题二 例2 解下列分式不等式:
(1); (2)

或分析:当分式不等式
化为时,要注意它的等价变形


g(x)

20

或或




(1)解:原不

等式等
2
价于



∴原不等
(2)解法一:原不等式等


“穿根法
式解集为。





∴原不等式
解法二:原不等式等解集为。

32



价于

用“穿根法
32
典型例题三


2
∴原不等式解集为

例3 解不等式

21




分析:解此题的关键是去绝对值符号 ,而去绝对值符号有
两种方法:一是根据绝对值的意义


二是根据绝对
值的性质:或,因此本题有如下两种解
法. 或解法一:原不等式



或即
∴或
集为.
2


故原不等式的解
解法二:原不等式等价于
故即 ∴. 或
典型例题四

. 例4 解不等式

x
分析:这是一个分
式不等式,其左边是两个关于二次式的商,由商的符号法则,
它等价于下列 两个不等式组:


所以,原不等式的
解集是上面两个不等式级的解集的并集.也可用数轴标根法求
解. 解法一:原不等式等价下面两个不等式级的并集:



;或
或或.

22




是.
,或,或∴原不等式解集

符号


解法二:原不等式化为.

数轴,找因式根,分区间,定符号.





,或,或∴原不等式解
集是. 说明:解法一要注意求两个等价不等式组的解集是求每
组两个不等式的交集,再求两组的解的并集,否则 会产生误
解. x解法二中,“定符号”是关键.当每个因式的系数为正值
时,最右边区间一定 是正值,其他各区间正负相间;也可以先
决定含0的区间符号,其他各区间正负相间.在解题时要正确< br>运用. 典型例题五 . 例5 解不等式

分析:不等式左右两边都是含有的代数式,必须先
把它们移到一边,使另一边为0再解.

为.



2
解:
不 等式化整理,将原
由恒成立,知原不等
或解之,得原不式等价于.

等式的解集为. 说明:此题易出现去
分母得的错误解法.避免误解的方法是移项使一边为0再
解. 另外,在解 题过程中,对出现的二项式要注意其是否有实
根,以便分析不等式是否有解,从而使求解过程科学合理. 典
型例题六 22
x
式. 分析:进行分类讨论求解.

23




例6 设,解关于的不等
解:当时,因一定成立,故原不等式的
当时,原不等式化为;
; 当时,解得

当时,解
∴当时,原不等式的解集
解集为.
得.


为;



当时,原不等式
说明:解不等式时,的解集为.
由于,因此不能完全按一元二次不等 式的解法求解.因为
当时,原不等式化为,此时不等式的解
集为,所以解题时应分与两种情况来 讨
论. ,后,认为,这
也是易出现的错误之处.这在解出的两根为

21mmmm3131m
当时,;当时,.
2
时也应分情况来讨论:

mmmm
典型例题七


例7 解关于的不等式. 分析:先按无
理不等式的解法化为两个不等式组,然后分类讨论求
解.
不等式或

2
解:原

由,得:

由判别式,故不等式
的解是

. a

当时,,,
不等式组(1)的解是,不等式

组(2)的解是.

当时,不等式组(1)无解,(2)的解是. 2

综上可知,当时,原不等式的解
集是;当时,原不等式的解集是

24






说明:本题分类讨论标

准“,”是依据“已知及(1)中‘,’,(2)中‘,

确定
的.解含 有参数的不等式是不等式问题中的难点,也是近
几年高考的热点.一般地,分类讨论标准(解不等式)大
多数情况下依“不等式组中的各不等式的解所对应的区间的
端点”去确定. 本题易误把原不等式等价于
不等式.纠正错误的办法是熟练掌握无理不等式基本类型
的解法. 典型例题八

2
例8 解不等
式. 分析:先去掉绝对值号,再找它的等价组并求各不等
式的解,然后取它们的交集即可.
解答:去掉绝对值号得, ∴原不等式等价于不等式组







或∴原不等式的解集为.
说明:解含绝对值的不 等式,关键是要把它化为不含绝对
值的不等式,然后把不等式等价转化为不等式组,变成求
不等 式组的解.

典型例题九 例
9 解关于的不等式.
a
分析:不等式中含有字母,故需分类
讨论.但解题思路与一般的一元二次不等式的解法完全一


样:求出方程的根,然后写出不等式
的解,但由于方程的根含有字母,故需比较 两根的大小,
从而引出讨论.
为.
25

解:原不等式可化
当(即或)时,不等式的解集为:





2或;
当(即)时,不等式
的解集为:

或;
当(即或1)时,不等式
的解集为:


. 说明:
对参数进行的讨论,是根据解题的需
要而自然引出的,并非一开始就对参
数加以分类、讨论.比
如本题,为求不等式的解,需先求出
方程的根,,因此不等式的解就是小于
小根或大于 大


根.但与两根的大小不能确定,因此
需要讨论,,三种情况. 说明:(1) 万
变不离其宗,解不等式的核心即是确
定首项系数的正负,求出相应的方程
的根;(2 )结合使用韦
b

定理,本题中只有,
是已知量,故所求不等式解
集 也用
,表示,不等式系数,,的关系
也用,表示出来;(3)注意解法2
中用“变换” 的方法求方程的根. 典型
例题





解为,求、的值. 例12 若不等式

分析:不等式
本身比较复杂,要先对不等式进行同
解变形,再根据解集列出关于、式


子. 0解:∵,




原不等式化为



. 依题意,



∴ 说明:解有关一元二
次方程的不等式,要注意判断二次项
系数的符号,结合韦达定理来解. 典

b
例题十



13 不等式的解集为,求与的
值.

分析:此题为一元二次不等式逆向思
维题,要使解集为,不等式需满

26





足条件,,的两
解法一:设的两根为,,由

根为,.
韦达定理得:


2
题意:
∴,,此

时满足,.
二次
解法二:构造解集为的一元
不等式:
,即,此不
等式与原不等式应为同解不等式,故需满足:
∴,.
< br>说明:本题考
查一元二次方程、一元二次不等式解集的关系,同时还
考查逆向思维的能力 .对有关字母抽象问题,同学往往
掌握得不好. 典型例题四
与的大小.

例4 设,比较
解:作差,

; ,∴ 1)当时,即

x

即时,

当但,即或时,

∴.

; ,∴2)当,
, 3)
说明:如本题
作差,变形,变形到最简形式时,由于式中含有字母,
不能定号,必 须对字母根据式子具体特点分类讨论才能
定号.此时要注意分类合理恰当. 典型例题五

27





典型例题七 典型例题十一 例11
若,则下面不等式中成立的一个是( )
(A) (B) (C)
(D)

cd解:由不等式的性质知:(A)、(B)、(C)成
立的 条件都不充分,所以选(D),其实(D) 正是异向
不等式相减的结果.
说明:本的解法都 是不等式性质的基本
应用,对于不等式的基本性质要逐条掌握准确,以便灵
活应用.

例13 若,则一定成立的不等式是
) 111

. B. C. D.

abc

分析:A错,当时有;同样B错;
D没有考虑各数取零和正负号的关系,所以也不
对.

故选C,因为不等式两边同时加上一个任意数
说明:这类题可以采(此题是),原不等式成立.
用特例法:令即得C成立. 典型例题十六


11
a
例16 设和都是非零实数,求不等式和同时
成立的充要条件.

ab分析:本题是求两个不等式同时
成立的充要条件,因此,这两个不等式不能 分开来讨
论.如果分开讨
b
a论,则成立的条
件就是本身;而成立的条件则是 与同号,且,但这个条
件只

是的一个充分条件,并且与第一个不


等式是矛盾的.所以必须研究这两个不等式同时成立的

ab条件.显然,应该从求它们同时成立的必要条件入
手. 1111
a
解: 先求,同时成立的必要
条件,即当,同时成立时,与应具备什么条

abab
件.

28





由,得
由可知,再由知,即与异号,因此是不等式

同时成立的必要条件.

充分条件.


再求,同时成立的
事实
上,当时,必 有,且,因而成立.从而是不等式

同时成立的充分条件. ,

因此,两个不等式,同时成立的充
要条件是.

说明:本题结果表明,
与同时成立,其充要条件是为正数,为负数.这与成
abab11立的条件,不要混淆.解本题
是从必要条件入手的,即若,同时成立,则要研

究从不等式和看与的大小有什么
关系,从中得出结论(),再把这个结论作为

一个充分条件去验证及能否同时成立.从而
解决了本题.

ab

29

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