高中数学定积分训练题

定积分训练题
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的， 请把正确答案的代
号填在题后的括号内（每小题5分，共50分）．
1
p
? 2
p
?3
p
?.......?n
p
(p?0)
表 示成定积分 1．将和式的极限
lim
（ ）
n??
n
P? 1
1
1
x
1
1
1
1
p
pp
A．
?
dx
B．
?
xdx
C．
?
()dx
D．
?
()dx

0
0
x
0
n
0
x
2．下列等于1的积分是
A．

1
0
（ ）
?
2
1
0
xdx
B．
?
(x?1)dx


C．
1dx

0
?
1
D．

1
?
0
2
dx

1
3．
|x?4|dx
=
0
?
1
（ ）
21
22
23
25
B． C． D．
33
33
4．已知自由落体运动的速率
v?g t
，则落体运动从
t?0
到
t?t
0
所走的路程为 （ ）
A．
gtgt
2
A．
0
B．
gt
0
C．
0

32
3
5．曲线
y?cosx,x?[0,
?
]
与坐标周围成的面积
2
5
A．4 B．2 C．
2
6．

22
gt
D．
0

6

D．3
（ ）
（ ）
2
?
1
0
(e
x
?e
?x
)dx
=
C．A．
e?
1
B．2e
e
2

e
D．
e?
1
< br>e
7．求由
y?e
x
,x?2,y?1
围成的曲边梯形的面积 时，若选择ｘ为积分变量，则积分区间为（ ）
A．［0，
e
2
］ B．［0，2］ C．［1，2］
8．由直线
y?x,y??x?1
，及ｘ轴围成平面图形的面积为


A．
C．
D．［0，1］
（ ）
?
?
?
1?y
?
?y
?
dy

0
1
B．
?
?
?
?x?1
?
?x
?
dx

?
1
0
1
2
0
?
?
?
1?y
?
?y
?
dy

1
2
0
D．
x?
?
?
?x?1
?
?
dx

9．如果1N力能拉长弹簧1cm，为将弹簧拉长6cm，所耗费的功是 （ ）
A．0.18 B．0.26 C．0.12 D．0.28
10．将边长为1米的正方形薄片垂直放于比彼一时为
?
的液体中，使 其上距液面距离为2米，
则该正方形薄片所受液压力为 （ ）
A．
x
?
dx
B．
2
?
3
?
?
x?2
?
?
dx

1
2
C．
x
?
dx
D．
0
?
1
?
?
x?1
?
?
dx

2
3
二、填空题：请把答案填在题中横线上（每小题6分，共24分）．
1 1．将和式
lim(
n??
111
??.........?)
表示 为定积分 ．
n?1n?22n
12． 曲线
y?x
2
,x?0,y?1
，所围成的图形的面积可用定积分表示为 ．
13．由
y?cosx
及
x
轴围成的介于0与2π之间的平面图 形的面积，利用定积分应表达为 ．

14．按万有引力定律，两质点间的吸引力F?k
，ｋ为常数，
m
1
,m
2
为两质点的质量，r
2
ｒ为两点间距离，若两质点起始距离为ａ，质点
m
1
沿直线 移动至离
m
2
的距离为ｂ处，试
m
1
m
2
求所作之功（ｂ＞a） ．
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤(共76分)．
15．（12分）计算下列定积分的值
（1）








16．（12分）求曲线
y??x
3?x
2
?2x
与
x
轴所围成的图形的面积．










1 7．（12分）求由抛物线
y
2
?4ax
与过焦点的弦所围成的图形面积的最 小值.








< br>3
18．（12分）一物体按规律x＝bt作直线运动，式中x为时间t内通过的距离，媒质的阻 力正
比于速度的平方．试求物体由x＝0运动到x＝a时，阻力所作的功．









19．（14分）设y
=
f
（
x
）是二次函数,方程
f
（
x
）=0有两个相等的实根，且
?
3
?1
(4x?x)dx
； （2）
?
(x?1)dx
； （3）
?
2
(x?sinx)dx
； （4）
?
2
?
cos
2
xdx
；
12
2
?
5
?
?
0
2

f
′（
x
）=2
x
+2.
（1）求
y
=
f
（
x
）的表达式；
（2 ）求
y
=
f
（
x
）的图象与两坐标轴所围成图形的面积.
（2）若直线
x
=－
t
（0＜
t
＜1＝把
y
=
f
（
x
）的图象与两坐标轴所围成图形的面积二等分，求
t
的值.












2
20．（14分）抛物线y=ax＋bx在第一 象限内与直线x＋y=4相切．此抛物线与x轴所围成的
图形的面积记为S．求使S达到最大值的a、b 值，并求S
max
．

参考答案
一、
1．B；2．C；3．C；4．C；5．D；6．D；7．B；8．C；9．A；10．A；
12
?
111
2
二、11．
?
dx
；12．
?
(1?x)dx
；13．
?
|cosx|dx
；14．
km
1
m
2
(?)
；
00
0
1?x
ab
1
三、
15．（1）

（2）
（3）


（4）

16 ．解：首先求出函数
y??x?x?2x
的零点：
x
1
??1
，
x
2
?0
，
x
3
?2
.又易判断出在
(?1 , 0)
内，图形在
x
轴下方，在
(0 , 2)
内，图形在
x
轴上方，
0 2
37
所以所求面积为
A??(?x
3
?x
2
?2x)dx?(?x
3
? x
2
?2x)dx
?

?1 0
12
17．解： 焦点坐标为
F(a,0)
，设弦
AB、CD
过焦点
F
，且< br>AB?OF
．
y
C
A
由图得知：
S
ACF
?S
AGF
?S
FBE
?S
FBD
，故
S
ACFDOA
?S
AFBDOA
．
G
2
?
2a
?
y
?
a?
?dy?
8
a
2
．
x
所求面积为：
A?2
?
0
?
4a3
F
O
??
D
dx
E
B
?(bt
3
)
?
?3bt
2
．媒质阻力18．解：物体的速度
V?
32< br>??
?
dt
F
zu
?kv
2
?k(3bt< br>2
)
2
?9kb
2
t
4
，其中k为比例常数 ，k>0．
图
a
当x=0时，t=0；当x=a时，
t?t
1< br>?()
3
，又ds=vdt，故阻力所作的功为
b
1

W
zu
?
?
F
zu
ds?
?
kv ?vdt?k
?
vdt?k
?
(3bt
2
)
3dt?
000
t
1
2
t
1
3
t
1
27
3
7
27
3
72
kbt
1
?kab

77
19．解：（1）设
f
（
x
） =
ax
+
bx
+
c
，则
f
′（
x
）=2
ax
+
b
，
又已知
f
′（
x
）=2
x
+2
∴
a
=1，
b
=2.
2
∴
f
（
x
）=
x
+2
x
+
c

又方程
f
（
x
）=0有两个相等实根，
∴判别式
Δ
=4－4
c
=0，即
c
=1.
2
故
f
（
x
）=
x
+2
x
+1 .
（2）依题意，有所求面积=
（3）依题意，有
∴
(
2
?
0
?1
11
(x
2
?2x?1)dx?(x
3< br>?x
2
?x)|
0
?
.
?1
33
?
?t
?1
2
(x
2
?2x?1)dx?
?
0
?t
(x?2x?1)dx
，
1
32
11
3 2
1
3
1
3t20
32
x?x
2
?x)|
?
?(x?x?x)|
，－
t
+
t
－
t< br>+=
t
－
t
+
t
，2
t
－6
t
+6
t
－1=0，
?1?t
333
33
1< br>3
∴2（
t
－1）=－1，于是
t
=1－.
3
2
评述：本题考查导数和积分的基本概念.
20．解 依题设可知抛物线 为凸形，它与x轴的交点的横坐标分别为x
1
=0，x
2
=－ba，所以b
a
S?
?
(ax
2
?bx)dx?
0
?
1
3
b
(1)
2
6a
2
又直线x＋ y=4与抛物线y=ax＋bx相切，即它们有唯一的公共点，
?
x?y?4
由方程组
?

2
?
y?ax ?bx
得ax＋(b＋1)x－4=0，其判别式必须为0，即(b＋1)＋16a=0．
于 是
a??
22
1
(b?1)
2
,
代入（1）式得：
16
128b
3
128b
2
(3?b)
； S(b)?,(b?0)
，
S
?
(b)?
4
6(b?1 )3(b?1)
5
9
．
2
令S'(b)=0；在b＞0时得唯一驻 点b=3，且当0＜b＜3时，S'(b)＞0；当b＞3时，S'(b)＜0．故
在b=3时，S(b )取得极大值，也是最大值，即a=－1，b=3时，S取得最大值，且
S
max
?< br>