高中数学导数专题常考练习题

高考数学“导数”常考题型
1．已知函数
f
(
x
) 的导函数
f
′(
x
)满足下列条件：
①
f
′(< br>x
)>0时，
x
<－1或
x
>2；
②
f
′(
x
)<0时，－1<
x
<2；
③
f
′(
x
)＝0时，
x
＝－1或
x
＝2 .
则函数
f
(
x
)的大致图象是( )

2 ．已知直线2
x
－
y
＋1＝0与曲线
y
＝
a
e＋
x
相切(其中e为
自然对数的底数)，则实数
a
的值是( )
1
A.
2
C．2
B．1
D．e
2
x
2
3．(2019·深圳二模)已知函数
f
(
x
)＝
ax
＋(1－
a
)
x
＋是奇
x
函数 ，则曲线
y
＝
f
(
x
)在
x
＝1处的切线的倾斜角为
( )
π
A.
4
π
C.
3
32
3π
B.
4
2π
D.
3
2
4．已知函数
f
(x
)＝
x
＋
ax
＋
bx
＋
a
在
x
＝1处的极值为10，
则数对(
a
，
b
)为( )

A．(－3,3)
C．(4，－11)
B．(－11,4)
D．(－3,3)或(4，－11)
1
3
5 ．函数
f
(
x
)＝
x
－4
x
＋
m
在[0,3]上的最大值为4，则
m
的
3
值为( )
A．7
C．3
28
B.
3
D．4
1< br>3
1
2
6．已知函数
f
(
x
)＝
x
－
mx
＋4
x
－3在区间[1,2]上是增函
32
数，则实数
m
的取值范围为( )．
A．[－5,0) B．(－5,0)
C．(－∞，－1) D . (－∞，4]
7．已知偶函数f(x)(x≠0)的导函数为f′(x)，且满足f(1)
＝0.当x＞0时 ，xf′(x)＜2f(x)，则使得f(x)＞0成立
的x的取值范围是( )
A．(－∞，－1)∪(0,1) B．(－∞，－1)∪(1，＋∞)
C．(－1,0)∪(0,1) D．(－1,0)∪(1，＋∞)
8．(公切线问题)已知曲线y＝x＋ln x在点(1,1)处的切线
与曲线y＝ax2＋(a＋2)x＋1相切，则a=( ).
1
A. B．1
2
C．2 D．8

12
9．[易错题]若函数f(x)＝x3＋x2－在区间(a，a＋5)上存
33
在最小值，则实数a的取值范围是( )
A．[－5,0)
C．[－3,0)
B．(－5,0)
D．(－3,0)
10．[易错题 ](2019·长春二模)已知f′(x)是函数f(x)的
导函数，f(1)＝e，x∈R,2f(x )－f′(x)＞0，则不等式
f(x)＜e2x－1的解集为( )
A．(－∞，1)
C．(－∞，e)
B．(1，＋∞)
D．(e，＋∞)
11．（ 2019·全国卷Ⅲ节选)已知函数f(x)＝2x3－ax2＋b.
讨论f(x)的单调性；
12．已知常数a≠0，f(x)＝aln x＋2x.
(1)当a＝－4时，求f(x)的极值；
(2)当f(x)的最小值不小于－a时，求实数a的取值范围







高考数学“导数”常考题型答案

1．A [根据条件知，函数f(x)在(－1,2)上是减函数．在(－∞，
－1)，(2， ＋∞)上是增函数，故选A.]
2．B [由题意知y′＝ae
x
＋1＝2，则a>0，x＝－ln a，代入曲
线方程得y＝1－ln a，所以切线方程为y－(1－ln a)＝2(x＋ln a)，即y
＝2x＋ln a＋1＝2x＋1?a＝1.]
2
3．B [函数f(x)＝ax＋(1－a)x＋
x
是奇函数，
2
2
可得f (－x)＝－f(x)，可得a＝0，f(x)＝x＋
x
，
2
f′(x)＝ 1－
x
2
，即有曲线y＝f(x)在x＝1处的切线斜率为k＝1－2
3π< br>＝－1，可得切线的倾斜角为
4
，故选B.]
?
?
f′?1?＝0，
2
4．C [f′(x)＝3x＋2ax＋b ，依题意可得
?
即
?
?
f?1?＝10，
?
?3＋2a＋b＝0，
2
?
消去b可得a－a－12＝0，解得a＝－3或a＝2
?
?
1＋a＋b＋a＝10，
???
?
a＝－3，< br>?
a＝4，
?
a＝－3，
4，故
?
或
?当
?
时，f′(x)＝3x
2
－6x＋3
?
b＝3??
b＝3
??
b＝－11.
?



＝3(x－1)
2
≥0，这时f(x)无极值，不合题意，舍去，故选C.]
5．D [f′(x)＝x
2
－4，x∈[0,3]，
f′(x)＝0时，x＝2，
f′(x)＜0时，0≤x＜2，f′(x)＞0时，2＜x≤3.
所以f(x)在[0,2)上是减函数，
在(2,3]上是增函数．
又f(0)＝m，f(3)＝－3＋m.
所以在[0,3]上，f(x)
max
＝f(0)＝4，

所以m＝4，故选D.]
1
3
1
2
6． D [由函数f(x)＝
3
x－
2
mx＋4x－3，可得f′(x)＝x2
－mx＋4，
1
3
1
2
由函数f(x)＝
3
x－
2
mx＋4x－3在区间[1,2]上是增函数，可得x
2
－ mx＋4≥0在区间[1,2]上恒成立，
44
可得m≤x＋
x
，又x＋< br>x
≥2
可得m≤4.]
f?x?
7．C [令g(x)＝
x
2
，
x
2
f′?x?－2xf?x?x f′?x?－2f?x?
∴g′(x)＝＝，
x
4
x
3
又g(1)＝0，
当x＞0时，xf′(x)＜2f(x)，即g′(x)＜0，
因为f(x)为偶函数，所以当x＜0时，g′(x)＞0，
??
?
x＞0 ，
?
x＜0，
f(x)＞0等价于g(x)＞0，所以
?
或
?
所
??
g?x?＞g?1?g?x?＞g?－1?，
??
4
x·当且仅当x＝2时取等号，
x
＝4，

以0＜x＜1或－1＜x＜0，选C.]
1
8．D [法一：∵y＝x＋ln x，∴y′＝1＋
x
，y′|
x
＝
1
＝2.
∴曲线y＝x＋ln x在点(1,1)处的切线方程为
y－1＝2(x－1)，即y＝2x－1.
∵y＝2x－1与曲线y＝ax
2
＋(a＋2)x＋1相切，
∴a≠0(当a＝0时曲线变为y＝2x＋1与已知直线平行)．
?
?
y＝ 2x－1，
2
由
?
消去y，得ax＋ax＋2＝0.
2
?
?
y＝ax＋?a＋2?x＋1，

由Δ＝a
2
－8a＝0，解得a＝8.

法二：同方法一得切线方程为y＝2x－1.
2
设y＝2x－1与曲 线y＝ax
2
＋(a＋2)x＋1相切于点(x
0
，ax
0
＋(a＋
2)x
0
＋1)．∵y′＝2ax＋(a＋2)，
∴y′|x＝x
0
＝2ax
0
＋(a＋2)．
?
x
0
＝－，
?
?
2ax
0
＋?a＋2?＝2，2
由
?
2
解得
?
?
?
ax
0
＋?a＋2?x
0
＋1＝2x
0
－1，

1
?
a＝8.

]
9．C [由题意，f′(x)＝x< br>2
＋2x＝x(x＋2)，
故f(x)在(－∞，－2)，(0，＋∞)上是增函数，< br>在(－2,0)上是减函数，作出其图象如图所示．
1
3
22
2令
3
x＋x－
3
＝－
3
得，x＝0或x＝－3，则结合 图象可知
?
?
－3≤a＜0，
?

?
a＋5＞0，
?

解得a∈[－3,0)，故选C.]
f?x?
10．B [令g(x)＝
e
2x
，
e
2x
f′?x?－2e
2x
f?x?f′?x?－2f?x?
则g′(x)＝ ＝，
e
4x
e
2x
∵2f(x)－f′(x)＞0，
∴g′(x)＜0，
∴g(x)递减，
不等式f(x)＜e
2x
－
1
f?x?1ef?1?
?
e
2x
＜
e
＝
e
2
＝
e
2

?g(x)＜g(1)?x＞1，故选B.]
11.[解]f′(x)＝6x
2
－2ax＝2x(3x－a)．
a
令f′(x)＝0，得x＝0或x＝
3
.

a??
a
??
若a＞0，则当x∈(－∞，0)∪
?
3
， ＋∞
?
时，f′(x)＞0；当x∈
?
0，
3
?
? ???
a
??
a
??
???
时，f′(x)＜0.故f(x )在(－∞，0)，
3
，＋∞
单调递增，在
0，
3
?
单调递
????
减；
若a＝0，f(x)在(－∞，＋∞)单调递增；
a
???
a
?
若a＜0，则当x∈
?
－∞，
3?
∪(0，＋∞)时，f′(x)＞0；当x∈
?
3
，0
?????
a
???
a
?
时，f′(x)＜0.故f(x)在?
－∞，
3
?
，(0，＋∞)单调递增，在
?
3
，0
?
单调递
????
减．
12． [解](1)由已知得f(x)的定义域为(0，＋∞)，
a＋2x
a
f′(x)＝
x
＋2＝
x
.
2x－4
当a＝－4时，f′(x)＝
x
.
所以当0＜x＜2时，f′(x)＜0，即f(x)单调递减；
当x＞2时，f′(x)＞0，即f(x)单调递增．
所以f(x)只有极小值，且当x＝2时，f(x)取得极小值f(2)＝4－4ln
2.
所以当a＝－4时，f(x)只有极小值4－4ln 2.
a＋2x
(2)因为f′(x)＝
x
，
所以当a＞0，x∈(0，＋∞)时，f′(x)＞0，
即f(x)在x∈(0，＋∞)上单调递增，没有最小值；
a
当a＜0时，由f′(x)＞0得，x＞－
2
，
?
a< br>?
所以f(x)在
?
－
2
，＋∞
?
上单调递 增；
??

a
由f′(x)＜0得，x＜－
2
， < br>a
??
?
所以f(x)在
0，－
2
?
上单调 递减．
??
?
a
?
所以当a＜0时，f(x)的最小值为f
?
－
2
?

??
?
a
?
＝al n
?
－
2
?
－a.
??
?
a
? ?
a
?
根据题意得f
?
－
2
?
＝aln< br>?
－
2
?
－a≥－a，
????
即a[ln(－a)－ln 2]≥0.
因为a＜0，所以ln(－a)－ln 2≤0，解得a≥－2，
所以实数a的取值范围是[－2,0)．