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一题多解与一题多变在高中数学教学中的运用

作者:高考题库网
来源:https://www.bjmy2z.cn/gaokao
2020-09-15 03:13
tags:高中数学题

每日一讲高中数学题-高中数学反证法的典例


一题多解与一题多变在高中数学教学中的运用
数学,是一门自然学科。对于所有的高中 生来说,要学好这门学科,却不是一件
容易的事。大多数高中生对数学的印象就是枯燥、乏味、没有兴趣 。但由于高考“指
挥棒”的作用,又不得不学。“怎样才能学好数学?”成了学子们问得最多的问题。而
怎样回答这个问题便成了教师们的难题。很多人便单纯的认为要学好数学就是要多做
题,见的题 多了,做的题多了,自然就熟练了,成绩就提高了!于是,“题海战术”便
受到很多教育工作者的青睐。 熟话说,“熟能生巧”,当然,多做体肯定对学生数学成
绩的提高有一定的好处。但长期这样,只会使数 学越来越枯燥,让学生越来越厌烦,
于是出现厌学、抄作业等现象。
众所周知,数学题是做不 完的。我认为要使学生学好数学,还是要从提高学生的
数学思维能力和学习数学的兴趣上下工夫。要利用 书本上有限的例题和习题来提高学
生的学习兴趣和能力。在数学教学过程中,通过利用一切有用条件,进 行对比、联想,
采取一题多解与一题多变的形式进行教学。这对培养学生思维的广阔性、深刻性、探索性、灵活性、独创性无疑是一条有效的途径。另外,能力提高的过程中,学生的成
就感自然增强, 并且在不断的变化和解决问题的不同途径中,兴趣油然而生。
对于传统的数学教学来说,教 学过程的重点不外乎为:讲解定义推导公式,例题
演练,练习,及习题的安排。下面就一题多解与一题多 变在教学中的运用谈谈我个人
的几点看法。
一、在公式的推导中运用一题多解
数学 的公式在数学的解题中的作用是非常巨大的。并且,要学好数学,就必须
熟练的运用公式。但很多学生对 公式的记忆大多采取死记硬背的方法,对公式的推导
往往不够重视。其实,公式的推导过程就是一种解题 的方法,或是一种解题技巧。我
们如果在公式的推导过程中运用一题多解的话,就会让学生在学习知识的 产生过程中
同时掌握解题的规律和方法,也便于公式的理解记忆。例如:在学习等差数列通项公
式a
n
=a
1
+(n-1)d时,
方法一:
a
2
?a
1
?d

a
3
?a
2
?d?a
1
?2d

a
4
?a
3
?d?a
1
?3d
???????
由此得到
a
n
=a
1
+(n-1)d
方法二:
有等差数列定义知:
a
n
?a
n?1
?d

所以有
a
n?1
?a
n?2
?d


a
n?2
?a
n?3
?d

?????

a
3
?a
2
?d



a
2
?a
1
?d

累加得
a
n
?a
从而得到

1
?
d
1
?
?
n?
a
n
=a
1
+(n-1)d
方法二就是我们常用的求数列通项公式 的方法—累差法。这样的话,学生对这个公式
的产生过程印象就更深刻,对公式也就更难忘。另外,在记 忆公式的同时,也学到了
重要的数学方法和思路,更有助于学生数学思维的发展。这种实例在高中阶段的 新课
教学中还有很多,就不一一列举。
二、在例题讲解中运用一题多解和一题多变
一题多变和一题多解的变式在教学之中,往往能起到一座桥的作用,在最近发展
区之中能把学生从已知的 彼岸渡到未知的彼岸。一题多解,一道数学题,因思考的角
度不同可得到多种不同的思路,广阔寻求多种 解法,有助于拓宽解题思路,发展学生
的思维能力,提高学生分析问题的能力。一题多变,对一道数学题 或联想,或类比,
或推广,可以得到一系列新的题目,甚至得到更一般的结论,积极开展多种变式题的< br>求解,哪怕是不能解决,有助于学生应变能力的养成,培养学生发散思维的形成,增
强学生面对新 问题敢于联想分析予以解决的意识。在例题讲解中运用一题多解和一题
多变,就不用列举大量的例题让学 生感到无法接受。而是从一个题中获得解题的规律,
技巧,从而举一反三。
下面仅举一例进行一题多解和一题多变来说明:
例:已知x、y≥0且x+y=1,求x
2
+y
2
的取值范围。
解答此题的方法比较多,下面给出几种常见的思想方法,以作示例。
解法一:(函数思想)由x+y=1得y=1-x,则
11
x
2
+y
2
= x
2
+(1-x)
2
=2x
2
-2x+1=2(x- )
2
+
22
由于x∈[0,1],根据二次函数的图象与性质知
11
当x= 时,x
2
+y
2
取最小值 ;当x=0或1时,x
2
+y
2
取最大值1。
22
评注: 函数思想是中学阶段基本的数学思想之一,揭示了一种变量之间的联系,
往往用函数观点来探求变量的最 值。对于二元或多元函数的最值问题,往往是通过变
量替换转化为一元函数来解决,这是一种基本的数学 思想方法。解决函数的最值问题,
我们已经有比较深的函数理论,函数性质,如单调性的运用、导数的运 用等都可以求
函数的最值。
解法二:(三角换元思想)由于x+y=1,x、y≥0,则可设
π
x=cos
2
θ,y=sin
2
θ 其中θ∈[0, ]
2
2244222
则x+y= cosθ+sinθ=(cosθ+sinθ)-2 cos
2
θsin
2
θ
11
2
=1- (2sinθcosθ)=1- sin
2

22
11-cos4θ31
=1- × = + cos4θ
2244
1
于是,当cos4θ=-1时,x
2
+y< br>2
取最小值 ;
2
22
当cos4θ=1时,x+y取最小值1。


评注:三角换元思想也是高中数学的基本思 想方法之一,通过三角换元就将问题
转化为三角恒等式变形后来解决,而三角恒等变形却有着一系列的三 角公式,所以运
用三角换元解决某些问题往往比较方便。
解法三:(对称换元思想)由于x+y=1,x、y≥0,则可设
1111
x= +t, y= -t,其中t∈[- , ]
2222
111
2222
1
22
于是,x+y= ( +t)+( -t)= +2t t∈[0, ]
2224
1
2222
1
所以,当t=0时,x+y取最小值 ;当t= 时,x
2
+y
2
取最大值1。
24
评注:对称换元将减元结果进行简化了,从而更容易求最值。
这三种方法,在本 质上都一样,都是通过函数观点来求最值,只是换元方式的不
同而已,也就导致了化简运算量大小不同, 教师通过引导、启发学生主动思考、运用,
提高了学生对数学的认识,也增强了学生思维能力的提高。
解法四:(运用基本不等式)由于x、y≥0且x+y=1
(x+y)
2
11
则 xy≤ = ,从而0≤xy≤
444
222
于是,x+y=(x+y)-2xy=1-2xy
11
所以,当xy=0时,x
2
+y
2
取最大值1;当xy= 时,x
2
+y
2
取最小值 。
42
评注:运用基本不等式 可以解决一些含有两个未知量的最值问题,但要注意等号
成立的条件是否同时满足。
解法四:(解析几何思想)设d=x
2
+y
2
,则d为动点C(x ,y)到原点(0,0)
?
x?y?1
?
的距离,于是只需求线段
?
x?0
上的点到原点的最大和最小距离就可。
?
y?0
y
?
当点C与A或B重合时,d
max
=1,则(x
2
+y
2

max
=1
1
B
C
2 1
22
当OC⊥AB时d
min
= ,则(x+y)
min
=
A
22
O 1
x
评注:用几何的观点研究代数问题,可以加强学生数形结合思想的养成,使学生
在数和形的理解把握好 一个联系的尺度,能够由数想到形的意义,由形想到数的结构,
从而达到快速解决这类问题的目的。事实 上,有许多解析几何最值问题和代数中许多
最值问题都可以用类似的方法解决,这对学生数学思维能力的 培养,有着很积极的作
用。
解法五:(数形结合思想)设x
2
+y
2
=r
2
(r>0),此二元方程表示以坐标原点为圆
心、半径为r的动圆, 记为⊙F。
y
?
x?y?1
1
B
?
于是,问题转化为⊙F与线段
?
x?0

?
y?0
A
?
有公共点,求r的变化范围。
O 1
x
当⊙F经过线段AB端点时r
max
=1;当⊙F与线段AB相切时r< br>min
=
2

2


1
22
则 ≤x+y≤1
2
评注:此解法与解法四并无本质区别,关键是数形结合思想的形成。
至此,解答本题的几种常见方法介绍完毕,下面展示对本题的变式和推广。
变式1:已知a、b为非负数,M=a
4
+b
4
,a+b=1,求M的最值。

变式2:已知x、y≥0且x+y=1,能求x
8
+y
8的取值范围吗?x
8
+y
6
呢?x
7
+y
7< br>的范
围能求吗?

1
变式3:若x、y≥0且x+y=1,能求得
n-1
≤x
n
+y
n
≤1的结论吗?
2
这样一个由特殊性逐步一 般化的思维过程,加强了学生思维能力的培养,通过这
样一系列的一题多解和一题多变,培养了学生的综 合分析能力、提高了学生数学思维
能力,渗透了一些数学方法,体现了一些数学思想,也提供了一个推向 一般性的结论。
在数学教学中,若将经典例题充分挖掘,注重对例题进行变式教学,不但可以抓好基础知
识点,还可以激发学生的探求欲望,提高创新能力;不仅能让教师对例题的研究更加深
入,对教 学目标和要求的把握更加准确,同时也让学生的数学思维能力得到进一步提
高,并逐渐体会到数学学习的 乐趣。当然,在新课的教学中有些方法所用的知识,学
生还未学到,此时,我们可从中挑选学生学过的知 识。其他方法可在今后的总复习中
给出。
三、在练习和习题中训练学生运用一题多解和一题多变
在数学教学中,很多老师在课后给学生 布置除书上练习题和习题以外的大量习题。
使学生感到负担很重。很多学生根本无法完成,便出现了抄作 业的现象。对数学的厌
恶感便油然而生。还有老师从网上寻找各种各样的所谓的新颖题布置给学生做。这 样
也只会挫伤学生的自信心。我们为什么不能从书上的习题入手,进行演变,逐渐加深。
让学生 有规律可寻,循序渐进。日积月累过后,学生解题能力自然提高,对于从未见
过的新题也会迎刃而解。另 外,我们在把变式题布置给学生的同时,便可要求学生运
用一题多解,甚至可以要求学生自己对题型进行 变式。这样的作业方式不只可以达到
复习巩固的目的,还可以提高学生的探究能力及学习数学的兴趣。
例如,在学习抛物线后,在习题中出现了以下一题:
过抛物线y
2
=2px 焦点的一条直线和这条抛物线相交,设两个交点纵坐标为y
1
,y
2

求证:y
1
y
2
=-p
2
。(设线段AB为过抛物线焦点 的弦)
此题证明并不难,但其结论却很有用,关键是运用其结论。在布置此题给学生时
我们便 可以有针对性的演变。如变成
(1)证明:过抛物线焦点弦两端点的切线与抛物线的准线,三点共线。
(2)证明:抛物线焦点弦中点与其端点切线的交点的连线,平行于抛物线的对称
轴。
(3)证明:抛物线焦点弦中点与其端点切线的交点连结线段,等于焦点弦长的一
半,并且被这条抛物 线平分。
另外,我们还可以让学生自己变式,便还可能出现如下变式:
(4)证明:抛物线焦点弦两端点的切线互相垂直。
(5)证明:抛物线的准线是其焦点弦两端点的切线的交点的轨迹。


(6)证 明:过抛物线焦点一端,作准线的垂线,那么垂足、原点以及弦的另一端
点,三点共线。
在数学习题教学中,一题多变也得循序渐进,步子要适宜,变得自然流畅,使学生的思维得
到充分发散,而又不感到突然。
总之,在数学习题教学中,选用一些非加探索不能发现其内在联系的习题,采用一题多解与
一题多变的形式进行教学,有助于启发学生分析思考,逐步把学生引入胜境,从而使学生开拓知
识视野,增强能力,发展创造思维,同时还可以帮助学生对知识系统性、特殊性、广泛性的深刻
理解。


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