高中数学竞赛试题附详细答案

高中数学竞赛试题
一选择题(每题5分,满分60分)
2
1. 如 果a,b,c都是实数，那么P∶ac<0,是q∶关于x的方程ax+bx+c=0有一个正根和一个
负根的（ ）
（A）必要而不充分条件 （B）充要条件
（C）充分而不必要条件 （D）既不充分也不必要条件
2. 某种放射性元素，100年后只剩原来质量的一半，现有这种元素1克，3年后剩下（ ）。
（A）
3?0.5
克 （B）(1－0.5%)
3
克 （C）0.925克 （D）
100
0.125
克
100
3. 由甲城市到乙城市t分钟的电话费由函数g(t)=1.06×(0.75[t]+1)给出，其中t>0，[t ]表示
大于或等于t的最小整数，则从甲城市到乙城市5.5分钟的电话费为（ ）。
（A）5.83元 （B）5.25元 （C）5.56元 （D）5.04元
4. 已知函数
则的值
>0，
A、一定大于零 B、一定小于零 C、等于零 D、正负都有可能
5. 已知数列
3
，
7
，< br>11
，
15
，…则
311
是它的（ ）
（A）第23项 （B）第24项 （C）第19项 （D）第25项
6. 已知等差数列
{a
n
}
的公差不为零，
{a
n
}< br>中的部分项
a
k
1
,a
k
2
,a
k
3
,?,a
k
n
,?
构成等比数
列，其中
k
1
?1,k
2
?5,k
3
?17,
则
k
1
?k
2
?k
3
???k
n
等于（ ）
(A)
3?n?1
(B)
3?n?1
(C)
3?n?1
(D)都不对
7. 已知函数
f(x)?asinx?b cosx
（
a
、
b
为常数，
a?0
，
x? R
）在
x?
值，则函数
y?f(
nnn
?
4
处取得最小
3
?
?x)
是（ ）
4
3
?
,0)
对称
2
A．偶函数且它的图象关于点
(
?
,0)
对称 B．偶函数且它的图象关于点
(
C．奇函数且它的图象关于点
(
8. 如果
3
?
,0)
对称 D．奇函数且它的图象关于点
(
?
,0)
对称
2
1?tanA
?
= 4+
5
，那么cot（
?A
）的值等于 ( )
1?tanA4
A -4-
5
B 4+
5
C -
1
4?5
D
1
4?5

9. 已 知︱
OA
︱=1，︱
OB
︱=
3
,
OA?OB=0,点C在∠AOB内，且∠AOC=30°，设
OC
=m
OA
+n< br>OB
(m、n∈R)，则
m
等于
n
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A.
1
3
B.3 C. D.
3

3
3
10. 等边△ABC的边 长为
0
，AD是BC边上的高，将△ABD沿AD折起，使之与△ACD所在
平面成1 20的二面角，这时A点到BC的距离是
A、 B、 C、3 D、2
11. 抛两个各面上分别标有1，2，3，4，5，6的均匀的正方体玩具，“向上的两个数之和为< br>3”的概率是
A．

B．
（ ）
1

3
1

6
C．
1

36
D．
1

18
12. 对于直角坐标平面内的任意两点 A(x
1
,y
1
)、B(x
2
，y
2
)， 定义它们之间的一种“距离”：‖
AB‖=︱x
1
－
x
2
︱ +︱y
1
－
y
2
︱.给出下列三个命题：
①若点C在线段AB上，则‖AC‖+‖CB‖=‖AB‖;
②在△ABC中，若∠C=90°，则‖AC‖+‖CB‖=‖AB‖；
③在△ABC中，‖AC‖+‖CB‖>‖AB‖.
其中真命题的个数为
A.0 B.1 C.2 D.3
二填空题:(每题5分,满分30分)
222
13
棱锥的底面面积为150 cm
2
,平行于底面的截面面积为54cm
2
底面和截面
距离为14cm,则这个棱锥高为_________
14
函数y=x－2+的最小值是________;最大值是________.
15. 若数列｛a
n
｝由a
1
=2，a
n+1
= a
n
+2n(n≥1)确定，求通项公式a
n ==________
.
16.
有一公用电话亭，在观察使用这个电话的人的流量时，设在某一个时刻，有n个人正在使用电话或等待使用的概率为
P(n)
，且
P(n)
与时刻t无关， 统计得到
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?
1
n
?
()?P(0),1?n?5
P(n)?
?
2
，那么在某一时刻这个公用电 话亭里一个人也没有的概
?
0,n?6
?
率P(0)的值是 ．
?
1
?
f(n),n为偶数,　
17. 定义在N
＋
上的函数f(x)，满足f (1 )
＝
1，且f(n+1)=
?
2
则f(22) = ．
?
?
f(n),n为奇数.
18. 定义在R上的函数
y?f(x)
，它同时满足具有下述性质：
①对任何
x?R均有f(x
3
)?f
3
(x);

②对任何
x
1
,x
2
?R,x
1
?x
2< br>均有f(x
1
)?f(x
2
).
则
f(0)?f(1 )?f(?1)?
．
三解答题(每题15分,满分60分)
19. 三角形ABC中，三个内角A、B、C的对边分别为
，求角C的大小。

，若
20.
一农民有田2亩，根据他的经验：若种水稻，则每亩每期产量为400公 斤，若种花生，
则每亩产量为100公斤，但水稻成本较高，每亩每期240元，而花生只要80元，且 花
生每公斤可卖5元，稻米每公斤只卖3元，现在他只能凑足400元，问这位农民对两
种作物 应各种多少亩，才能得到最大利润？

21．已知点的序列
A
n
( x
n
,0),n?N
*
，其中
x
1
?0,x
2
?
1
，
A
3
是线段
A
1
A< br>2
的中点，
A
4
是
2
线段
A
2A
3
的中点，
?,A
n
是线段
A
n?2
A
n?1
(n?3)
的中点，
（1） 写出
x
n
与
x
n?1
,x
n?2
之间的关系式
(n?3)
；
（2） 设
a
n
?x
n?1
?x
n
， 求
?
a
n
?
的通项公式。

22. （本小题满分14分）已知二次函数
=
(Ⅰ)求
，且方程=有等根。
满足条件：
的解析式；
的定义域和值域分别是[m，n]和[3m，3n]?如果存 在，(Ⅱ)是否存在实数m、n(m
求出m、n的值；若不存在，说明理由。
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珠海市2009年高中数学竞赛试题参考答案
一选择题 1.B 2.D 3.A 4.B 5.D 6.A 7.D 8.B 9. B 10.A 11.D 12.B

二填空题: 13. 35 14
?4;22?2
15
a
n
?n
2
?n?2

16.
321
17. 18. 0
631024
19解: 由
故B=60
0
，A+C=120
0
。…………………..5’
=cosB，
于是sinA=sin(120
0
-C)=，…………………8’
又由正弦定理有：，………………….10’
从而可推出sinC=cosC，得C=45
0
。…………………….15’


20解：设水稻种x亩，花生种y亩，则有题意得：
即
…………………………6’
而利润P＝（3×400－200）x＋（5×100－80） y＝960x+420y…………………9’
所以当x＝1.5，y＝0.5时，P
max< br>＝960×1.5＋420×0.5＝1650（元）…………14’
即水稻种1.5亩，花生种0.5亩时所得的利润最大。……………………15’

x
n?2
?x
n?1
（ｎ
?
３）；……………………6’
2
x?x
n
x?x
n
（２）
a
n
＝
x
n?1
?x
n
＝
n?1
－
x
n
＝
n?1
，…………..9’
22
1
由此可见，数列< br>?
a
n
?
是公比为
?
的等比数列，…………………. 12’
2
21.解:（１）
x
n
?
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1
。…………..15’
a
n
＝
?(? )
n
（ｎ
?N
?
）
2


22.解:Ⅰ）。………………..7’
（Ⅱ）存在m=-4，n=0满足要求。………………….15’


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