高中数学必修一必修二经典测试题100题

高中数学必修一必修二经典测试题100题（二）—— 孙庆仪
高中数学必修一必修二经典测试题100题（二）
一、填空题：本题共25题
1、 设集合
A?
?
(x,y)y?ax?1
?
，
B?
?
(x,y)y?x?b
?
，且
AIB?
?
(2,5)
?
，则：a= b=
2、对于一个底边在
x
轴上的三 角形，采用斜二测画法作出其直观图，其直观图的面积是原三角
形面积的 倍
?
log
2
x(x?0)
1
3. 已知函数
f(x)?
?
x
，则
f[f()]
的值是
4
(x?0)
?
3
4. 设
x?y?1,0?a?1,
则下列关系正确的是
?a
1
x
○
xy
?y
?a
○
2
ax?ay
○
3
a?a
○
4
log
a
x?log
a
y

5. 函数
f(x)?2
x
?3
的零点所在区间为：
6. 函数
f(x)
的定义域为
(a,b)
，且对其内任意实数x
1
,x
2
均有：
(x
1
?x
2)[f(x
1
)?f(x
2
)]?0
，则
f(x)在
(a,b)
上是 函数（增或减）
7. 在x轴上的截距为2且倾斜角为135°的直线方程为
8. 设点M是Z轴上一点，且点M到A（1，0，2）与点B（1，－3，1）的距离相等，则点M
的坐标是
9、如图所示，阴影部分的面积
S
是
h
(0?h?H)
的函 数，则该函数的图象
是
. 10. 将直线
l:x?2y?1?0< br>向左平移3个单位，再向上平移2个单位
得到直线
l
?
，则直线
l与l
?
之间的距离为

11. 函数
f(x)?
?2
?lg(2
x
?1)
的定义域为
x?5
aba
3

12. 已知
a?b?0
，则
3,3,4
的大小关系是
13.函数
f(x)?x?x?3
的实数解落在的区间是
1 4.已知
A(1,2),B(3,1),
则线段
AB
的垂直平分线的方程是
15.
下列条件中,能判断两个平面平行的是
a 一个平面内的一条直线平行于另一个平面;b一个平面内的两条直线平行于另
一个平面；c 一个平面内有无数条直线平行于另一个平面；
d
一个平面内任何一
P
条直线都平行于另一个平面


16. 如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90，P为△ABC所在平面外一点
PA⊥平面ABC，则四面体P-ABC中共有 个直角三角形。
A
17.如果轴截面为正方形的圆柱的侧面积是
4
?
，那么圆柱的体积等于
18 .在圆
x?y?4
上，与直线
4x?3y?12?0
的距离最小的点的坐标为
19．用符号“
?
”或“
?
”填空
第1页
< br>22
B
C
0

高中数学必修一必修二经典测试题100题 （二）—— 孙庆仪
（1）
0
______
N
,
（2）
?
5
______
N
,
16
______
N

1
______Q,
?_______Q,e______C
R
Q
（
e
是个无理数）
2
（3）
2?3?2?3
________
x|x?a?6b,a? Q,b?Q

20. 若集合
A?
?
x|x?6,x?N
?
，
B?{x|x是非质数}
，
C?AIB
，则
C
的
非空子集的个数为 。
21．若集合
A?
?
x|3?x?7
?
，
B?
?
x|2?x?10
?
，则
AUB?
_____________．
22．设集合
A?{x?3? x?2}
,
B?{x2k?1?x?2k?1}
,且
A?B
，
则实数
k
的取值范围是 。
23．已知
A?yy ??x
2
?2x?1,B?yy?2x?1
，则
AIB?
_____ ____。
??
??
??

24．设
U?R,A?
?
x|a?x?b
?
,C
U
A?
?
x|x?4或 x?3
?

则
a?___________,b?__________
。
25．某班 有学生
55
人，其中体育爱好者
43
人，音乐爱好者
34
人 ，还有
4
人既不爱好体育也不
爱好音乐，则该班既爱好体育又爱好音乐的人数为 人。

者者有子

二、简答题：本题共25题
2
1． 设
y?x?ax?b,A?
?
x|y?x
?
?
?
a
?
,M?



22
?
?
a,b
?
?
,求M

而
改
之
。
2．设
A?{xx?4x?0},B?{xx?2(a?1) x?a?1?0}
,其中
2
而
从
之
，
其
不
善
我
师
焉
：
择
其
善
曰
：
三
人
行
，
必
x?R
,
如果
AIB?B
，求实数
a
的取值范围。



3．集合
A?x|x?ax?a?19?0
，
B?x|x?5x? 6?0
，
C?x|x?2x?8?0

满足
AIB?
?,
，
AIC?
?
,
求实数
a
的值。
?
22
??
2
??
2
?

第2页

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4．设
U?R
，集合
A?x|x
2
?3x?2?0
，
B?x|x
2
?(m?1)x?m?0
；
若
(C
U
A)?B?
?
，求
m
的值。




3
??
??
之
者
也
。
5．求函数
f(x)?




6．求函数
y?




x?1
的定义域。
x?1
好
古
，
敏
以< br>求
而
知
之
者
，
子
曰
：
我< br>非
生



x
2
?x?1
的值域。
22
2
7．
x< br>1
,x
2
是关于
x
的一元二次方程
x?2(m?1) x?m?1?0
的两个实根，又
y?x
1
?x
2
，
求
y?f(m)
的解析式及此函数的定义域。


8．已知函数
f(x)?ax?2ax?3?b(a?0)
在
[1,3]
有最大值
5
和最小值
2
，求
a
、
b
的值。
2


9．设
?
,
?
是方程
4x ?4mx?m?2?0,(x?R)
的两实根,当
m
为何值时,
2
?
2
?
?
2
有最小值?求出这个最小值.





第3页

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10．求下列函数的定义域
（1）
y?x?8?3?x
（2）
y?
x
2
?1?1?x
2

x?1
（3）
y?
1
1?
1?
1
1
x?x

之
者
也
。






11．求下列函数的值域
（1）
y?



< br>12．作出函数
y?x?6x?7,x?
?
3,6
?
的图象。
2
好
古
，
敏
以
求
而
知
之
者
，
子
曰
：
我
非
生
3?x5 （2）
y?
（3）
y?1?2x?x

2
4?x
2x?4x?3







13．判断一次函数
y?kx?b,
反比例函数
y?
单调性。




14．已知函数
f(x)
的定义域为?
?1,1
?
，且同时满足下列条件：（1）
f(x)
是奇函数 ；
（2）
f(x)
在定义域上单调递减；（3）
f(1?a)?f(1?a )?0,
求
a
的取值范围。


第4页

2
k
2
，二次函数
y?ax?bx?c
的
x

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15．利用函数的单调性求函数
y?x?1?2x
的值域；





16．已知函数
f(x)?x
2
?2ax?2,x?
?
?5,5
?
.
① 当
a??1
时，求函数的最大值和最小值；


② 求实数
a
的取值范围，使
y?f(x)
在区间
?
?5,5
?上是单调函数。
子曰：知之者不
如好之者，好之
者不如乐之者。



17．判断下列函数的奇偶性
1?x
2
（1）
f(x)?
（2）
f(x)?0, x?
?
?6,?2
?
U
?
2,6
?

x?2?2




18．已知函数
y?f(x)
的定义域为
R
，且对任意
a,b?R
，都有
f(a?b)? f(a)?f(b)
，且当
（1）函数
y?f(x)
是
R
上 的减函数；
x?0
时，
f(x)?0
恒成立，证明：
（2）函数< br>y?f(x)
是奇函数。




19．设函数
f(x)
与
g(x)
的定义域是
x?R
且
x??1
,
f(x)
是偶函数,

g(x)
是奇函数,且
f(x)?g(x)?
1
,求
f(x)
和
g(x)
的解析式 .
x?1

第5页

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20
．设
a
为实数，函数
f(x)?x?|x?a|?1
，
x?R

2
（1）讨论
f(x)
的奇偶性；
（2）求
f(x)
的最小值。





21．用定义证明：函数
f(x)?x?




22
22．设
x
1
与
x
2
分别是实系数方程
ax?bx?c?0
和
?ax?bx?c?0
的一个根，且
1
在< br>x?
?
1,??
?
上是增函数。
x
x
1< br>?x
2
,x
1
?0,x
2
?0
，求证：方程




a
2
x?bx?c?0有仅有一根介于
x
1
和
x
2
之间。
2
23．函数
f(x)??x?2ax?1?a
在区间
?
0,1
?< br>上有最大值
2
，求实数
a
的值。
2




24．某商品进货单价为
40
元，若销售价为
50元，可卖出
50
个，如果销售单价每涨
1
元，
销售量就减少
1
个，为了获得最大利润，则此商品的最佳售价应为多少？
.



25．证明函数
f(x)?x?2
在
[?2,??)
上是增函数。
第6页

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答案：
一填空题

1、
a?2,b?3
2、
3、
2
倍
4
1
4、
○
3
9
5、（1，2） 6、减函数
7、 ｙ＝－ｘ＋２ 8、（0，0，－3）
5
9、A 10、
5
11、(－5，＋∞) 12、
3?3?4

13、
B.
?
1,2
?
14
B.4x?2y?5

15、d 16、 4
17、
2
?
18、
C(,)

19.
(1)?,?,?;(2)?,?,?,(3)?

0
是自然数，
5
是无理数，不是自然数，
16?4
；

(2?3?2?3)
2
?6,2?3?2?3?6,
当< br>a?0,b?1
时
6
在集合中
20.
15

A?
?
0,1,2,3,4,5,6
?
，
C?
?< br>0,1,4,6
?
，非空子集有
2?1?15
；
4
baa
86
55
64748
21.
?
x|2?x?10
?

2,3,7,10
，显然< br>AUB?
?
x|2?x?10
?

{
?
22.
?
k|?1?k?
?
64447 4448
?
2k?1??3
1
?
1
k?1,2k?1,2< br>，则
?
得
?1?k?

?

?3,2
1442443
2
?
2
?
2k?1?2
22
23.
?
y|y?0
?

y??x?2x?1??(x?1)?0
，
A?R
。
24.
a?3,b?4

A?C
U
(C
U
A)??
x|3?x?4
?
?
?
x|a?x?b
?

25.
26
全班分
4
类人：设既爱好体育又爱好音乐的人数为
x
人；仅爱好体育
的人数为
43?x
人；仅爱好音乐的人数为
34?x
人；既不爱好体育又不 爱好音乐的
人数为
4
人 。∴
43?x?34?x?x?4?55
，∴
x?26
。
二、简答题
2
1． 解：由
A?
?
a
?
得
x?ax?b?x
的两个根
x
1
?x
2
?a，
第7页

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2
即
x?(a?1)x?b?0
的两个根
x
1
?x
2
? a
，
∴
x
1
?x
2
?1?a?2a,得a?
∴
M?
?
?
,
?
?

11
，
x
1
x
2
?b?
，
9< br>3
?
?
11
?
?
?
?
39
?
?
2.解：由
AIB?B得B?A
，而
A?
?
? 4,0
?
，
??4(a?1)?4(a?1)?8a?8

22当
??8a?8?0
，即
a??1
时，
B?
?
，符合
B?A
；
当
??8a?8?0
，即
a??1
时，
B?
?
0
?
，符合
B?A
；
当< br>??8a?8?0
，即
a??1
时，
B
中有两个元素，而B?A
?
?
?4,0
?
；
∴
B?
?
?4,0
?
得
a?1

∴
a?1或a??1
。
3.解：
B?
?
2,3
?
，
C?
?
?4,2
?
，而
AIB??
，则
2,3
至少有一个元素在
A
中，
又
A IC?
?
，∴
2?A
，
3?A
，即
9?3a?a? 19?0
，得
a?5或?2

而
a?5时，A?B与
AIC?
?
矛盾，
∴
a??2

4. 解：
A?
?
?2,?1
?
，由
(C
U
A)IB?
?
,得B?A
， 当
m?1
时，
B?
?
?1
?
，符合
B ?A
；
当
m?1
时，
B?
?
?1,?m
?
，而
B?A
，∴
?m??2
，即
m?2

∴
m?1
或
2
。
5.解：∵
x?1?0,x?1 ?0,x??1
，∴定义域为
?
x|x??1
?

6、解： ∵
x?x?1?(x?)?
2
2
1
2
2
33
?,

44
∴
y?
3
3
,??)
，∴ 值域为
[
2
2
2
7.解：
??4(m?1)?4(m?1) ?0,得m?3或m?0
，
y?x
1
2
?x
2
2
?(x
1
?x
2
)
2
?2x
1
x
2

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?4(m?1)
2
?2(m?1)
?4m?10m?2
2
2

∴
f(m)?4m?10m?2,(m?0或m?3)
。
8. 解：对称轴
x?1
，
?
1,3
?
是
f(x)
的递增区 间，
f(x)
max
?f(3)?5,即3a?b?3?5

f(x)
min
?f(1)?2,即?a?b?3?2,

∴
?
?
3a?b?2
31
得a?,b?.

44
?
?a?b??1
2
9解：
??16m?16(m?2)?0 ,m?2或m??1,

?
2
?
?
2
?(
?
?
?
)
2
?2
??
?m
2
?m ?1

1
2
当m??1时,(
?
2
?
?
2
)
min
?
1
2

?x?8?0
10解：（1）∵
?
得?8?x?3,
∴定义域为
?
?8,3
?

3?x?0
?
?
x
2
?1?0
?
22
（2）∵
?
1?x?0得x?1且x?1,即x? ?1
∴定义域为
?
?1
?

?
x?1 ?0
?
?
?
?
?
?
x?0
?
x? x?0
?
?
11
1
??
1
?
?
?
?
?0得
?
x??
（3）∵
?
1?
∴定义 域为
?
??,?
?
U
?
?,0
?

2
??
2
?
x?x2
?
??
??
1
1
?0
?
x?x
?0
?
1?
?
?
1?
1
?
x?x
?
11解：（1）∵
y?
3?x4y?3
,4y?xy?x?3,x?,得y??1
，
4?xy?1
∴值域为
?
y|y??1
?

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高中数学必修一必修二经典测试题100题（二）—— 孙庆仪
（2）∵
2x?4x?3?2(x?1)?1?1,

∴
0?
22
1
?1,0?y?5

2x
2
?4x?3
∴值域为
?
0,5
?

1
,且y是x
的减函数，
2
111
当
x?时，y
min
??,
∴值域为
[?,??)

222
12解：（五点法：顶点，与
x
轴的交点，与
y
轴的交点以 及该点关于对称轴对称的点）
（3）
1?2x?0,x?
13．解：当
k? 0
，
y?kx?b
在
R
是增函数，当
k?0
，y?kx?b
在
R
是减函数；
k
在
(??,0),(0,??)
是减函数，
x
k
当
k?0
，
y?
在
(??,0),(0,??)
是增函数 ；
x
bb
2
当
a?0
，
y?ax?bx?c在
(??,?]
是减函数，在
[?,??)
是增函数，
2a2 a
bb
2
当
a?0
，
y?ax?bx?c
在
(??,?]
是增函数，在
[?,??)
是减函数。
2a2a
?
?1?1?a?1
?
2
22
14．解：
f(1?a)??f (1?a)?f(a?1)
，则
?
?1?1?a?1
,
?
1?a?a
2
?1
?
?
0?a?1
< br>1
1
1
15．解：
2x?1?0,x??
，显然
y< br>是
x
的增函数，
x??
，
y
min
??,< br>
2
22
1

?y?[?,??)

2
当
k?0
，
y?
2
16．解：
(1)a ??1,f(x)?x?2x?2,
对称轴
x?1,f(x)
min
?f(1 )?1,f(x)
max
?f(5)?37

∴
f(x)
max
?37,f(x)
min
?1

（2）对称轴
x??a,
当
?a??5
或
?a?5
时，
f(x)
在
?
?5,5
?
上单调
∴
a?5
或
a??5
。
1?x
2
17． 解：（1）定义域为
?
?1,0
?
U
?
0,1
?< br>，则
x?2?2?x
，
f(x)?,

x
1?x2
∵
f(?x)??f(x)
∴
f(x)?
为奇函数。
x
第10页

高中数学必修一必修二经典测试题100题（二）—— 孙庆仪
（2）∵f(?x)??f(x)
且
f(?x)?f(x)
∴
f(x)
既 是奇函数又是偶函数。
18．证明：(1)设
x
1
?x
2
，则
x
1
?x
2
?0
，而
f(a?b)?f(a) ?f(b)

∴
f(x
1
)?f(x
1
?x
2
?x
2
)?f(x
1
?x
2
)?f(x
2
)?f(x
2
)

∴函数
y?f(x)
是
R
上的减函数;
(2 )由
f(a?b)?f(a)?f(b)
得
f(x?x)?f(x)?f(?x)
即
f(x)?f(?x)?f(0)
，而
f(0)?0

∴
f(?x)??f(x)
，即函数
y?f(x)
是奇函数。
19．解：∵
f(x)
是偶函数,
g(x)
是奇函数，∴
f(?x)?f(x)
，且
g(?x)??g(x)

11
,得
f(?x)?g(?x)?
,
x?1
?x?1
11
即
f(x)?g(x)?
，
??
?x?1x?1
1x
∴
f(x)?
2
，
g(x )?
2
。
x?1x?1
而
f(x)?g(x)?



20．解：（1）当
a?0
时，
f(x)?x?|x| ?1
为偶函数，
当
a?0
时，
f(x)?x?|x?a|?1
为非奇非偶函数；
（2）当
x?a
时，
f(x)?x?x?a?1?(x?)?a?
当
a?
2
2
2
1
2
2
3
,

4
1
13
时，
f(x)
min
?f()?a ?
，
2
24
1
当
a?
时，
f(x)
min
不存在；
2
1
2
3
2
当
x?a
时，
f(x)?x?x?a?1?(x? )?a?,

24
1
2
当
a??
时，
f(x)
min
?f(a)?a?1
，
2
1
13
当
a??
时，
f(x)
min
?f(?)??a?
。
2
24
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高中数学必修一必修二经典测试题100题（二）—— 孙庆仪
21．证明： 设
1?x
1
?x
2
,f(x
1
)?f(x
2
)?(x
1
?x
2
)(1?
即
f(x
1
)?f(x
2
)
，
∴函数
f (x)?x?
22．解：令
f(x)?
1
)?0

x
1
x
2
1
在
x?
?
1,??
?
上是增函数。
x
a
2
x?bx?c,
由题意可知
ax1
2
?bx
1
?c?0,?ax
2
2
?bx< br>2
?c?0

2
aaa
bx
1
?c??ax
1
2
,bx
2
?c?ax
2
2
,
f(x
1
)?x
1
2
?bx
1
?c?x
1
2
?ax
1
2
??x
1
2
,
< br>222
aa3a
2
f(x
2
)?x
2
2?bx
2
?c?x
2
2
?ax
2
2
? x
2
,
因为
a?0,x
1
?0,x
2
?0

222
a
2
∴
f(x
1
)f(x
2
)?0
，即方程
x?bx?c?0
有仅有一根介于
x
1
和
x
2
之间。
2
23．解：对称轴
x?a
，
当
a?0,
?0,1
?
是
f(x)
的递减区间，
f(x)
max?f(0)?1?a?2?a??1
；
当
a?1,
?
0,1< br>?
是
f(x)
的递增区间，
f(x)
max
?f(1 )?a?2?a?2
；
当
0?a?1
时
f(x)
max< br>?f(a)?a?a?1?2,a?
所以
a??1
或
2
。
24．解：设最佳售价为
(50?x)
元，最大利润为
y
元，

y?(50?x)(50?x)?(50?x)?40


??x?40x?500

当
x?20
时，
y
取得最大值，所以应定价为
70
元。 < br>25．证明：任取
x
1
,x
2
?[?2,??)
，且
x
1
?x
2
，则
f(x
1
)?f(x2
)?

?
2
2
1?5
,
与
0?a?1
矛盾；
2
x
1
?2?x
2
?2

(x
1
?2?x
2
?2)(x
1
?2?x
2
?2)
x
1
?2?x
2
?2
?
x
1
?x
2

x
1
?2?x
2
?2
因 为
x
1
?x
2
?0,x
1
?2?x
2?2?0
，得
f(x
1
)?f(x
2
)

所以函数
f(x)?


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x?2
在
[?2,??)
上是增函数。

高中数学必修一必修二经典测试题100题（二）—— 孙庆仪

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