人教版高中数学全套试题1-1-2

1.1.2 余弦定理

双基达标
?限时20分钟?

( )． 1．在△ABC中，已知a＝9，b＝23，C＝150°，则c等于
A.39 B．83 C．102 D．73
解析 c
2
＝a
2
＋b
2
－2abcos C＝9
2
＋(23)
2
－2×9×23cos 150°＝147＝(73)
2
，∴c＝
73.
答案 D
2．在△ABC中，若a＝7，b＝43，c＝13，则△ABC的最小角为
π
A.
3

π
B.
6

π
C.
4

π
D.
12
( )．
解析 ∵ca
2
＋b
2
－c
2
49＋48－13
3
∴cos C＝＝＝.
2ab
2×7×43
2
π
∴C＝，故选B.
6
答案 B
c
2
－a
2
－b
2
3．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若>0，则△ABC
2ab

( )．
A．一定是锐角三角形
C．一定是钝角三角形


B．一定是直角三角形
D．是锐角或直角三角形
c
2
－a
2
－b
2
解析 ∵>0，∴c
2
－a
2
－b
2
>0.
2ab∴a
2
＋b
2
2
.∴△ABC为钝角三角形．故选 C.
答案 C
4．已知a，b，c为△ABC的三边，B＝120°，则a
2＋c
2
＋ac－b
2
＝________.
解析 ∵b
2
＝a
2
＋c
2
－2accos B＝a
2
＋c
2
－2accos 120°＝a
2
＋c
2
＋ac.
∴原式为0.
答案 0
5．在△ABC中，若(a－c)(a＋c)＝b(b＋c)，则A＝________.
解析 ∵(a－c)(a＋c)＝b(b＋c)，

∴a
2
－ c
2
＝b
2
＋bc，即b
2
＋c
2
－a< br>2
＝－bc.
b
2
＋c
2
－a
2
1
∴cos A＝＝－.
2bc2
∵0°答案 120°
1
6．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且cos A＝，a＝4，b＋c＝6，且b4
求b，c的值．
解 由余弦定理a
2
＝b
2
＋c
2
－2bccos A，
∴16＝(b＋c)
2
－2bc－
1
2
bc
∴bc＝8，
又∵b＋c＝6，b?
?
?
b＋c＝6，
?
?
bc＝8，


得b＝2，c＝4或b＝4，c＝2(舍)．
∴b＝2，c＝4.
综合提高
?限时25分钟?

7．在△ABC中，B＝60°，b
2
＝ac，则三角形一定是
A．直角三角形 B．等边三角形
C．等腰直角三角形 D．钝角三角形
解析 由余弦定理b
2
＝a
2
＋c
2
－ac，
∴a2
＋c
2
－2ac＝0，∴(a－c)
2
＝0，∴a＝c.
∵B＝60°，∴A＝C＝60°.
故△ABC为等边三角形．
答案 B
8．在△ABC中，AB＝5，AC＝3，BC＝7，则AB
→
·A
→
C等 于
A.
15
2
B．－
15
2
C.
153
2
D．15
AB
2
＋AC
2－BC
2
5
2
＋3
2
解析 ∵cos A＝
－ 7
2
1
2AB·AC
＝
2×5×3
＝－
2
，
∴AB
→
·AC
→
＝|AB
→
|·|AC→
|·cos∠BAC
＝5×3×
?
?
－
1
15
2
?
?
＝－
2
，故选B.
答案 B
9．在锐角△ABC中，边长a＝1，b＝2，则边长c的取值范围是________．
( )．
( )．

解析 ∵c
2
＝a
2
＋b
2
－2ab·cos C＝1＋4－4cos C＝5－4cos C.
π
又∵02
∴c
2
∈(1,5)．∴c∈(1，5)．
答案 (1，5)
10．已知等腰△ABC的底边BC＝2，腰AB＝4，则腰上的中线长为________．
b
2
＋c
2
－a
2
4
2
＋4
2
－2
2
7
解析 ∵cos A＝＝＝.
2bc
2×4×4
8
设其中一腰中线长为x，则x满足：
7
x
2
＝4
2
＋2
2
－2×4×2cos A＝20－16×＝6.∴x＝6.
8
答案 6
11．已知a，b，c分别是△A BC中角A，B，C的对边，且a
2
＋c
2
－b
2
＝ac.
(1)求角B的大小；
(2)若c＝3a，求tan A的值．
a
2
＋c
2
－b
2
1
解 (1)由余弦定理，得cos B＝＝.
2ac2
π
∵03
(2)法一 将c＝3a代入a
2
＋c
2
－b
2
＝ac，得b＝7a.
b
2
＋c
2
－a
2
57
由余弦定理，得c os A＝＝.
2bc14
∵02
A＝
sin A3
∴tan A＝＝.
cos A5
法二 将c＝3a代入a
2
＋c
2
－b
2
＝ac，得b＝7a.
由正弦定理，得sin B＝7sin A.
π
21
∵B＝，∴sin A＝.
314
又∵b＝7a>a，则B>A，
57
∴cos A＝1－sin
2
A＝.
14
sin A3
∴tan A＝＝.
cos A5
12．(创新拓展)在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且2asin A＝(2b＋c)sin B
＋(2c＋b)sin C.
(1)求A的大小；
21
.
14

(2)若sin B＋sin C＝1，试判断△ABC的形状．
解 (1)由已知，根据正弦定理得
2a
2
＝(2b＋c)b＋(2c＋b)c，
即a
2
＝b
2
＋c
2
＋bc.
由余弦定理a
2
＝b
2
＋c
2
－2bccos A，
1
故cos A＝－.
2
2π
又A∈(0，π)，∴A＝.
3
(2)由(1)中a
2
＝b
2
＋c
2
＋ bc及正弦定理，可得
sin
2
A＝sin
2
B＋sin
2
C＋sin Bsin C，
即
?
3
?
2
＝sin
2
B＋sin
2
C＋sin Bsin C，
?
2
?
1
又sin B＋sin C＝1，得sin B＝sin C＝，
2
π
又03
∴△ABC为等腰的钝角三角形．