高中数学选择题的几种解法

高中数学选择题的几种解法

高中数学选择题注重双基及基本方法、逻辑思维 与直觉思维能力,以及观
察、分析、比较、选择简捷运算方法的能力。解答选择题的基本原则应是小题不
能大做、小题需小做、繁题要简做、难题要巧做。求解选择题的方法是以直接思
路肯定为主,间 接思路否定为辅,即求解时除了用直接方法之外还可以用逆向化
策略、特殊化策略、图形化策略、整体化 策略等方法求解。此外,还应注意选择
题的特殊性,充分利用题干和选择支提供的信息,灵活、巧妙、快 速求解。下面介
绍解答数学选择题时常用的几种方法。
一 直接法
从题设条件出发 ,通过正确的运算、推理或判断,直接得出结论再与选择项对照,从而作出选择
的一种方法。运用此方法 解题需要扎实的数学基础。
1、已知f(x)=x(sinx+1)+ax
2
,f( 3)=5,则f(－3)=………………………………………………………
( )
(A)－5 (B)－1 (C)1 (D)无法确定
例1、设集合
A
和
B
都是自然数集合
N< br>，映射
f:A?B
把集合
A
中的元素
n
映射
到集合
B
中的元素
2
n
?n
，则在映射
f
下，象20的原象是 （ ）
?
A
?
2

?
B
?
3

?
C
?
4

?
D
?
5

解：由映射概念可知
2
n?n?20,
可得
n?4
.故选
?
C
?
. < br>例2、如果
log
7
?
log
3
?
log< br>2
x
?
?
?0
，那么
x
?
1
2
等于（ ）
?
A
?
1

3

?
B
?
3

6
?
C
?
3

9
?
D
?
2

4
解：由题干可得：
log
3
?
log
2
x
?
?1?log
2
x?3
?x?2
3
.

?x
?
1
2
?2
?
3
2
?
2
.
故选
(D )
.
4

例1．一个首项为23，公差为整数的等差数列，如果前6项均为正数，第7项起为负数，
则它的公差是 （ ）
（A）－2 （B）－3 （C）－4 （D）－5

?
23
?
?
d
??
?
?
2323
?
5
解：.
?
a
6
?
0
?
?
23
?
5
d
?
0
?
?
???
d
??
,又d为整数,
???56
?
a
7
?
0
?
23
?
6
d
?
0
?
d
??
23
?
??5
?
?
?
∴d=–4.故选（C）.
从以上例题可以看出，解 一元数学选择题，当得出的符合题意的结论与某选择支
相符时，便可断定该选择支是正确的.

二 特例法
运用满足题设条件的某些特殊数值、特殊位置、特殊关系、特殊图形、特殊数列、
特殊函数等对各选择项进行检验或推理,利用问题在某一特殊情况下不真,则它
在一般情况下也 不真的原理,由此判明选项真伪的方法。用特例法解选择题时,
特例取得越简单、越特殊越好。特例法包 括:特殊值法、特殊函数法、特殊方程
法、特殊数列法、特殊位置法、特殊点法等。
1. 特殊值法
2. 例7、
a?b?1,P?lga?lgb,Q?
1a?b
?
?
lga?lgb
?
,R?lg
?
??
，则 （ ）
2
?
2
?
?
A
?
R?P?Q

?
B
?
P?Q?R

?
C
?
Q?P?R

?
D
?
P?R?Q

解：由
a?b?1,不妨取
a?100,b?10
，则
33
?
100?10
?
P?2,Q?,R?lg
??
?lg100?10?.
故选
?B
?
.
22
?
2
?
注：本题也可尝试利用基本不等式进行变换.

例如：（07全国2）设
F
为抛物线
y
2
?4x
的焦点，
A，B，C
为该抛物线上三 点，若
FA?FB?FC?0
，则
FA?FB?FC?
（ ）
A．9 B．6 C．4 D．3
发现有A、B、C三个动点，只有 一个
FA?FB?FC?0
条件，显然无法确定
A、B、
C的位置，可令C为 原点，此时可求A、B的坐标，得出答案B。 抓住题目叙述的关键点，
往往能够排除很多选项，达到出奇制胜的效果。

?< br>x
2
，x≥1，
?
g(x)
是二次函数，若 例如：（ 07浙江）设
f(x)?
?
x?1，
?
?
x，
f( g(x))
的值域是
?
?
，则
g(x)
的值域是（ ）
?
0，∞
A．
C．
?1
??
1，∞?
?

?
?∞，
B．
D．
?1
??
0，∞?
?

?
?∞，
?
?

?
0，∞

?
?

?
1，∞
看到二次函数的条件，应该排除A,B选项。此题最终应选择C。
例3.直线xcosθ－y＋1=0的倾斜角的范围是 （ ）
（A）[－
???
3?
, ] （B）[, ]
444
4
3?
?
π
?
)∪(, π) （D ）
?
0，
?
4
?
4
4
??
?3
?

π
，π
?
?
4
??
（C）(0,
解: 因为直线倾斜角的范围是
?
?
0，π
?
,所以,可将答案(A)淘汰 ;又因θ=0时,cosθ=1,满
足条件,而答案(B)与(C)不含0,所以再淘汰答案（B）与( C).故选答案(D)
例4. 已知函数y＝
x
,那么（ ）
x?1
（A）当x∈（－∞，1）或x∈（1，＋∞）时，函数单调递减
（B）当x∈（－∞，1）∪（1，＋∞）时，函数单调递增
（C）当x∈（－∞，－1）∪（－1，＋∞）时，函数单调递减
（D）当x∈（－∞，－1）∪（－1，＋∞）时，函数单调递增
解: x=1时函数无意义 ,所以淘汰答案(C)、（D）；又因为x=2时，y=2，而x=3时，y=
所以,答案(B)不对. 从而选答案(A).


例6: 体积为9的三棱柱ABC-A
1
B
1
C
1
中，M是侧棱CC
1
上一点，
三棱锥M-ABC是体积2. 则三棱锥M-A
1
B
1
C
1
的体积为
A、
3
B、1 C、2 D、3
2
3
.
2
解: 将三棱柱ABC-A
1
B
1
C
1
看成正三棱柱,底面面积为1,高为9, 则M C=6, MC
1
=3. 从而,
三棱锥S-A
1
B
1
C
1
的体积为

1
?1?3?1
.故选答案(B).
3

.3、图象法
通过画图象作出判断的方法称为图象法. 利用函数图像或数学 结果的几何意义,
将数的问题(如解方程、解不等式、求最值,求取值范围等)与某些图形结合起来,< br>利用几何图形的直观几性,再辅以简单计算,确定正确答案的方法。
例3、方程
x
?sinx
的实数解的个数为 （ ）
100
?
A
?
61

解：令
y?

?
B
?
62

?
C
?
63

?
D
?
64

x
,y?sinx
，这两个 方程的曲线交点的个数就是原方程实数解的个
100
11
x
的斜率为数.由于 直线
y?
，又
?1?sinx?1.
所以仅当
?100?x?100
时，
100100
两图象有交点.由函数
y?sinx
的周期性，把 闭区间
?
?100,100
?
分成
?
?100,2
?
?16?1
?
?
?
,
?
2k
?
,2
?
k?1
?
?
?
,
?
2?15
?
,10
?
0.
(k??15,?14,?,?2,?1,0,1,2,? ,14),
共
32
个区间，在每个区间上，两图象都有两个交点，注意到原点多计一次 ，故
实际交点有
63
个.即原方程有63个实数解.故选
(C)
< br>例11、方程
lg
?
x?4
?
?10
x
的根 的情况是 （ ）
?
A
?
仅有一根
?
B
?
有一正根一负根
?
C
?
有两个负根
?
D
?
没有实数根
解：令
y
1
?10< br>x
,y
2
?lg
?
x?4
?
.
画草 图（略）.
当
x?0
时，
y
1
?10
x
?1,y
2
?lg
?
x?4
?
?lg4.?y
1< br>?y
2
.
1
,y
2
?lg
?
x? 4
?
?lg3.?y
1
?y
2
.

10< br>1
,y
2
?lg
?
x?4
?
?lg1?0. ?y
1
?y
2
. 当
x??3
时，
y
1< br>?10
x
?
1000
当
x??1
时，
y1
?10
x
?
由此可知，两曲线的两交点落在区间
x?
?
?3,0
?
内.故选
?
C
?
.
例12 、已知
E?
?
x,y
?
y?x
2
,F?
?
x,y
?
x
2
?
?
y?a
?
?1
，那么使
E?F?F
成
2
??
??
立的充要条件是 （ ）
?
A
?
a?
5

4

?
B
?
a?
5

4

?
C
?
a?1

?
D
?
a?0

2
解：
? E
为抛物线
y?x
2
的内部（包括周界），
F
为动圆
x
2
?
?
y?a
?
?1
的内
部（包括周 界）.该题的几何意义是
a
为何值时，动圆进入区域
E
，并被
E所覆盖.
（图略）
?a
是动圆圆心的纵坐标，显然结论应是
a?c?
c?R
?
?
，故可排除
?
B
?
,< br>?
D
?
，而
当
a?1
时，
E?F?F.（可验证点
?
0,1
?
到抛物线上点的最小距离为

从以上例题可以看出，解一元数学选择题，当得出的符合题意的结论与某选
3
）.故选
?
A
?
.
2
择支相符时，便可断定该选择支是正确的.

四 代入验证法
将选择支中给出的答案或其特殊值,代入题干逐一验证是否满足题设条件,然 后
选择符合题设条件的选择项的一种方法。
将选择支代入题干或将题干代入选择支进行检验，然后作出判断的方法称为
代入法.
例9、满足
7x?3?x?1?2
的值是 （ ）
?
A
?
x?3

?
B
?
x?
3

7
?
C
?
x?2

?
D
?
x?1

分析：找最简单的选择支代入，并根据正确 支是唯一的可知选
?
D
?
.
注：本问题若从解方程去找正确支实属下策.
1
例10、已知
0?a?1, b?1且ab?1.则M?log
a
,N?log
a
b,

b
1
P?log
b
.三数大小关系为 （ ）
b?
A
?
P?N?M
?
B
?
N?P?M
?
C
?
N?M?P
?
D
?
P?M?N
< br>解：由
0?a?1,b?1知M?0,N?0.
又
P??1?0.
代入 选择支检验
?
C
?
,
?
D
?
被排