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1全国高中数学联赛试题及解答

作者:高考题库网
来源:https://www.bjmy2z.cn/gaokao
2020-09-15 03:17
tags:高中数学题

高中数学错题到底怎么整理-高中数学与信息技术整合课教案


二○○一年全国高中数学联合竞赛题
(10月4日上午8:00—9:40)
题号
得分
评卷人
复核人









13



14



15



合计



加试



总成绩



学生注意:1、本试卷共有三大题(15个小题),全卷满分150分。
2、用圆珠笔或钢笔作答。
3、解题书写不要超过装订线。
4、不能使用计算器。
一、 选择题(本题满分36分,每小题6分)
本题共有6个小是题,每题均给出(A)(B)(C)(D) 四个结论,其中有且仅有一个是正确的。请
将正确答案的代表字母填在题后的括号内,每小题选对得6分 ;不选、选错或选的代表字母超过一个(不
论是否写在括号内),一律得0分。
1、已知a为 给定的实数,那么集合M={x|x
2
-3x-a
2
+2=0,x∈R}的子 集的个数为
(A)1 (B)2 (C)4 (D)不确定
2、命题1:长方体中,必存在到各顶点距离相等的点;
命题2:长方体中,必存在到各棱距离相等的点;
命题3:长方体中,必存在到各面距离相等的点;
以上三个命题中正确的有
(A)0个 (B)1个 (C)2个 (D)3个
3、在四个函数y=sin|x|, y=cos|x|, y=|ctgx|, y=lg|sinx|中以?为周期、在(0,
?
)上单调递增的偶函数是
2
(A)y=sin|x| (B)y=cos|x| (C)y=|ctgx| (D)y=lg|sinx|
4、如果满足∠ABC=60°,AC=12,BC=k的⊿ABC恰有一个,那么k的取值范围是
(A)k=8
3
(B)0

1< br>1
2
2 (D

)05 、若(1+x+x2)1000的展开式为a0+a1x+a2x2+…+a2000x2000,则a0+a3 +a6+a9+…+a1998的值为
(A)3333 (B)3666 (C)3999 (D)32001
6、已知6技玫瑰与3枝康乃馨和价格之和大 于24元,而4技玫瑰与5枝康乃馨和价格之和小于22元,
则2 枝玫瑰的价格和3枝康乃馨的价格比较结果是
(A)2枝玫瑰价格高 (B)3枝康乃馨价格高(C)价格相同 (D)不确定
填空题(本题满分24分,每小题9分)
本题共有6小题,要求直接将答案写在横线上。
7、椭圆
?
?
1
的短轴长等于。
2?cos
?
3
-I,则z
1
z
2
=。
2
8、若复数z
1
,z
2
满足|z
1
|= 2,|z
2
|=3,3z
1
-2z
2
=
9、正方体 ABCD—A
1
B
1
C
1
D
1
的棱长为1 ,则直线A
1
C
1
与BD
1
的距离是。
10、不等式
13
?2?
的解集为。
log
1
x2
2
1 7


11、函数
y?x?x
2
?3x?2
的值域为。
F
E
A
12、在一个正六边形的六个区域栽种观赏植物(如图),要求 同一场块中种同一种植物,
相邻的两块种不同的植物。现有4种不同的植物可供选择,则有种栽种方案。
二、解答题(本题满分60分,每小题20分)
13、设{a
n
}为等差数 列,{b
n
}为等比数列,且
b
1
?a
1

b
2
?a
2

b
3
?a
3
(a
1
2
),

n???
2
2
B
C
D
2
lim(b
1
?b
2
???b
n
)?2?1
,试求{a
n
}的首项与公差。
x
2
2
2
14、设曲线C
1
:
2
?y?1
(a为正常数)与C
2
:y=2(x+m) 在x轴上方公有一个公共点P。
a
(1) 求实数m的取值范围(用a表示);
(2) O为原点,若C
1
与x轴的负半轴交于点A,当01
时,试求⊿OAP的面积的最大值(用a表示)。
2
15、用电阻值分别为a
1、a
2
、a
3
、a
4
、a
5
、a6
、(a
1
>a
2
>a
3
>a
4>a
5
>a
6
)的电阻组装成一个如图的组件,在组装中
应如何 选取电阻,才能使该组件总电阻值最小?证明你的结论。








二○○一年全国高中数学联合竞赛加试试卷
(10月4日上午10:00—12:00)
学生注意:1、本试卷共有三大题,全卷满分150分。
2、用圆珠笔或钢笔作答。
3、解题书写不要超过装订线。
4、不能使用计算器。
一、(本题满分50分)
如图:⊿ABC中,O为外心,三条高AD 、BE、CF交于点H,直线ED和AB交于
点M,FD和AC交于点N。求证:(1)OB⊥DF,O C⊥DE;(2)OH⊥MN。

二、(本题满分50分)
设x
i
≥0(I=1,2,3,…,n)且
?
x
i?1
n
2
i< br>?2
1?k?j?n
?
n
k
x
k
x
j
?1
,求
?
x
i
的最大值与最小值。
j
i?1
三、(本题满分50分)
将边长为正整数m,n的矩形划分成若干 边长均为正整数的正方形,每个
正方形的边均平行于矩形的相应边,试求这些正方形边长之和的最小值。

2 7


2001年全国高中数学联合竞赛试卷参考答案及评分规范
一.选择题:CBDDCA
二.填空题
7.
23
3
8.
2
?
3072
?i
1313
9.
6
6

10.
(0,1)?(1,2
7
)?(4,??)
11.
[1,
3
)?[2,??)
2
12. 732
三.解答题
2
(a
1
?2d)
2
?(a
1
?d)
4
化简得:13.设所求公差为d,∵a
1
<a< br>2
,∴d>0.由此得
a
1
2a
1
2
?4a
1
d?d
2
?0

解得:
d?(?2?2)a
1
……………………………………………………… 5分

?2?2?0
,故a
1
<0

d?( ?2?2)a
1
,则
q?
2
a
2
a
12
?(2?1)
2

2
a
2

d?(?2?2)a
1
,则
q?
a
1
2
?(2? 1)
2
……………………………… 10分但
n???
lim(b
1
?b
2
???b
n
)?2?1
存在,故| q |<1, 于是
q?(2?1)
2
不可能.从而
a
1
2
?2? 1?a
1
2
?(22?2)(2?1)?2

1?(2?1)
2
所以
a
1
??2,d?(?2? 2)a
1
?22?2
……………………………… 20分
?
x< br>2
2
?
2
?y?1
14.解:(1)由
?
a
消去y得:
x
2
?2a
2
x?2a
2
m?a
2
?0
① 设
?
y
2
?2(x?m)
?
f(x)?x
2
?2a
2
x?2a
2
m ?a
2
,问题(1)化为方程①在x∈(-a,a)上有唯一解或等根.只需讨论以下三种a
2
?1
情况:1°△=0得:
m?
,此时x
p
=-a
2
,当且仅当-a<-a
2
<a,即0<a<1时适合;2°f (a)f (-
2
a)<0,当且仅当-a<m<a;
3°f (-a)= 0得m=a,此时x
p
=a-2a
2
,当且仅当-a<a-2a
2< br><a,即0<a<1时适合.f (a)=0得
a
2
?1
m=-a,此 时x
p
=-a-2a,由于-a-2a<-a,从而m≠-a.综上可知,当0<a<1时,< br>m?
2
22
3 7


或-a<m≤a;当a≥1时,-a<m<a.……………………………………………… 10分
(2)△OAP的面积
S?
1
1
ay
p
∵ 0<a<,故-a<m≤a时,0<
?a
2
?aa
2
?1?2m<a,由唯一性
2
2

x
p
??a
2
?aa
2
?1?2m

显然当m=a时,x
p
取值最小.由于x
p
>0,从而y< br>p

1?
2
x
2
p
a
2
取 值最大,此时
y
p
?2a?a
2
,∴
1
a
2
?1
S?aa?a
.当
m?
时,x
p
=-a2
,y
p

1?a
2
,此时
S?a1?a2
.下面比较
aa?a
2

2
2
111
a1?a
2
的大小:令
aa?a
2
?a1?a
2
,得
a?

2
23
1111
1
故当0<a ≤时,
aa?a
2

a1?a
2
,此时
S
max
?a1?a
2
.当
?a?
时,
2232
3< br>1
aa?a
2
?a1?a
2
,此时
S
max
?aa?a
2
.……… 20分
2
15.解:设6个电阻的组件 (如图3)的总电阻为R
FG
,当R
i
=a
i
,i=3, 4,5,6,R
1
、R
2
是a
1
、a
2

任意排列时,R
FG
最小 …………………………………………………… 5分
证明如下: 1.设当两个电阻R
1
、R
2
并联时,所得组件 阻值为R,则
111
??
.故交换二电
RR
1
R
2
阻的位置,不改变R值,且当R
1
或R
2
变小时,R也减小,因此不 妨取R
1
>R
2

2.设3个电阻的组件(如图1)的总电阻为< br>R
AB
R
AB
?
RR?R
1
R
3< br>?R
2
R
3
R
1
R
2
?R
3
?
12

R
1
?R
2
R
1
?R
2
显然R
1
+R
2
越大,R
AB
越小,所以为使R
A B
最小必须取R
3
为所取三个电阻中阻值最小的—个.
3.设4个电阻的组 件(如图2)的总电阻为
R
CD
111
??
R
CD
R
AB
R
4
?
R
1
R
2
?R1
R
3
?R
1
R
4
?R
2
R
3
?R
2
R
4
R
1
R
2
R
4
?R
1
R
3
R
4
?R
2R
3
R
4
若记
S
1
?
1?i ?j?4
?
RR
ij
,S
2
?
i
1?i? j?k?4
?
RRR
jk
,则S
1

S
2
为定值,于是
R
CD
?
S
2
?R
1
R
2
R
3
只有当R
3
R
4
最小 ,R
1
R
2
R
3
最大时,R
CD
最小,故 应取R
4
<R
3

S
1
?R
3
R
4
R
3
<R
2
,R
3
<R
l,即得总电阻的阻值最小 …………………………………………………………………………
15分
4 7


4°对于图3把由R
1
、R2
、R
3
组成的组件用等效电阻R
AB
代替.要使R
F G
最小,由3°必需使R
6
<R
5

且由1°应使R
CE
最小.由2°知要使R
CE
最小,必需使R
5
<R
4
,且应使R
CD
最小. 而由3°,要使
R
CD
最小 ,应使R
4
<R
3
<R
2
且R
4
<R3
<R
1
, 这就说明,要证结论成
立………………………………………………………………20分
2001年全国
合竞赛加试
评分规范

一.证明:(1)
点 共圆∴∠BDF=
高中数学联
参考答案及
∵A、C、D、F四
∠BAC又∠O BC=
=90°-∠BAC∴
1
(180°-∠BOC)
2
OB⊥D F.
(2)∵CF⊥MA∴MC
2
-MH
2
=AC
2-AH
2
①∵BE⊥NA∴NB
2
-NH
2
=AB2
-AH
2
②∵DA⊥BC∴BD
2

CD
2
=BA
2
-AC
2
③∵OB⊥DF∴BN
2
-BD
2
=ON
2
-OD
2
④∵OC⊥DE∴CM
2-CD
2
=OM
2
-OD
2
⑤…………………………… ……… 30分①-②+③+④-⑤,得NH
2
-MH
2
=ON
2
-OM
2
MO
2
-MH
2

NO
2
-NH
2
∴OH⊥MN…………………………………………………………………… 50分
另证:以BC所在直线为x轴,D为原点建立直角坐标系, 设A(0,a),B(b,0),C(c,0),则
aaac
,k
AB
??
∴直线AC的方程为
y??(x?c)
,直线BE的方程为
y?(x?b)< br>
cbca
c
?
y?(x?b)
?
a
2c?bc
2
ac
2
?abc
?
a
,

?
得E点坐标为E(
2
)
222
a
a?c a?c
?
y??(x?c)
?
c
?
k
AC
??
a
2
b?b
2
cab
2
?abc
,< br> 同理可得F(
2
)
a?b
2
a
2
?b
2
acc
?(x?)

2a2
b?c
直线BC的垂直平分线方程为
x?

2
acc
?
y??(x ?)
?
b?cbc?a
2
?
2a2

?
得O()
,
22a
?
x?
b?c
?
2
?
直线AC的垂直平分线方程为
y?

k
OB
DE.
bc?a
2
bc?a
2
2a
??
b?c
ac?ab
?b
2
,k
DF
ab
2
?abcab?ac
?
2
?

k
OB
k
DF
??1
∴OB⊥DF同理可证OC⊥
ab?b
2
ca
2
?bc
5 7


在直线BE的方程
y?
bc
c
)∴
k< br>OH
(x?b)
中令x=0得H(0,
?
a
a
ab? ac
x

2
a?bc
bc?a
2
bc
?< br>a
2
?3bc
2aa
??

b?c
ab?ac
2
直线DF的方程为
y?
ab? ac
?
y?x
?
a
2
c?bc
2
abc? ac
2
?
a
2
?bc
,
2

?
得N (
2
)
22
a
a?2bc?ca ?2bc?c
?
y??(x?c)
?
c
?
a
2b?b
2
cabc?ab
2
,
同理可得M(
2
)
a?2bc?b
2
a
2
?2bc?b
2

k
MN
a(b
2
?c
2
)(a
2
?bc)ab?ac
∵k
OH
·k
MN
=-1,∴OH⊥MN.
???
(c?b)(a
2
?bc)(a
2
?3bc)a2
?3bc
二.解:先求最小值,因为
(
?
x)?
?< br>2
i
i?1i?1
i
nn
x
i
2
? 2
1?k?j?n
?
k
x
k
x
j
?1?< br>j
?
x
i?1
n
i
≥1等号成立当且仅当
存 在i使得x
i
=1,x
j
=0,j=i∴
10分
?
x
i?1
n
最小值为1. ……………………………………………………………
再求最大值,令
x
k
?ky
k

?
k?1
n
2
ky
k
?2
1?k?j?n
?
kyy
kj
?1
①设
M?< br>?
x
k
?
?
ky
k
, 令
k?1k ?1
nn
?
y
1
?y
2
?
?
?y
n
?a
1
?
y
2
?
?
?y
n
?a
2
?

?
??
?
?
y< br>n
?a
n
?
22
???a
n
?1
… ………………………………………………… 30分 令
a
n?1
=0, 则①?
a
1
2
?a
2

nnnnnn
M?
?
k?1
k(a
k
?a
k?1
)?
?k?1
ka
k
?
n
?
k?1
ka
k? 1
?
?
k?1
1
2
ka
k
?
n< br>?
k?1
n
k?1a
k
?
?
(
k? 1
k?k?1)a
k

由柯西不等式得:
M?[

?
?
k?1
(k?k?1)](

2
?
k?1
2
2
a
k
)
1
?[
?
k? 1
(k?k?1)
2
]
2

成立
1
22< br>a
k
a
n
a
1
2
?
?
??
?
?
2
1
(k?k?1)(n?n?1)
2
6 7


?
22
a
1
2
?a
2
?
?
?a
n
1?(2?1)
2
?
?
?(n ?n?1)
2
?
2
a
k
(k?k?1)
2
?a
k
?
[
k?k?1
?
(
k?1
12
n
(k=1,2,…,n)
1
2
k?k?1)
2
]
由于a
1
≥a
2
≥…≥a
n
,从而
y
k
?a
k?a
k?1
?
2k?(k?1?k?1)
[
?
(
k?1
n
?0
,即x
k
≥0所求最大值为
k?k?1)< br>2
]
[
?
k?1
n
(k?k?1)
2
]
2
…………………………………………… 50分
1
三.解:记所求最小值为f (m,n),可义证明f (m,n)=rn+n-(m,n) (*)其中(m,n) 表示m和n的最大
公约数 …………………………………………… 10分 事实上,不妨没m≥n
(1)关于m归纳,可以证明存在一种合乎题意的分法,使所得正方形边长之和恰为rn+n-(m,n)
当用m=1时,命题显然成立.
假设当,m≤k时,结论成立(k≥1). 当m=k+1时,若n=k+1,则命题显然成立.若n<k+1,从
矩形ABCD中切去正方形AA< br>1
D
1
D(如图),由归纳假设矩形A
1
BCD
1< br>有一种分法使得所得正方形边长之和恰
为m—n+n—(m-n,n)=m-(m,n),于是原 矩形ABCD有

D

D
1
C
一种分法使得所得正方形边长之和为rn+n-(m,
n)…………………………………… 20分 (2)关于m归纳
n
可以证明(*)成立. 当m=1时,由于n=1,显然f (m,n)
=rn+n-(m,n)
假设当m≤k时,对任意1≤n≤m有f (m,n)=rn+n-(m,
m
A
1
A B
n)
若m=k+1,当n=k+1时显然f (m,n)=k+1=rn+n-(m,n). 当1≤n≤k时,设矩形ABCD
按要求分成了 p个正方形,其边长分别为a
l
,a
2
,…,a
p
不妨a< br>1
≥a
2
≥…≥a
p

显然a
1
=n或a
1
<n.
若a
1
<n,则在AD与BC之间的与AD平行的任一直线至少穿过二个分成的正方形 (或其边界).于
是a
1
+a
2
+…+a
p
不小于 AB与CD之和. 所以a
1
+a
2
+…+a
p
≥2m>rn+n-(m,n)
若a
1
=n,则一个边长分别为m-n和n的矩形可按题目要求分成边长分别 为a
2
,…a
p
的正方形,由归
纳假设a
2
+…+ a
p
≥m-n+n-(m-n,n))=rn-(m,n)
从而a
1
+a
2
+…+a
p
≥rn+n-(m,n)
于是当rn=k+1时,f (m,n)≥rn+n-(m,n)
再由(1)可知f (m,n)=rn+n-(m,n). ………………………………………… 50分


7 7

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