人教版高中数学全套教材例题习题改编(高考必做,高考题来源)

人教A版必修1课本例题习题改编
1.原题(必修1第七页练习第三题（3 ））判断下列两个集合之间的关系：
A=
x|x是4与10的公倍数，x?N
?
，B?
?
x|x?20m,m?N
?
?

改编 已知集 合
M?
?
x
??
x
?
x
??
x< br>?
?N
?
且?N
?
?
，集合
N?
?
x?Z
?
，则（ ）
10
?
4
??
40
?
C．
M
A．
M?N
B．
N?M

?
x
?
N?
?
x?Z
?

?
20
?
D．
M
?
x
?
N?
?x?N
?
?

?
40
?
解：
M?xx?20k,k?N
?
，
N?xx?40k,k?Z
，故选D .
2.原题（必修1第十二页习题1.1B组 第一题）已知集合A={1，2}，集合B满足A∪B={1，
2}，则这样的集合B有 个.
改编1 已知集合A、B满足A∪B={1，2}，则满足条件的集合A、B有多少对？请一一写
出来．
解：∵A∪B={1，2}，∴集合A，B可以是：?，{1，2}；{1}，{1，2}；{1}，{2}； {2}，{1，
2}；{2}，{1}；{1，2}，{1，2}；{1，2}，{1}；{1，2}， {2}；{1，2}，?．则满足条件的
集合A、B有9对.
改编2 已知集合
A
有
n
个元素，则集合
A
的子集个数有 个，真子集个数有 个
解：子集个数有
2
个，真子集个数有
2?1
个
改编3 满足条件
nn
??
??
?
1,2
?
A?
?
1,2,3
?
的所有集合
A
的个数是 个
解：3必 须在集合
A
里面，
A
的个数相当于2元素集合的子集个数，所以有4个.
3.原题（必修1第十三页阅读与思考“集合中元素的个数”）改编 用
C(A)
表示 非空集合
A
中的元素个数，定义
?
C(A)?C(B),当C(A)?C(B )
A?B?
?
?
C(B)?C(A),当C(A)?C(B)
,若< br>A?
?
1,2
?
,B?x(x
2
?ax)(x
2
?ax?2)?0
，且
A?B?1
,则由实数
a
的所有 可能取值构
成的集合
S
= .
??
1,2
?
得C(A)?2
，而
A?B?1
，故
C(B?1)或C(B?3)
．由解：由
A?
?
(x
2
?ax)(x
2
?ax?2)?0
得
(x
2
?ax )?0或(x
2
?ax?2)?0
．
当
C(B)?1
时，方程
(x?ax)(x

22
?ax?2)?0
只有实根
x?0
，这时
a?0
．
1

当
C(B)?3
时，必有
a?0
，这时< br>(x?ax)?0
有两个不相等的实根
x
1
?0, x
2??a
，方
程
(x?ax?2)?0
必有两个相等的实根，且异于
x
1
?0, x
2
??a
，有
Δ?a?8?0,
∴
22
2
a??22
，可验证均满足题意，∴
S??22,0,22
．

4.原题（必修1第二十三页练习第二题）改编1 小明骑车上学，开始时匀速行驶，途中因
交通堵塞停留了一段时间，后为了赶时间加快速度行驶. 与以上事件吻合得最好的图象是
??

解：先分析小明的运动规律，再结合图象作出 判断.距学校的距离应逐渐减小，由于小明先
是匀速运动，故前段是直线段，途中停留时距离不变，后段 加速，后段比前段下降得快， 答
案选
C
．
改编2 汽车经过启动、加速行 驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把这一过程中汽车的
行驶路程s看作时间t的函数，其图象可能是 （ ）


解：汽车加速行驶时，速度变化越来越快，而汽车匀速行驶时，速度保持 不变，体现在s
与t的函数图象上是一条直线，减速行驶时，速度变化越来越慢，但路程仍是增加的．答 案：
A．

?
0,x?0，
5.原题（必修1第二十四页习题1. 2A组第七题）画出下列函数的图象：（1）F(x)=
?
?
1,x>0;

2

?
1,x为有理数，
改编 设函数D(x)=
?
则下列结论错误的是( )

?
0,x为无理数，

A．D(x)的值域为{0,1} B． D(x)是偶函数 C．D(x)不是周期函数 D．D(x)不是
单调函数

解：由已知条件可知,D(x)的值域是{0,1},选项A正确;当x是有理数时,-x也 是有理数,且
D(-x)=1,D(x)=1,故D(-x)=D(x),当x是无理数时,-x也是无 理数,且D(-x)=0,D(x)=0,即
D(-x)=D(x),故D(x)是偶函数,选项B正确 ;当x是有理数时,对于任一非零有理数a,x+a是
有理数,且D(x+a)=1=D(x),当x是 无理数时,对于任一非零有理数b,x+b是无理数,所以
D(x+b) =D(x)=0,故D(x) 是周期函数,（但不存在最小正周期）,选项C不正确;由实数的连
续性易知,不存在区间I,使D(x )在区间I上是增函数或减函数，故D(x)不是单调函数,选项
D正确. 答案：C ．
6.原题（必修1第二十四页习题1.2A组第十题）改编 已知集合
A?
?
1,2
?
,B3?
?
,1,4
?
,2
．
, 3
定义映射
f:A?B
，则满

足点
A(1f,
.
(B1)f)
3
,C(
?ABC
f
且
AB=B C
的映射的个数为 构成
解：从
A
到
B
的映射有
4?64
个，而其中要满足条件的映射必须使得点A、B、C不共线且
AB=BC
，结 合图形可以分析得到满足
f(3)?f(1)?f(2)
即可，则满足条件的映射有
1 1
m?C
4
?C
3
?12
个．
7.原题（必修1 第二十五页习题1.2B组第二题）画出定义域为
x?3?x?8,且x?5
，值
域为
y?1?y?2,y?0
的一个函数的图像，（1）将你的图像和其他同学的比较，有什么差别吗？（2）如果平面直角坐标系中点
P（x,y）
的坐标满足
?3?x?8< br>，
?1?y?2
，那
么其中哪些点不能在图像上？
改编 若函数< br>y?f(x)
的定义域为
x?3?x?8,x?5
，值域为
y?1?y ?2,y?0
，
则
y?f(x)
的图象可能是（ ）
??
??
????

A B C D
解：根据函数的概念，任意一个
x
只能有唯一的
y
值和它对应， 故排除C；由定义域为
?
x?3?x?8,x?5
?
排除A、D,选B.

3

8.原题（必修1第二十五页习题1.2B组第三题 ）函数
f(x)?[x]
的函数值表示不超过
x
的最
3
?< br>时，写出函数
f(x)
的解析式，大整数，例如，
[?3.5]??4
；
[2.1]?2
；当
x?
?
?2.5，　
并作出函数的图 象．
改编1 对于任意实数
x
，符号
[x]
表示
x
的整数部分，即
[x]
是不超过
x
的最大整数，例如
，它在数学本 身和生产实
[2]?2
；
[2.1]?2
；
[?2.2]??3．函数
y?[x]
叫做“取整函数”
践中有广泛的应用，则
[log3
1]?[log
3
2]?[log
3
3]???[log3
26]
的值为 ．
解：由题意得，∵
3
0
?1
，
3
１
?３
，
3
２
?９
，
3
３
?２7
．∴原 式中共有２个０，６个１，
１８个２，故原式＝
2?0?6?1?18?2?42
．
改编2 已知函数
f(x)=x-[x],
其中
[x]
表示不超过实数
x
的最大整数. 若关于
x
的方程
f(x)=kx+k
有三个不同的实根, 则实数k的取值范围是
.
1
A.[?1,??)?(,?]???????B.(?1,??]?[,?)???? ?C.[?,??)?(,1]??????D.(?,??]?[,1)?
243243342342

解：画出f(x)的图象(如右图), 与过定点
(-1, 0)
的直线y=kx+k=k(x+1) 有三个不同的公共
点, 利用数形结合的办法, 可求得直线斜率k的取值范围为
(?1,??]?[,?)
. 答案：B
．









改
1
2
11
43
编3
对于任意实数x，符号< br>?
x
?
表示x的整数部分，即
?
x
?
是不超 过x的最大整数．这个函数
?
x
?
叫做“取整函数”，它在数学本身和生产实 践中有广泛的应用．那么，
（1）
?
log
2
1
?
+
?
log
2
2
?
+
?
log
2
3
?
+
?
log
2
4
?
+…… +
?
log
2
1024
?
=
（2）设
f
?
x
?
?
?
?
x?< br>?
x
?
?
?
,x?
?
1,3
?，则
f
?
x
?
的值域为
解：（1）
?
log
2
1
?
=0，
?log
2
2
?
=
?
log
2
3
?
=1，
?
log
2
4
?
=
?
log
2
5
?
=
?
log
2
6
?
=
?
log
2
7
?
=2，
?
lo g
2
8
?
=
?
log
2
9
?=……=
?
log
2
15
?
=3，
?
log
2
16
?
=
?
log
2
17
?
=……=
?
log
2
31
?
=4，…… ?
log
2
512
?
=
?
log
2< br>512
?
=……=
?
log
2
1023
?< br>=9，
?
log
2
1024
?
=10，

4

则原式=
1?2?2?2
2
?3?2
3
?4?2
4
+
值为8204.
+9?2
9+10
，用“错位相减法”可以求出原式的
（2）
x?
?
1,2
?
时，
?
x
?
?1,f
?
x
?< br>?1;x?
?
2,2.5
?
时，
?
x
??2,f
?
x
?
?4
；
x?
?
2. 5,3
?
时，
?
x
?
?2,f
?
x
?
?5;x?3时，
?
x
?
?3,f
?
x
?
?9
；故
x?
?
1,3
?
时
f
?
x
?
的值域
为
?
1,4,5,9
?
答 案：（1）8204； （2）
?
1,4,5,9
?
．
改编4 函数
f
?
x
?
?
?
?
x
?
x
?
?
?
，x?
?
?2,2
?
的值域为 .
解：当
x?
?
?2,?1
?
时，
?
x
?
??2
，
?2x?
?
2,4
?
,f?
x
?
?
?
?2x
?
?{2,3,4}
；当
x?
?
?1,0
?
时，
，}
；当
x ?
?
0,1
?
时，
?
x
?
?0
，
f
?
x
?
?0
；当
?
x
?
??1
，
?x?
?
0,1
?
,f
?
x< br>?
?
?
?x
?
?{01
2,3,4}
.x?
?
1,2
?
时，
?
x
?
?1，
f
?
x
?
?
?
x
?
=1< br>；当
x=2
时，
f
?
x
?
?
?4
?
=4
；∴值域为
{0,1，
答案：
{0,1，2, 3,4}
.
x
2
?1
9.原题（必修1第三十六页练习第１题（３ ））判断下列函数的奇偶性：
f(x)?
．
x
x
2
?1
改编 关于函数
f(x)?lg
有下 列命题：①其图象关于
y
轴对称；②当
x?0
(x?0)
，
x
时，
f(x)
是增函数；当
x?0
时，
f(x)
是减函数；③
f(x)
的最小值是
lg2
；④
f(x)
在区 间
(?1,0),(2,??)
上是增函数；⑤
f(x)
无最大值，也无最小 值．其中所有正确结论的序号
是 ．
x
2
?1x
2
?1
解：
f(x)?lg
，则当
x?0
时，
(x?0)
为偶函数，故①正确；令
u(x)?< br>x
x
u(x)?x?
③④．
10.原题（必修1第三十九页复习参考 题B组第三题）
1
在
(0,1)
上递减，在
[1,??)
上 递增，∴②错误；③④正确；⑤错误．答案：①
x
已知函数
f(x)
是偶函数 ，而且在
(0,??)
上是减函数，判断
f(x)
在
(??,0)< br>上是增函数还
是减函数，并证明你的判断.

改编 已知定义在
[-2, 2]
上的偶函数
f(x)
在区间
[0, 2]
上是减函数, 若
f(1-m)
?
f(m),
则实
数
m
的取值范围是
.

5

解：由偶函数的定义,

?
?
f(1?m)?f(|1?m|)
,
又由
f(x)
在区间
[0, 2]
上是减函数, 所以
?
f (m)?f(|m|)
11
.答案：
???m?
.

22< br>2
0?|m|?|1?m|????????m?
11.原题（必修1第四十四页复习参 考题A组第四题）已知集合A={x|
x
=1}，集合B={x|ax=1}，
若B< br>?
A，求实数a的值.
改编 已知集合A={x|x-a=0}，B={x|ax-1=0}，且A∩B=B，则实数a等于 。
解：∵A∩B=B ，∴B?A ，A={x|x-a=0}={a}，对于集合B，当a=0时， B=?满足B?A；
当a≠0时，B={}；要使B?A需，解得a=±1；答案：1或-1或0. < br>1?x
2
12.原题（必修1第四十四页复习参考题A组第八题）设
f(x)?
，求证：（1）
1?x
2
1
（2）
f()??f(x).
f(?x)?f(x)
；
x
改编 设定在R上的函数
f( x)
满足：
f(tanx)?
f(2)?f(3)?
11
?f(20 12)?f()?f()?
23
?f(
1
，则
cos2x
1
)?

2012
.
1cos< br>2
x?sin
2
x1?tan
2
x
1?x
2
解：由
f(tanx)?
．得
f(x)?
．由所求式子特征考查：
??
1?x
2
cos2x
cos
2
x?sin2
x1?tan
2
x
1
11?x
x
2
?0
．
?f(2)?f(3)?
f(x)?f()??
x1?x
2< br>1?
1
x
2
2
1?
11
?f(2012)? f()?f()?
23
?f(
1
)?0
．
2012
?
?
x
?
x?4
?
,x?0;
13.原题（必修 1第四十五页复习参考题B组第四题）已知函数
f
?
x
?
?
?
求
xx?4,x?0.
?
?
?
?
f
?< br>1
?
，
f
?
?3
?
，
f
?
a?1
?
的值.
?
?
x
?
x?a
?
,x?0;
改编 已 知函数
f
?
x
?
?
?
关于
x
的方 程
f
?
x
?
?a
有四个不同的根，
a?0
，
?
?
x
?
x?a
?
,x?0.
则实数< br>a
的取值范围为（ ）A.
?
-?，-4
?
B.
?
-4，0
?
C.
?
-?，-4
?

D.
?
-4，0
?

解：当
a?0
时，< br>y?f
?
x
?
与
y?a
交点个数为2，不成立；当< br>a?0
时，
f
?
x
?
图象如下
a
2
?a?0
，∴
a??4
，选图，
y?f
?
x
?
与
y?a
交点个数为4，则
?
4
A.

6
y?a

1 4.原题（必修1第四十五页复习参考题B组第五题）证明：（1）若
f
?
x
?
?ax?b
，则
?
x?x
f
?
12
?< br>2
?
f
?
x
1
?
?f
?
x
2
?
?
x?x
；（2）若
g
?
x
?
?x
2
?ax?b,
则
g
?
12
??
2
??
2
?
g
?
x
1
?< br>?g
?
x
2
?
.
?
?
2
?
?
1
?
?
2
?
?
f
?
x
1
?
?f
?
x
2
?
?
?
,
?
改编 函数
f
?
x
?
在
?
a,b
?
上有定义，若对任意
x
1
,x
2
??
a,b
?
，有
f
?
?
x
1
?x
2
?
2
则称
f
?
x
?
在< br>?
a,b
?
上具有性质
P
.设
f
?
x
?
在
?
1,3
?
上具有性质
P
，求证： 对任意
?
x?x?x?x
?
1
x
1
,x
2
,x
3
,x
4
?
?
1,3
?
，有
f
?
1234
?
?
?
?
f
?x
1
?
?f
?
x
2
?
?f
?
x
3
?
?f
?
x
4
?
?
?
.
44
??
?
x
1
?x
2
x
3
?x
4
?
2
?
2
?
x
1
?x
2
?x
3
?x
4
?
证明：
f
??
?f
?
42
??
?
?
?
?
?
1
?
?
x
1
?x
2
?
?
?
f
?
2
?
?
2
?
?
?
?
?
?
?
?
x?x
f
?
34< br>?
2
?
?
?
?

?
?
1< br>?
11
?
1
?
?
?
fx?fx?fx?fx
???
????????
1234
?
2
??
??
4
?
?
f
?
x
1
?
?f< br>?
x
2
?
?f
?
x
3
?
? f
?
x
4
?
?
?

2
?
2
?
?
15.原题（必修1第四十五页复习参考题B组第七题）《中华人民共和国个 人所得税》规定，
公民全月工资、薪金所得不超过2000元的部分不必纳税，超过2000元的部分为 全月应纳税
所得额．此项税款按下表分段累计计算：


某人一月份应交纳此项税款为26.78元，那么他当月的工资、薪金所得是多少？

改编 2011年4月 25日，全国人大常委会公布《中华人民共和国个人所得税法修正案（草案）》，向社会公开征集意见．草案规定，公民全月工薪不超过3000元的部分不必纳税，超
过3 000元的部分为全月应纳税所得额．此项税款按下表分段累进计算．
级 数 全月应纳税所得额 税 率
1
不超过 1500元的部分
5%
2
超过 1500元至4500元的部分
10%

7

3
超过 4500元至9000元的部分
20%
依据草案规定，解答下 列问题：（1）李工程师的月工薪为8000元，则他每月应当纳税多少
元？（2）若某纳税人的月工薪 不超过10000元，他每月的纳税金额能超过月工薪的8%吗？
若能，请给出该纳税人的月工薪范围； 若不能，请说明理由．
解：（1）李工程师每月纳税：1500×5%+3000×10%+500× 20%=75+400=475（元）；
（2）设该纳税人的月工薪为x元，则当x≤4500时，显然纳税金额达不到月工薪的8%； 当4500＜x≤7500时，由1500×5%+（x-4500）×10%＞8%x，得x＞18750， 不满足条件； 当
7500＜x≤10000时，由1500×5%+3000×10%+（x-750 0）×20%＞8%x，解得x＞9375，故9375
＜x≤10000
答：若该纳税人月工薪大于9375元且不超过10000元时，他的纳税金额能超过月工薪的8%．
16.原题（必修1第八十二页复习参考题A组第七题）已知
f
?
x
?
?3
x
，求证：（1）
f
?
xy
?
?f
?
x
?
?f
?
y
?
，（2）
f< br>?
x
?
f
?
y
?
?f
?
x ?y
?
.
改编 给出下列三个等式：
f
?
xy
?
?f
?
x
?
?f
?
y
?
,f< br>?
x?y
?
?f
?
x
?
f
?
y
?
,f
?
x?y
?
?
f
?
x
?
?f
?
y
?
1?f
?
x
?f
?
y
?
.下列选项中，不满足其中
任何一个等式的是（ ）
A．
f
?
x
?
?3
x
B．
f
?
x
?
?sinx
C．
f
?
x
?
?log
2
x
D．
f
?
x
?
?tanx

解：依据指数函数，对 数函数，三角函数的性质可知，
A
满足
f
?
x?y
?
?f
?
x
?
f
?
y
?
，
C满
足
f
?
xy
?
?f
?
x
?
?f
?
y
?
，
D
满足
f
?
x?y
?
?
f
?
x
?
?f
?
y
?
1?f
?
x
?
f
?
y
?
，而
B
不满足其中任何一个等式.
??x
,
a,b?(?1,1 )
,求证:
1?x
17.原题（必修1第八十二页复习参考题A组第八题）已知
f(x)?lg
?
a?b
?
（2）
f(a)?f(b)?f
??
.
1?ab
??
改编 定义在
(?1,1)
上的 函数
f(x)
满足对
?x,y?(?1,1)
,都有
f(x)?f( y)?f
?
?
x?y
?
?
成立,且
?
1? xy
?
当
x?(?1,0)
时，
f(x)?0
，给出下列命 题:①
f(0)?0
；②函数
f(x)
是奇函数；③函数
f(x)< br> 只有一个零点；④
f()?f()?f()
,其中正确命题的个数是（ ）A.1
1
5
1
11
1
2
B.2
C.3 D.4
解：①令
a?b?0
得
f(0)?0
,①正确；②令
y?x
,得
f(x)?f(?x)?f(0)
，
?f(x)
是奇函 数，
②正确；③由②
f(x)?f(y)?f(
x?y
)
.又
x?(?1,0),f(x)?0
,令
x?y
,则
1?xy
x?y
?0
,
?f(x)?f(y)?0
,即
f(x)?f(y)
.
1?xy
?
函数

f(x)
在
(?1,1)
上为减函数，又
8
f(0)?0
,故③正确，④

?
11
?< br>?
5
?
11
?
11221
21
f()?f( )?f
??
?f(),?
，由③知
f()?f()
.答案：C 11
511772
72
?
?
1??
?
?
?
511
?
18.原题（必修1第八十三页复习参考题B组第一题）已知集合
A={yy?log
2
x,x>1}
，
?
1
?
B={y| y?
??
,x>1}
，则
AB
=（ ）
?
2
?
A.
{y| 0 B.
{y| 0 C.
{y|
x
1
2
1
D.
?

2
改编 在平面直角坐标系中，集合
A={
?
x,y
?
y?log
a
x}
，
a?0
且
a?1
，
?
1
?
B={
?
x,y
?
| y?
??
}
设集合
AB
中的所有点的横坐标之积为
m
，则有（ ）
?
2
?
A.
m?1
B.
m?
?
0,1
?
C.
m?
?
1,2
?
D.
m?
?
2,+?
?

x
?
1
?
解：由图知
y?log
a
x
与
y?
??
图象交于不同的两点，设为
x
1
、x
2
，不妨设
x
1
?x
2
，则
?
2
?
?
1
?< br>0?x
1
?1?x
2
，∵
y?
??
在R上 递减，∴
log
a
x
1
?log
a
x
2< br>，当
a?1
时，
?
2
?
?log
a
x
1
?log
a
x
2
，
log
a
(x
1
x
2
)?0
，
0?x
1
x
2
?1
;当
0?a?1
时，
log
a
x
1
??log
a
x
2
，
log
a
(x
1
x
2
)?0
，
0?x
1
x
2
?1
，选B.
19.原题（必修1第八十三页复习参考题B组第三题）对于函数
（1 ）探索函数f（x）的单调性；（2）是否存在实数a使f（x）为奇函数？
改编1 对于函数f(x)=a+
．
（

a
x
x
?
R）

2
(x∈R)，（1）用定义证明 ：f（x）在R上是单调减函数；
2
x
?1
（2）若f（x）是奇函数，求a 值；（3）在（2）的条件下，解不等式f（2t+1）+f（t-5）≤0．
2
x
2
?2
x
1
22
xx
证明（1）：设
x
1
＜
x
2
，则f（
x
1
）-f（
x
2
）=
x
-
x
=
x
∵
2
2
-
2
1
＞
x
2
1
?12
2
?1
(2
1
?1)(2
2
?1)
0，
2
1?1
＞0，
2
2
?1
＞0．即f（
x
1
）-f（
x
2
）＞0．∴f（x）在R上是单调减函数
（2）∵f（x）是奇函数，∴f（0）=0?a=-1．
（3）由（1）（2）可得f（x ）在R上是单调减函数且是奇函数，∴f（2t+1）+f（t-5）≤0．转
化为f（2t+1）≤- f（t-5）=f（-t+5），?2t+1≥-t+5?t≥
xx
4
，故所求不等式 f（2t+1）+f（t-5）
3

9

≤0的解集为：{t|t≥
改编
4
}．
3
2 已知定义 域为R的函数f(x)＝
－2
x
＋b
2
x＋1
＋a
是奇函数．(1)求a，b的值；(2)若对任意的t∈R，不等式f(t
2
－2t)＋f(2 t
2
－k)<0恒成立，求k
的取值范围．
－1＋b
解：(1)因 为f(x)是R上的奇函数，所以f(0)＝0，即＝0，解得b＝1，从而有f(x)＝
2＋a
－2
x
＋1
.
＋
2
x1
＋a
1
－＋1
2
－2＋1
又由f(1)＝－f(－1)知＝－，解得a＝2.
4 ＋a1＋a
－2
x
＋1
11
(2)由(1)知f(x)＝
x
＋
1
＝－＋
x
，易知f(x)在R上为减函数，又因为f(x)是奇 函数，从
2
2＋12＋2
而不等式f(t
2
－2t)＋f(2t2
－k)<0，等价于f(t
2
－2t)<－f(2t
2
－k) ＝f(－2t
2
＋k)．因为f(x)是R上
的减函数，由上式推得t
2－2t>－2t
2
＋k.即对一切t∈R有3t
2
－2t－k>0，从而 Δ＝4＋12k<0，
1
解得k<－.
3
解法二：
对一切t∈R有 3t
2
－2t－k>0，可转化为k<3t
2
－2t，t∈R，只要k比3t
2
－2t的最小值小即可，
11
而3t
2
－2t的最小值为 －，所以k<－.
33
e
x
?e
?x
e
x
?e
?x
,g(x)?
20.原题（必修1第八十三页复习参考题B组第四题）设< br>f(x)?
，
22
求证：（1）
2
?
g(x)
?
?
?
f(x)
?
2
22
?1
；（2）
f(2x)?2f(x)?g(x)
；（3）
g(2x)?
?
g(x )
?
?
?
f(x)
?
；
e
x
? e
?x
e
x
?e
?x
,g(x)?
改编1 设
f(x)?
，给出如下结论：①对任意
x?R
，有
22
?< br>g(x)
?
?
?
f(x)
?
22
?1
；②存在实数
x
0
，使得
f(2x
0
)?2f(x
0
)g(x
0
)
；③不存在实数
x
0
，
22
使得
g(2x
0
)?
?
g(x
0
)< br>?
?
?
f(x)
?
；④对任意
x?R
，有< br>f(?x)g(?x)?f(x)g(x)?0
；
其中所有正确结论的序号是
解：
22

对

于①：
2
e
x
?e
?x
2
e
x
?e
?x
2
e< br>2x
?2?e
?x
e
x
?2?e
?2x
)? ()???1
；
?
g(x)
?
?
?
f(x)?
?(
2244

10

e
x
?e
?x
e
x
?e
?x
e
2x
?e
?2x
???f(2x)
，即
?x
0
?R
恒有 对于②：
2f(x)g(x)?2?
222
f(2x)
0
?2f0
(x)g
0
；
(x

)
22
ex
?e
?x
2
e
x
?e
?x
2
e
2x
?e
?2x
)?()??g(2x)
，故不存在
x
，对于③：
?
g(x)
?
?
?
f(x)
?
?(
222
使
g(2x
0
)?
?
g(x< br>0
)
?
?
?
f(x
0
)
?
；
22
e
?x
?e
x
e
?x
?e
x
e
x
?e
?x
e
?x
?e
x
???
对于④：
f(?x)g(?x)?f(x)g(x)?

2222e
?2x
?e
2x
e
2x
?e
?2x
???0
，故正确的有①③④
44
改编2 已知函数
F
?
x
?
?e
满足
F
?
x
?
?g
?
x
?
?h
?
x
?
，且
g
?
x
?
，
h
?
x
?
分别是
R
上的 偶函数
x
和奇函数，若
?x?
?
1,2
?
使得不等 式
g
?
2x
?
?ah
?
x
?
?0
恒成立，则实数
a
的取值范围是
.
x?x
解：
F
?
x
?
?g
?
x
?
?h
?< br>x
?
?e
，得
F
?
?x
?
?g?
?x
?
?h
?
?x
?
?e
?x，
e
x
?e
?x
e
x
?e
?x即
F
?
?x
?
?g
?
x
?
? h
?
x
?
?e
，解得
g
?
x
?< br>?
，
h
?
x
?
?
，
g
?< br>2x
?
?ah
?
x
?
?0
22
即得
e
2x
?e
?2x
e
x
?e
?x
?a?0
22
，参数分离得
e
2x
?e
?2x
e< br>x
?e
?x
?22
2
x?x
x?x
a?x?x
??e?e?
，因为
e?e??22
（当
x?x
e?ee
x
?e
?x
e
x
?e
?x
e?e
且仅当
e
x
?e
?x
?
??
2
2
x?x
，即
e?e?2
时取等号，
x
的解满足
?< br>1,2
?
），所以
a?22
.
x?x
e?e
x
改编3 已知定义在R上的奇函数
f
?< br>x
?
和偶函数
g
?
x
?
满足：
f< br>?
x
?
+g
?
x
?
?e
，则
2
n
g
?
1
?
g
?
2
?
g
?
2
2
?
?
f
?
2
n
?
g
?
2
n?1
?
?
.
解：∵
f
?
x
?
+g
?
x
?
?e
,
f
?
x
?
和
g
?
x
?
分别为R上的奇函数和偶函数,
x
∴
f
?
?x
?
+g
?
?x
?
??f
?
x
?
+g
?
x
?
?e
，
?x

11

e
x
?e
?x
e
x
?e
?x
,g(x)?
∴
f(x)?
，∴
f(2x)?2f(x )?g(x)
，
22
∴
2
n
g
?
1?
g
?
2
?
g
?
2
2
??
f
?
2
n
?
g
?
2
n?1
?
?
2
n
f
?
1
?
g
?
1
?
g
?
2
?
g
?
2
2
?
?
f
?
1
?
f
?
2
n
?
g
?
2
n?1
?
=
1
2e.
?
2
f
?
1
?
e?1
21.原题 （必修1第八十八页例1）求函数
f(x)?lnx?2x?6
的零点的个数.
改编 已知函数
f(x)?lnx?ax?6
,若在区间(2,3)内任意两个实数
p,q( p?q)
,不等式
f(p)?f(q)
?0
恒成立，且在区间（2，3）内有 零点，则实数
a
的取值范围为( )
p?q
解：由题可得
y ?f(x)
在（2，3）递增，故
f
?
(x)??a?0
在（2，3 ）恒成立，
?a?-
,又
f(x)
在(2,3)内有零点，由零点存在性定 理有
f(2)?ln2?2a?6?0,f(3)?ln3?3a?6?0,
又
11111
a??
.
?2?ln3?a?3?ln2
.答案：
(2 ?ln3,3?ln2)

3
3232
1
x
1
3< br>22.原题（必修1第九十页例2）借助计算器或计算机用二分法求方程
2
x
? 3x?7
的近似解
（精确度0.1）.
改编 为了求函数
f(x)?2? 3x?7
的一个零点，某同学利用计算器得到自变量
x
和函数
x
f( x)
的部分对应值（精确度0.1）如下表所示
x
1.25 1.3125 1.375
f(x)
－0.8716 －0.5788 －0.2813
1.4375
0.2101
1.5
0.32843
1.5625
0.64115
则方程
2
x
?3x?7
的近似解（精确到0.1）可取为（ ）
A．1.32 B．1.39 C．1.4 D．1.3
解：通过 上述表格得知函数唯一的零点
x
0
在区间
(1.375,1.4375)内,故选C.
23.原题（必修1第九十五页例1）假设你有一笔资金用于投资，现有三种投资方 案供你选择，
这三种方案的回报如下：方案一：每天回报40元；方案二：第一天回报10元，以后每天 比
前一天多回报10元；方案三：第一天回报0.4元，以后每天的回报比前一天翻一番。请问，
你会选择哪种投资方案？
改编 某市一家商场的新年最高促销奖设立了三种领奖方式，这三种领奖 方式如下：方式一：
每天到该商场领取奖品，价值为40元；方式二：第一天领取的奖品的价值为10元 ，以后每
天比前一天多10元；方式三：第一天领取的奖品的价值为0.4元，以后每天的回报比前一< br>天翻一番。若商场的奖品总价值不超过600元，则促销奖的领奖活动最长设置为几天？在领
奖活 动最长的情况下，你认为哪种领奖方式让领奖者受益更多？
解：设促销奖的领奖活动为
x天，三种方式的领取奖品总价值分别为
f(x),g(x),h(x)
。
则f(x)?40x
；
g(x)?10?20?30?10x?5x
2
?5 x
；
h(x)?0.4?0.4?2?0.4?2
2
??0.4?2
x?1
?0.4?2
x
?0.4

要使奖品总价值不超过600元，则

12

?
f(x)?600
?
x?15
?
g(x)?600
?
x
2
?x?120?0
??

?
解得
x?11,x?N

?
?
x
?
h(x)?60 0
?
2?1501
??
x?N
?
x?N
?
又
f(10)?400

g(10?)

0h(10?55)
，故
g(10)?h(10)?f(10)

409.
答：促销奖的领奖活动最长可设置10天，在这10天内选择方式二会让领奖者受益更多.
24.原题（必修1第一百一十二页复习参考习A组第七题）改编1 已知线段
AB
的 长为
4
,
以
AB
为直径的圆有一内接梯形
ABCD
，若椭圆以
A、B
为焦点，且经过点
C、D
，求
椭圆的离心率的范围 ．
解：梯形
ABCD
为圆内接梯形，故其为等腰梯形，设
?ABC?
?
，则在
Rt?ABC
中，
D
C
AC?4sin
?
,BC?4cos
?

由椭圆的定义知
2a?AC?CB?4(s in
?
?cos
?
)

?
1
A
B
2c4
?
离心率
e?
2a4(si
?
n?c
?
os)
2sin
?
(?
?
4
，其中

)
?
?(
??
42
,)
，所以
2sin(
?
?
?
4
)?(1,2
，故椭圆离心率
)
e?(
2
,1)

2
改编2 已知线段
AB
的长 为
4
,以
AB
为直径的圆有一内接梯形
ABCD
，若椭圆以
A、B
为焦点，且经过点
C、D
，那么当梯形的周长最大时，求该椭圆的离心 率．
解：梯形
ABCD
为圆的内接梯形，故其为等腰梯形，设
?ABC?< br>?
，则在
Rt?ABC
中，
AC?4sin
?
,BC ?4cos
?
，
CD?4?8cos
2
?
，则梯形的周长< br>f(
?
)??8cos
2
?
?8cos
?
? 8
，
?
?(,)

42
故当
cos
?D
C
??
A
B

1
???
?,即?
??(,)
时，周长
f(
?
)
最大，即最大周长为< br>2342
f()?10
，此时，由椭圆的定义知
2a?AC?CB?2(3?1 )
，所以此时的椭圆的离
3
心率
e
?
?
2c4??3?1
．
2a
2(3?1)
25.原题（必修1第一百一十三页复 习参考习A组第九题）某公司每生产一批产品都能维持

13

一段时间的市场供应，若公司本次新产品生产开始x月后，公司的存货量大致满足模型
f
?
x
?
??3x
3
?12x?8
，那么下次生产应在多长时间 后开始？
改编 某公司每生产一批产品都能维持一段时间的市场供应，在存货量变为0的前一个月，
公司进行下次生产。若公司本次新产品生产开始月
x
后，公司的存货量大致满足模型< br>f
?
x
?
??2x
3
?6x?20
，那么下 次生产应在 月后开始．
解：
f
?
1
?
?24?0 ,f(2)?16?0,f(3)??16?0
，所以应该在两个月后进行生产．
26.原题（必修1第一百一十三页复习参考习B组第一题）
经济学家在研究供求关系时，一 般用纵轴表示产品价格（自变量），而用横轴来表示产品
数量（因变量），下列供求曲线，哪条表示厂商 希望的供应曲线，哪条表示客户希望的需
求曲线？为什么？（图略）
改编1
某地 一年的气温Q（t）（单位：℃）与时间t（月份）之间的关系如图（1）所示，已知该
年的平均气温为 10℃，令G（t）表示时间段〔0，t〕的平均气温，G（t）与t之间的函数关
系用下列图象表示， 则正确的应该是




10?c
（ ）
G(t)
G(t)
10?c
10?c

G(t)


t
O
6
12
O
6
12
t
O 6 12
t







10?c


O
图（1）
A
B
G(t)
G(t)
10?c
12
6 t t
O
14
6 12

C
D

解：A
改编2 为了稳定市 场，确保农民增收，某农产品的市场收购价格
a
与其前三个月的市场收
购价格有关，且 使
a
与其前三个月的市场收购价格之差的平方和最小．若下表列出的是该产
品前6个月 的市场收购价格：
月份
价格（元担）
1
68
2
78
3
67

C．71元
4
71
5
72

D．72元
6
70
7

（ ） 则7月份该产品的市场收购价格应为
A．69元
解：C
B．70元




人教A版必修2课本例题习题改编
1.原题（必修2第15页练习第4题）如图是一个几何体 的三视图，想象它的几何结构特征，
并说出它的名称．
正视图 侧视图
俯视图


改编 如图是一个几何体的三视图（单位：cm）
（Ⅰ）画出这个几何体的直观图（不要求写画法）；
（Ⅱ）求这个几何体的表面积及体积；
（Ⅲ）设异面直线
AA
?
与
BC
?
所成的角为?
，求
cos
?
．


15

A
A
?
3
正视图
A
C
1
B
C
B
?
C
?
2
侧视图
B
A
1
3
俯视图
1
B
A
?
B
?


解：（Ⅰ）这个几何体的直观图如图23－2所示．
（Ⅱ）这个几何体是直三棱柱．
由于底面
?ABC
的高为1，所以
AB?1?1?
故所求全面积
S ?2S
?ABC
?S
BB
?
C
?
C
?2S
ABB
?
A
?


22
2
．
A
C
C
?
A
?
2
B

3
B
?
1
?2??2?1?3?2?2?3?2?8?62
(cm2
)
．
2
1
3
这个几何体的体积
V?S?ABC
?BB
?
??2?1?3?3
(cm)

2< br>（Ⅲ）因为
AA
?
BB
?
，所以
AA
?与
BC
?
所成的角是
?B
?
BC
?
．
在
Rt?BB
?
C
?
中，
BC
?
?BB
?
2
?B
?
C
?
2
?3
2
?2
2
?13
，故
cos
?
?
BB
?
33
??13
．
BC
?
13
13
2.原题（必修2第28页例3）如图，已知几何
体的三视图，用斜二测画法画出它的直观图．
改编1 如图，已知几何体的三视图（单位：cm）．
（Ⅰ）画出它的直观图（不要求写画法）；
（Ⅱ）求这个几何体的表面积和体积．
解：（Ⅰ）这个几何体的直观图如图所示．
（Ⅱ）这个几何体是一个简单组合体，它的下部是
一个圆柱（底面半径为1cm，高为2cm），它的上部
是一个圆锥（底面半径为1cm，母 线长为2cm，高为
2
2
P
O
?
2
2
2< br>P
O
?
2
正视图
2
O
2
O
侧视图
俯视图
3
cm）．
P
O
?

16
O

2< br>所以所求表面积
S?
?
?1?2
?
?1?2?
??1?2?7
?
(cm)
，
2
所求体积
V?
?
?1?2??
?
?1?3?2
?
?
2
1
3
2
3
?
(cm
3
)
．
3
< br>3.原题（必修2第30页习题1.3B组第三题）分别以一个直角三角形的斜边，两直角边所在
直线为轴，其余各边旋转一周形成的曲面围成三个几何体，画出它们的三视图和直观图，并
探讨它们体积 之间的关系。
改编 已知直角三角形
ABC
，其三边分为
a,b,c,
（
a?b?c
）.分别以三角形的
a
边，
b
边，
c
边所在直线为轴，其余各边旋转一周形成的曲面围成三个几何体，其表面积和体积分别为
S
1
,S
2
,S
3
和
V
1
,V
2
,V
3
,则它们的关系为 ( )
A
.
S
1
?S
2
?S
3
,
V
1
?V
2
?V
3

B
.
S
1
?S
2
?S
3
,

V
1
?V
2
?V
3


C
.
S
1
?S
2
?S
3
,
V
1
?V
2
?V
3

D
.
S
1
?S
2
?S
3
,

V
1
?V
2
?V
3


解：S
1
?
?
(
bc1bc1
)(b?c),V
1
?
?
()
2
a
,
S
2
?
?
ac?
?
c
2
,V
2
?
?
bc
2
,

a3a3
1
S
3
?
?
ab?
?
b
2
,V
3
?
?
b2
c
, 选B.

3
4.原题（必修2第32页图像）改编 如图几何体是圆柱挖去一个同底等高的圆锥所得，现
用一个竖直的平面截这个几何体，所得截面可能是：
(1)
(2)
(3)
(4)


解：切面过轴线为 （1），否则是圆锥曲线为（4）．本题以立体几何组合体为背景，其实运用
圆锥曲线数学模型．答案（ 1）、（4）．
5.原题（必修2第37页复习参考题B组第三题）



17

改编1 如右上图是一个正方体的 展开图,如果将它还原为正方体,那么这六条面对角线所
在直线中，所成的角为
60?
的直线共有 12 对.
改编2
如图正方体中，
o
，
o< br>1
为底面中心，以
oo
1
所在直线为旋转轴，线段
BC
1
形成的几何体的正视图为（ ）
D
1
A
1
O
1
B
1
C
1
D
O
AB
C


解：选项A、B、D中的几何体是圆台、圆锥、圆柱或由它们组成，而圆台、圆锥、
圆柱的侧面除了与旋转轴在同一平面的母线以外，没有其他直线
.
即A、B、D不
可能 ，故选C
.

6.原题（必修2第37页复习参考题B组第三题）你见过如图所示的纸 篓吗？仔细观察它的
几何结构，可以发现，它可以由多条直线围成，你知道它是怎么形成的吗？
改编 如图所示的纸篓，观察其几何结构，可以看出是由许多条直线围成的旋转体，该几何
体的正视图为（ ）
(A)(B)(C)(D)

18

(A)(B)(C)(D)

解：选项A、B、D中的几何体是圆台、圆锥、圆柱或由 它们组成，而圆台、圆锥、圆柱的
侧面除了与旋转轴在同一平面的母线以外，没有其他直线。即A、B、 D不可能，故选C.
7.原题（必修2第59页例3）改编 设四棱锥P- ABCD的底面不是平行四边形, 用平面α去
截此四棱锥（如右图）, 使得截面四边形是平行四边形, 则这样的平面 α
（ ）
A．不存在 B．只有1个 C．恰有4个 D．有无数多个
解：设四棱锥的两组不相邻的侧面的交线为 m、n, 直线 m、n 确定了一个
平面 β．作与 β 平行的平面 α, 与四棱锥的各个侧面相截，则截得的四
边形必为平行四边形，而这样的平面 α 有无数多个．答案：D.
8.原题（必修2第62页习题2.2A组第八题）如图，直线AA1
，BB
1，
CC
1
相交于点O，AO=A
1
O，
BO=B
1
O，CO=C
1
O，求证：平面ABC∥平面A1
B
1
C
1.

改编 如图，直线AA
1< br>、BB
1、
CC
1
相交于点O，AO=A
1
O，BO =B
1
O，CO=C
1
O，形成两个
顶点相对、底面水平的三棱锥， 设三棱锥高均为1，若上面三棱锥中装有高度为0.5的液体，
若液体流入下面的三棱锥，则液体高度为 _______。

19

C
1

B
1

A
1

A
C
B

解：液体部分的体积为三棱锥体积的
1
，流下去后，液体上方空出三棱锥的 体积为三棱锥体
8
33
x
3
7
77
7
积的 ，设空出三棱锥的高为x，则
3
=，所以，x=,液面高度为1
?
.
22
18
8
9.原题（必修2第63页习题2.2B组第四题）如图，透明塑料制成 的长方体容器
ABCD-A
1
B
1
C
1
D
1
内灌进一些水，固定容器底面一边BC于地面上，再将容器倾斜，随着倾
斜度的不同，有下面 五个命题:其中所有正确命题的序号是_______，为什么？
(1)有水的部分始终呈棱柱形；( 2)没有水的部分始终呈棱柱形；(3)水面EFGH所在四边形的
面积为定值；
(4)棱A
1
D
1
始终与水面所在平面平行；(5)当容器倾斜如图（3）所示时，BE?BF
是定值.
改编 如图，透明塑料制成的长方体容器ABCD-A
1
B
1
C
1
D
1
内灌进一些水，固定容器底面一边BC于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜度的不同，有下面七个命题，真命题的有_______. (1)有水的部分始终呈棱柱形；(2)没有水的部分始终呈棱柱形；(3)水面EFGH所在四边形的面积为定值；
(4)棱A
1
D
1
始终与水面所在平面平行；( 5)当容器倾斜如图（3）所示时，
BE?BF
是定值；
(6)当容器任意倾斜时, 水面可以是六边形；(7)当容器任意倾斜时, 水面可以是五边形.

（1） （2） （3）
解：（1），（2），（4），（5），（6），（7）.

20

（6） （7）

10.原题（必修2第79页复习参考题A组第十题）如图，已知平面
?< br>,
?
，且
??
?AB,PC?
?
,PD?
?
,C,D
是垂足，试判断直线AB与CD的位置关系？并证明你的结论.
改编 如图，已知平面
?
,
?
，且
??
?AB,PC?
?
,PD?
?
,C,D
是垂足．（Ⅰ）求证：
（Ⅱ）若
PC? PD?1,CD?2
，试判断平面
?
与平面
?
的位置关系，
AB?
平面
PCD
；
并证明你的结论．

解：（Ⅰ）因为
PC?
?
,AB?
?
，所以
PC?AB
．同理PD?AB
．又
PC
故
AB?
平面
PCD
．
（Ⅱ）设
AB
与平面
PCD
的交点为
H
，连结CH
、
DH
．因为
AB?
平面
PCD
，所以< br>PD?P
，
AB?CH,AB?DH
，所以
?CHD
是二面角
C?A?B
PC?PD?1,
的平面角．又
D
C?D
，所以
2
CD
2
?PC
2
?PD
2
?2
，即
?CPD?90
0
．在平面四边形

PCHD
中，?PCH??PDH??CPD?90
0
，所以
?CHD?90
0
．故平面
?
?
平面
?
．
11.原题（必修2第90页习题 3.2B组第一题）已知点
M(2,2),N(5,?2)
,点
P
在
x
轴上，且
?MPN
为直角,求点
P
的坐标.
改编：已知 点
M(2,2),N(5,?2)
,
P
在
x
轴上，若
?MPN
为锐角，则点
P
的横坐标的取值

21

范围是
________

解： 用向量的数量积 判别：
MP?NP?0
，易求答案为
m?6
或
m?1

12.原题（必修2 第100页习题3.2 A组第三题）已知
A(7,?4)
，< br>B(?5,6)
，求线段
AB
的
垂直平分线的方程.
改编1 已知
A(7,?4)
关于直线
l
的对称点为
B(?5,6)
，则直线
l
的方程是（ ）
A.
5x?6y?11?0
B.
6x?5y?1?0
C.
6x?5y?11?0
D.
5x?6y?1?0

解：依题意得，直线
l
是线段
AB
的垂直平分线.∵
k
AB
??
的中点为（1，1），∴直线l
的方程是
y?1?
22
16
5
?
，∵
AB
，∴
k
l
??
k
AB
5
6
6
(x?1)
即
6x?5y?1?0
，故选（B）.
5
22
改编2 已知圆
(x?7)?(y?4)?16
与圆
(x?5)?(y?6)?16
关于直线
l
对称 ，则
直线
l
的方程是 .
解：依题意得，两圆的圆心< br>A(7,?4)
与
B(?5,6)
关于直线
l
对称，故直线< br>l
是线段
AB
的垂
直平分线，由改编1可得直线
l
的 方程为
6x?5y?1?0
.
改编3 求点
A(7,?4)
关于 直线
l:6x?5y?1?0
的对称点
B
的坐标.
?
y? 46
???1
?
?
x?75
解：设
B(x,y)
. 由
AB?l
，且
AB
的中点在直线
l
上，得
?，解
x?7y?4
?
6??5??1?0
?
22
?得
?
?
x??5
，∴
B(?5,6)
.
?< br>y?6
13.原题（必修2第100页习题3.2A组第九题）求过点
P(2,3)，并且在两轴上的截距相等
的直线方程.
改编1 求过点
P(2,3)
，并且在两轴上的截距互为相反数的直线方程是 . 解：依题意，直线的斜率为1或直线经过原点，∴直线的方程为
y?3?x?2
或
y?
即
x?y?1?0
或
3x?2y?0
.
改编2 直 线
l
经过点
P(2,3)
，且与两坐标轴围成一个等腰直角三角形，求直线< br>l
的方程.
3
x
，
2

22

解:依题意，直线
l
的斜率为±1，∴直线
l的方程为
y?3?x?2
或
y?3??(x?2)
，即
x?y? 1?0
或
x?y?5?0
.
14.原题（必修2第101页习题3.2B组 第五题）若直线l沿x轴向左平移3个单位，再沿y
轴向上平移1个单位后，回到原来的位置，试求直线 l的斜率.
改编： 若直线l沿x轴向右平移3个单位，再向上平移4个单位后，得到的直线与原来的
位置在水平方向上相差2个单位，则原直线的斜率为
4或0.8
.
15. 原题（必修2第110页习题3.3B组第七题）已知AO是
ABC
边BC的中线，求证：|AB|
2
?|AC|
2
?2(|AO|
2
?|OC|
2
)
.
改编 已知在三角形ABC中，D是BC 边的中点，且AB=8,BC=8,AC=6,则AD=
解:
34
.
?y?1,
16.原题（必修2第110页习题3.3B组第八题）已知
0?x?1, 0
求证：
x
2
?y
2
?
2
.
2 x
2
?(1?y)
2
?(1?x)
2
?y
2
?(1?x)?(1?y
2
)?2
改编 长方形ABCD的顶点坐标是A(0,0 )，B(a,0)，C(a,b)，D(0,b)，P是坐标平面上的动点，
若AP
2
+BP
2
+CP
2
+DP
2
的值最小，则点P的位置在( )
A.长方形的顶点处 边的中点处 C.两条对角线的交点处 D.三角形
ABC的重心处
解:设P(x,y)，|AP|
2
+|BP|< br>2
+|CP|
2
+|DP|
2
=x
2
+y< br>2
+(x-a)
2
+y
2
+(x-a)
2
+(y-b)
2
+x
2
+(y-b)
2
=4(x-a2)

2
+4(y-a2)
2
+a
2
+b
2

当P(a2,b2)时，|AP|
2
+|BP|
2
+|CP|
2
+|DP|
2
最小 ，选C.
17.原题（必修2 第114页复习参考题A组第3题）求直线
2x?5y?10 ?0
与坐标轴围成
的三角形的面积.
改编1 过点（-5，-4）且与两坐标轴围成的三角形面积为5的直线方程是 .
解：设所求 直线方程为
y?4?k(x?5)
，依题意有
22
14
(?5)(5 k?4)?5
，
2k
∴
25k?30k?16?0
（无解）或25k?50k?16?0
，解得
k?
∴直线的方程是
2x?5y?10 ?0
或
8x?5y?20?0
.
28
或
k?
.
55
改编2（2006年上海春季卷）已知直线
l
过点
P(2,1)
，且与
x
轴、
y
轴的正半轴分别交于
A
、
B
两点，
O
为坐标原点，则△OAB面积的最小值为 .
解：设直线
AB
的方程为
y?1?k(x?2)(k?0)
，

23

则
S
?OAB
?
1
(2?
1
)(1?2k)?
1
4?4k?
1
?
1
[4?(?4k)?(?
1
)]?
1
[4?2(?4k) ?(?
1
)]?4
，
2k2k2k2k
当且仅当
?4k??
111
即
k??
时取等号，∴当
k??
时，
S?OAB
有最小值4.
k22
改编3 已知射线
l:y?4x(x? 0)
和点
M(6,4)
，在射线
l
上求一点
N
，使 直线
MN
与
l
及
x
轴围成的三角形面积
S
最小.
解：设
N(x
0
,4x
0
)(x
0
?1)
，则直线
MN
的方程为
(4x
0
?4)(x?6) ?(x
0
?6)(y?4)?0
.令
2
5x
0
5x 10x10[(x
0
?1)?1]
2
11
0
y?0
得
x?
，∴
S?(
0
)?4x
0
???10[(x
0
?1)??2]

x
0
?1
2x
0?1x
0
?1x
0
?1x
0
?1
?10[2( x
0
?1)?
1
1
即
x
0
?2]?40< br>，当且仅当
x
0
?1?
x
0
?1
x
0
?1
?2
时取等号，∴当
N
为（2，8）
时，三角形面积
S
最小.
18.原题（必修2第115页复习参考题B组第七题）设
a,b ,c,d?R
，求证：对于任意
p,q?R,
(a?p)
2
?(b? q)
2
?(c?p)
2
?(d?q)
2
?(a?c)
2
?(b?d)
2
.
改编 设
数
x

,
a,b,c,d?R
，
a,b,c,d
为常数，其中
?
2a?b?3
?
?
?
2c?d?3
?
?0
，对于任 意实
?
a?x
?
2
?
?
b?2x?3
?< br>2
?
?
c?x
?
2
?
?
d?2x? 3
?
2
的最小值为
.
解:可设A（a，b），B（c ，d），C（x，2x+3），由
?
2a?b?3
?
?
?
2 c?d?3
?
?0
，知A，B在
直线y=2x+3两侧，
?
a?x
?
2
?
?
b?2x?3
?
2
??
c?x
?
2
?
?
d?2x?3
?
2
的
?
a?c
?
2
?
?
b?d
?< br>2
.
最
|AB|
小
=
值
19.原题（必修 2第129页例3）改编 若圆
x?y?2mx?m?4?0
与圆
222
x
2
?y
2
?2x?4my?4m
2
?8?0
相切， 则实数
m
的取值集合是 .
解：∵圆
(x?m)?y? 4
的圆心为
O
1
(m,0)
，半径
r
1
? 2
，圆
(x?1)?(y?2m)?9
的
圆心为
O
2
(?1,2m)
，半径
r
2
?3
，且两圆相切，∴
O1
O
2
?r
1
?r
2
或
O
1
O
2
?r
2
?r
1
，∴
2222
(m?1)
2
?(2m)
2
?5
或
(m?1)
2< br>?(2m)
2
?1
，解得
m??
m??
2122，∴实数
m
的取值集合是
{?,?,0,2}
.
555
24
12
或
m?2
，或
m?0
或
5

20.原题（必修2第130页例4）改编 某圆拱型彩虹桥，跨度为20 米，高为4米，要用19
根铁索等距离分布悬挂桥面，则其中一侧第m根铁索的长度f(m)= _______米.
解：
14.5?(m?10)
?
10.5.
21.原题（必修2第132页习题4.2 A组第三题）求以
N(1,3)
为圆心， 并且与直线
22
3x?4y?7?0
相切的圆的方程.
改编1 （2006 年重庆卷）过坐标原点且与圆
x
2
?y
2
?4x?2y?
为 （ ）
5
?0
相切的直线的方程
2
1
1
x
B.
y?3x
或
y??x

3
3
1
1C.
y??3x
或
y??x
D.
y?3x
或
y?x

3
3
A.
y?? 3x
或
y?
解：设直线方程为
y?kx
，即
kx?y?0< br>.∵圆方程可化为
(x?2)
2
?(y?1)
2
?
5
，∴圆
2
2k?1
10
10
1
?
心为（2 ，-1），半径为.依题意有，解得
k??3
或
k?
，∴直线方
2< br>3
2
k
2
?1
程为
y??3x
或
y ?
1
x
，故选（A）.
3
22
改编2 （2006年湖北 卷）已知直线
5x?12y?a?0
与圆
x?2x?y?0
相切，则
a
的
值为 .
解：∵圆
(x?1)
2
?y
2
?1
的圆心为（1，0），半径为1，∴
5?a
5?12
22
解得
a?8
或
a??18
.
?1
，
改编3 求经过点
A(0,5)
，且与直线
x?2 y?0
和
2x?y?0
都相切的圆的方程.
?
a
2
?(5?b)
2
?r
2
?
解：设所求圆的方程为
(x?a )
2
?(y?b)
2
?r
2
，则
?
a?2 b
，
2a?b
??r
?
5
?
5
?
a?1
?
a?5
?
22
22
解得
?
b? 3
或
?
?
b?15
，∴圆的方程为
(x?1)?(y?3) ?5
或
(x?5)?(y?15)?125
.
?
?
r?5
?
?
r?55
22.原题（必修2第132页练习第三题）某圆拱桥的水面跨 度20
m
，拱高4
m
.现有一船宽
10
m
，水面以 上高3
m
，这条船能否从桥下通过？
改编 某圆拱桥的水面跨度是20
m< br>，拱高为4
m
.现有一船宽9
m
，在水面以上部分高3
m，
故通行无阻.近日水位暴涨了1.5
m
，为此，必须加重船载，降低船身.当船 身至少应降低

m
时，船才能通过桥洞.（结果精确到0.01
m
）
解：建立直角坐标系，设圆拱所在圆的方程为
x?(y?b)?r
.

25
222

22
?
?
b??1 0.5
?
100?b?r
∵圆经过点（10，0），（0，4），∴
?
，解得
?
.
22
?
?
r?14.5
?
(4?b)?r
∴圆的方程是
x?(y?10.5)?14.5(0?y?4)
. 令
x?4.5
，得
y?3.28(m)
.
故当水位暴涨1.5m
后，船身至少应降低
1.5?(3.28?3)?1.22m
，船才能通过桥洞 .
23.原题（必修2第133页习题4.2A组第九题）求圆
x?y?4?0
与圆
22
222
x
2
?y
2
?4x?4y?12?0< br>的公共弦的长.
改编 两圆C
1
：x
2
+ y
2
-1=0和C
2
：x
2
+ y
2
-8x+12=0的公切线长为_______.
解：
B
A
C
1
D
C
2
C
1
A
D
( 1)
C
1
：x
2
+ y
2
=1，C
2
：（x-4）
2
+ y
2
= 4， |C
1
C
2
|=4
B
C
2
(2)

2222
图（1）：|AB|=< br>4?(2?1)
=
15
；图（2）：|AB|=
4?(2?1)
=
7
，即公切线长
15
和
7
.
,?2),B( ?2,6),C(4,?2)
,点
P
在24.原题（必修2第133页习题4.2B组 第2题）已知点
A(?2
圆
x?y?4
上运动，求
PA?PB?PC
的最大值和最小值. < br>22
222
,?2),B(?2,6),C(4,?2)
,点
P
坐标满足
x?y?4
，求改编1 已知点
A(?2
22
PA?PB?PC
的最大值和最小值.
解：设点
P
的坐标是
(x,y)
，则
2
d?PA ?PB?PC?(x?2)
2
?(y?2)
2
?(x?2)
2
?(y?6)?(x?4)
2
?(y?2)）
222
222
2?
200
?
?3x
2
?3y
2
?4y?68? 3
?
x
2
?(y?)
2
?
?
3
?
3
?

要求
d
的最值，即求点
P
与点
Q(0,)
距离
d
的最值；因为点
P
坐标满足
2
3
'

26

2
' '
x
2
?y
2
?4
，所以
d

的 最大值为
(OQ?2)
2
，则
d
的最小值0在点
P
与点
Q(0,)
重合
3
时取得，
?d?
?
?200
?
,88
?

?
3
?
22
B(2,0)
，改编2 已知
A( ?2,0)
，点
P
在圆
(x?3)?(y?4)?4
上运动，则PA?PB
的最小值是 .
22
解：设
P(x,y)< br>，则
PA?PB?(x?2)
2
?y
2
?(x?2)
2
?y
2
?2(x
2
?y
2
)?8?2OP?8< br>.
设圆心为
C(3,4)
，则
OP
2
?OC?r?5 ?2?3
，∴
PA?PB
的最小值为
2?3?8?26
.
222
22
min
25.原题（必修2第133页习题4.2B组第3题）已知圆x+y=4，
直线l:
y=x+b
.当b为何
22
值时，圆< br>x+y=4上恰有3个点到直线
l
的距离都等于1.
22
改编 已知圆
x+y=4
, 直线l:
y=x+b
. 圆上至少有三个点到直线l的距离都是1，则b 的
取值范围是_____.
解：
?
?2,2
?

22
??
26.原题 （必修2第144页复习参考题B组第2题）已知点
M(x,y)
与两个定点
M
1
，
M
2
距
离的比是一个正数
m
，求点
M
的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形（考虑
m?1
和
m?1
两种情形）.
改编1 已知两定点
A(?2,0)
，
B(1,0)，如果动点
P
满足
PA?2PB
，则点
P
的轨迹所包< br>围的面积等于（ ） A.
?
B.
4
?
C.
8
?

D.
9
?

解：设点
P
的坐标是
(x,y )
.由
PA?2PB
，得
(x?2)
2
?y
2?2(x?1)
2
?y
2
，化简得
(x?2)
2
?y
2
?4
，∴点
P
的轨迹是以（2，0）为圆心，2为半径的圆 ，∴所求面积为
4
?
，
故选B.
改编2 由动点
P向圆
x?y?1
引两条切线
PA
、
PB
，切点分别为< br>A
、
B
，
?APB
=60，
0
22
则动点
P
的轨迹方程是 .
解：设
P(x,y)
.∵
?APB
=60，∴
?OPA
=30.∵
OA?AP
，∴
OP?2OA?2
，∴
00
2222
x
2
?y
2
?2
，化简得
x?y?4
，∴动点
P
的轨迹方程 是
x?y?4
.
改编3 （2006年四川卷）已知两定点
A(?2,0)
，
B(1,0)
，如果动点
P
满足
PA?2PB
，
则点
P
的轨迹所包围的面积等于（ ）

27

A.
?
B.
4
?
C.
8
?
D.
9
?

解：设点
P
的坐标是
(x,y)
.由
PA?2PB
，得
(x?2)
2
?y
2
?2 (x?1)
2
?y
2
，化简得
(x?2)
2
?y< br>2
?4
，∴点
P
的轨迹是以（2，0）为圆心，2为半径的圆，∴所求 面积为
4
?
，
故选（B）.
改编4（2003年北京春季卷）设< br>A(?c,0),B(c,0)(c?0)
为两定点，动点
P
到
A点的距离与
到
B
点的距离的比为定值
a(a?0)
，求
P
点的轨迹.
解：设动点
P
的坐标为
P(x,y)
.由< br>PA
PB
?a(a?0)
，得
(x?c)
2
?y2
(x?c)?y
22
?a
，
化简得
(1?a
2
)x
2
?(1?a
2
)y
2
?2c(1?a< br>2
)x?c
2
(1?a
2
)?0
.
1?a 2ac
2
2c(1?a
2
)
22
2
当
a? 1
时，化简得
x?y?
，整理得
(x?c)?y?()
；
x?c?0
22
2
a?1a?1
1?a
22
2
当< br>a?1
时，化简得
x?0
.
1?a
2
2ac
c,0)
为圆心，
2
所以当
a?1
时，
P
点的轨 迹是以
(
2
为半径的圆；当
a?1
时，
P
a?1< br>a?1
点的轨迹是
y
轴.
27.原题（必修2第144页复习参考题 B组第3题）求由曲线
x?y?|x|?|y|
围成的图形
的面积.
改编 由曲线
x?y?2|x|?2|y|
围成的图形的面积为_______.
解：围成的图形如图，面积为
8?4
?
.
22
22









28

人教A版必修3课本例题习题改编 < br>A.求数列
??
错误！未指定书签。的前10项和
n?N
1.原题（必 修3第13页例6）改编 已知程序框图如图1所示，则该程序框图的功能是（ ）
?
1
?
?
n
?
?
*
?
错 误！未指定书签。 B.求数
列
?
?
1
?
*?
错误！未指定书签。的前10项和
n?N
错误！未指定书签。
?2n
?
??
C.求数列
??
错误！未指定书签。的前11项和错 误！未指定书签。
n?N
开始
?
1
?
?
n
?
?
*
?
D.求数
列
?
















?
1
?
*
?
错误！未指定书签。的前11项和
n?N
错误！未指定书签。
k=k+1
S=0
?
2n
?
??
n=2
n=n+2
k=1
s?s?
1

n
k≤10?
否
输出s
是
结束
图1
解：本题主要考察学生对程序框图中，循环结构的理解及识 图、读图能力.解题的关键在于
正确翻译框图所表示的数学含义.由图可知输出的
s?
111
错误！未指定
??...?
22?22?10
书签。.此题选B.
2.原题（必修3第15页思考）改编 在图2程序中所有的输出结果之和为

开始


i=1,s=0


s=s+i


i=i+1

29
输出s
否

解 ：算法输出的结果是1,1+2,1+2+3，…，1+2+3+…+10，通项公式为
a
n< br>?
所有输出结果之和为
[
n(n?1)
，所以
2
1n (n?1)(2n?1)n(n?1)
?]
，将n=10代入得结果为220.
262
2
3. 原题（必修3第19页图1.1-20）改编 如图3，输出结果为
解：算法程序表示用二分法求函数
f(x)?x?2
的零点，精确度为0.1. 答案：1.4375.
开始



f(x)=x
2
－2


a=1,b=2



d=0.1







f(a)f(m)<0?

否

是

b=m
a=m








是


输出m


结束

图3

a?b?d

30

4. 原题（必修3第20页习题1.1B组第二题）改编1 某高中男子体育小组的50m的跑步
成绩（单位：s）如下表：
学号i
成绩a
i
1
6.4
2
6.5
3
7.0
4
6.8
5
7.1
6
7.3
7
6.9
8
7.0
9
7.5
若图4中的程序用来表示输出达标的成绩，且输出结果为6.4,6.5，则达标成绩x的最大值为
（结果保留一位小数）.
解：因为输出结果为6.4，6.5，所以
6.5?x?6 .8
，即x的最大值为6.7.
改编2 某高中男子体育小组的50m的跑步成绩（单位：s）如下表：
学号i
成绩a
i
1
6.4
2
6.5
3
7.0
4
6.8
5
7.1
6
7.3
7
6.9
8
7.0
9
7.5
若图5中的程序用来表示输出达标的成绩 ，则从该小组中任取两名同学的成绩，至少有一名
达标的概率为 .
2
C
7
5
解：程序输出结果为6.4，6.5，即9人中有两人达标，所以所求 概率为
1?
2
?
.
C
9
12

开始 开始



i=1 i=1


输入a
i
输入a
i


是 是

a
i
?x?

a
i
<6.8?

输入a
i
输入a
i

否 否


i=i+1 i=i+1


否
i>9?


是 是

结束 结束

图5
图4


5. 原题（必修3第33页习题1.2B组第四题）改编 在图6的程序框中 ，将输出的a的值
分别记为a
1
，a
2
，a
3
…， 若t=3，则数列
?
a
n
?
的通项公式为
2
解：
a
1
?3,a
2
?3?3?10,a
3
?3?3?10?3?10,...,

n?1

a
n
?3?3?10?...?3?10
.
?（10
n
?1）
1
3



31

开始


输入t


a=0,s=0



n=1


a=a+t



s=s+a


t=10t



n=n+1


输出a



否
n>2012?

是

输出s



结束

图6

6. 原题（必修3第50页复习参考题A组第三题）某铁路客运部门规定甲 、乙两地之间旅客
托运行李的费用：不超过50kg按0.53元kg收费，超过50kg的部分按0. 85元kg收费.相应
收费系统的流程图如右图所示，则①处应填（ ）
开始
A.
y?0.85x
错误！未指定书签。

32
是
输入x
否
k>50?

B.
y?50?0.53?
?
x?50
?
?0.85错误！未指定书签。
C.
y?0.53x
错误！未指定书签。
D.
y?50?0.53?0.85x
错误！未指定书签。
解：本题考查函数与程序框图的综合应用.由题意可得行李
托运费
y
（元）关于行李重量错误！未指定书签。(kg)的函数解析式为
错误！未指定书签。.由程序框图可知错误！未指定书签。时运行①.
此题选B.
7. 原题（必修3第62页的“如何得到敏感性问题的诚实反应”）改编 为了解某中学生遵
守《中华人民共和国交通安全法》的情况，调查部门在该校进行了如下的随机调查，向被调
查者提出两 个问题：（１）你的学号是奇数吗？（２）在过路口时你是否闯过红灯？要求被
调查者背对着调查人员抛 掷一枚硬币，如果出现正面，就回答第一个问题，否则就回答第二
个问题．被调查者不必告诉调查人员自 己回答的是哪一个问题，只需回答“是”或“不是”，
因为只有调查者本人知道回答了哪一个问题，所以 都如实地作了回答.结果被调查的800人
（学号从1至800）中有240人回答了“是”.由此可以 估计这800人中闯过红灯的人数是
解：由题意可知，每个学生抛掷硬币 出现正面或者反面的概率都是0.5，即我们期望大约有
400人回答了第一个问题，另400人回答了 第二个问题.在出现正面的情况下，回答学号是奇
数的概率为0.5.因而在回答第一个问题的400人 中，大约有200人回答了“是”.所以我们能
推出，在回答第二个问题的200人中，大约有40人回 答了“是”.因此800人中有40人闯
过红灯.
8. 原题（必修3第72页）改编 为 了了解某市居民的用水量，通过抽样获得了100位居民
的月均用水量.第八题图是调查结果的频率直方 图.（1）估计该样本的平均数和中位数；（2）
若以该样本数据的频率作为总体的概率，从该市（人数 很多）任选3人，求用水量超过3
吨的人数的期望值.

频率组距



0.54

0.44


0.30

0.28

0.16

0.12

0.08

O
0.5 1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
月均用水量t

第八题图

解：（1）平均数为
(0.08?0.25?0.16?0.7 5?0.30?1.25?0.44?1.75?0.54?2.25?

0.28?2.75 ?0.12?3.25?0.08?3.75)?0.5?1.98
.因为（0.08+0.16+0. 30+0.44）×
0.5=0.49，所以中位数为
2?
0.5?0.49109< br>?.

0.5454
（2）样本数据中用水量超过3吨的频率为0.1，则从总 体中任选一人，用水量超过3吨的概

33

率为0.1. 设所选3人中用水量超过3吨的人数为
?
，则
?
～
B(3，0.1)
,所以
E
?
?3?0.1?0.3.
即（1）平均数为1.98，中 位数为
109
；（2）期望值为0.3
54
9. 原题（必修3第73页的探究“数据有时会被利用”）改编 2011年春节刚过，为留住本
地人才， 有一家公司在火车站等处张贴招聘启示，“我们公司的收入水平很高”，“去年，在
50名员工中，最高 年收入达到了100万，他们年收入的平均数是3．5万.”如果你希望获得
年薪2．5万元.(1)你 判断自己是否能够成为此公司的一名高收入者？(2)如果招聘员继续告
诉你，“员工收入的变化范围是 从0．5万到100万”，这个信息是否足以使你作出自己受聘
的决定？为什么？(3)如果招聘员继续 给你提供了如下信息，员工收入的中间50%(即去掉最
少的25%和最多的25%后所剩下的)的变化 范围是1万到3万，你又能否用这条信息来作出
是否受聘的决定？(4)你能估计出收入的中位数是多少 吗？为什么平均值比估计出的中位数
高很多？
解：（1）不能.因为平均收入和最高收入相差 太多,说明高收入的职工只能占极少数.现在已经
知道至少有一个人的收入为100万元,那么其他员工 的收入之和为75万元,每人平均只有1.53
万元,如果再有几个收入特别高者,那么初进公司的员工 收入将会更低.
(2)不能.要看中位数是多少.
(3)能,可以确定有75%错误！未指 定书签。的员工工资在1万元以上.其中25%的员工工资在
3万元以上.
(4)收入的中位 数大约是2万.因为有年收入100万元的极端值得影响,使得年平均收入比中位
数高许多.
10. 原题（必修3第79页练习第2题）改编 在某次测验中，有6位同学的平均成绩为75分.用
x
n
表示编号为n
?
n?1,2,...,6
?
错误！未指定书签。的同学所得成绩，且前5位同学的
成绩如下：
编号n
成绩
x
n
错
误！未指定书
签。
70 76 72 70 72
1 2 3 4 5
(1)求第6位同学的成绩
x
6
错误！未指定书签。，及这6位同学成绩的标准差s;(2)从前5位
同学中，随机地选2位同学，求恰 有1位同学成绩在区间（68,75）中的概率.
解：（1）∵错误！未指定书签。这6位同学的平均 成绩为75分，
?
1
?
70?76?72?70?72?x
6
?
?75
，解得
x
6
?90
，这6位同学成绩的方差 < br>6
1
222222
s
2
??
?
70?75< br>?
?
?
76?75
?
?
?
72?75
?
?
?
70?75
?
?
?
72?75
?
?
?
90?75
?
?49
6
??

错误！未指定书签。标准差s=7.
(2)从前5位同学中，随机地选出2位同学的成绩有： （70,76），（70,72），（70,70），（70,72）
（76,72），（76,70） ，（76,72），（72,70），（72,72），（70,72），共10种，恰有1位同学成绩在
区间（68,75）中的有：（70,76），（76,72），（76,70），（76,72），共4种， 所求的概率为
4
?0.4
10

34

错误！未指定书签。，即恰有1位同学成绩在区间（68,75）中的概率为0.4.
11. 原题（必修3第79页练习第3题）改编 在春运高峰时有顾客反映某家航空公司售票
处售票的速度太 慢.为此，航空公司收集了100位顾客购票时所花费时间的样本数据(单位：
分钟)，结果如下表：
2.3 1.0 3.5 0.7 1.0 1.3 0.8 1.0 2.4 0.9
1.1 1.5 0.2 8.2 1.7 5.2 1.6 3.9 5.4 2.3
6.1 2.6 2.8 2.4 3.9 3.8 1.6 0.3 1.1 1.1
3.1 1.1 4.3 1.4 0.2 0.3 2.7 2.7 4.1 4.0
3.1 5.5 0.9 3.3 4.2 21.7 2.2 1.0 3.3 3.4
4.6 3.6 4.5 0.5 1.2 0.7 3.5 4.8 2.6 0.9
7.4 6.9 1.6 4.1 2.1 5.8 5.0 1.7 3.8 6.3
3.2 0.6 2.1 3.7 7.8 1.9 0.8 1.3 1.4 3.5
11 8.6 7.5 2.0 2.0 2.0 1.2 2.9 6.5 1.0
4.6 2.0 1.2 5.8 2.9 2.0 2.9 6.6 0.7 1.5
航空公司认为，为一位顾客办理一次售票业务所需的时 间在5分钟之内就是合理的.上面的
数据是否支持航空公司的说法？顾客提出的意见是否合理？请你对上 面的数据进行适当的
分析，回答下面问题：(1)根据原始数据计算中位数、平均数和标准差.(2)对 数据进行适当的
分组，分析数据分布的特点，并进行分析.(3)你认为应该用哪一个统计量来分析上述 问题比
较合适？
解：（1）根据原始数据计算中位数、平均数和标准差如下：顾客购票花费时 间的中位数为：
中位数位置=（n+1）2=(100+1)2=50.5，中位数在第50个数值(2 .4)和第51个数值(2.6)之间，
其具体数值为：中位数=(2.4+2.6)2=2.5(分钟 ).
平均花费时间为：
x?
n
?
x
i?1
ni
n
?
2.3?1.0?...?0.7?1.5317.0
??3.1 7(分钟）

100100
标准差为：
s?
?
(x
i?1
i
?x)
2
?
n
811.97

?2.85(分钟）
100
（2）对数据进行分组的结果，100名顾客购票花费时间的分组表

35

绘制直方图观察数据分布的特点，直方图如下：
接收
1分钟以下
1~2
2~3
3~4
4~5
5~6
6~7
7~8
8~9
9以上
合计
频数（人）
14
24
20
15
9
6
5
3
2
2
100
频数（%错误！未指定书
签。）
14
24
20
15
9
6
5
3
2
2
100

从直方图可以看出，顾客购票所花费时间的分布为右偏.有顾客反映这家航空公司售 票处售
票的速度太慢，这可能是由少数人提出来的.因此这些少数顾客提出的意见并不能代表大多
数人，可以认为顾客提出的意见是不完全合理的.
(3) 从中位数来看，其结果为2.5分钟，因 此，从总体上看，该航空公司办理一项售票业
务所需的时间大约为2.5分钟，在航空公司认为的合理时 间5分钟之内，因此，可以说顾客
提出的意见是不合理的.用中位数感觉较合理一些.
12. 原题（必修3第82页习题2.2A组第5题）改编 在一次人才招聘会上，有两家公司提
供如下信息 ：公司甲：我们公司的收入水平很高，去年在80名员工中，最高年收入达到了
150万元，员工的年收 入平均数是4万；公司乙：我们公司规模比较大，共有150人，员工
年收入的中间50%（即去掉最少 的25%和最多的25%后所剩下的）的变化范围是2.5万到
3.5万.某位大学毕业生希望获得年薪 3万元，根据以上信息，他应该选择哪家公司更好？
解：对于公司甲，除掉最高收入150万元后，剩 下79名员工的年平均收入为
80?4?150
?2.15
，如果再有几个高收入者， 则其他人的年平均收入更低.所以用中位数
79
来描述员工的收入水平更合理.公司乙员工的年 收入中位数为3万元.所以选择公司乙更好.
13. 原题（必修3第八十六页思考）改编 假设儿子身高与父亲身高呈线性相关关系，若小

36

明身高为172cm，他的爸爸和爷爷的身高分别为170cm和175cm，预测小明儿子的身高为
cm.
解：依题意可得如下表格
父亲身高x(cm)
儿子身高y(cm)
175
170
170
172
172
?
由点（175，170），（170，172）得直线方程为
y ?-0.4x?240
，所以当
x?172
时，
y?171.2

14. 原题（必修3第92的“相关关系的强与弱”）改编 如图是根据
x
错误！ 未指定书签。，
y
错误！未指定书签。的观测数据
?
x
i
, y
i
?
（i=1，2，…，10）得到的散点图，由这些散点
图可以判断变量
x
错误！未指定书签。，错误！未指定书签。具有相关关系的图是 （ ）

y




y
y
y
o


①

②

③

④

x
o
x
o
x
o
x
A.①② B.①④ C.②③ D.③④
解：①②中的点杂乱无章，不能判断变量具有相关关系， ③④中的点都在一条直线附近摆动，
所以可以判断错误！未指定书签。具有线性相关关系.此题选D.
15. 原题（必修3第127页探究）改编1 多选题是标准化考试的一种题型，一般是从A、B、C、D四个选项中选出所有正确的答案，在一次考试中有5道多选题，某同学一道都不
会，他随 机的猜测，则他答对题数的期望值为
解：答对每道题的概率为
所以< br>E
?
?5?
11
1
?
，设答对的题数为，则～
?
?
B(5，)
,
1234
C
4
?C
4
?C
4
?C
4
15
15
11
?.

153
改编2 多选题是标准化考试的一种题型，一般是从A、B、C、D四个选项中选出所 有正确
的答案，每题至少有一个选项是正确的，在一次考试中有10道多选题，一个小组中的10
位学生答题情况如下表：
答对题数
概率
0～2
0.10
3～4
0.15
5～6
0.25
7～8
0.30
9～10
0.20
（1）对于每位学生来说，答对题数不少于7题的概率； （2）小组中若有2人以上（含2人）答对题数不超过6题的概率大于0.9，则这个小组需要
重新 考核，请问这个小组是否需要重新考核？
解：（1）
p?0.3?0.2?0.5
；
（2）每位学生答对题数不超过6题的概率为0.5，设10位学生中答对题数不超过6题的人数为
?
，则
?
～
1
B(10，)
2
,所以

37

11023
1
1
10
P(
?
?2)?1?P(
?
?0)?P(
?
? 1)?1?()
10
?C
10
()??0.9

221024
所以该小组需要重新考核.
16. 原题（必修3第127页例3）改编 将一骰子抛掷两次，所得向上点数分别为错误！未
指定书签。和
n
，则函数
y?
2
3
?
1，??
?
未指定书签。在错误！未指定书签。
mx?nx?1
错误！
3
错误！未指定 书签。上为增函数的概率是
解：本题考察了古典概型概率的求法及利用导数研究函数的单调性等基础知识.易得函数
y?< br>?
n
?
2
3
-?，-
mx?nx?1
错误！ 未指定书签。的增区间为
?
?
错误！未指定书签。和
?
2m
?
3
?
?
n
?
错误！未指定书签。
?
，? ?
?
?
错误！未指定书签。,由已知可得错误！未指定书签。,
2m
??
错误！未指定书签。，故
2m?n
错误！未指定书签。.抛两次的骰子的所有可能 种数为36
种，则
?
m，n
?
错误！未指定书签。满足条件
2m?n
的有30种，所以所求概率为
5
错误！
6
未指定书签。.
17. 原题（必修3第130页练习第3题）改编
甲、乙两校各有3名教师报名支教，其 中甲校2男1女，乙校1男2女.(1)若从甲校和乙校报名
的教师中各任选1名，写出所有可能的结果 ，并求选出的2名教师性别相同的概率；(2)若从
报名的6名教师中任选2名，写出所有可能的结果， 并求选出的2名教师来自同一学校的概率
.
解：（1）从甲校和乙校报名的教师中各任选1名 ，所有可能的结果为（甲男1，乙男）、（甲
男2，乙男）、（甲男1，乙女1）、（甲男1，乙女2） 、（甲男2，乙女1）、（甲男2，乙女2）、
（甲女，乙女1），(甲女，乙女2)，（甲女，乙男） ，共9种；选出的2名教师性别相同的结
果有（甲男1，乙男）、（甲男2，乙男）、（甲女，乙女1） 、（甲女，乙女2）共4种所以选出
的2名教师性别相同的概率为
4
错误！未指定书签 。 .
9
(2)从报名的6名教师中任选2名，所有可能的结果为(甲男1，乙男)、 (甲男2，乙男)、(甲
男1，乙女1)、(甲男1，乙女2)、(甲男2，乙女1)、 (甲男2，乙女2)、 (甲女，乙女1)、
(甲女，乙女2)、(甲女，乙男)、 (甲男1，甲男2)、(甲男1，甲女)、(甲男2，甲女)、(乙男，
乙女1)、 (乙男，乙女2) 、(乙女1，乙女2)，共15种；选出的2名教师来自同一学校的所
有可能的结果为(甲男1，甲男2 )、 (甲男1，甲女)、(甲男2，甲女)、(乙男，乙女1)、(乙
男，乙女2)、 (乙女1，乙 女2)，共6种，所以选出的2名教师来自同一学校的概率为
62
?
155
错 误！未指定书签。.
18. 原题（必修3第134页习题3.2B组第3题）改编 假设每个人在任何一个月出生是等可
能的，则三个人中至少有两个人生日在同一个月的概率为
111
3
C
3
2
C
12
C
11< br>?C
12
A
12
1717
?
解：方法一：
p ?1
－
3
?
；方法二：
p?
.
3
7272
1212

38

19. 原题（必修3第140页例4）改编 如图，直线
x?y?2
与抛物线y?x
交于A、B
两点，分别作AC、BD垂直x轴于C、D两点，从梯形ABDC中任取 一点，则该点落在阴
影部分的概率为________；利用随即模拟方法也可以计算图中阴影部分面积 ，若通过1000
次试验产生了落在梯形ABDC内的1000个点，则可估计落在阴影部分内的点的个 数大约有
________个.
y
2
?
x?y?2
解： 由
?
得
A(?2,4)，B(1,1)
，即
2
?
y ?x
115
S
梯形ABDC
??3?5?
，
22
1
1
1
11
又
?
x
2
?x
3??(?2)
3
?3
，
?2
3
?2
33
159
.所以概率
?S
阴影
??3?
22
9
3< br>p?
2
?
；
15
5
2
NN
13
?
，得
N
1
?600.
由
1
?
N10005
A
B
C
O
D
x
20. 原题（必修3第140页练习第1题）改编 如图所示，墙上挂有边长为a的正 方形木板，
它的四个角的空白部分都是以正方形的顶点为圆心，
a
错误！未指定书签。 为半径的圆弧
2
与正方形的边所围成的.某人向此板投标，假设每次都能击中木板，且击中木板 上每个点的
可能性都一样，则它击中某人向此板投标，假设每次都能击中木板，且击中木板上每个点的< br>可能性都一样， 则它击中阴影部分的概率是
解：本题考查几何概型的概率的计 算，因为正方形的面积为
a
2
错误！未指定书签。,而阴影
?
a2
部分的面积不易直接计算，所以先计算空白部分的面积为,从而得阴影部分的面积为
4< br>a?
2
?
a
2
4
a?
错误！未指定书签。. 根据几何概型的概率公式，可得
p?
2
4
?1?
?
错误！< br>a
2
4
?
a
2
未指定书签。.


a





21. 原题（必修3第142页习题3.3A组第3题）改编 一个路口的红绿灯，红灯的时间为
30秒，黄 灯的时间为5秒，绿灯的时间为40秒，当你到达路口时，不需要等待就可以过马

39

路的概率为
解：概率为












40
8
?
.
30?5?40
15
人教A版必修4课本例题习题改编
1.原题（必修4第十页A组第五题）改编1 下列说法中正确的是( )
A．第一象限角一定不是负角 B．－831°是第四象限角
C．钝角一定是第二象限角 D．终边与始边均相同的角一定相等
解：选C.
－330°＝－360°＋30°，所以－330°是第一象限角，所以A错误；－831°＝(－3) ×360
°＋249°，所以－831°是第三象限角，所以B错误；0°角，360°角终边与始边均 相同，
但它们不相等，所以D错误．
改编2 已知θ为第二象限角，那么
?
是（ ）
3
A. 第一或第二象限角 B. 第一或四象限角
C. 第二或四象限角 D. 第一、二或第四象限角
k360?90?
?
?k?360?180,k?z, ?k?120?30??k?120?60,k?z

3
?
?
（1） 当
k?3n
?
n?z
?
时,n?360?30??n?360?18 0,
为第一象限
n?z
此时
,
3
3
?
?< br>角；（2）当
k?3n?1
?
n?z
?
时,n?360?15 0??n?360?180,n?z
此时为第二
,
3
3
?
?
象限角；（3）当
k?3n?2
?
n?z
?
时
此时 为第四象
,n?360?270??n?360?300,
3
3
解：选D.< br>限角。
改编3 设
?
角属于第二象限，且
cos
?
?
2
??cos
?
2
，则
?
角属于（ ）
2
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
解：< br>2k
?
?
?
2
?
?
?2k
?
?
?
,(k?Z),k
?
?
?
4
?
?< br>2
?k
?
?
?
2
,(k?Z),


40

当
k?2n,(n?Z)
时，
?< br>?
在第一象限；当
k?2n?1,(n?Z)
时，在第三象限；
22
?
2
?0
，
?
4
而
cos
2.< br>?
2
??cos
题
?
2
?cos
必
?
2
在第三象限；答案：C
十页B组第二题）改编
1414
时钟的分针在1点到3点20分这段时间里转过的弧度数为( ) A. π B．－
33
77
π C. π D．－ π
1818
1
解：选B. 显然分针在1点到3点20分这段时间里，顺时针转过了两周 又一周的，用弧度
3
114
制表示就是－4π－×2π＝－π.故选B.
33
3.原题（必修4第十九页例6）改编 （1）已知
sin
?

?
（2）已知
sin
?
=
m

(m?0,m??1)
，求
tan
?
。
解：（1）
原（修第
1
，且
?
为第二象限角，求
tan
?
；
3
1
sin
?
?
，且
?
为第二象限角，
3
22
sin
?
2
??
。
?tan
?
?

3
cos
?
4
?cos
?
??1?sin
2
?
=
?
（2）
sin
??m(m?0,m??1)
，
?
?
为象限角。当
?
为第 一或第四象限角时，
2
1?sin
?
=
cos
?
?
1?m
2
，
tan
?
?
m
1?m
2
m
1?m
2
；当
?
为第二或第三象限角时，
c os
?
??1?m
2
，
tan
?
??
，综 上，
tan
?
的值为
m
1?m
2
或
?m
1?m
2

4.原题（必修4第十九页例7）改编 若
as in
?
?cos
?
?1,bsin
?
?cos
?< br>?1,则ab
的
2
值是（ ）A. 0 B. 1 C. -1 D.
解：由已知有：
asi
?
n??1
?
cobs

?
,??sin
?
； 两式相乘得：
absin
2
?
?
?
1?cos
?
??
1?cos
?
?


?1?cos
2
?
?sin
?
2

??
ab?1
?
sin
2
?
?0
?ab?1又sin
?
?0
答案：B

41

5.原题（必修4第二十二页习题1.2B组第二题）改编 化简
1?sin2x1?sin2x
?
为
1?sin2x1?sin2x
（ ） A.
2tanx
C.
?2tanx
B.
?2tanx
D. 不能确定
?
?
2tan2x
?
解:C .原式=
?
?
?2tan2x
?
?
??
??
x?
?< br>k
?
?,k
?
?
?
44
??
?
3
?
??
x?
?
k
?
?,k
?
?
?
44
??
2sin
?
?cos
?
；
sin
?
?2cos
?
6.原题（必修4第二十 二页B组第三题）改编 已知
tan
?
?2
，计算：（1）
（2）
sin
2
?
?sin
?
cos
?
?2co s
2
?

sin
2
?
?sin
?
cos
?
?2cos
2
?
2tan
?
?13
解：（1）原式
?
（2）原式
?

?
；
22sin
?
?cos
?
tan
?
?24
tan< br>2
?
?tan
?
?24
??

tan
2
?
?15
7.原题（必修4第二十三页探究）改编1 化简
1?2sin(??2)?cos(??2)
得( )
A.
sin2?cos2
B.
cos2?sin2
C.
sin2?cos2
D.±
cos2?sin2

解：选C
1?2sin(??2)?cos(??2)
?[sin(??2)? cos(??2)]
2

?|sin(??2)?cos(??2)|=|sin2?cos2|

∵
sin2?0
,
cos2?0
,∴
sin2?cos2?0
,∴1?2sin(??2)?cos(??2)
=sin2?cos2

改编2 设函数
f(x)?asin(?x?
?
)?bcos(?x?
?
)? 4
(其中
a、b、
?
、
?
为非零实数),
若
f(2001)?5
,则
f(2010)
的值是( )
A.5 B.3 C.8 D.不能确定
解：.B f(2001)?asin(2001
?
?
?
)?bcos(2001? ?
?
)?4?asin(??
?
)?bcos(??
?
)< br>
??asin
?
?bcos
?
?4?5
,
??asin
?
?bcos
?
?1
,
f(2010)?a sin(2010??
?
)?bcos(2010??
?
)?4?asin< br>?
?bcos
?
?4??1?4?3

8.原题（必修4第二十七页例4）改编 已知角x终边上的一点P（-4，3），则
??
?
cos
?
?x
?
sin
?
??
?x
?
?
2
?
的值为 . < br>?
?
??
9
?
cos
?
?x
?sin
?
?
?x
?
?
2
??
2
?

42

?
?
?
cos?
?x
?
sin
?
?
?
?x
?
?sinx?sinx
?
2
?
???tanx
，根据三角函数的定 义，可知解：
?
9
????
sinx?cosx
cos
?< br>?x
?
sin
?
?
?x
?
?
2??
2
?
tanx?
y33
??,所以原式=-tanx?
x44
9.原题（必修4第四十一页练习题6）改编 函 数
y?log
1
?
cos
?
?
2
?
?
?
x
?
?
?
?
?
?
的单调递 增区
?
34
?
?
间为 .
解：
?
?
x
?
?
??
?
x
?
?
?
y?log
1
?
cos
?
??
??
?log
1
?
cos
?
?
?
?，∴所求的递增区间就是使
?
34
?
?
?
34
?
?
2
?
2
?
x
??
?
x
?
?
y?cos
?
?
?
的值为正值的递减区间，由
2k
?
????2k
?
,k?z
得：
342
?< br>34
?
33
?
?
?6k
?
?x?
?
?6k
?
,k?z.
44
3
?
3
?
?
?
?6k
?
,
?
?6k
?
?
?
4
?
4
?
∴所求的递增区间为
33
?
?
?
?6k
?
,
?
?6k
?
?
k? z
?
答案：
?
?
?
k?z
?

?
?
44
?
π
4π
ωx＋
?
的图象向右 平移个10.原题（必修4第五十三页例1）改编 设ω>0，函数y＝sin
?
3
??
3
单位后与原图象重合，则ω的最小值是( )
243
A. B. C. D．3
332
π
4π
ωx＋
?
的图象向右平移个单位所得的函数解析式为y＝解：选C.函数y＝sin
?
3
??
3
4π
π
π
4π
π
4π
x－
?
＋
?
＝sin
?
?
ωx＋
?
－
ω
?
，又因为函数y＝sin
?
ωx＋
?的图象向右平移个单sin
?
ω
?
3
?
3
?< br>3
?
3
?
3
??
?
?
?
?
3
4π
33
位后与原图象重合，∴
ω＝2kπ?ω＝
k(k ∈Z)，∵ω>0，∴ω的最小值为，故选C.
322
11.原题（必修4第五十六页练习题3）改编
y?sin
?2x?
和初相分别为
______
，
______
。
解：2
?
?
?
?
?
的振幅为
_ _____
，频率
4
?
1
?

?

?
4
12.原题（必修4第六十页例2）改编 在函数
y?sinx
、
y?sinx
、
y?sin(2x?
2
?
)
、
3
y?tan(2x?

2
?
)
中，最小正周期为
?
的函数的个数为（ ）
3
43

A．
1
个 B．
2
个 C．
3
个 D．
4
个
解：
y?sinx
中，利用含绝对值函数和奇偶性的知识作出函数图象如下，


可知
y?sinx
不是周期函数；
y?sinx
的最小正周期为
?
，课本上已有解答；由公式可
知
y?sin(2x??
2
?
2
?
)
的最小正周期为
?
，< br>y?tan(2x?)
的最小正周期为.故答案选B
2
33
1
是关于
x
的
tan
?
13.原题（必修4第六十九页复习参考题A 组第八题）改编 已知
tan
?
，
方程
x
2
?k x?k
2
?3?0
的两个实根，且
3
?
?
?
?
解：
7
?
，求
sin
?
cos
??sin
2
?
的值．
2
tan
?
?
11
7
?k
2
?3?1,?k??2
，而
3
??
?
?
?
，则
tan
?
??k?2,
得
2
tan
?
tan
?
2
sin
?
cos
?
?sin
2
?
tan
?
?tan
2
?
??1
。
tan
?
?1
，则
si n
?
cos
?
?sin
?
?
222
cos
?
?sin
?
1?tan
?
14.原题（必修4第七十一页 复习参考题B组第六题）改编 已知
x
2
?y
2
?1,则u?解：
12y
的值域为 .
?
2
xx

x
2
?y
2
?1,< br>1
?
?
x?sec
?
?
?可设
?
c os
?
?
?
y?tan
?
12tan
?
? u???cos
2
?
?2sin
?
??sin
2
?
?2sin
?
?1

2
sec
?
sec< br>?
??
?
sin
?
?1
?
?2,其中?1? sin
?
?1

u随sin
?
的增大而增大。
又
∴所求值域为（-1，2）.
15.原题（必修4第九十二页习题2.2B组第四题）改编 设向量
a,b
满足:
|a|?3
,
|b|?4
,
a?b?0
.以
2
当sin
?
??1时，u??2,当sin
?
?1时，u?2< br>
a,b,a?b
为边长构成三角形,则它的边与半径为
1
的圆的公共点个数最多为 个.
解：可得
a?b?a
2
?b
2
?2a?b?5
,设该三角形内切圆的半径为
r
,则

44

(4?r)?(3?r)?5?r?1
,∴对于 半径为1的圆有一个位置是正好是三角形的内切圆,此
时只有三个交点,对于圆的位置稍作移动,则能实 现4个交点,但不能得到5个以上的交点.答
案：4
16.原题（必修4第一百零二页习题2.3B组第四题）改编1 设
Ox
、
Oy
是平面内相交成
60
0
角的两条数轴，
e
1
、
e
2
分别是与
x
轴、
y
轴正方向同向的单位向量 ，若向量
OP?xe
1
?ye
2
，
则把有序数对
( x,y)
叫做向量
OP
在坐标系
xOy
下的坐标。假设
OP ?3e
1
?2e
2
，（1）计算
（2）由平面向量基本定理，本题中 向量坐标的规定是否合理？
|OP|
的大小；
解：（1）
|OP|?19< br>；（2）对于任意向量
OP?xe
1
?ye
2
，
x< br>，
y
都是唯一确定的，分解
唯一，所以向量的坐标表示的规定合理。
改编2 给定两个长度为1的平面向量
OA
和
OB
,它们的夹角为
90
.点C在以O为圆心的
圆弧
AB
上变动,若
OC?xO A?yOB
,其中
x,y?R
,则
xy
的范围是________.
解：由
OC?xOA?yOB?OC?x
2
OA?y
2
OB ?2xyOA?OB
22
222
,又
OC?OA?OB?1,OA?OB?0
,∴
1?x?y?2xy
,得
xy?
1
2
,而点C 在以O为圆心
的圆弧
AB
上变动,得
x,y?[0,1]
,于是0?xy?
1
2
.
，
,将数轴Oy绕着O点顺时针旋转
30
0
改编3 如图，在平面 直角坐标系xoy中，向量
OP?(11)
到
Oy
?
,设
e
1
?
,e
2
?
分别是与Ox轴、
Oy
?< br>轴正方向同向的单位向量，若向量
OP
?
?e
1
?
? e
2
?
,求
cos?POP
?
的值.
解：由已知，
OP?i?j.(i,j是x轴，y轴正方向上的单位向量，且i=e
1
?
）

OP?OP
?
?(i?j)?(e
1?
?e
2
?
)


?i?e< br>1
?
?j?e
1
?
?i?e
2
?
? j?e
2
?

O
y
y
?
P
P
?

x
13

?1+0++

22

45

=
3+3

2
∵
OP?2,OP
?
?(e
1
?
?e< br>2
?
)
2
?3

3?3
OP?OP
?
6?2
2
∴
cos?POP
?
?cos?OP,OP?
??

??
4
2?3
OPOP
?
1 7.原题（必修4第一百零五页例4）改编 已知
a?
?
cosx,sinx
?
,b?
?
cos
?
,sin
?
?
,ka ?b?3a?kb
（k＞0）（1）求证：
a?b?a?b
；（2）将
a与b
数量积表示为关于k的函数f（k）；（3）求f（k）
的最小值及相应
a
，
b
夹角θ
解：（1）
????
a?
?
cos?
,sin
?
?
,b?
?
cos
?
, sin
?
?
????
?
?
a?b
?
??
a?b
?
?a?b?a?b?a?b?a?b?0
2222
（ 2）
ka?b?3a?kb?ka?b
??
2
?3a?kb

??
2
k
2
?11
?
1
?
故f
?
k
?
?
?
k?
?

?a?b?
4k4
?
k
?
（3）
?f
?
k
?
?4?2k?
?
k?0
?

1
k
11
?< br>k2
当k?
?
k?0
?
k?1
时，取等号，此时，
cos?
a?b
ab
?
1
，又∵
o?
?< br>?
?
2
?
?
?60
）
18.原题（必修4 第一百零六页练习2）改编1已知△ABC中，向量
AB?(x,2x),AC?(3x,2)
，
且∠BAC是锐角，则x的取值范围是 。
?
?
ABAC?0
解：本题容易忽视向量
AB,AC
方向相同的情况。由
?
可得x的取 值范
?
?
AB?
?
AC(
?
?0)
围是< br>(??,?)?(0,)?(,??)
.
改编2已知△ABC中，向量
AB? (x,2x),AC?(?3x,2)
，且∠BAC是钝角，则x的取值范
围是 。
4
3
1
3
1
3
?
?
ABAC?0
解：本题容易忽视向量
AB,AC
方向相反的情况。由
?
可得x的取 值范
?
?
AB?
?
AC(
?
?0)

46

围是
(??,?)?(?,0)?(,??)
.
19.原题（必修4第一百零八页习题2.4B组第四题）改编1 如图，在圆
C
中 ，点
A,B
在
圆上，
AB?AC
的值 （ ）
(A)只与圆C的半径有关；(B)只与弦
AB
的长度有关
（C）既与圆C的半径有关，又与弦
AB
的长度有关
（D）是与圆
C
的半径和弦
AB
的长度均无关的定值
解:答案为B。




改编2 如图2，在半径为r
的定圆C中，A为圆上的一个定点，B为圆上的一个动点，那么
??????
1
3
1
3
4
3
AB?AC
的值可由下列哪些量唯一确 定。请写出所有满足题意的选项的序号
???
2
_________________ .①.
r
②. 弦AB的长 ③.
?BAC
④.
?BCA

解：根据数量积的意义，
AB?AC?ABACcos?BAC?
???
????????????
AB
2
，
C
r
B
故②正确；而
AB?2rcos?BAC
,故③正确；在?ABC
中根据余弦定理可求得
A
???
2
AB?r
2
?r
2
?2r?rcos?BCA
，故④正确。答案：②③④ （图2）
??????
改编3 如图2，在半径为
r
的定圆C中，A为圆 上的一个定点，B为圆上的一个动点，
AB?AC
的取值范围为______________ ___.
解：当B点和A点重合时
AB?0
，
?AB?AC?0
； 当
AB
为圆的直径时
AB?AC?2r
2
，
答案：
0,2r
????
????????????
?
2
?

??????
改编4 如图4，在半径为
r
的定圆C中，A为圆上的一个定点 ，B为圆上的一个动点，若
???
AB?AC?AD
,且点D也圆C上，则
A B?AC?
_________________.
r
C
D
??????

（图4）
A
解：根据向量加法的平行四边形法则，四边形
ABCD
为平行四边形，
????????????
B
r
2
r
2
而
CD?AC?BC?AB?r
，
?
?ABC
为正三角形
?AB?A C?
，答案：
22
??????
改编5 如图5，在半径为
r
的定圆C中，A为圆上的一个定点，B为圆上的一个动点，若

47
C
r