高中数学导数大题精选

高中数学导数大题精选

一、极最值基础
1、（19一中高二期中）
已知函数
f
?
x
?
? x?axlnx?1
?
a?R
?
,g
?
x
?
?e?bx?x
?
b?R
?
.
x2
（Ⅰ）讨论
f
?
x
?
的单调性；
（ Ⅱ）若
x?0
是
g
?
x
?
的极大值点，求
b
的取值范围.








2、 （19三中高二期中）
已知函数
f(x)?e


2x
?ax
2
,a?R
．
（Ⅰ）若
f (x)
在
(0,??)
上单调递增，求
a
的取值范围；
（ Ⅱ）若
f(x)
在
(0,??)
上存在极大值
M
，证明：< br>M?
a
.
4

3、（18格致高二期中）已 知函数
f
?
x
?
?2ax?ln
?
2x
?
,x?
?
0,e
?
,g
?
x
?
?
数，
a?R
.
（1）当
a?1
时，求函数
f?
x
?
的极值；
（2）求证：在（1）的条件下
f
?
x
?
?g
?
x
?
?
lnx
,x?
?
0,e
?
，其中
e
是自然对数的底
x
1
；
2
（3）是否存在实数
a
，使
f
?
x
?
的最小值是
3
，若存在，求出
a
的值；若不存在，请说明 理由.









二、恒成立与存在性
1、（19附中高二期中）已知函数
f(x)?xlnx?a
2
x?a?x(a?R)

2
（1）若函数
f
?
x
?
有两个不同的极值点，求实数的取值范围；
（2）若
a? 2,k?N,g(x)?2?2x?x
，且当
x?2
时，不等式
k(x?2) ?g(x)?f(x)
恒成立，试求
k
的最大
值.
2

2、（19四中高二期末）设函数
f
?
x
?
?xlnx

（1）求曲线
y?f
?
x
?
在点
?
1,f
?
1
?
?
处的切线方程 ；
（2）若
f
?
x
?
…ax
2
?









3、（19一中高二期末）
已知函数
f
?
x
?
?xlnx?2ax?3x?a

2
2
（
a?0
）在区间
?
0,??
?上恒成立，求
a
的最小值.
a
(1)当
a?1
时，求 函数
f
?
x
?
的极大值点；
(2)当
x?0时，不等式
f(x)?0
恒成立，求整数
a
的最小值.

4、（18四中高二期中）已知函数
f(x)?e?x?ax.

（1）
x?R
时，证明：
e?x?1;

（2）当
a?2
时，直线
y?kx?1
和曲线
y?f(x)
切于点
A (m,n)(m?1)
，求实数
k
的值；
（3）当
0?x?1时，不等式
f(x)?0
恒成立，求实数
a
的取值范围.










5、（18格致高二期末）
已知函数
f
?
x
?
? 2lnx?ax?
（1）讨论函数的单调性；
（2）若不等式
x
x2
4f'
?
2
?
2ln2
?
.
?
a?R
?
在
x?2
处的切线经过点
?
-4，
x
2 xlnx
?mx?1
恒成立，求实数
m
的取值范围.
2
1?x

6、
（18格致高二月考）

x
2
已知函数
f
(
x
)?
e
(< br>x
?
ax
?1)(
a
?
R
,
e?2.718??)

（1） 当
a
?0
时，求函数
f
(
x
)
的单调区间；
2?1
??
恒成立，求实数
k
的最大值. （2） 当
a< br>?1
时，不等式
f
(
x
)?
k
(
x
?1)?
e
对任意
x
??1,
?
?










三、双变量
1、（19八中高二期中）已知函数在上有两个零点

（1）求实数的取值范围；
（2）当时，若不等式恒成立，求实数的取值范围.

2．（19格致高二期末）已知函数
f
?
x
?
?mln
?
x?1
?
?
（1）若
f
?
x
?
有
2
个零点，求
m
的取值范围；
（ 2）若
g
?
x
?
?f
?
x
?
?< br>











1
，
m?R
．
x
g
?x
2
?
1
1
?ln2?
．
?x
2< br>有两个极值点
x
1
、
x
2
，且
x
1
?x
2
，求证
x
1
2
x
xa
f( x)?a?x?xlna(a?0,a?1)
. 3、（18八县一中联考高二期中）已知函数
（1）求函数
f(x)
在点
(0,f(0))
处的切线方程；
（2）求函数
f(x)
单调增区间；





（3）若存在
x
1
,x
2
?[?1,1]
，使得
f(x
1
)?f(x
2
)?e?1
(e
是 自然对数的底数
)
，求实数
a
的取值范围．

4、（19福高高二期末）设函数
f
?
x
?
?alnx?bx
2
?3x?2
，其中
a,b?R
. < br>（1）若
a?b
，讨论
f
?
x
?
极值(结果 用
a
表示)；
（2）当
a?1,b??
??
1
时 ，函数
g
?
x
?
?2f
?
x
?
?
?
?
?3
?
x?2
，若
x
1
,x
2
?
x
1
?x
2
?
满足
g
?
x
1
?
?g
?
x
2
?
，且< br>2
x
1
?x
2
?2x
0
，证明：
g
'
?
x
0
?
?0
.









四、不等式证明
1.（（19福高高二期中））已知函数
f
?
x
?
?lnx?kx ?1

（1）求
f
?
x
?
的单调区间
（ 2）若
??
?
0,??
?
，都有
f
?
x< br>?
?0
，求实数
k
的取值范围：
（3）证明：
ln 2ln3lnn
n
?
n?1
?
??
K
??
（
n
?
N
?
且
n?2
）
34n?14

2．（19四中高二期中）
已知函数
f
?
x
?
?alnx?x
，其中
a?R
．
2
（Ⅰ）讨论
f
?
x
?
的单调性；
2
（Ⅱ）当
a?1
，
证明：
f
?
x
?
?x?x?1
；
（Ⅲ）求证：对任意正整数
n
，都有
(1?)(1?
111

)???(1?)?e
（其中
e?2.7183
为自然对数的底数）．
2n
2









3.（19一中高二期中）
已知函数
f
?
x
?
?
ax
2
?x?1
e
x
.
（Ⅰ）求曲线
y ?f
?
x
?
在点
?
0,?1
?
处的切线方 程；
（Ⅱ）证明：当
a?1
时，
f
?
x
?
?e?0
.
22

五、零点问题
1.（19附中高二期末）
已知函数
f
?
x
?
? e?ax
?
a?R
?

x2
（Ⅰ）已知
f
?
?
x
?
是
f
?
x
?
的导函数， 求
f
?
?
x
?
的极值
（Ⅱ）设函数
g< br>?
x
?
?xe?f
?
x
?
，若
g< br>?
x
?
有两个零点，求实数
a
的取值范围
x









2、（19八中高二期末）已知函数
f
?
x
?
?mlnx< br>，
m?R
.
（1）若函数
y?f
?
x
?< br>?x
的最小值为0，求
m
的值；
（2）若函数
y?f
?
x
?
与
h
?
x
?
?
x?1< br>?
x?0
?
的图像在
?
1,0
?
处有公切线
l
，
2x
（ⅰ）求
m
的值；（ⅱ）求证：
y?f
?
x
?
与
y?h
?
x
?
的公切线只有
l
一条.

3、（19三中高二期 末考）已知函数
f
?
x
?
?x
2
?2ax?a2
?2bxlnx
，其中
a?0
，
a
，
b?R
．











六、极值点偏移
1、（18三中高二期中）已知函数
f
?
x
?
?
（1）讨论
f
?
x
?
的单调性；
（2）设
a?0

（ⅰ）证明：当
0?x? a
时，
f
?
x
?
?f
?
2a?x
?
；
（ⅱ）若函数
y?f
?
x
?
的图 象与直线
y?b
交于
A,B
两点，线段
AB
中点的横坐标< br>x
0
，试比较
f
?
?
x
0
?
与
（Ⅰ）设
g
?
x
?
是函数
f
?
x
?
的导函数，讨论
g
?
x
?
的单调性； （Ⅱ）证明：当
b?1
时，存在
0?a?1
，
f
?x
?
?0
且当
x?1
时，
f
?
x?
?0
有唯一解．
1
2
?
1
?
x?
?
?2
?
x?lnx
，
a
?
a
?
f
?
?
a
?
的大小.

2（19福州一检）设函数
f
?
x
??
?
ax?1
?
e
1?x
.
（I）当
a?0
时，求函数
f
?
x
?
的单调区间；
（I I）当
a?1
时，若函数
f
?
x
?
与函数
y?x?4x?m
?
m?R
?
的图像总有两个交点，设两个交点的横坐
2
标分别为
x
1
，x
2
，
①求
m
的取值范围；
②求证：
x
1
?x
2
?4
.







七、实际应用
1．（（19三中高二期中））
如图，某城市公园有一湖泊，
AB
是一段 笔直的湖岸，长为1000m。为便于市民休闲观光，市政府决定在湖
面上修建一条观光栈道，设计方案 如下：以
AB
的中点
O
为圆心、
1003m
为半径作一个半 圆交
AB
于
C,D
两
点，过
BD
上一点
N
作直线
MN
与半圆
O
相切于点
M
，要求
O ,N
之间的距离不小于
200m
，观光栈道沿线段
MN
和圆弧
CM
建造.已知线段
MN
的部分造价为每米0.1万
元，圆弧
CM
部分的造价为每米0.2万元，记
?BOM?Xrad
，
建造长廊的总费用为
W
万元.



（Ⅰ）试将
W
表示为
x
的函数；
（Ⅱ）如何选取点
N
的位置，能使
W
最小.

2、（19附中高二期中）某工艺品厂要生产如图所示的一种工艺品，该工艺 品由一个实心圆柱体和一个实心半球
体组成，要求半球的半径和圆柱的底面半径之比为
3:2< br>，工艺品的体积为
34
?
cm
3
.现设圆柱的底面半径为??
2x
?
cm
?
，工艺品的表面积为
S
?< br>cm
2
?
，半球与圆柱的接触面积忽略不计.
（1）试写出
S
关于
x
的函数关系式并求出的取值范围；
（2）求
S
最小值.








3、（18八县一中联考高二期中）
某商场销售某种商品的 经验表明，该商品每日的销售量
y
（单位：千克）与销售价格
x
（单位：元千 克）满足
关系式
y?
千克。
(I）求
a
的值
( II）若该商品的成品为3元千克，试确定销售价格
x
的值，使商场每日销售该商品所获得的利 润最大。

a
?10(x?6)
2
，其中
3?x?6，
a
为常数，已知销售价格为5元千克时，每日可售出该商品11
x?3