高中数学好题题目归类

一、 数列求通项：
1、 设数列{a
n
}满足a
1
+3a
2
+3
2
a
3
+…+3
n-1
a
n
=
再写一个式子做差法
2、 公式法
n
(n∈N
*
)，求数列的通项公式。
3
?
s
1
，n?1
3、
a
n
?
?

s?s，n?2
n?1
?n
①已知各项均为正数的数列{a
n
}前n项和为S
n
，首项为 2，且2，a
n
，S
n
成等差数列。
（Ⅰ）求数列{a
n
}的通项公式；（Ⅱ）若
b
n
?log
2
a
n,c
n
?
4、 累加法
5、 累乘法
6、 取倒数法（分式形式）
7、 两边同时加一个数构造新数列法
8、 两边同时除以一个因式构造新数列法
b
n
，求数列{c
n
}的前n项和T
n
.
a
n
二、 圆锥曲线
（一） 求离心率的值或范围。
1
：若椭圆经过原点，且焦点为
F
1
?
1,0
?
、
F
2
?
3,0
?
，则其离心率为（

）

A.
3211
B. C. D.
4324
3
36
B. C. D
2

2
22
2：如果双曲线的实半轴长为2，焦距为6，那么双曲线的离心率为（ ）
A.
x
2
y
2
3：设双曲线
2
?< br>2
?1
（
0?a?b
）的半焦距为
c
，直线
L
过
?
a,0
?
，
?
0,b
?
两 点.已知原
ab
点到直线的距离为
3
c
，则双曲线的离心率为( )
4
A.
2
B.
3
C.
2
D.
23

3
0
4：双曲线虚轴 的一个端点为
M
，两个焦点为
F
1
、
F
2
，
?F
1
MF
2
?120
，则双曲线的离
心率为（ ）
A
3
B
663
C D
233

5、设椭圆的 两个焦点分别为
F
1
、
F
2
，过
F
2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点
P
，若
?F
1
PF
2为
等腰直角三角形，则椭圆的离心率是________。
6．已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，则椭圆的离心率等于（ ）
A．
1

3
B．
3

3
C．
1

2
D．
3

2
4
x
2
y
2
7．已知双曲线
2
?
2
?1
的一条渐近线方程为
y?x
，则双曲线的离心率为（ ）
3
ab
A
543
5
B C D
332
4
x
2
y
2
8．如图，
F
1
和
F
2
分别是双曲线
2< br>?
2
?1
（
a?0,b?0
）的两个焦点，
A
和
B
是以
O
ab
为圆心，以
OF
1
为 半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且
?F
2
AB
是等边三角形，
则双曲线的离心率为（ ）
A
3

5

2
B
5

3?1
C D
x
2
y
2
9．设
F
1
、
F
2
分别是双曲线
2
?
2
?1
的左、右焦点，若双曲线上存 在点
A
，使
ab
?F
1
AF
2
?900
，且
AF
1
?3AF
2
，则双曲线离心率为（ ）
A
5

2
B
10

2
C
15

2
D
5

x
2
y
2
0
10．已知双曲线
2
?
2
?1
（
a?0,b?0
）的右焦点为
F< br>，若过点
F
且倾斜角为
60
的
ab
直线与双曲线的右 支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是（ ）
1,2
?
B
?
1,2
?
C
?
2,??
?
D
?
2,??
?
A
?
11.已知椭圆E的短轴长为6，焦 点F到长轴的一个端点的距离等于9，则椭圆的离心率等于
________
12.在
?ABC
中，
A?90?,tanB?
率
e?
_________ _______
3
，若以
A,B
为焦点的椭圆经过点
C
， 则该椭圆的离心
4

x
2
y
2< br>13.过椭圆
2
?
2
?1
(
a?b?0
)的 左焦点
F
1
作
x
轴的垂线交椭圆于点
P
，
F
2
为右焦点，
ab
若
?F
1
PF
2?60
，则椭圆的离心率为
A．
11
23
B． C． D．
23
23
2 2
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x y
14.

椭圆
2
+
2
=1(a>b >0)的两焦点为F
1
、F
2
，以F
1
F
2
为边作正三角形，若椭圆恰好
a b
平分正三角形的两边，则椭圆的离心率e=______________
x y
15.

椭圆
2
+
2
=1(a>b >0)的两焦点为F
1
、F
2
，点P在椭圆上，使△OPF
1
为正三角形，
a b
则椭圆离心率为_____________

x y
16. 椭圆
2
+
2
=1(a>b >0)，A是左顶点，F是右焦点，B是短轴的一个顶点，
a b
∠ABF=90°，则求e=______________

2 2
2 2
x
2
y
2
17.在平面直角坐标系
xoy
中，A
1
,A
2
,B
1
,B
2
为椭圆2
?
2
?1(a?b?0)
的四个顶点，
F
ab
为其右焦点，直线
A
1
B
2
与直线
B
1
F
相交于点T，线段
OT
与椭圆的交点
M
恰为线段
OT的
中点，则该椭圆的离心率为 .
x
2
y2
18.已知椭圆
2
?
2
?1(a?b?0)
的左、右 焦点分别为
F
若椭圆上存在
1
(?c,0),F
2
(c,0 )
，
ab
一点
P
使
ac
，则该椭圆的离心率的取值 范围为 ．
?
sinPF
1
F
2
sinPF
2
F
1
19.
已知F
1
、F
2
是椭圆的两个焦点．满足
MF
1
·
MF
2
＝0的 点M总在椭圆内部，则椭圆
离心率的取值范围是
A．(0，1) B．(0，
2 2
1
22
] C．(0，) D．[，1)
2
22
x y
20. 椭圆
2
+
2
=1(a>b >0)的两焦点为F
1
（-c，0）、F
2
(c,0)，P是椭圆上一点，且∠
a b
F
1
PF
2
=60°，求e的取值范围？

x y
→
21. 椭圆
2
+
2
=1(a>b >0)，斜率为1，且过椭圆右焦点F的直线交椭圆于A、B两点，
OA
a b
→→
+
OB
与
a
=(3,-1)共线，求e?

2 2
x
2
y
2
22.
设椭圆C：
2< br>?
2
?1(a?b?0)
的左焦点为F，过点F的直线与椭圆C相交于A，ab

B两点，直线l的倾斜角为60
o
,< br>AF?2FB
.求椭圆C的离心率；
x
2
y
2
2 3、连接椭圆
2
?
2
?1(a?b?0)
的一个焦点和一个顶点得到 的直线方程为
ab
x?2y?2?0
，则该椭圆的离心率为（ ）
12
25
5

A．
5
B．
2
C．
5
D．
3


（二） 求最值。
x
2
y
2
??1
的左焦点，P是椭圆上任意一点， 1、已 知点A（1，1），而且F
1
是椭圆
95
求|PF
1
|+| PA|的最小值和最大值。
x
2
?y
2
?1
上任意一点， F
1
，F
2
是椭圆的两个焦点，求： 2、已知P为椭圆
4
（1）|PF
1
|●|PF
2
|的最值；（2）|PF
1
| +|PF
2
|的最值；
22
x
2
?y
2
?1
上任意一点P，则|PA|的最大值为_____。 3、已知点A（0，2）及椭圆
4< br>x
2
y
2
??1
的点到直线x+2y-
2
= 0的最大距离是________。 4、椭圆
164
x
2
y
22
-?1
右支上的一点，M，N分别是圆
?
x?5
?
? y
2
?4
和 5、P是双曲线
916
?
x?5
?< br>2
?y
2
?1
上的点，则|PM|-|PN|的最大值为______ ______。
x
2
y
2
-?1
的左焦点，点P是双曲线 右支6、已知定点A的坐标为（1,4），点F是双曲线
412

上的动点，则|PF|+|PA|的最小值为___________。
7、已知抛物线的方 程为x
2
=8y，F是焦点，点A（-2,4），在此抛物线上求一点P，使
|PF|+|PA|的值最小。
8、在
y
2
??4x
上求 一点P，使其到焦点F的距离与到
A
?
?2,1
?
的距离之和最小， 则该点
为 （ ）
?
1
??
1
?
,1
?
B、
?
,1
?
C、
?2,?22
D、
?2,22

?
4
?
?
4
?
11
9、已知一条曲线C上每一点到点
F(0,)
的距离与到直线
y??的距离都相等。
1616
A、
?
?
（1）求曲线C的方程；
（2）求曲线C上一点，使这点到直线y＝4x－5的距离最短。

??
??
（三）弦中点问题：
1、以P（1,2）为中点作双曲线2x2
-y
2
=2的一条弦AB，则直线AB的方程为_______。
x
2
y
2
??1
，弦AB的中点是M（3,1）2.已知椭圆，求弦A B所在直线的方程。
369
y
2
?1
，试问:是否存在被点B（1 ，1）平分的弦？如果存在，求出弦3：已知双曲线
x?
2
2
所在的直线方程 ；如果不存在，说明理由。
1
x
2
y
2
4、过点
M(1,1)
作斜率为
?
的直线与椭圆
C
：
2
?< br>2
?1(a?b?0)
相交于
A,B
，若
M
2
ab
是线段
AB
的中点，则椭圆
C
的离心率为 .

（四）焦点三角形问题
2
x
?y
2
?1
上，F
1
，F
2
分别是该椭圆的两焦点，且
?F
1
PF
2
?90?
，则1.若点
P
在椭圆
2
?F< br>1
PF
2
的面积是
（五）由定义求轨迹方程
1、设圆C与两圆（x+
5
）
2
+y
2
=4，（x-
5
）
2
+y
2
=4中的一个内切，另一个外切，求圆C
的 圆心轨迹L的方程。
2、已知动圆M与圆C
1
：（x+3）
2
+y
2
=9外切且与圆C
2
：（x-3）
2
+y
2=1内切，则动圆圆心M
的轨迹方程是________.
3、已知定圆C
1< br>：（x+5）
2
+y
2
=1，C
2
：（x-5）2
+y
2
=16.动圆M与定圆C
1
C
2
相外切，求动圆圆

心M的轨迹方程。 4、已知两圆C
1
：
(x?4)
2
?y
2
?1 69
，C
2
：
(x?4)
2
?y
2
?9< br>，动圆C在圆C
1
内部且与圆
C
1
相内切，与圆C
2
相外切，则动圆C圆心的轨迹方程__________。
（六）弦长问题
1、如 图，设P是圆
x
2
?y
2
?25
上的动点，点D是P在x轴 上的投影，M为PD上
一点，
且
|MD|?
4
|PD|
。
5
（1）当P在圆上运动时，求点M的轨迹C的方程；
【相关点法】

（2）求过点（3，0）且斜率为
4
的直线被C所截线段的长度。
5











2、已知抛物线y
2
=4x的弦AB经过它的焦点F，弦AB的 长为20，求直线AB的方程。
x
2
?y
2
?1
相交于A ，B两点，当m变化时，求|AB|的最大值。3、已知直线y=x+m与椭圆
4
4、已知抛 物线C的顶点在原点，对称轴是X轴，它的弦PQ所在直线的方程为y=2x+1，弦
长等于
1 5
，求抛物线C的方程。
（七）直线与圆锥曲线位置关系问题
1、已知动圆过定点
?
1,0
?
，且与直线
x??1
相切. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
(1) 求动圆的圆心轨迹
C
的方程；
(2) 是否存在直线
l
，使
l
过点（0，1），并与轨迹
C
交于
P,Q
两点，且满足
OP?OQ?0
？
若存在，求出直线
l
的方程；若不存在，说明理由.

三、不等式恒成立问题
1、已知函数
f(x)?mx
2
?mx?1

（1）若对于任意的
x?R,f(x)?0
恒成立，求实数m的取值范围。
（2）若对于任意
x?[1,3],f(x)?5?m
恒成立，求实数m的取值范围。
四、解不等式
1、解关于 x的不等式
x?a
?0

x? 1
(x?1)
2
(x?2)
2、
不等式
?0
的解集 是（ ）
(x?3)(x?4)
A、
{x|x??2或3?x?4}
B、{
x|x??2或3?x?4}

C、{x|
x??2或3?x?4}
D、
{x|x??2或〈3x?4或x?1}

3、解不等式：
x?1?ax ?
4、不等式
2
1
x(a?0)

a
x
?0
的解集是 。
1?x
5、ax
2
-(a+1)x+1＜0
6、
1
＞1
x-a
7、ax
2
-2(a+1)x+4＜0
8、若正数x，y满 足2x+y-2=0，则
2
x?2y
的最小值为__________。
xy
9、
x?1
＜
ax?
1
x
.
a
10、已知函数f(x)=ax
2
-(a+1)x+1，
①当a=2时解不等式f(x) ＞0
②若a≧0,解不等式f(x) ＜0
③若f(x)+2ax≧0在区间（1，+∞）上恒成立，求实数a的取值范围。

10、已知实数a满足不等式-3＜a＜3，解不等式（x-a）(x+1) ＞0
11、x
2
+(a-3)x-3a＞0
12、不等式x
2< br>-ax-12a
2
＜0(其中a＜0)的解集是___________
五、均值不等式
1
、若
x?0,y?0,且
28
??1< br>，则x+y的最小值为______________________。
xy
22< br>2.已知x，y为正实数，且满足
2x?8y?xy?2
，则
x?2y
的最大值是( )
A．
24
2242
B． C． D．
33
33
六、常用逻辑用语
2
2
1 、设
p
：方程
x?mx?1?0
有两个不等的负根，
q
：方 程
4x?4(m?2)x?1?0
无实根，
若
p
或
q
为真，
p
且
q
为假，求
m
的取值范围．
2
2、 “
x?3x?2?0
”是“
x?1
” 的（ ）条件 （ ）
A、充分不必要 B、必要不充分 C、充要 D、既不充分也不必要
七、函数导数
1、f(x)是定义在R上的偶函数，当x＜0时，f (x)+x?
f
?
(x)
＜0且f(-4)=0，
则不等式x?f(x) ＞0的解集是（ ）
2、已知对任意实数x，有f(-x)=-f (x),g(-x)=g(x),且x＞0时，
f
?
(x)
＞0，
g
?
(x)
＞0，则x＜0
时，（）
A、
f
?(x)
＞0，
g
?
(x)
＞0，B、
f
?(x)
＞0，
g
?
(x)
＜0，
C、
f?
(x)
＜0，
g
?
(x)
＞0，B、
f?
(x)
＜0，
g
?
(x)
＜0，
练：设f(x)，g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数，当x <0时，
f ′(x)g(x)+f(x)g′(x)>0，且g(－3)＝0，则不等式f(x)g(x)<0的解集是（ ）
A (－3，0)∪(3，+∞) B (－3，0)∪(0，3)
C (－∞，－3)∪(3，+∞) D (－∞，－3)∪(0，3)

3、方程x
3
-3x=k有3个不等实根，则常数k 的取值范围是 ———— < br>1
3
x?(m?2)x
2
?x
在（1，3）上不是单调函数， 求实数m的范围。
3
3
5、设
f(x)?lnx?x?1
，证明当 x＞1时，
f(x)?(x?1)
。
2
32
6．已知函数
f(x)?2x?3x?3.

（1）求曲线
y?f(x)
在点
x?2
处的切线方程；
4、若
g(x)?

（2）若关于
x< br>的方程
f
?
x
?
?m?0
有三个不同的实根，求实数
m
的取值范围.
7.
已知函数f(x)＝ln(x+1)－x．
(1)
求函数f(x)的单调递减区间；
1
?ln(x?1)?x
．
x?1
8．
已知a为实数，< br>f(x)?(x
2
?4)(x?a)
。
(1)求导数
f
?
(x)
；
(2)若
f
?
(?1)?0
，求
f(x)
在[－2，2] 上的最大值和最小值；
(3)若
f(x)
在(－∞，－2)和（2，+∞）上都是递增的，求a的取值范围。
(2)
若
x??1
，证明：
1?

9．
用总长
14.8 m
的钢条制作一个长方体容器的框架，如果容器底面的长比宽多
0.5 m
，
那么长和宽分别为多少时容器的容积最大？并求出它的最大容积 .

10、已知函数
f(x)?x
3
?ax
2
?bx?c
在x??
（1）求
a，b
的值及函数
f(x)
的单调区间；
2
与
x?1
时都取得极值．
3
，2]
，不等式< br>f(x)?c
2
恒成立，求
c
的取值范围． （2）若对
x?[?1