人教版高中数学全套试题3章高考真题

第三章 概 率
本章归纳整合
高考真题
1．(2011·新 课标全国高考)有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位
同学参加各个小组的可能 性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为 ( )．
1123
A. B. C. D.
3234
解析 本 小题考查古典概型的计算，考查分析、解决问题的能力．因为两个同学参加兴
趣小组的所有的结果是3× 3＝9(个)，其中这两位同学参加同一兴趣小组的结果有3个，
31
所以由古典概型的概率计 算公式得所求概率为＝.
93
答案 A
2．(2012·辽宁高考)在长为12 cm的线段AB上任取一点C.现作一矩形，邻边长
分别等于线段AC，CB的长，则该矩形面积大于2 0 cm
2
的概率为 ( )．
1
A.
6

解析

1
B.
3

2
C.
3

4
D.
5


此概型为几何概型，由于在长为12 cm的线段AB上任取一点C，因此总的几
何度量为12，满足矩形面积大于20 cm
2的点在C
1
与C
2
之间的部分，如图所
82
示．因此所 求概率为
12
，即
3
，故选C.
答案 C
3．(201 1·陕西高考)甲、乙两人一起去游“2011西安世园会”，他们约定，各自
独立地从1到6景点中任 选4个进行游览，每个景点参观1小时，则最后一
小时他们同在一个景点的概率是
1
A.
36

1
B.
9

5
C.
36


1
D.
6

( )．

解析 考查学生的观察问题和解决问题的能力． 最后一个景点甲有6种选法，
61
乙有6种选法，共有36种，他们选择相同的景点有6种，所 以P＝
36
＝
6
，
所以选D.
答案 D
4．( 2011·江苏高考)从1，2，3，4这四个数中一次随机地取两个数，则其中一个
数是另一个数的两 倍的概率是________．
解析 本题考查了古典概型问题，古典概型与几何概型两个知识点轮换 在高
考试卷中出现．从1，2，3，4这四个数中一次随机取两个数，共有6种取法，
其中1， 2；2，4这两种取法使得一个数是另一个数的两倍，由此可得其中一
21
个数是另一个数的两 倍的概率是P＝
6
＝
3
.
1
答案
3

5．(2012·湖北高考改编)如图，在圆心角为直角的扇形OAB中，
分别以OA，OB为 直径作两个半圆．在扇形OAB内随机取
一点，则此点取自阴影部分的概率是________． 解析设OA＝OB＝2R，连接AB，如图所示，由对称性
1
可得，阴影的面积就等于直角 扇形拱形的面积，S
阴影
＝
4
1
π(2R)
2
－< br>2
×(2R)
2
＝(π－2)R
2
，S
扇
＝ πR
2
，故所求的概
（π－2）R
2
2
率是＝1－.
2
πRπ
答案 1－
2

π
6．(2012·安徽高考)若某产品的直径长与标准值的差的绝对值不超过1 mm时，< br>则视为合格品，否则视为不合格品，在近期一次产品抽样检查中，从某厂生
产的此种产品中，随机 抽取5 000件进行检测，结果发现有50件不合格品，
计算这50件不合格品的直径长与标准值的差 (单位：mm)，将所得数据分组，
得到如下频率分布表：
分组
[－3，－2)
频数

频率
0.10

[－2，－1)
(1，2]
(2，3]
(3，4]
合计
8

10

50

0.50


1.00
(1)将上面表格中缺少的数据填在相应位置上；
(2)估计该厂生产的 此种产品中，不合格品的直径长与标准值的差落在区间(1，
3]内的概率；
(3)现对该厂 这种产品的某个批次进行检查，结果发现有20件不合格品，据此
估算这批产品中的合格品的件数．
解 (1)频率分布表
分组
[－3，－2)
[－2，－1)
(1，2]
(2，3]
(3，4]
合计
频数
5
8
25
10
2
50
频率
0.10
0.16
0.50
0.20
0.04
1.00
( 2)由频率分布表知，该厂生产的此种产品中，不合格品的直径长与标准值的
差落在区间(1，3]内的 概率约为0.50＋0.20＝0.70；
(3)设这批产品中的合格品数为x件，依题意有
5020
＝
5 000
x＋20
，
5 000×20
解得x＝－20＝1 980.
50
所以该批产品的合格品件数估计是1 980件．
7．(2011·山东高考) 甲、乙两校各有3名教师报名支教，其中甲校2男1女，乙
校1男2女．
(1)若从甲校和乙 校报名的教师中各任选1名，写出所有可能的结果，并求选
出的2名教师性别相同的概率；
( 2)若从报名的6名教师中任选2名，写出所有可能的结果，并求选出的2名

教师来自同 一学校的概率．
解 (1)甲校两男教师分别用A、B表示，女教师用C表示；乙校男教师用D
表示，两女教师分别用E、F表示．
从甲校和乙校报名的教师中各任选1名的所有可能的结果为：
(A，D)，(A，E)，(A，F)，(B，D)，(B，E)，(B，F)，(C，D)，(C，E )，(C，
F)共9种，从中选出两名教师性别相同的结果有：
(A，D)，(B，D)，( C，E)，(C，F)共4种，选出的两名教师性别相同的概率
4
为P＝
9
.
(2)从甲校和乙校报名的教师中任选2名的所有可能的结果为：
(A，B)，(A，C)， (A，D)，(A，E)，(A，F)，(B，C)，(B，D)，(B，E)，(B，
F)，(C，D )，(C，E)，(C，F)，(D，E)，(D，F)，(E，F)共15种．
从中选出两名教师来自同一学校的结果有：
(A，B)，(A，C)，(B，C)，(D，E)，(D，F)，(E，F)共6种，
62
选出的两名教师来自同一学校的概率为P＝
15
＝
5
.
8．(2012·湖南高考)某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员
工随机 收集了在该超市购物的100位顾客的相关数据，如下表所示.
一次购物量
1至5至8
4件 件
9至13至17件及
以上 12件 16件
顾客数(人)
结算时间
(分钟人)
x

1
30

1.5
25

2
y

2.5
10

3
已知这100位顾客中一次购物量超过8件的顾客占55%，
(1)确定x，y的值，并估计顾客一次购物的结算时间的平均值；
(2)求一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率．(将频率视为概率)．
解 (1)由已知得25＋y＋10＝55，x＋30＝45，所以x＝15，y＝20.
该超市所有顾客 一次购物的结算时间组成一个总体，所收集的100位顾客一

次购物的结算时间可视为总 体的一个容量为100的简单随机样本，顾客一次
购物的结算时间的平均值可用样本平均数估计，其估计 值为
1×15＋1.5×30＋2×25＋2.5×20＋3×10
＝1.9(分钟)． 100
(2)记A为事件“一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟”，A
1
， A
2
，A
3
分别表示事件“该顾客一次购物的结算时间为1分钟”“该顾客一 次购物的
结算时间为1.5分钟”“该顾客一次购物的结算时间为2分钟”，将频率视为
概率得
153303251
P(A
1
)＝＝，P(A
2
)＝＝，P (A
3
)＝＝.
14
因为A＝A
1
∪A
2
∪A
3
，且A
1
，A
2
，A
3
是互斥事 件，
3317
所以P(A)＝P(A
1
∪A
2
∪A
3
)＝P(A
1
)＋P(A
2
)＋P(A
3
)＝
20
＋
10
＋
4
＝
10
.
7
故一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率为
10
.
9 ．(2011·福建高考)某日用品按行业质量标准分成五个等级，等级系数X依次为1,2,3,4,5.现< br>从一批该日用品中随机抽取20件，对其等级系数进行统计分析，得到频率分布表如下：
X
f
1
a
2
0.2
3
0.45
4
b
5
c
(1)若所抽取的20件日用品中，等级系数为4 的恰有3件，等级系数为5的恰有2件，
求a，b，c的值；
(2)在(1)的条件下，将等 级系数为4的3件日用品记为x
1
，x
2
，x
3
，等级系数 为5的2件
日用品记为y
1
，y
2
.现从x
1
，x
2
，x
3
，y
1
，y
2
这5件日用品中任 取两件(假定每件日用品被
取出的可能性相同)，写出所有可能的结果，并求这两件日用品的等级系数恰 好相等的概
率．
解 (1)由频率分布表得a＋0.2＋0.45＋b＋c＝1，即a＋b＋c＝0.35.
3
因为抽取的20件日用品中，等级系数为4的恰有3件，所以b＝＝0.15，
2 0
2
等级系数为5的恰有2件，所以c＝＝0.1，从而a＝0.35－b－c＝0.1.
20
所以a＝0.1，b＝0.15，c＝0.1.
(2)从日用品x
1< br>，x
2
，x
3
，y
1
，y
2
中任取 两件，所有可能的结果为：{x
1
，x
2
}，{x
1
，x< br>3
}，{x
1
，
y
1
}，{x
1
， y
2
}，{x
2
，x
3
}，{x
2
，y< br>1
}，{x
2
，y
2
}，{x
3
，y
1
}，{x
3
，y
2
}，{y
1
，y
2
}．
记事件A表示“从日用品x
1
，x
2
，x
3
，y
1
，y
2
中任取两件，其等级系数相等”，则A包含
的 基本事件为：{x
1
，x
2
}，{x
1
，x
3}，{x
2
，x
3
}，{y
1
，y
2
}，共4个．

又基本事件的总数为10，
4
故所求的概率P(A)＝＝0.4.
10