(完整版)高中数学应用题

江苏省金湖中学2013届高三数学导学案 主备：纪健 2013-04-10
函数、不等式型
1、某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的 销售量y（单位：千克）与销售价格x
（单位：元千克）满足关系式
y?
a
? 10(x?6)
2
，其中3a
为常数．已知销售
x?3< br>价格为5元千克时，每日可售出该商品11千克．
（Ⅰ）求
a
的值；
（Ⅱ）若该商品的成品为3元千克，试确定销售价格x的值，使商场每日销售该商品
所获得的利润最大 ．
解：（Ⅰ）因为x=5时，y=11，所以
a
?10?11,a?2.

2
2
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，该商品每日的销售量
y??10(x?6)
2
,

x?3
所以商场每日销售该商品所获得的利润
f(x)? (x?3)[
从而，
2
?10(x?6)
2
]?2?10(x?3) (x?6)
2
,3?x?6
.
x?3
f'(x)?10[(x?6 )
2
?2(x?3)(x?6)]?30(x?4)(x?6)
，
于是，当x变化时，






f'(x),f(x)
的变化情况如下表：
（3，4）
+
单调递增
4
0
极大值42
（4，6）
-
单调递减
x

f'(x)

f(x)

由上表可得，x=4是函数
所以，当x=4时，函数
f(x)
在区间（3，6）内的极 大值点，也是最大值点，
f(x)
取得最大值，且最大值等于42.
答：当销售价格为4元千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大.
2、某汽车生产企业 上年度生产一品牌汽车的投入成本为10万元辆，出厂价为13万元
辆，年销售量为5000辆.本年度 为适应市场需求，计划提高产品档次，适当增加投入成本，
若每辆车投入成本增加的比例为
x< br>（0＜
x
＜1
)
，则出厂价相应提高的比例为0.7
x
，年销
售量也相应增加.已知年利润=（每辆车的出厂价－每辆车的投入成本）×年销售量.
（1）若年销售量增加的比例为0.4
x
，为使本年度的年利润比上年度有所增加，则投入成
本增加的比例
x
应在什么范围内？
（2）年销售量关于
x
的函数为
y?3240(?x
2
?2x?)
，则当
x
为何值 时，本年度的年利
1
5
3

江苏省金湖中学2013届高三数学导学案 主备：纪健 2013-04-10
润最大？最大利润为多少？
解：（1）由题意得：本年度每辆车的投入成本为10×（1+x）；
出厂价为13×（1+0.7x）；年销售量为5000×（1+0.4x）， …………2分
因此本年度的利润为
y?[13?(1?0.7x)?10?(1?x)]?5 000?(1?0.4x)

?(3?0.9x)?5000?(1?0.4x)

即：
y??1800x?1500x?15000(0?x?1),
……………6分
由
?1800x
2
?1500x?15000?15000
， 得
0?x?
（2）本年度的利润为
2
5
……8分
6
5
f(x)?(3?0.9x)?3240?(?x
2
?2x?)?3240?(0.9x
3
?4.8x
2
?4.5x?5)

3
'2
则
f(x)?3240?(2.7x?9.6x?4.5)?97 2(9x?5)(x?3),
……10分
由
f
'
(x)?0,解得x?
5
或x?3,
< br>9
55
99
55
∴当
x?
时，
f(x)取极 大值f()?20000
万元， ……12分
99
因为
f(x)
在（0，1）上只有一个极大值，所以它是最大值， ……14分
所以当
x?
当
x?(0,)时，f
'
(x)? 0,f(x)
是增函数；当
x?(,1)时，f
'
(x)?0,f(x)是减函数.
5
时，本年度的年利润最大，最大利润为20000万元． ……15分
9
3、某民营企业生产
A,B
两种产品，根据市场调查与预测，
A
产品的利润与投资成正比，
其关系如图甲，
B
产品的利润与投资的 算术平方根成正比，其关系如图乙(注：利润
与投资单位：万元)．

甲 乙
（Ⅰ）分别将
A,B
两种产品的利润表示为投资
x
(万元)的函数关系式；
（Ⅱ）该企 业已筹集到10万元资金，并全部投入
A,B
两种产品的生产，问：怎样分配这
2

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10万元投资，才能使企业获得最大利润，其最大利润为多少万元?
解：（Ⅰ）设投资为x万 元,A产品的利润为
f(x)
万元,B产品的利润为
g(x)
万元.
由题设
f(x)?k
1
x,g(x)?k
2
x

11
,故
k
1
=
44
55
又
g(4)?,?k
2
?

2 4
由图知
f(1)
=
从而
f(x)?
15
x(x? 0),g(x)?x(x?0)
44
.
15
x?10?x(0?x?10)

44
（Ⅱ）设A产品投入x万元,则B产品投入10-x万元,设企业利润为y万元.
y?f(x)?g(10?x)?
10?t
2
51565
?t??(t?)
2
?(0?t?10)
令
t?10?x
，
则
y?
444216
.
当
t?
565
时,y
max
?,此时x?3.75

216
.
65
万元.
16答：当A产品投入3.75万元，B产品投入6.25万元,企业最大利润为
4、如图所示，一科学 考察船从港口
O
出发，沿北偏东
?
角的射线
OZ
方向航行， 而在离
港口
13a
（
a
为正常数）海里的北偏东
?
角的A处有一个供给科考船物资的小岛，其中
7
2
1
．现指挥部需要紧急征调 沿海岸线港口
O
正东m（
m?a
）海
tan
?
?< br>，
cos
?
?
3
3
13
里的B处的补给船， 速往小岛A装运物资供给科考船，该船沿BA方向全速追赶科考船，
并在C处相遇．经测算当两船运行的 航向与海岸线OB围成的三角形OBC的面积最小时，
这种补给最适宜．
北
⑴ 求S关于m的函数关系式
S(m)
；
Z
⑵ 应征调m为何值处的船只，补给最适宜．





3
C
A
O
B
东

江苏省金湖中学2013届高三数学导学案 主备：纪健 2013-04-10
【解】 ⑴以O为原点，OB所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，则直线OZ方程为
y?3x
． ………………2分
设点
A
?
x
0
,y
0
?
， 则< br>x
0
?13asin
?
?13a?
3
13
? 3a
，
y
0
?13acos
?
?13a?
2
13
?2a
，
即
A
?
3a,2a
?
， 又
B
?
m,0
?
，所以直线AB的方程为
y?
上面 的方程与
y?3x
联立得点
C(
2a
?
x?m
?< br>．
3a?m
2am6am
,)
……………5分
3m?7a3m?7a
13am
2
7
?S(m)?OB?|y
C
|?(m?a)
………………8分
23 m?7a3
??
2
?
749a14
?
49a
21428a
2
⑵
S(m)?a
?
(m?a)?
……12分
?a
?
?a(2?a)?
7
33933
??< br>9(m?a)
??
3
??
49a
2
14
时， 即
m?a
时取等号， ……………14分
7
3
9(m?a )
3
13am
2
7
答：S关于m的函数关系式
?S(m)? OB?|y
C
|?(m?a)

23m?7a3
14
⑵ 应征调
m?a
处的船只，补给最适宜． ………………15分
3
7< br>当且仅当
m?a?
3
5、某生产饮料的企业准备投入适当的广告费，对产品进行 促销.在一年内，预计年销量
Q
（万件）与广告费
x
（万元）之间的函数关系 为
Q?
3x?1
(x?0)
.已知生产此产品的年
x?1
固 定投入为3万元,每生产1万件此产品仍需要再投入32万元,若每件售价为“年平均每
件成本的150 %”与“年平均每件所占广告费的50%”之和.
(1) 试将年利润
W
万元表示为年广告费
x
万元的函数；
(2) 当年广告费投入多少万元时，企业年利润最大，最大年利润为多少？
(1)年生产成本为
(3 2Q?3)
万元，年收入为
[150%(32Q?3)?50%x]
万元.
?x
2
?98x?35
113x?1
(x?0)
（7分）
?3?x)
=所以
W?(32Q?3?x)
=
(32?
2( x?1)
22x?1
?(x?1)
2
?100(x?1)?64
x? 132
?)?42
（12分） (2)
W?
=
50?(
2(x?1)
2x?1
4

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当
x?132
?,x?7
时,等号成立.
2x?1
所以当年广告费投入7万元时, 年利润最大为42万元.（14分）
6、 为迎接2010年上海世博会，要设计如图的一张矩形广告，该广告含有大小相等的左中
右三个矩形栏目 ，这三栏的面积之和为
60000cm
，四周空白的宽度为
10cm
，栏与栏 之
间的中缝空白的宽度为
5cm
，怎样确定广告矩形栏目高与宽的尺寸(单位：
cm
)，能使整
个矩形广告面积最小.





解：设矩形栏目的高为
acm
，宽为
bcm
，则
ab?20000
，
?b?
广告的高为
(a?20)cm
，宽为(3b?30)cm
(其中
a?0,b?0
)
广告的面积
S? (a?20)(3b?30)?30(a?2b)?60600?30(a?
2
20000
a
40000
)?60600

a
?30?2a?< br>当且仅当
a?
40000
?60600?12000?60600?72600

a
40000
，即
a?200
时，取等号,此时
b?100
.
a
故当广告矩形栏目的高为200cm，宽为100cm时，可使广告的面积最小.
7、某地发生特大地震和海啸，使当地的自来水受到了污染，某部门对水质检测后，决定
往水中投放一种 药剂来净化水质。已知每投放质量为m的药剂后，经过x天该药剂在水中
?
x
?2(0 ?x?4)
?
?
4
释放的浓度y（毫克升）满足
y?mf(x),其 中f(x)?
?
，当药剂在水中
6
?
(x?4)
?
x?2
?
释放的浓度不低于4（毫克升）时称为有效净化；当药剂在水中释放的浓度不低于4（ 毫
5

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克升）且不高于10（毫克升）时称为最佳净化。
（I）如果投放的药剂质量为m=4，试问自来水达到有效净化一共可持续几天？
（II）如果 投放的药剂质量为m，为了使在7天（从投放药剂算起包括7天）之内的自
来水达到最佳净化，试确定该 投放的药剂质量m的值。
?
x?8(0?x?4)
?
解：（1）当m=4时 ，
y?4f(x)?
?
24
------------2分
(x?4)
?
?
x?2
当药剂在水 中释放的浓度不低于4（毫克升）时称为有效净化
∴当
0?x?4
时，
y?x?8?4
，得
x?4

当
x?4
时，
y?
24
?4
，解得
4?x ?8

x?2
故自来水达到有效净化一共可持续5天 -----------6分
（2）为了使在7天（从投放药剂算起包括7天）之内的自来水达到最佳净化
即前4天和后3天的自来水达到最佳净化
∴当
0?x?4
时，
4? m(?2)?10
在
0?x?4
恒成立，得
x
4
?
m?
?
?
?
?
m?
?
?
16
1 0
x?8
在
0?x?4
恒成立，∴
2?m?
-----------9分
3
40
x?8
6m10
?10
在
4?x?7
恒成立，同理得
m?

3
x?2
10
即投放的药剂质量m的值为 --------------13分
3
当
4?x?7
时，
4?< br>8
、某企业拟建造如图所示的容器（不计厚度，长度单位：米），其中容器的中间为圆柱形，左右两端均为半球形，按照设计要求容器的容积为
80
?
立方米，且
l? 2r
．假设该容器的
3
建造费用仅与其表面积有关．已知圆柱形部分每平方米
建造费用为
3
千元，半球形部分每平方米建造费用为
c
（
c?3）千元．设该容器的建造费用为
y
千元．


（
1）写出
y
关于
r
的函数表达式，并求该函数的定义域；
（
2
）求该容器的建造费用最小时的
r
．

6

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4
?
3
80804
r?
?
(l
≥2
r)
，即
l?
2
?r
≥
2r
，则
0?r
≤
2
.
333r 3
804
22
容器的建造费用为
y?2
?
rl?3?4?
r?c?6
?
r(
2
?r)?4
?
rc，

3r3
160
?
?8
?
r
2?4
?
r
2
c
，定义域为
{r0?r
≤
2}
.……………8
分

即
y?
r
解：（
1
）由题意可知
?
rl?
2
（
2
）
y< br>?
??
160
?
20
3
?
y?0
.
?16
?
r?8
?
rc
，令，得
r?
r< br>2
c?2
令
r?
3
20
?2,
即
c ?4.5
，

c?2
20
≥
2,
当
0?r
≤
2
，
y
?
?0
，函数
y
为减函 数，当
r?2
时
c?2
（
1
）当
3?c
≤
4.5
时，
3
y
有最小值；

（
2
）当
c?4.5
时，
3
202020
，
y
??0
；当
r?
3
时
y
?
?0
，

?2,
当
0?r?
3
c?2c?2c?2
此时当
r?
3
20
时
y
有最小值
. ……………16
分

c?2
9、某公园准备建一个摩天轮，摩天轮的外围是一 个周长为
k
米的圆．在这个圆上安装座
位，且每个座位和圆心处的支点都有一根直的钢 管相连．经预算，摩天轮上的每个座位与
支点相连的钢管的费用为
8k
元根，且当两相 邻的座位之间的圆弧长为
x
米时，相邻两座
?
(1024x?20)x
?
?2
?
k
元。假设座位等距离分位之间的钢管和其中一个座位的总费用为
?
100
??
布，且至少有两个座位，所有座位都视为点，且不考虑其他因素 ，记摩天轮的总造价为
y
元。
（1）试写出
y
关于
x的函数关系式，并写出定义域；（2）当
k?100
米时，试确定座位的
个数，使 得总造价最低？
解：（1）设摩天轮上总共有
n
个座位，则
x?
k k
即
n?
，
nx
y?8k
??
101024x? 20
?
kk
?
(1024x?20)x
?
?
?2< br>?
k?k
2
?
?
，
?
??
xx< br>?
100100
??
x
?
7

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定义域
?
x0?x?
?
?
kk?
,?Z
?
；
……………………6分
2x
?
?
1000
?
?1 024x?20
?

?
x
?
（2）当
k?100< br>时，令
y?100
?
f(x)?
10001
1000

?1024x
，则
f
?
(x)??
2
?512x
x
x
3
2
?
?1000?512x
?0，
x
2
3
2
∴
x?
12525
?
125
?
?x?
?
?
，（10分）
?
6 46416
??
2
3
2525
)
时，
f
?
(x)?0
，即
f(x)
在
x?(0,)
上单调减， 1616
2525
当
x?(,50)
时，
f
?
(x)?0
，即
f(x)
在
x?(,50)
上单调增，
1 616
25
100
y
min
在
x?
时取到，此时座 位个数为
?64
个。……………………15分
25
16
16
三角型
10、如图是一幅招贴画的示意图，其中AB CD是边长为
2a
的正方形，周围是四个全等
当
x?(0,
的弓形． 已知O为正方形的中心，G为AD的中点，点P在直线OG上，弧AD是以P
为圆心、PA为半径的圆的 一部分，OG的延长线交弧AD于点H．设弧AD的长为
l
，
?3?
?APH ?
?
，
?
?(，)
．
44
（1）求
l
关于
?
的函数关系式；
A
H
G
P
B
O
D
OP
（2）定义比值为招贴画的优美系数，当优
l
美系数最大时，招贴画最优美．证明：当角
?
满足：
?
?tan(
?
?)
时，招贴画最优美．


C
?
4
ππ
a
π3π
解：（1）当
?< br>?(,)
时，点P在线段OG上，
AP?
；当
?
?(,)时，点P在线
42sin
?
24
aa
π
段GH上，AP?
；当
?
?
时，
AP?a
．
?
sin(π?
?
)sin
?
2
8

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综上所述，
AP?
a
π3π
，
?
?(,)
． …………2分
sin
?
44
2a
?
2a
?
π3π
，故所求函数关系式为
l?
，
?
?(,)
．…sin
?
44
sin
?
所以，弧AD的长
l?AP?2
?
?
4分
ππ
aacos
?
π3π
（2）当
?
?(,)
时，
OP?OG?PG?a?
；当
?
?(,)
时，
?a?
42tan
?
sin
?
24
aaacos
?
π
；当
?
?
时，
OP?a
．
OP?O G?GH?a??a??a?
tan(π?
?
)tan
?
sin?
2
所以，
OP?a?
从而，
acos
?
π3π
，
?
?(,)
． ……………6分
sin
?
44
OPsin
?
?cos
?
． ………………8分
?
l2
?
sin
?
?cos
?
π3π
，
?
?(,)
．
2
?
44
记
f(
?
)?
则
f
?
(
?
)?
?
(cos
?
?sin< br>?
)?(sin
?
?cos
?
)
．
2
2
?
令
f
?
(
?
)? 0
，得
?
(cos
?
?sin
?
)?sin
?
?cos
?
． ……………10分
π3π
sin
?
?cos
?
因为
?
?(,)
，所以
cos
?
?sin
?
?0
，从而
?
?
．
44cos
?
?sin
?
显然
?
?
π
sin
?
?cos
?
tan< br>?
?1π
，所以
?
???tan(
?
?)
． ………………12分
cos
?
?sin
?
tan
?
?14
2
π
记满足
?
?tan(
?
?)< br>的
?
?
?
0
，下面证明
?
0
是函数
f(
?
)
的极值点．
4
π3π
设
g(
?
)?
?
(cos
?
?sin
?
)? (sin
?
?cos
?
)
，
?
?(,)
．
44
π3π
则
g
?
(
?
)
?
?
(cos
?
?sin
?
)?0
在
?< br>?(,)
上恒成立，
44
π3π
从而
g(
?
)
在
?
?(,)
上单调递减． ……………………………14分
44
π
π
所以，当
?
?(,
?
0
)
时，
g(
?
)?0
，即< br>f
?
(
?
)?0
，
f(
?
)
在
(,
?
0
)
上单调递增；
4
4
当< br>?
?(
?
0
,
3π3π
)
时，
g(
?
)?0
，即
f
?
(
?
)?0
，
f(
?
)
在
(
?
0
,)
上单调递 减．
44
故
f(
?
)
在
?
?
?
0
处取得极大值，也是最大值．
π
OP
所以， 当
?
满足
?
?tan(
?
?)
时，函数
f (
?
)
即取得最大值，此时招贴画最优
4l
9

江苏省金湖中学2013届高三数学导学案 主备：纪健 2013-04-10
美． ………16分
11、如图，某兴趣小组测得菱形养殖区
ABCD
的固定投食点
A
到两条平行河岸线
l
1
、l
2
的
距离分别为4 m、8m，河岸线
l
1
与该养殖区的最近点
D
的距离为1m，
l
2
与该养殖区的最近
点
B
的距离为2m．
（1）如图 甲，养殖区在投食点
A
的右侧，若该小组测得
?BAD?60
，请据此算出养 殖区
的面积；
（2）如图乙，养殖区在投食点
A
的两侧，试在该小组未测得
?BAD
的大小的情况下，估
算出养殖区的最小面积．
l
1

l
1


D

D










o
A

C

A

C

B

l
2

l
2

B

（图乙）
（图甲）
o
【解】（1）如图甲，设
AD
与
l
1
所成夹角为
?
，则
AB
与
l
2
所成夹 角为
60?
?
，
对菱形
ABCD
的边长“算两次”得3
?
6
sin
?
sin
?
60
o?
?
?
，……………………2分
tan
?
?
3
5
，……………………………………………4分 解得
S?
3
si n
?
所以，养殖区的面积
?
?
?sin60?9
?
1?
tan
1
?
?
?sin60?423 (m)
； ……6分
2
oo
2
2
oo
?BAD?
?
?120， 180
l
?
1
（2）如图乙，设
AD
与所成夹角为，，则< br>AB
与
l
2
所成夹角为
??
?
180o
?
?
?
?
?
，
3
?
6< br>o
sin
?
sin
?
180?
?
?
?
?
对菱形
ABCD
的边长“算两次”得，……………………8分
10

江苏省金湖中学2013届高三数学导学案 主备：纪健 2013-04-10
解得
tan
?
?< br>sin
?
2?cos
?
，………………………10分
所以，养殖区的面积
S?
3
sin
?
4cos
?
?
?
?sin
?
?9
?
1?
tan
1
?
?
?sin
?
?9
?
5?
sin
?< br>?
，………………12分
2
2
?
?4
?0S
?
?9
5?4cos
?
??9
5cos
?
cos
?
??
4
2
sin
?
5
， ………………14分
sin
?
由得
??
??
cos
?
??
4
2
5
时，养殖区的面积
S
min
=27(m)
． …………16分 经检验得，当
2
2
答：（1）养殖区的面积为
423 m
；（2）养殖区的最小面积为
27m
．
12、如图，现在要在一块半径为 1m．圆心角为60°的扇形纸板AOB上剪出一个平行四边
形MNPQ，使点P在AB弧上，点Q在O A上，点M,N在OB上，设∠BOP＝θ， 平行四
边形MNPQ的面积为S．
（1）求S关于θ的函数关系式；（2）求S的最大值及相应θ的值．
OQPQOP22
A
解：在△OPQ中， ＝＝＝，∴ OQ＝
sinθ< br>sin(60?－θ)sin120?
33
2
sinθ，PQ＝sin(60? －θ)
Q
P
3
23
∴S
?
MNPQ
＝2S
△
OPQ
＝OQ·PQ·sin120?＝sinθ·sin(60?－θ)＝
3
3
O
B
M N
3
cos(2θ－60?)－
6
13
∵0＜θ＜60?∴－60? ＜2θ－60?＜60?∴＜cos(2θ－60?)≤1∴0＜S≤
26
3
∴θ＝30?时，S的最大值为
6
13、如图，实线部分的 月牙形公园是由圆P上的一段优弧和圆Q上的一段劣弧围成，圆P
和圆Q的半径都是2km，点P在圆Q 上，现要在公园内建一块顶点都在圆P上的多边形
活动场地．
（1）如图甲，要建的活动场地为△RST，求场地的最大面积；
（2）如图乙，要建的活动场地为等腰梯形ABCD，求场地的最大面积．
变化着的几何背景，变元在哪
儿？想明白了，怎样表述？
【解】（1）如右图，过S作
SH⊥RT于H，
S

T

P

Q

R

M

B

C

D

P

Q

A

M

N

N

11

江苏省金湖中学2013届高三数学导学案 主备：纪健 2013-04-10
S
△
RST
=
1
SH?RT
………2分
2
由题意，△RST在月牙形公园里，
RT与圆Q只能相切或相离； ………4分
RT左边的部分是一个大小不超过半圆的弓形，
则有RT≤4，SH≤2，
当且仅当RT切圆Q于P时（如下左图），上面两个不等式
中等号同时成立．
1< br>此时，场地面积的最大值为S
△
RST
=
?4?2
=4（km
2
）． …6分
2





T
S
P
Q
C
N
甲
D
N
乙
R
M
B
θ
P
Q
A
M
（2）同(1)的分析，要使得场地面积最大，AD左边的部分是一个大小不超过半圆的
弓形，
AD必须切圆Q于P，再设∠BPA=
?
，则有
S
四边形ABCD
?
1
?2?2?sin
?
?2?
1
?2?2?si n(π?2
?
)?4(sin
?
?sin
?
cos
?
)0?
?
?
π
222

?
?
…8分
令
y?sin
?
?sin
?
cos
?
，则
y
?
?cos
?
?cos
?
cos
??sin
?
(?sin
?
)
?2cos
2
?< br>?cos
?
?1
． …… 11分
若
y< br>?
?0
，
cos
?
?
1
，
?
?
π
，
23
又
?
?0，
π
?
3
?
时，
y
?
?0
，
?
?
π，
π
?
32
?
时，
y
?
?0
， …………………14分
函数
y?sin
?
?sin
?
cos
?
在
?
?
π
处取到极大值也是最大值，
3
故
?
?
π
时，场地面积取得 最大值为
33
（km
2
）． ……16分
3
12

江苏省金湖中学2013届高三数学导学案 主备：纪健 2013-04-10
13、如图，
A,B
是海面 上位于东西方向相距
53?3
海里的两个观测点，现位于
A
点北
偏东 45°，
B
点北偏西60°的
D
点有一艘轮船发出求救信号，位于
B
点南偏西60°且与
??
B
点相距
203
海里的
C
点的救援船立即前往营救，其航行速度为30海里小时，该救援
船到达D点需要多长时间？






解：由题意知
AB=5(3+3)
海里，
?DBA?90??60??30?,?DAB?45?,

??ADB?105?

在
?DAB
中，由正弦定理得
DBAB

?
sin ?DABsin?ADB
?DB?
AB?sin?DAB5(3?3)?sin45?5(3? 3)?sin45?
??

sin?ADBsin105?sin45??cos60 ??sin60??cos45?
=
53(1?3)
， ……… 6分
?103
（海里）
(1?3)
2
又
?DBC ??DBA??ABC?30??(90??60?)?60?,BC?203
海里，
在
?DBC
中，由余弦定理得
CD
2
?BD
2< br>?BC
2
?2BD?BC?cos?DBC

1
?900

2
30
，则需要的时间
t?
。 ………… 14分
?CD?
30（海里）
?1
（小时）
30
=
300?1200?2?103?203?
13

江苏省金湖中学2013届高三数学导学案 主备：纪健 2013-04-10
答：救援船到达D点需要1小时。 ……… 15分
数列型
14、某企业在第1年初购买价值为120万元是设备M，M的价 值在使用过程中逐年减少，
从第2年到第6年，每年初M的价值比上年初减少10万元；从第7年起，每 年初M的价
值是上年初价值的75﹪.
（1）求第n年初M的价值a
n
的表达式；
（2）设
A
n
?
a
1
?a
2
?...?a
n
，若An
大于80万元，则M继续使用，否则须在第n年初对
n
M更新，求须在第几年初 对M更新。

解：（I）当
n?6
时，数列
{a
n
}
是首项为120，公差为
?10
的等差数列．
a
n
? 120?10(n?1)?130?10n;
当
n?6
时，数列
{a
n
}
是以
a
6
为首项，公比为
n?6
数列，又a
6
?70
，所以
a
n
?70?();
3
为等比
4
3
4
?
120?10(n?1)?130? 10n,n?6
?
因此，第
n
年初，M的价值
a
n
的表达式为
a
n
?
?

3
n?6
a
n
?70?(),n?7
?
?4
(II)设
S
n
表示数列
{a
n
}
的前
n
项和，由等差及等比数列的求和公 式得
当
1?n?6
时，
S
n
?120n?5n(n?1) ,A
n
?120?5(n?1)?125?5n;

当
n?7
时，
333
S
n
?S
6
?(a
7
?a< br>8
?
L
?a
n
)?570?70??4?[1?()
n?6
]?780?210?()
n?6
444

3
780 ?210?()
n?6
4
A
n
?.
n
因为
{a
n
}
是递减数列，所以
{A
n
}
是递减数列， 又
33
780?210?()
8?6
780?210?()
9?6< br>4779
44
A
8
??82?80,A
9
??76? 80,

864996
所以须在第9年初对M更新．
15、某开发商用90 00万元在市区购买一块土地建一幢写字楼，规划要求写字楼每层建筑
面积为2000平方米。已知该写 字楼第一层的建筑费用为每平方米4000元，从第二层开始，
每一层的建筑费用比其下面一层每平方米 增加100元。
14

江苏省金湖中学2013届高三数学导学案 主备：纪健 2013-04-10
（1）若该写字楼共x层，总开发费用为y万元，求函数y=f(x)的表达式；
（总开发费用=总建筑费用+购地费用）
（2）要使整幢写字楼每平方米开发费用最低，该写字楼应建为多少层？
解：（1）由已知，写字楼最下面一层的总建筑费用为：
，
4000?2000? 8000000
（元）
?800
（万元）
从第二层开始，每层的建筑总费用比 其下面一层多：
，
100?2000?200000
（元）
?20
（万元）
写字楼从下到上各层的总建筑费用构成以800为首项，20 为公差的等差数列2分
所以函数表达式为：

y?f(x)?800x?
x(x?1)
?20?9000?10x
2
?790x?9000(x?N
*
)
；…………6分
2
（2）由（1）知写字楼每平方米平均开发费用为：
f(x)5(10x
2
?790x?9000)

g(x)?
…………………………10分
?10000?
2000xx900
??
?50
?
x??79
?
≥50?(2900 ?79)?6950
（元）……………………12分
x
??
当且仅当
x?
900
，即
x?30
时等号成立．
x
答：该写字楼建为30层时，每平方米平均开发费用最低． …………14分
解析几何型
16、在综合实践活动中,因制作一个工艺品的需要,某小组设计了如图所示 的一个门(该
图为轴对称图形),其中矩形
ABCD
的三边
AB
、< br>BC
、
CD
由长6分米的材料弯折而
3
)；曲线
AO D
拟从以下两种曲线中选择一种:曲线
2
C
1
是一段余弦曲线(在如 图所示的平面直角坐标系中,其解析式为
y?cosx?1
),此时
记门的最高点O
到
BC
边的距离为
h
1
(t)
；曲线
C
2
是一段抛物线,其焦点到准线的距离
9
为,此时记门的最高点
O
到
BC
边的距离为
h
2
(t)
.
y
8
(1)试分别求出函数
h
1
(t)
、
h< br>2
(t)
的表达式；
O
(2)要使得点
O
到
BC
边的距离最大,应选用哪一种
成,
BC
边的长为
2t
分米(
1?t?
曲线?此时,最大值是多少?







A
D
x
B
第16题
C
解:(1)对于曲线
C
1
,因为曲线
AOD
的解析式为
y?cosx?1
,所以点D的坐标为
(t,cost? 1)
……2分
15

江苏省金湖中学2013届高三数学导学案 主备：纪健 2013-04-10
所以点
O
到
AD< br>的距离为
1?cost
,而
AB?DC?3?t
,
则
h
1
(t)?(3?t)?(1?cost)??t?cost?4(1?t?
3< br>)
………………4分
2
94
22
对于曲线
C
2
,因为抛物线的方程为
x??y
,即
y??x
,所以点D的坐标 为
49
4
(t,?t
2
)
………2分
9
4
所以点
O
到
AD
的距离为
t
2
,而AB?DC?3?t
,所以
9
43
h
2
(t)?t2
?t?3(1?t?)
……………7分
92
3
(2) 因为
h
1
?
(t)??1?sint?0
,所以
h
1
(t)
在
[1,]
上单调递减,所以当
t?1
时,
h
1
(t)
取
2
得最大值为
3?cos1
……… ………9分
49
2
39335
又
h
2
(t)?( t?)?
,而
1?t?
,所以当
t?
时,
h
2(t)
取得最大值为…11分
9816222
?
115
因为
cos1?cos?
,所以
3?cos1?3??
,
3222
35
故选用曲线
C
2
,当
t?时,点
E
到
BC
边的距离最大,最大值为分米………14分
2 2
17、某校兴趣小组运用计算机对轮船由海上驶入内陆海湾进行了一次模拟试验．如图，内
陆 海湾的入口处有暗礁，图中阴影所示的区域为暗礁区, 其中线段AA
1
，B
1
B，CC
1
，D
1
D
关于坐标轴或原点对称，线段B
1< br>B的方程为y=x，x∈[a,b]，过O有一条航道．
有一艘正在海面上航行的轮船准备进入 内陆海湾，在点M(-
5
汽笛声的时刻总比在点N(a,0)处晚1

（s设海面上声速
2
为a

ms）.若该船沿着当前的航线航行．（不考虑船的体
积）
(Ⅰ)问兴趣小组观察到轮船的当前的航线所在的曲
线方程是什么?
(Ⅱ)这艘船能否由海上安全驶入内陆海湾？请说明
理由．



大海
G
D
5
a,0)处测得该船发出的
2
y
B
F
航
道
B
1

D
1

海岸
M
A
1

H
A
O
C
1

N
暗礁区
x
C
E
内陆海湾
概率统计型
18、某农科所对冬季昼夜温差大小与某反季节 大豆新品种发芽多少之间的关系进行分析研
究，他们分别记录了12月1日至12月5日的每天昼夜温差 与实验室每天每100颗种子中
的发芽数，得到如下资料：
16

江苏省金湖中学2013届高三数学导学案 主备：纪健 2013-04-10
日 期
温差
x
（°C）
发芽数
y
（颗）
12月1日
10
23
12月2日 12月3日
11
25
13
30
12月4日
12
26
12月5日
8
16
该农科所确定的研究方案是:先从这五组数据中选取2组，用剩下的3组数据求线性回< br>归方程，再对被选取的2组数据进行检验．
（1）求选取的2组数据恰好是不相邻2天数据的概率；
（2）若选取的是12月1日与1 2月5日的两组数据，请根据12月2日至12月4日
y?bx?a
； 的数据，求出y关于x 的线性回归方程
$$
（3）若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过 2颗，
则认为得到的线性回归方程是可靠的，试问（2）中所得的线性回归方程是否可
靠? < br>解：（1）设抽到不相邻两组数据为事件
A
，因为从5组数据中选取2组数据共有10< br>种情况，每种情况都是等可能出现的，其中抽到相邻两组数据的情况有4
种， ………………2分
43
?
．………………4分
105
答：略． ……………………5分
所以
P(A)?1?
（2）由数据，求得
x?12,y?27
．………………7分
由公式，求得
b?
5
，
a?y?bx??3
． ……………9分
2
5
x?
3
． ………………10分
2
?
?
所以y关于x的线性回归方程为
y
5
?
??< br>10
?
3
?
22
，|22－23|＜2；……………12分 （3）当x=10时，
y
2
5
?
??
8
?
3
?
17
，|17－16|＜2．……………14分 同样，当x=8时，
y
2
所以，该研究所得到的线性回归方程是可靠的． ………15分

19、某学校的篮球队、羽毛球队、乒乓球队各有10名队员，某些队员不止 参加了一支球
队，具体情况如图所示，现从中随机抽取一名队员，求：
（1）该队员只属于一支球队的概率；
羽毛球
篮球
（2）该队员最多属于两支球队的概率．
2
5 3

2

1 3

4

17
乒乓球

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18