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高中数学之曲线练习题

作者:高考题库网
来源:https://www.bjmy2z.cn/gaokao
2020-09-15 03:21
tags:高中数学题

高中数学课程目录-宁波奉化高中数学补课


高中数学之曲线练习题
一、单项选择题(本大题共20小题,每小题2.0分,共40分)
在每小题列出的四个备选答案中,只有一个是符合题目要求的。错选、
多选或未选均无分。
x2y2
1.双曲线
4

9
=1的离心率e=( )
2
A.
3

3
B.
2

13
C.
2

13
D.
3

2.过A(-2,m),B(m,4)的直线与2x+y+1=0垂直,则m=( )
A.-8 B.0
C.2 D.-2
3.已知双曲线方程为9x2-16y2=144,则双曲线的渐近线为( )
A.y=±
3
x B.y=±
4
x
4
3
C.y=±
16
x D.y=±
9
x
916
4.与已知圆x2+y2-2x+4y+1=0的圆 心坐标相同,且半径为3的圆的方
程是( )
A.(x+1)2+(y-2)2=9
B.(x-1)2+(y+2)2=9
C.(x+1)2+(y-2)2=3
D.(x-1)2+(y+2)2=3
5.已知双曲线的标准方程为2x2-3y2=6,下列说法正确的是 ( )
A.焦点是(0,5)(0,-5) B.离心率是3

1


6
C.渐近线方程是y=±
3
x D.实轴长是3
6.两平行直线3x-4y+1=0与6x-8y+9=0之间的距离是( )
784
A.
10
B.
5
C.
5
D.1
7.顶点间距离是2,渐近线方程为y=±x的双曲线是( )
A.x2-y2=1 B.x2-y2=2 C.x2-y2=±1 D.x2-y2=±2
8.如果双曲线的实半轴长为2,焦距为6,那么该双曲线的离心率为( )
A.
3

2
B.
6
2

C.
3
D.2
2
x
2
9 .已知椭圆
10?m
y
2

m?2
=1,焦点在x轴上,若 焦距为4,则m等于( )
A.4 B.5 C.7 D.8
10.直线3x+4y+1=0与圆x2+y2-2x+2y-14=0的关系是 ( )
A.相切 B.相离
C.相交过圆心 D.相交不过圆心
1
11.设双曲线的焦点在x轴上,两条渐近线的方程为y=±
2
x,则该双曲线的
离心率为( )
5
A.
2
B.5
5
C.
4
D.5

2


x2y2
12.双曲线
9

16
=1上一点 P到右焦点的距离为7,则P到左焦点的距离
为 ( )
A.1或13 B.1 C.13 D.7
13.圆(x-1)2+y2=4上到直线3x+4y-8=0距离为1的点有 ( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
14.直线x-y-5=0截圆(x-2)2+(y+2)2=2所得的弦长是 ( )
52
A.6 B.
2

C.1 D.2
15.已知双曲线C的焦距为10,点P(2,1)在C的渐近线上,则C的方程
是 ( )
x
2
y
2
A.-
205
x
2
y
2
C.-
8020
=1 B.
=1
x
2
5
y
2

20
=1
=1
x
2
y
2
D.-
2080
16.已知点A(1,3 ),B(3,-5),则线段AB垂直平分线的方程为
( )
A.x+4y-6=0 B.x-4y+6=0
C.x-4y-6=0 D.x+4y+6=0
17.中心在原点,实轴在x轴上,一个焦点在直线3x-4y+12=0上的等轴
双曲线的方程是 ( )
A.x2-y2=4 B.x2-y2=8
C.y2-x2=4 D.y2-x2=8
18.已知双曲线与椭圆4x2+y2=1有相同的焦点,它的一条渐近线方程是 y

2
x,则这个双曲线的方程是( )

3


A.2x2-4y2=1 B.2x2-4y2=3
C.2y2-4x2=1 D.2y2-4x2=3
19.已知ax2+y2=1,当-1<a<0时,方程所表示的曲线为 . ( )
A.焦点在y轴上的椭圆 B.焦点在x轴上的椭圆
C.焦点在x轴上的双曲线 D.焦点在y轴上的双曲线
x2y2
20.若直线过双曲线
6

3
=1的左焦点,且倾斜角为60°,则所截得 的弦长
为 ( )
A.6 B.4
86
C.42 D.
5

二、填空题(本大题共10小题,每小题4.0分,共40分)
21.直线在x轴上和y轴上的截距分别为1和-2,则直线的斜率k= .
x 2y2
22.过双曲线
16

9
=1的焦点,且垂直于x轴的直线交 双曲线于A,B两点,
则|AB|= .
23.直线y=x+2关于x轴对称的直线方程为 .
24.若椭圆的焦距,短轴长,长轴长成等差数列,则离心率e为 .
x2y2
25.双曲线
a2

8
=1的离心率e=3,则实半轴长a= .
26.已知两条直线l1:y=2x+1,l2:y=2x-3,则该两条直线的位置关系
是 .
27.已知双曲线的实轴长与虚轴长之比为2∶1,且有一焦点为(215,0),
则此双 曲线的标准方程为 .
28.直线4x-3y-12=0与两坐标轴所围成的三角形的面积是 .

4


29.已知直线x+y+C=0与圆(x-2)2+(y+1)2=8相切 ,则实数C的
值为 .
x
2
y
2
30.已知 双曲线
?
169
=1,被点Q(8,3)平分的弦所在直线的斜率为 .
三、解答题(本大题共5小题,共40分。)
解答题应写出文字说明及演算步骤 < br>x2y2
31.求以椭圆
25

9
=1的长轴端点为焦点,且 经过点P(42,3)的双曲
线的标准方程.
x2y2x2y2
32.已知椭圆9

m
=1(9>m>0)与双曲线
9

n
= 1的离心率分别是9x2-
18x+8=0的两根,求m,n的值.
x2y2
33. 已知椭圆M:
8

4
=1与直线l:y=3x,若双曲线N的一条渐近线与< br>直线l平行,其焦点与椭圆M的焦点相同,求双曲线N的标准方程.
x2y2
34.已 知过点P(1,3)作直线l交双曲线
8

2
=1于A,B两点,使点P为弦AB的中点,求直线l的方程.
x2y25
35.已知双曲线
a2

b2
=1的离心率为e=
2
,实轴长为4,直线l过双曲线
8的左焦点F1且与双曲线交于A,B两点,|AB|=
3
.求:
(1)双曲线的方程;
(2)直线l的方程.
答案
一、单项选择题
1.C

5


2.C
3.A
4.B【提示】根据圆的标准方程,选B.
5.C
6.A 【解析】将3x-4 y+1=0化为6x-8y+2=0,则两平行直线间距离
|2-9|
7
为d==.
62+(-8)2
10
7.C
8.C
9.A
10.C【提示】圆心坐标为(1,-1),直线3x+4y+1=0过圆心.
11.A < br>b1
【提示】∵y=±
a
x=±
2
x,∴a=2b,c2=a 2+b2=(2b)2+b2=5b2,则c
c5b5
=5b,∴e=
a
=< br>2b

2
,∴选A.
12.C
13.C
|2- (-2)-5|
14.A【提示】圆心为(2,-2),圆心到直线的距离d==
2
2
2
.又∵半径r=2,∴弦长l=2r2-d2=2
15.A
16.C
17.B

6
?
2
?
(2)
2
?
?
?
2
?
?
??
2
=6.


【提示】焦点在x轴上,直线与x轴交点为(-4,0),即c=4.等轴双曲
线a2= b2,∴a2=b2=8.
18.C
19.D 【提示】当-1<a<0时,
x< br>2
的系数是负数,
y
2
系数为正数,根据解
析式的特征,方程 所表示的曲线为焦点在y轴上的双曲线,故选D.
20.D
【提示】左焦点(-3,0), k=tan60°=3,∴直线方程为y=3(x+
36
?
?
x1+x2=-
5

?
y=3(x+3),
3).联立
?
消去y得 5x2+36x+60=0,∴
?
?
?
x2-2y2=6,
?
x1x2=12.
∴弦长=1+3×
二、填空题
21.2【提示】 过点(1,0 ),(0,-2),
k?
y
2
?y
1
?2?0
?? 2
x
2
?x
1
0?1
(?
86
36
2
.
)?4?12

5
5
.
x2y2?

9
=1,
9
16
22.
2
【提示 】取右焦点F(5,0),直线方程为x=5,则
?

?
x=5,
?
x=5,
?
x=5,
9
9
??
9
??
?
9

?
9
即A
?
5,
?
,B
?
5,?
?
,∴|AB|=
2
.
4
??
4
??
y=
4
y=-
4

? ?
23.x+y+2=0 【提示】 首先在直线y=x+2上找出两点坐标为(-2,0)和(1,3 ),
这两点关于x轴对称的点分别为(-2,0)和(1,-3),所求直线的斜率为
0?(? 3)
??1
,y-0=-(x+2)化简得x+y+2=0.
?2?1
3
24.
5

c2
a2+8
25.2 【提示】 c2=a2+8,e2=
a2

a2
=3,解得a2=4,∴a=2.

7


26.平行
x
2
y
2
27.
?
4812
=1 【解 析】a∶b=2∶1,即a=2b,c=215,由a2+b2=c2
x
2
y
2
轴上,∴双曲线的标准方程为
?
4812
得b2=12,a2=48,且焦 点在x
28.6
29.3或-5
=1.
3
30.
2
【解析】设弦的端点分别为A(x1,y1),B(x2,y 2),则
x
1
?x
2

2
8,
?
x
1
2
?
?
y
1
?y
2
?
16
=3,∴x1+x2=16,y1+y2=6.由
?
2
2
?< br>x
2
?
?
?
16
y
1
2
? 1
1
9
作差得
16
(x22-x21)
2
y
2
?1
9
111

9
(y22-y21),即
1 6
(x2+x1)(x2-x1)=
9
(y2+y1)(y2-y1),∴
3 3
y
2
?y
1

2
,即k=
2
.
x
2
?x
1
三、解答题
x2y2
31.解:∵椭 圆
25

9
=1中a2=25,∴a=5,∴长轴的两个端点分别为A1(-5,0),A2(5,0),则双曲线的焦点为F1(-5,0),F2(5,0),
x2y2
可设双曲线的标准方程为
a2

b2
=1,且c=5,∴a2+b2 =25.
329
又∵双曲线过点P(42,3),∴
a2

b2< br>=1.
?
a2+b2=25,
?
?
a2=16,
联 立
?
329
解得
?

?
b2=9,
??
a2

b2
=1,
x2y2
∴所求双曲线的标准方程 为
16

9
=1.

8


24< br>32.解:由9x2-18x+8=0解得x1=
3
,x2=
3

24
∴椭圆离心率
3
,双曲线离心率为
3

9- m
4
9+n
16

9

9
,∴m=5,< br>9

9
,∴n=7.
33.解:椭圆M焦点为(±2,0),
∴双曲线N的焦点为(±2,0),
∴c=2,且焦点在x轴上.
b
又∵渐近线与y=3x平行,∴
a
=3,即b=3a,
由a2+b2=c2得a2+3a2=4,∴a2=1,b2=3,
y2
∴双曲线方程为x2-
3
=1.
34.解:显然直线l的斜率 存在,设直线l的斜率为k,A(x1,y1),B(x2,
x21y21
8

2
=1,
(x1+x2)(x1-x2)
y2),则两式相减得-
8
x22y22
8

2
=1,
?
?
?
(y 1+y2)(y1-y2)
=0,
2
∵弦AB的中点是P(1,3),
∴x1+x2=2,y1+y2=6,
2(x1-x2)6(y1-y2)
代入得=,
82
y2-y1
1
∴k==,
x2-x1
12

9


1
故直线l的方程为y-3=
12
(x-1),
即x-12y+35=0.
5c
35.解:(1)由题意得e=
2

a
,2a=4,
∴c=5,则b2=c2-a2=5-4=1,
x2
∴所求双曲线方程为
4
-y2=1.
(2)由(1)得双曲线 左焦点的坐标为(-5,0),当直线l的斜率不存
8
在时,直线l的方程为x=-5,这时可 求得|AB|=1≠
3
,这种情况不可能,
∴可设所求直线l的斜率为k,
则直线l的方程为y=k(x+5),
?
y?kx?5①,
?
联立方程得
?
x
2

2
?
?y?1②,
?4
??
①代入②,整理得
(1-4k2)x2-85k2x-4-20k2=0,
Δ=(-85k2)2-4×(1-4k2)(-4-20k2)=16(1+k2),
Δ1 6(1+k2)
8
∴|AB|=
|a|
1+k2=1+k2=
3
|1-4k2|
化简得2|1-4k2|=3(1+k2),
即2(1-4k2)=±3(1+k2).
∵k2≥0,∴k2=1,即k=±1,
∴直线方程为y=±(x+5),即x±y+5=0.

10

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