全国高中数学联赛试题及详细解析

全国高中数学联赛
（10月4日上午8：00—9：40）
题号
得分
评卷人
复核人
一



二



三
13



14



15



合计



加试



总成绩



学生注意：1、本试卷共有三大题（15个小题），全卷满分150分。
2、用圆珠笔或钢笔作答。
3、解题书写不要超过装订线。
4、不能使用计算器。
一、选择题（本题满分36分，每小题6分）
本题共有6个小是题， 每题均给出（A）（B）（C）（D）四个结论，其中有且仅有一个是
正确的。请将正确答案的代表字母 填在题后的括号内，每小题选对得6分；不选、选错或选
的代表字母超过一个（不论是否写在括号内）， 一律得0分。
22
1、已知a为给定的实数，那么集合M={x|x-3x-a+2=0,x ∈R}的子集的个数为
（A）1 （B）2 （C）4 （D）不确定

210002000
5．若 （1＋ｘ＋ｘ）的展开式为ａ
０
＋ａ
１
ｘ＋ａ
２
ｘ
２
＋…＋ａ
2000
ｘ，
则ａ
０
＋ａ
3
＋ａ
6
＋ａ
9
＋…＋ａ
1998
的值为（ ）．
3336669992001
（A）3 （B）3 （C）3 （D）3
6．已知6枝玫瑰与3枝康乃馨的价格之和大于24，而4枝攻瑰与5枝康 乃馨的价格之和小
于22元，则2枝玫瑰的价格和3枝康乃馨的价格比较，结果是（ ）．
（A）2枝玫瑰价格高 （B）3枝康乃馨价格高
（C）价格相同 （D）不确定
二、填空题（本题满分54分，每小题9分）
7．椭圆ρ＝1／（2－ｃｏｓθ）的短轴长等于______________．
8、若复 数z
1
,z
2
满足|z
1
|=2,|z
2
|=3,3z
1
-2z
2
=
3
-I,则z
1
z
2
= 。
2
9、正方体 ABCD—A
1
B
1
C
1
D
1
的棱长为1 ，则直线A
1
C
1
与BD
1
的距离是 。

10、不等式
13
?2?
的解集为 。
log
1
x2
2
11、函数
y?x?x
2?3x?2
的值域为 。




x
2
2
2
14、设 曲线C
1
:
2
?y?1
(a为正常数)与C
2
:y =2(x+m)在x轴上方公有一个公共点P。
a
（1） 求实数m的取值范围（用a表示）；
（2） O为原点，若C
1
与x轴的负半轴交于点A，当0大值（用a表示）。



15、用电阻值分别为a
1
、a
2
、a
3
、a
4
、a
5
、a
6
、（a
1
>a
2
>a
3
>a
4
>a
5
>a
6
）的电阻组装成一个如图的
组件，在组装中应如何选取电阻，才能使该组件总电 阻值最小？证明你的结论。






1
时，试求⊿OAP的面积的最
2

二○○一年全国高中数学联合竞 赛加试试题
（10月4日上午10：00—12：00）
学生注意：1、本试卷共有三大题，全卷满分150分。
2、用圆珠笔或钢笔作答。
3、解题书写不要超过装订线。
4、不能使用计算器。
一、（本题满分50分）
如图：⊿ABC中，O为外心，三条高AD 、BE、CF交于点H，直线ED和AB交于点M，FD和
AC交于点N。求证：（1）OB⊥DF，O C⊥DE；（2）OH⊥MN。

二、（本题满分50分）
设x
i
≥0(I=1,2,3,…,n)且
n
n
k
x
k
x
j
?1
，求
?
x
i
的最大值与最小值。
ji?1
?
x
i?1
2
i
?2
1?k?j?n< br>?
三、（本题满分50分）
将边长为正整数m,n的矩形划分成若干边长均为正整数的 正方形，每个正方形的边均平行于
矩形的相应边，试求这些正方形边长之和的最小值。

2001年全国高中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准
一．选择题：
CBDDCA

2．命题1：长方体中，必存在到各顶点距高相等的点．
命题2：长方体中，必存在到各条棱距离相等的点；
命题3：长方体中，必存在到各个面距离相等的点．
以上三个命题中正确的有（ ）．
Ａ．0个 Ｂ．1个 Ｃ．2个 Ｄ．3个
【答案】B
【解析】 由于长方体的中心到各顶点的距离相等，所以命题1正确．对于命题2和命
题3，一般的长方体（除正方 体外）中不存在到各条棱距离相等的点，也不存在到各个面距
离相等的点．因此，本题只有命题1正确， 选Ｂ．


4．如果满足∠ＡＢＣ＝60°，ＡＣ＝12，ＢＣ＝ｋ的△ＡＢＣ恰 有一个，那么ｋ的取值
范围是（ ）．
Ａ．
k?83
Ｂ．0＜ｋ≤12
Ｃ．ｋ≥12 Ｄ．0＜ｋ≤12或
k?83

【答案】D
【解析】这是“已知三角形的两边及其一边的对角，解三角形”这类问题的一个 逆向问
题，由课本结论知，应选结论Ｄ．
说明：本题也可以通过画图直观地判断，还可以用特殊值法排除Ａ、Ｂ、Ｃ．

21000 2000
5．若（1＋ｘ＋ｘ）的展开式为ａ
０
＋ａ
１
ｘ＋ａ
２
ｘ
２
＋…＋ａ
2000
ｘ，
则ａ
０
＋ａ
3
＋ａ
6
＋ａ
9
＋…＋ａ
1998
的 值为（ ）．
3336669992001
Ａ．3 Ｂ．3 Ｃ．3 Ｄ．3

【答案】C
6．已知6枝玫瑰与3枝康乃馨的价格之和大于24，而4枝攻瑰 与5枝康乃馨的价格之和小
于22元，则2枝玫瑰的价格和3枝康乃馨的价格比较，结果是（ ）．
Ａ．2枝玫瑰价格高 Ｂ．3枝康乃馨价格高
Ｃ．价格相同 Ｄ．不确定
【答案】A
二．填空题

7．
23
3
8．
2
7
?
3072
?i
1313
9．
6
6

10．
(0,1)?(1,2)?(4,??)
11．
[1,
3
)?[2,??)
2
12． 732
7．椭圆ρ＝1／（2－ｃｏｓθ）的短轴长等于______________．
【答案】
23

3


8．若复数ｚ
１
、 ｚ
２
满足｜ｚ
１
｜＝2，｜ｚ
３
｜＝3，3ｚ
１< br>－2ｚ
２
＝（3／2）－ｉ，则ｚ
１
·ｚ
２
＝___ ___________．
【答案】
?
3072
?i

1313
ｓｉｎ（α＋β）＝12／13，ｃｏｓ（α＋β）＝－5／13．
故ｚ
１
·ｚ
２
＝6［ｃｏｓ（α＋β）＋ｉｓｉｎ（α＋β）］ ＝－（30／13）＋（72／13）
ｉ．

说明：本题也可以利用复数的几何意义解．

10．不等式｜（1 ／ｌｏｇ
1／2
ｘ）＋2｜＞3／2的解集为______________．
2／7
【答案】ｘ＞4，或1＜ｘ＜2，或0＜ｘ＜1．
【解析】从外形上看，这 是一个绝对值不等式，先求得ｌｏｇ
1／2
ｘ＜－2，或－2／7＜ｌ
2／7
ｏｇ
1／2
ｘ＜0，或ｌｏｇ
1／2
ｘ＞0．从而ｘ＞4，或1＜ｘ＜2，或 0＜ｘ＜1．

11．函数ｙ＝ｘ＋
______________．
的值域为
【答案】［1，3／2）∪［2，＋∞）．
【解析】先平方去掉根号．
２２２
由题设得（ｙ－ｘ）＝ｘ－3ｘ＋2，则ｘ＝（ｙ－2）／（2ｙ－3）．
２
由ｙ≥ｘ，得ｙ≥（ｙ－2）／（2ｙ－3）．解得1≤ｙ＜3／2，或ｙ≥2．

由于能达到下界0，所以函数的值域为［1，
3／2）∪［2，＋∞）． 说明：（1）参考答案在求得1≤ｙ＜3／2或ｙ≥2后，还用了较长的篇幅进行了一番验证，
确无 必要．
（2）本题还可以用三角代换法和图象法来解，不过较繁，读者不妨一试．

12．在一个正六边形的六个区域栽种观赏植物（如图3），要求同一块中种同一种植物，
相邻的两块 种不同的植物．现有4种不同的植物可供选择，则有______________种栽种方案．
【答案】732
【解析】为了叙述方便起见，我们给六块区域依次标上字母Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ 、Ｅ、Ｆ．按
间隔三块Ａ、Ｃ、Ｅ种植植物的种数，分以下三类．

三．解答题
13．【解析】设所求公差为
d
，∵
a
1＜
a
2
，∴
d
＞0．由此得
2
(a
1
?2d)
2
?(a
1
?d)
4
化简得：
2a
1
2
?4a
1
d?d
2
?0

a
1
?
x
2
2
?
2
?y?114．【解析】(1)由
?
a
消去
y
得：
x
2
?2a
2
x?2a
2
m?a
2
?0
①
?
y
2
?2(x?m)
?
设
f(x) ?x
2
?2a
2
x?2a
2
m?a
2
，问 题(1)化为方程①在
x
∈(－
a
，
a
)上有唯一解或等< br>根．
只需讨论以下三种情况：

a
2
?1
22
1°△＝0得：
m?
，此时
x
p
＝－
a
，当且仅当－
a
＜－< br>a
＜
a
，即0＜
a
＜1时适合；
2
2°
f
(
a
)
f
(－
a
)＜0，当且仅当－
a
＜
m
＜
a
；
22
3°
f
(－
a
)＝0得
m
＝
a
，此时
x
p
＝
a
－2
a
，当 且仅当－
a
＜
a
－2
a
＜
a
，即0＜a
＜1时适
合．
22

f
(
a)＝0得
m
＝－
a
，此时
x
p
＝－
a
－2
a
，由于－
a
－2
a
＜－
a
，从而
m
≠－
a
．
a
2
?1
综 上可知，当0＜
a
＜1时，
m?
或－
a
＜
m
≤
a
；
2
当
a
≥1时，－
a
＜
m
＜
a
．
15．【解析】设6个电阻的组件(如图3)的总电阻为
R
FG
，当
R
i
＝
a
i
，
i
＝3，4，5，6，
R< br>1
、
R
2
是
a
1
、
a
2< br>的任意排列时，
R
FG
最小
证明如下：
1． 设当两个电阻
R
1
、
R
2
并联时，所得组件阻值为
R
，则
111
??
．故交换二电阻
RR
1
R
2
的位置，不改变
R
值，且当
R
1
或
R
2
变小时，
R
也减小，因此不妨取
R
1
＞
R
2
．

2．设3个电阻的组件(如图1)的总电阻为
R< br>AB
R
AB
?
RR?R
1
R
3
?R
2
R
3
R
1
R
2
?R
3
?
12

R
1
?R
2
R
1
?R
2
显然
R
1
＋
R
2
越大，
R
AB
越 小，所以为使
R
AB
最小必须取
R
3
为所取三个电阻中阻值 最小的—
个．
4°对于图3把由
R
1
、
R
2、
R
3
组成的组件用等效电阻
R
AB
代替．要使
R
FG
最小，由3°必需使
R
6
＜
R
5
；且由1°应使
R
CE
最小．由2°知要使
R
CE
最小，必 需使
R
5
＜
R
4
，且应使
R
CD
最小．
而由3°，要使
R
CD
最小，应使
R
4< br>＜
R
3
＜
R
2
且
R
4
＜< br>R
3
＜
R
1
，
这就说明，要证结论成立

2001年全国高中数学联合竞赛加试参考答案及评分标准

另证：以
BC
所在直线为
x
轴，
D
为原点建立直角坐标 系，
aa
,k
AB
??

cb
ac
∴直线
AC
的方程为
y??(x?c)
，直线
BE
的方程为
y?(x?b)

ca
c
?
y?(x?b)
?a
2
c?bc
2
ac
2
?abc
?
a
,
由
?
得
E
点坐标为
E
(
2
)
222
a?ca ?c
?
y??
a
(x?c)
?
c
?
设
A
(0，
a
)，
B
(
b
，0)，
C
(
c
，0)，则
k
AC
??
a
2< br>b?b
2
cab
2
?abc
,
同理可得
F
(
2
)
222
a?ba?b
acc
?(x?)

2a2
b?c
直线
BC
的垂直平分线方程为
x?

2
acc
?< br>y??(x?)
?
b?cbc?a
2
?
2a2
由
?
得
O
()
,
22a
b?c
?
x?
?
2
?
直线
AC
的垂直平分线方程为
y?

k
OB
bc?a
2
bc?a
2
2a
??
b?c
ac?ab
?b
2
,k
DF
ab
2
?abcab?ac
?
2
?

ab?b
2
ca
2
?bc

∵
k
OB
k
DF
??1
∴
OB
⊥
DF


二．【解析】先求最小值，因为
(
?
x)?
?
2
i
i?1i?1
nn
x< br>i
2
?2
1?k?j?n
?
k
x
k
x
j
?1?
j
?
x
i?1
n
i
≥ 1
等号成立当且仅当存在
i
使得
x
i
＝1，
x< br>j
＝0，
j
＝
i

∴
?
x
i?1
n
i
最小值为1． 再求最大值，令
x
k
?ky
k

∴
?ky
k?1
n
2
k
?2
1?k?j?n
?kyy
k
n
j
?1
①
设
M?
?
x?
?
k
k?1k?1
n
?
y< br>1
?y
2
???y
n
?a
1
?
y< br>2
???y
n
?a
2
?
ky
k
， 令
?

??
?
?
y
n
?a
n?
22
???a
n
?1
则①?
a
1
2
?a
2
令
a
n?1
＝0，则
M?
?
k?1
n
k(a
k
?a< br>k?1
)

?
?
k?1n
ka
k
?
?
k?1
n
ka
k?1< br>?
?
k?1
n
ka
k
?
?
k?1< br>n
k?1a
k
?
?
(
k?1
n
k? k?1)a
k


三．【解析】记所求最小值为
f
(
m
，
n
)，可义证明
f
(
m
，
n
)＝
rn
＋
n
－(
m
，
n
) (*)
其中(
m
，
n
) 表示
m
和
n
的最大公约数
事实上，不妨没
m
≥
n

(1)关于
m
归 纳，可以证明存在一种合乎题意的分法，使所得正方形边长之和恰为
rn
＋
n
－(
m
，
n
)
当用
m
＝1时，命题显然成立．
假设当，
m
≤
k
时，结论成立(
k
≥1)．当
m
＝
k
＋1时，若< br>n
＝
k
＋1，则命题显然成立．若
n
＜
k
＋ 1，从矩形
ABCD
中切去正方形
AA
1
D
1
D< br>(如图)，由归纳假设矩形
A
1
BCD
1
有一种分法使得所得正方形边长之和恰为
m
—
n
＋
n
—(
m< br>－
n
，
n
)＝
m
－

D

D
1
C
(
m
，
n
)，于是原矩形ABCD
有一种分法使得所得正方形
边长之和为
rn
＋
n
－(
m
，
n
)
n
(2)关于
m
归纳可以证明(*)成立．
当
m
＝1时，由于
n
＝1，显然
f
(
m
，
n
)＝
rn
＋
n
－
(
m
，n
)
m
A
1
A B
假设当
m
≤
k
时，对任意1≤
n
≤
m
有
f
(
m
，
n
)＝
rn
＋
n
－(
m< br>，
n
)
若
m
＝
k
＋1，当
n
＝
k
＋1时显然
f
(
m
，
n
)＝
k
＋1＝
rn
＋
n
－(
m
，
n
)．
当1≤
n
≤
k
时，设矩形
AB CD
按要求分成了
p
个正方形，其边长分别为
a
l
，
a
2
，…，
a
p

不妨
a
1
≥
a
2
≥…≥
a
p

显然
a
1
＝
n
或
a
1
＜
n
．