高中数学综合测试题 - 参考答案

高中数学综合检测题一(必修3、选修2-1)参考答案
BBACB BDACC CC
48
1

3
x
2
y
2
＋＝1
168
600
三、解答题
17．解 (1)甲校两男教师分别用A、B表示，女教师用C表示；乙校男教师 用D表示，两女教
师分别用E、F表示．
从甲校和乙校报名的教师中各任选1名的所有可能的结果为：
(A，D)，(A，E)，(A ，F)，(B，D)，(B，E)，(B，F)，(C，D)，(C，E)，(C，F)共9种，从
中选 出两名教师性别相同的结果有：
4
(A，D)，(B，D)，(C，E)，(C，F)共4种 ，选出的两名教师性别相同的概率为P＝.
9
(2)从甲校和乙校报名的教师中任选2名的所有可能的结果为：
(A，B)，( A，C)，(A，D)，(A，E)，(A，F)，(B，C)，(B，D)，(B，E)，(B，F)，(C， D)，(C，
E)，(C，F)，(D，E)，(D，F)，(E，F)共15种．
从中选出两名教师来自同一学校的结果有：
(A，B)，(A，C)，(B，C)，(D，E)，(D，F)，(E，F)共6种，
62
选出的两名教师来自同一学校的概率为P＝＝.
155
18．解 (1)频率分布表：
分组
[41,51)
[51,61)
[61,71)
[71,81)
[81,91)
[91,101)
[101,111)
(2)频率分布直方图：
频数
2
1
4
6
10
5
2
频率
2

30
1

30
4

30
6

30
10

30
5

30
2

30
(3)答对下述两条中的一条即可：
1
(i)该市一个月中空气污染指 数有2天处于优的水平，占当月天数的；有26天处于良的水
15
1314
平，占当月 天数的；处于优或良的天数共有28天，占当月天数的.说明该市空气质量基
1515
本良好．
1
(ii)轻微污染有2天，占当月天数的.污染指数在80以上的接近轻微污染的天数有15 天，
15
17
加上处于轻微污染的天数，共有17天，占当月天数的，超过50%.说 明该市空气质量有
30
待进一步改善．
19．证明 (1)因为∠DAB＝60°，AB＝2AD，由余弦定理得BD＝3AD.
从而BD
2
＋AD
2
＝AB
2
，故BD⊥AD.
又PD⊥底面ABCD，可得BD⊥PD.
所以BD⊥平面PAD，故PA⊥BD.
(2)解 如图，以D为坐标原点，AD的长为单位长，射
线DA为x轴的正半轴，建立空间直角坐标系D－xyz，
则A(1，0，0)，B(0，3，0)，C(－1，3，0)，P(0，0，
1)．
→→→
AB＝(－1，3，0)，PB＝(0，3，－1)，BC＝(－1，0，
0)．
设平面PAB的法向量为n＝(x，y，z)，
→
?
AB ＝0，
?
－x＋3y＝0，
?
n·
则
?
即
?

→
3y－z＝0.
?
?
PB＝0.
?
n·
因此可取n＝(3，1，3)．
《高中数学综合检测题一》 第1页 共4页

→
?
PB＝0，
?
m·
设平面P BC的法向量为m，则
?

→
?
BC＝0.
?
m·
－4
27
可取m＝(0，－1，－3)．cos〈m，n〉＝＝－.
7
27
27
故二面角A-PB-C的余弦值为－.
7
20．解 (1)设M的坐标为(x，y)，P的坐标为(x
P
，y
P
)，
x＝x，
?
?
P
由已知得
?
5

y＝
?
?
P
4
y.
∵P在圆上，
52
x
2
y
2
∴x＋(y)＝25，即轨迹C的方程为＋＝1.
42516
2
→→
PB?AC
66
设PB与AC所成角为θ ，则cos θ＝||＝＝.
4
→→
|PB||AC|
22?23
→
(3)解 由(2)知BC＝(－1，3，0)．
→
设P(0，－3，t)(t>0)，则BP＝(－1，－3，t)．
设平面PBC的法向量m＝(x，y，z)，
→→
则BC?m＝0，BP?m＝0.
?
－x＋3y＝0，
66
所以
?
令y＝3，则x＝3，z＝ .所以m＝(3，3，)．
tt
?
－x－3y＋tz＝0.
6
同理 ，平面PDC的法向量n＝(－3，3，)．
t
36
因为平面PBC⊥平面PDC， 所以m·n＝0，即－6＋
2
＝0，
t
解得t＝6.所以PA＝6.
?
?
y＝x＋b
22．解 (1)由
?
2
得x
2
－4x－4b＝0(*)，
?
?
x＝4y
44
(2)过点(3，0)且斜率为的直线方程为y＝(x－3)， < br>55
设直线与C的交点为A(x
1
，y
1
)，B(x
2
，y
2
)，
4
将直线方程y＝(x－3)代入C的方程，得
5
x
（x－3）
＋＝1，
2525
3－413＋41即x
2
－3x－8＝0.∴x
1
＝，x
2
＝.
22
∴线段AB的长度为
|AB|＝（x
1
－x
2
）
2
＋（y
1
－y
2
）
2
＝
1 6
（1＋）（x
1
－x
2
）
2
＝
254141
?41＝.
255
2
2
因为直线l与抛物线C相切， 所以Δ＝(－4)
2
－4?(－4b)＝0，解得b＝－1.
(2)由(1)可知b＝－1，故方程(*)为x
2
－4x＋4＝0，解得x＝2，
代入x
2
＝4y，得y＝1，故点A(2，1)．
因为圆A与抛物线C的准 线相切，所以圆A的半径r就等于圆心A到抛物线的准线y＝－1
的距离，即r＝|1－(－1)|＝2 ，
所以圆A的方程为(x－2)
2
＋(y－1)
2
＝4.
21．(1)证明 因为四边形ABCD是菱形，所以AC⊥BD.
又因为PA⊥平面ABCD，所以PA⊥BD，所以BD⊥平面PAC.
(2)解 设AC∩BD＝O，
因为∠BAD＝60°，PA＝AB＝2，
所以BO＝1，AO＝CO＝3.
如图，以O为坐标原点，建立空间直角坐标系O -xyz，则P(0，－3，2)，
A(0，－3，0)，B(1，0，0)，C(0，3，0)．
→→
所以PB＝(1，3，－2)，AC＝(0，23，0)．
《高中数学综合检测题一》 第2页 共4页

高中数学综合检测题二(必修3、选修2-1)参考答案
DBDAA ADCAD DA
4
故所求的概率P(A)＝＝0.4.
10
19． (1)证明 因为EF∥AB，FG∥BC，EG∥AC，∠ACB＝90°.
10
1
3
12 5
三、解答题
17．解 本题考查概率统计的基础知识和方法，考查运算能力，分析问题、解决问题的能力．
(1)当X＝8时 ，由茎叶图可知，乙组同学的植树棵数是：8,8,9,10，所以平均数为：x＝
8＋8＋9＋10< br>4
＝
35
4
；
方差为：s
2
＝
1
4
?[
?
?
8－
35
4
?
?2
＋
?
?
8－
35
4
?
?
2
＋
?
?
9－
35
4
?
?
2
＋
?
?
10－
35
4
?
?
2
] ＝
11
16
.
(2)记甲组四名同学为A
1
，A
2
，A
3
，A
4
，他们植树的棵数依次为9,9,11,11；乙组 四名同学为B
1
，
B
2
，B
3
，B
4，他们植树的棵数依次为9,8,9,10.分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，所有可
能的结 果有16个：
(A
1
，B
1
)，(A
1
，B2
)，(A
1
，B
3
)，(A
1
，B
4
)，
(A
2
，B
1
)，(A
2
，B< br>2
)，(A
2
，B
3
)，(A
2
，B
4
)，
(A
3
，B
1
)，(A
3
，B
2
)，(A
3
，B
3
)，(A
3
，B4
)，
(A
4
，B
1
)，(A
4
， B
2
)，(A
4
，B
3
)，(A
4
，B< br>4
)，
用C表示“选出的两名同学的植树总棵数为19”这一事件，则C中的结果有4 个，它们是：
(A，B
41
14
)，(A
2
，B
4
)，(A
3
，B
2
)，(A
4
，B
2)．故所求概率为P(C)＝
16
＝
4
.
18．解 (1)由频率分布表得a＋0.2＋0.45＋b＋c＝1，即a＋b＋c＝0.35.
因为抽取的2 0件日用品中，等级系数为4的恰有3件，所以b＝
3
20
＝0.15，
等 级系数为5的恰有2件，所以c＝
2
20
＝0.1，从而a＝0.35－b－c＝0. 1.
所以a＝0.1，b＝0.15，c＝0.1.
(2)从日用品x
1
，x
2
，x
3
，y
1
，y
2
中任取两件， 所有可能的结果为：{x
1
，x
2
}，{x
1
，x
3
}，{x
1
，y
1
}，
{x
1
，y2
}，{x
2
，x
3
}，{x
2
，y
1
}，{x
2
，y
2
}，{x
3
，y
1< br>}，{x
3
，y
2
}，{y
1
，y
2
}．
记事件A表示“从日用品x
1
，x
2
，x
3
，y
1
，y
2
中任取两件，其等级系数相等”，则A包含的基
本事 件为：{x
1
，x
2
}，{x
1
，x
3
} ，{x
2
，x
3
}，{y
1
，y
2
}，共 4个．
又基本事件的总数为10，
《高中数学综合检测题二》
所以∠EGF＝90°，
△ABC∽△EFG.
由于AB＝2EF，因此BC＝2FG.
连接AF，
由于FG∥BC，FG＝
1
2
BC，
在?ABCD中，M是线段AD的中点，
则AM∥BC，且AM＝
1
2
BC，
因此FG∥AM且FG＝AM，
所以四边形AFGM为平行四边形，
因此GM∥FA.
又FA?平面ABFE，GM?平面ABFE，
所以GM∥平面ABFE.
(2)解 因为∠ACB＝90°，所以∠CAD＝90°.
又EA⊥平面ABCD，所以AC，AD，AE两两垂直．
分别以AC，AD，AE所在直线为x轴，y轴和z
轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
不妨设AC＝BC＝2AE＝2，则由题意得A(0， 0，0)，B(2，－2，0)，C(2，0，0)，E(0，0，1)，
所以AB
→
＝(2，－2，0)，BC
→
＝(0，2，0)．又EF＝
1
2
AB ，
所以F(1，－1，1)，BF
→
＝(－1，1，1)．
设平面BFC 的法向量为m＝(x
1
，y
1
，z
1
)，
则m· BC
→
＝0，m·BF
→
＝0，所以
?
?
?
y
1
＝0，
?
xz
取z
1
＝1，得x
1
＝1，所以m＝(1，0，1)．
?
1
＝
1
，
设 平面向量ABF的法向量为n＝(x
2
，y
2
，z
2
)，
则n·AB
→
＝0，n·BF
→
＝0，所以
?
?< br>?
x
2
＝y
2
，
?
取y
2
＝1，得x
2
＝1，则n＝(1，1，0)．
?
z
2
＝0，
第1页 共4页

m?n
1
所以cos〈m，n〉＝＝.
|m|?|n|
2
因此二面角A - BF - C的大小为60°.
x< br>2
y
2
x
0
2
y
0
2
20 ．解 (1)点P(x
0
，y
0
)(x
0
≠±a)在双曲线
2
－
2
＝1(a>0，b>0)上，有
2
－
2＝1.
abab
y
0
y
0
1
由题意又有?＝，
x
0
－ax
0
＋a
5
c30
即x
0
2
－5y
0
2
＝a
2
，可得a
2
＝5b
2
，c
2
＝a
2
＋b
2
＝6b
2
，则e＝＝.
a5
222
?
?
x－5y＝5b，
(2)联立
?
得4x
2
－10cx＋35b
2
＝0， ?
?
y＝x－c，
→→→
P(0，2，0)，则DQ＝(1，1，0)， DC＝(0，0，1)，PQ＝(1，－1，0)．
→→→→
所以PQ?DQ＝0，PQ?D C＝0.即PQ⊥DQ，PQ⊥DC，又DQ∩DC＝D，故PQ⊥平面DCQ.
又PQ?平面PQC，所以平面PQC⊥平面DCQ.
→→
(2)依题意有B(1，0，1)，CB＝(1，0，0)，BP＝(－1，2，－1)．
设n＝(x，y，z)是平面PBC的法向量，则
→
?
CB＝0，
?
?
n·
?
x＝0，
?
即
?
因此可取n＝ (0，－1，－2)．
?
→－x＋2y－z＝0.
?
?
BP＝0，
?
n·
→
?
BP＝0，
?
m·
设m是平面 PBQ的法向量，则
?
可取m＝(1，1，1)，
→
?
PQ＝0.
?
m·
所以cos〈m，n〉＝－
1515
.故二面角Q -BP - C的余弦值为－.
55
设A(x
1
，y
1
)，B(x
2
，y
2
)，
?
则
?
35b
x x＝.
?
4
2
12
5c
x
1
＋x
2
＝，
2
①
22. 解（1）
→→→→
设OC＝(x
3
，y
3
)，OC＝λOA＋OB，
?
?
x
3
＝λx
1
＋x
2
，即
?

?
y
3
＝λy
1
＋y
2
，
?
MF
1
3b
2
13
?由题知，=∴ ?=,且a
2
=b
2
+c
2
.联立整理得：2e
2
+3e-2=0，
F
1
F
2
4a2c4
11
解得e=.∴C的离心率为.
22
（2）

又C为双曲线上一点，即x< br>3
2
－5y
3
2
＝5b
2
，
有( λx
1
＋x
2
)
2
－5(λy
1
＋y2
)
2
＝5b
2
，
化简得λ
2
(x
1
2
－5y
1
2
)＋(x
2
2
－ 5y
2
2
)＋2λ(x
1
x
2
－5y
1< br>y
2
)＝5b
2
， ②
b
2
由 三角形中位线知识可知，MF
2
?2?2，即?4.
a
设F
1
N?m,由题可知MF
1
?4m.由两直角三角形相似，可得
3
M,N两点 横坐标分别为c,-c.由焦半径公式可得:

2
3c
MF
1
?a?ec,NF
1
?a?e(-c)，且MF
1
:NF
1
?4:1,e?,
2a
a
2
?b
2
?c
2
.联立解得a?7,b?27.
所以，a?7,b?27
又A(x
1
，y< br>1
)，B(x
2
，y
2
)在双曲线上，所以x
12
－5y
1
2
＝5b
2
，x
2
2－5y
2
2
＝5b
2
.
由①式又有x
1x
2
－5y
1
y
2
＝x
1
x
2
－5(x
1
－c)(x
2
－c)＝－4x
1
x< br>2
＋5c(x
1
＋x
2
)－5c
2
＝10b
2
，
由②式得λ
2
＋4λ＝0，解出λ＝0，或λ＝－4.

21．解 如图，以D为坐标原点，线段DA的长为单位长，
射线DA为x轴的正半轴建立空间直角坐标系D
-xyz.
(1)证明 依题意有Q(1，1，0)，C(0，0，1)，
《高中数学综合检测题二》 第2页 共4页