全国重点高中高二数学试题及详细解析

全国重点高中高二数学期末考试（理）
满分：150分 考试时间：120分钟
第I卷（满分60分）
一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，在每小题给出的四个 选项中，只有一项是
符合题目要求的.）
1.已知
Z?i(2?i)
，则复数Z=（ ）
A.
2i?1
B.
2i?1
C.
?1?2i
D.
1?2i

2.以下式子正确的个数是（ ）.
①
()
?
?
1< br>x
1?1
xx
?
?
?
(lgx)?
②③④
(cosx)??sinx
(2)?2ln2
x
2
xln10
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
3.若曲线
f(x)?x?2x ?1
在点
(1,0)
处的切线的方程为（ ）
A.
x?y?1?0
B.
x?y?1?0
C.
x?y?1?0
D.
x?y?1?0

4.已知X～B（n，p），EX=8，DX=1.6，则n与p的值分别是（ ）
A．100，0.08 B．20，0.4 C．10，0.2 D．10，0.8
xx5.因为指数函数
y?a
是增函数，
y?()
是指数函数，则
y ?()
是增函数.这个结论是
32
x
1
2
1
2错误的，这是因为（ ）
A. 大前提错误 B.小前提错误 C.推理形式错误 D.非以上错误
6.已知
?
得分布列为
?

p

-1 0 1
1

2
1
3
1

3
1

6
231
；③
P(
?
?0)?
.正确的个数是（ ）
273
则在下列式中：①
E(
?
)??
；②
D (
?
)?
A.0 B.1 C.2 D.3 7.中国有个名句“运筹帷幄之中，决胜千里之外”，其中的“筹”原意是指《孙子算经》中记载
的 算筹，古代是用算筹来进行计算，算筹是将几寸长的小竹棍摆在平面上进行运算，算筹的
摆放形式有纵横 两种形式，如图，当表示一个多位数时，像阿拉伯计数一样，把各个数位的

数码从左到右排列，但各位数码的筹式需要纵横相间，个位，百位，万位数用纵式表示，十< br>位，千位，十万位用横式表示，以此类推．例如 6613 用算筹表示就是
则 8335 用算筹可表示为（ ）
，

A．
C．
B．


D．
8.函数
f(x)?x?lnx
的单调递减区间为（ ）
A．（﹣∞，1） B．（1，+∞） C．（0，1） D．（0，+∞）
9.用数学归纳 法证明等式
1?2?3??(n?3)?
(n?3)(n?4)
(n?N
?< br>)
时，第一步验证
2
n?1
时，左边应取得项是（ ）
A.1 B.1+2 C.1+2+3 D.1+2+3+4
10. 函数
y?2x?3x?12x?5
在
?
0,3
?
上的最大值 、最小值分别是（ ）
32
A.5,-15 B.5,-4 C.-4,-15 D.5,16
11. 口袋中有5个球，编号为1,2,3,4,5，从 中任意取3个球，以
?
表示取出的球的最大号码，
则
E(
?
)?
（ ）
A.4 B.4.5 C.4.75 D. 5
12. 已知函数
f(x)?x?3ax?3(a?2)x?1
在其定义域上没有极值 ，则
a
的取值范围
（ ）
A.
(?1,2)
B.
?
?1,2
?
C.
(??,?1)?(2,??)
D.
(??,?1]?[2,??)

32

第II卷（满分90分）
二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分） < br>13.已知a，b∈R，i是虚数单位，若
a?i?2?bi
，则
a?bi= ．
14.
?
(2x?1)dx?

.
0
1
x
2
y
2
xxyy
15.椭圆
2
?
2
?1(a?b?0)
在其上一点
P(x
0
,y
0
)
处的切线方程为
0
2
?
0
2?1
．类比
ab
ab
x
2
y
2
上述结 论，双曲线
2
?
2
?1(a?0,b?0)
在其上一点
P( x
0
,y
0
)
处的切线方程为 ．
ab
16.设
a?R
，若函数
y?x?alnx
在区间
( , e)
有极值点，则
a
取值范围为 .
三、解答题（本大题 共6个小题，满分70分，解答时写出必要的文字说明、证明过程及演
算步骤.
17.（本小 题满分10分）已知复数
z?(m?m?6)?(m?3m?2)i(m?R)

（1）当
m
为何值时，
z
为纯虚数；
（2）如果复数z
在复平面上对应的点位于第二象限，求实数
m
的取值范围.




18.（本小题满分12分）已知函数
f(x)?x?ax? x?c
且
a?f
?
()
.
（1）求
a
的值；
（2）求函数
f(x)
的单调区间．




19.（本小题满分12分）生蚝即牡蛎是所有事物中含锌 最丰富的，在亚热带、热带沿海都适
宜生蚝的养殖，我国分布很广，北起鸭绿江，南至海南岛，沿海皆可 产生蚝，生蚝乃软体有
32
22
1
e
2
3

壳，衣服寄生的动物，咸淡水交界所尤为肥美，因此生蚝称为一年四季不可或 缺的一类美食，
某饭店从某水产养殖厂购进一批生蚝，并随机抽取了40只统计质量，得到结果如表所示 ：
质量（g）
数量
[5,15)
6
[15,25)
10
[25,35)
12
[35,45)
8
[45,55)
4
（1）若购进这批生蚝500kg，且同一组数据用该组区间的 中点值代表，试估计这批生蚝的
数量（所得结果保留整数）；
（2）以频率估计概率，若在本 次购买的生蚝中随机挑选4个，记质量在[5,25)间的生蚝的个
数为X，求X的分布列及数学期望.




20.（本小题满分12分）设数列
?
a
n
?
的前n项和为S
n
，且满足
S
n
?1 ?na
n
（n∈N
*
）．
（Ⅰ）计算
a
1
,a
2
,a
3
,a
4
的值；
（Ⅱ）猜想
a
n
的表达式，并用数学归纳法证明你的结论.


21. （本小题满分12分）
随着网络营销和电子商务的兴起，人们的购物方式 更具多样化，某调查机构随机抽取10名
购物者进行采访，5名男性购物者中有3名倾向于选择网购，2 名倾向于选择实体店，5名
女性购物者中有2名倾向于选择网购，3名倾向于选择实体店．
（ Ⅰ）若从这10名购物者中随机抽取2名，其中男、女各一名，求至少1名倾向于选择实
体店的概率；
（Ⅱ）若从这10名购物者中随机抽取3名，设X表示抽到倾向于选择网购的男性购物者的
人数 ，求随机变量X的分布列及数学期望．
22.（本小题满分12分）设函数
f(x)?2lnx?x
．
（1）求函数
f(x)
的单调递增区间；
2

（2）若关于
x
的方程
f(x)?x?x?2?a?0
在区间[1，3]内恰有两个相异实根，求实数
a
的取值范围．









2

参考答案
一、选择题
1
B
2
B
3
A
4
D
5
A
6
C
7
B
8
C
9
D
10
A
11
B
12
B
二、填空题
13.
5
14.0 15.
三、解答题
17.（本小题10分）
x
0
xy
0
y
1
??1(?e,?)
16.
a
2
b
2
e
?
m
2
?m ?6?0
?
m?2或m??3
解：（1）若
z
为纯虚数，则
?
2
所以
?
，所以
m??3

?
m?1且 m?2
?
m?3m?2?0
（2）若复数
z
在复平面上对应的点位于 第二象限则
?
m
2
?m?6?0
，解得
?3?m?1

?
2
?
m?3m?2?0
18.（本小题满分12分）
解：（1）f′（x）=3x
2
+2ax﹣1，
∴f′（）=+a﹣1=a，
解得：a=﹣1；
（2）由（1）得：f（x）=x
3
﹣x
2
﹣x+c，
f′（x）=3x
2
﹣2x﹣1=（3x+1）（x﹣1），
令f′（x）＞0，解得：x＞1或x＜﹣，令f′（x）＜0，解得：﹣＜x＜1，
∴函数f（x）的单调增区间为（﹣∞，﹣），（1，+∞），单调减区间为（﹣，1）．
19. （本小题满分12分）
解：(1)由表中的数据可以估算生蚝的质量为：
1
(6?10?10?20?12?30?8?40?4?50)?28.5g
40
所以购进500kg,生蚝的数量为500000
?28.5?17554
（ 只）
（2）由表中数据知任意挑选一只，质量在
[5,25)
间的概率为
P ?
2
.
5

X的可能取值为0,1,2,3,4
则
P(X?0)?()
4
?
381216
1
23
3
,P(X?1)?C
4
()?

562555625
21696
2
2
2< br>3
23
2
3
3
P(X?2)?C
4
()() ?,P(X?3)?C
4
()()?

5562555625
216
P(X?4)?()
4
?

5625
X的分布列为：
X
P
0 1 2 3 4
81216216

625625625
268
?1??2??3??4??
E(X)=
0?
6256256256256255
20.（1），所以
，所以
，所以
，所以
（2）猜想：
下面用数学归纳法证明：
①当
②假设当
那么当
又
时，
（
时，
，所以
，即当
故由①和②， 可知猜想成立。
时，猜想也成立。
，猜想显然成立。
）时猜想成立，即
，即
，从而
。
。
，
，
，
。
96

625
16

625
。
21.（本小题12分）解：（Ⅰ）设“至少1名倾向于选择实体店”为事件A，
则表示事件“随机抽取2名，（其中男、女各一名）都选择网购”，
则P（A）=1﹣P=1﹣=．

（Ⅱ）X的取值为0，1，2，3．P（X=k）=，
P（X=0）=
E（X）=0×
，P（X=1）=
+1×+2×
，P（X=2）=
+3×= ．
，P（X=3）=．
22.解：（1）f′（x）=
单调递增区间是（0，1]．
，∵x＞0，x∈（0 ，1）时，f′（x）＞0，所以函数f（x）的
（2）将f（x）代人方程f（x）+x
2< br>﹣x﹣2﹣a=0得2lnx﹣x﹣2﹣a=0，令g（x）=2lnx﹣x﹣2
﹣a则g′（x ）=；
∴x∈[1，2）时，g′（x）＞0；x∈（2，3]时，g′（x）＜0；
∴g（2）是g（x）的极大值，也是g（x）在[1，3]上的最大值；
∵关于x的方程f （x）+x
2
﹣x﹣2﹣a=0在区间[1，3]内恰有两个相异实根；
∴函数g（x）在区间[1，3]内有两个零点；则有：g（2）＞0，g（1）＜0，g（3）＜0，
所以有：
解得：2ln3﹣5＜a＜2ln2﹣4，所以a的取值范围是（2ln3﹣5，2ln2﹣4）．