高中数学面试题及答案

15.
已知
A
，
B
，
C
是圆
O
上的三点，若
角为_______.
，则与的夹
16.
已知< br>a
，
b
，
c
分别为△
ABC
的三个内角A
，
B
，
C
的对边，
a
=2，且（2+
b
）
（sin
A
－sin
B
）=（
c
－
b
）sin
C
，则△
ABC
面积的最大值为_______ __.
三、解答题
17.

已知数列{
a
n
} 的前
n
项和为
S
n
，
a
1
=1，
a
n
≠0，
a
n
a
n
+1
=λ
S
n
-1，其中λ为
常数.（Ⅰ）证明：
a
n
+2
－
a
n
=λ；（Ⅱ）是否存在λ，使得{
a
n
}为等差
数列？并说明理由.




18.

从某企 业的某种产品中抽取500件，测量这些产
品的一项质量指标值，由测量结果得如下频率分布直方图：（ 1）求这
2
500件产品质量指标值的样本平均数和样本方差
s
（同一组数据 用该区
间的中点值作代表）；（2）由频率分布直方图可以认为，这种产品的
2
质量指 标值
Z
服从正态分布
N
（μ，δ）其中μ近似为样本平均数，
22< br>δ近似为样本方差
s
.①利用该正态分布，求
P
（187.8<
Z
<212.2）；
②某用户从该企业购买了100件这种产品，记
X
表示 这100件产品中质
量指标值为于区间（187.8，212.2）的产品件数，利用（1）的结果，< br>2
求
EX.
附：≈12.2.若
Z
～
N
（μ ，δ），则
P
（μ－δ<
Z
<μ+δ）
=0.6826，
P
（μ－2δ<
Z
<μ+2δ） =0.9544.







19

如图三棱锥
ABC
－
A
1
B
1
C
1
中，侧面
BB< br>1
C
1
C
为菱形，
AB
⊥
B
1C.
（Ⅰ） 证明：
AC
=
AB
1
；（Ⅱ）若
AC
⊥
AB
1
，∠
CBB
1
=60°，
A B
=
BC
，求二面角
A
－
A
1
B
1
－
C
1
的余弦值.








20.
已知点
A
（0，－2），椭圆
E
：
是椭圆
E
的右焦点，直线
AF
的斜率为
的离 心率为，
F
，
O
为坐标原点.（Ⅰ）求
E
的方程；（Ⅱ）设 过点
A
的直线
l
与
E
相交于
P
，
Q
两点，当△
OPQ
的面
积最大时，求
l
的方程.







21.
设函数， 曲线
y
=
f
（
x
）在点（1，
f
（1）处 的切线
为
y
=
e
（
x
－1）+2. （Ⅰ）求
a
，
b
； （Ⅱ）证明：
f
（
x
）>1.







22.

如图，四边形
ABCD
是 ⊙
O
的内接四边形，
AB
的延长线与
DC
的延长线交于点< br>E
，且
CB
=
CE.
（Ⅰ）证明：∠
D
=∠
E
；（Ⅱ）

设
AD
不是⊙
O
的直径 ，
AD
的中点为
M
，且
MB
=
MC
，证明 ：△
ADE
为等边
三角形.







23.
已知曲线
C
：，直线
l
：（< br>t
为参数）.（Ⅰ）写
出曲线
C
的参数方程，直线
l
的普通方程；（Ⅱ）过曲线
C
上任一点
P
作与
l
夹角为30 °的直线，交
l
于点
A
，求|
PA
|的最大值与最小值.






24.
若
a
>0，
b
>0，且.（Ⅰ）求
a
+
b
的最小值；（Ⅱ）是 否存
33
在
a
，
b
，使得2
a
+3
b
=6？并说明理由.

黄冈中学高中面试题答案：
一、选择题：
1-6 ADCADC 7-12 DCCBCB
二．填空
13. -20 14. A 15. 90 16.
3

三、解答题
17.
解
（Ⅰ）证明：∵a
n
a
n +1
=λS
n
﹣1，a
n+1
a
n+2
=λSn+1
﹣1，
答：
∴a
n+1
（a
n+2
﹣a
n
）=λa
n+1

∵a
n+1
≠0，
∴a
n+2
﹣a
n
=λ．
（Ⅱ）解：①当λ=0时，a< br>n
a
n+1
=﹣1，假设{a
n
}为等差数列，设公差为d．
则a
n+2
﹣a
n
=0，∴2d=0，解得d=0，
∴a
n
=a
n+1
=1，
2
∴1=﹣1，矛盾，因此λ=0时{a
n
}不为等差数列．
②当λ≠0时，假设存在λ，使得{a
n
}为等差数列，设公差为d．
则λ =a
n+2
﹣a
n
=（a
n+2
﹣a
n+1
）+（a
n+1
﹣a
n
）=2d，
∴
∴
∴λS
n
=1+
根据{a
n
}为等差数列的充要条件是
此时可得， a
n
=2n﹣1．
．
，，
=，
。
，解得λ=4．
因此存在λ=4，使得{a
n
}为等差数列．

18.
2
解
解：（Ⅰ）抽取产品的质量指标值的样本平均数和样本方差s分别为：
答：
=170×0.02+180×0.09+190×0.22+200×0.33+21 0×0.24+220×0.08+230×0.02=200，
2222222
s=（﹣3 0）×0.02+（﹣20）×0.09+（﹣10）×0.22+0×0.33+10×0.24+20×0. 08+30×0.02=150．
（Ⅱ）（i）由（Ⅰ）知Z～N（200，150），从而P（18 7.8＜Z＜212.2）=P（200﹣12.2＜Z＜200+12.2
=0.6826；
（ii）由（i）知一件产品的质量指标值位于区间（187.8，212.2）的概率为0.6826，
依题意知X～B（100，0.6826），所以EX=100×0.6826=68.26．
19.
解
解：（1）连结BC
1
，交B
1
C于点O，连结AO，
答：
∵侧面BB
1
C
1
C为菱形，
∴BC1
⊥B
1
C，且O为BC
1
和B
1
C的中点，

又∵AB⊥B
1
C，∴B
1
C⊥平面ABO，
∵AO?平面ABO，∴B
1
C⊥AO，
又B
1
0=CO，∴AC=AB
1
，
（2）∵AC⊥AB
1
，且O为B
1
C的中点，∴AO=CO，
又∵AB=BC，∴△BOA≌△BOC，∴OA⊥OB，
∴OA，OB，OB
1
两两垂直，
以O为坐标原点，的方向为x轴的正方向，||为单位长度，
的方向为y轴的正方向，的方向为z轴的正方向建立空间直角坐标系，
∵∠CBB
1
=60°，∴△CBB
1
为正三角形，又AB=BC，
∴A（0，0，
∴=（0，
），B（1，0，0，），B
1
（0，< br>，），=
，0），C（0，
），=
，0）
=（﹣1，，0）， =（1，0，
设向量=（x，y，z）是平面AA
1
B
1
的法向量，
则，可取=（1，，），
同理可得平面A
1
B
1
C
1
的一个法向量=（1，﹣
∴cos＜，＞==，
，），
∴二面角A﹣A
1
B
1
﹣C
1
的余弦值为
20.
解
解：（Ⅰ）设F（c，0），∵直线AF的斜率为
答：
∴
又
，解得c=
222
，
．
，b=a﹣c，解得a=2，b=1．
； ∴椭圆E的方程为
（Ⅱ）设P（x
1
，y
1
），Q（x
2
，y
2
）．
由题意可设直线l的方程为：y=kx﹣2．
联立
22
，
2
化为（1+4k）x﹣16kx+12=0，当△=16（4k﹣3）＞0时，即时，

，
∴|PQ|=
．

=
=，
点O到直线l的距离d=．
∴S
△OPQ
=
设
∴
=
22
，
＞0，则4k=t+3，
==1，当且仅当t=2，即，解得时取等号．
满足△＞0，∴△OPQ的面积最大时直线l的方程为：
21.
．

解答： 解：（Ⅰ）函数f（x）的定义域为（0，+∞），
f′（x）=
由题意可得f（1）=2，f′（1）=e，
故a=1，b=2；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（x）=elnx+
﹣
x
+，
x
，
从而f（x）＞1等价于xlnx＞xe﹣，设函数g（x）=xlnx，则g′（x）=1+lnx，
∴当x∈（0，）时，g′（x）＜0；当x∈（，+∞）时，g′（x）＞0．
故g（x） 在（0，）上单调递减，在（，+∞）上单调递增，从而g（x）在（0，+∞）上的最小值为
（）=﹣ ．
设函数h（x）=，则h′（x）=e（1﹣x）．
﹣
x
∴当x∈（0 ，1）时，h′（x）＞0；当x∈（1，+∞）时，h′（x）＜0，
故h（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减，
从而h（x）在（0，+∞）上的最大值为h（1）=﹣．
综上，当x＞0时，g（x）＞h（x），即f（x）＞1．

22.

解证明：（Ⅰ）∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
答： ∴∠D=∠CBE，
∵CB=CE，
∴∠E=∠CBE，
∴∠D=∠E；
（Ⅱ）设BC的中点为N，连接MN，则由MB=MC知MN⊥BC，
∴O在直线MN上，
∵AD不是⊙O的直径，AD的中点为M，
∴OM⊥AD，
∴AD∥BC，
∴∠A=∠CBE，
∵∠CBE=∠E，
∴∠A=∠E，
由（Ⅰ）知，∠D=∠E，
∴△ADE为等边三角形．

23.
解
答：
解：（Ⅰ）对于曲线C：+=1，可令x=2cosθ、y=3sinθ，
故曲线C的参数方程为，（θ为参数）．
对于直线l：，
由①得：t=x﹣2，代入②并整理得：2x+y﹣6=0；
（Ⅱ）设曲线C上任意一点P（2cosθ，3sinθ）．
P到直线l的距离为
则
．
，其中α为锐角．
．
． < br>当sin（θ+α）=﹣1时，|PA|取得最大值，最大值为
当sin（θ+α）=1时，|P A|取得最小值，最小值为
24．若a＞0，b＞0，且+=．

（Ⅰ）求a+b的最小值；
（Ⅱ）是否存在a，b，使得2a+3b=6？并说明理由．

解
解：（Ⅰ）∵a＞0，b＞0，且+=，
答：
∴=+≥2，
33
∴ab≥2，
当且仅当a=b=
∵a+b
≥2
33
33
时取等号．
≥2=4，当且仅当a=b=时取等号，
∴a+b的最小值为4．
（Ⅱ）由（1）可知，2a+3b≥2=2
故不存在a，b，使得2a+3b=6成立．

≥4＞6，