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高中数学竞赛模拟试题一汇总

作者:高考题库网
来源:https://www.bjmy2z.cn/gaokao
2020-09-15 03:26
tags:高中数学题

高中数学必修4课件ppt-三角代换高中数学


高中数学竞赛模拟试题一
一 试
(考试时间:80分钟 满分100分)
一、填空题(共8小题,
8?7?56
分)
1、已知,点
(x,y)
在直线
x?2y?3
上移动,当
2
x
?
4
y
取最小值时,点
(x,y)

原点的距离是 。
2、设
f(n)
为正整数n(十进制)的各数位上的数字的平方之和,比

f
?
123
?
?1
2
?2
2
?3
2
?14
f
2010
(2010)?

。记
f
1
(n)?f(n)

f
k?1
(n)?f(f
k
(n))

k?1,2,3...
,则

ABCD?A
1
B
1
C
1
D
1
3、如图,正方体
是 。
中,二面角
A?BD
1
?A
1
的度数
4、在
1,2,?,2010
中随机选取三个 数,能构成递增等差数列的概率
是 。
5、若正数
a,b, c
满足
abc
,则
b
的最大值是
??
a?c
b?ca?ca?b

6、在 平面直角坐标系
xoy
中,给定两点
M(?1,2)

N(1,4)
,点
P

X
轴上
移动,当
?MPN
取最大 值时,点
P
的横坐标是 。
7、已知数列
a
0
,
a
1
,
a
2
,...,
a
n
...,
满足关系式
(3?a
n?1
)(6?a
n
)?18

a
0
?3
,则
?
1
i?0n
a
i
的值是 。
8、函数
f(x) ?
sinx?cosx
?
tanx?cotx
?
sinx?cosx
?
tanx?cotx

x?
(
o
,
?< br>)
时的最
sinx?tanxcosx?tanxcosx?cotxsinx?cot x
2
小值为 。


二、解答题(共3题,
14?15?15?44分

9、设 数列
{
a
n
}
满足条件:
a
1
?1,a< br>2
?2
,且
a
n?2
?a
n?1
?a
n
(n?1,
求证:对于任何正整数n,都有:
n
a
n?1
?1?
n
1

a
n
2,3,?
)
10 、已知曲线
M
:
x
2
?y
2
?m

x?0

m
为正常数.直线
l
与曲线
M
的实轴不垂直,且依次交直线
y?x
、曲线
M
、直线
y??x

A

B

C

D
4
个点,< br>O
为坐标原点。
(1)若
|AB|?|BC|?|CD|
,求证:< br>?AOD
的面积为定值;
(2)若
?BOC
的面积等于
?A OD
面积的
1
,求证:
|AB|?|BC|?|CD|

3
11、已知
?

?
是方程
4x
2
?4tx ?1?0(t?R)
的两个不等实根,函数
f(x)?

2x?t
的定义域为
[
?
,
?
]
.
2
x?1
(Ⅰ)求
g(t)?maxf(x)?minf(x);

(Ⅱ)证明:对于
u
i
?(0,
?
)
2
1113
???6< br>.
g(tanu
1
)g(tanu
2
)g(tanu
3
)4
(i?1,2,3)
,若
sinu
1
?sinu< br>2
?sinu
3
?1
,则
二 试
(考试时间:150分钟 总分:200分)
一、(本题50分)如图,
O
1

O
2
P

?ABC
的三边所在的三条直线都相
切,
E,F,G,H
为切点 ,并且
EG

FH
延长线交于
P
点。
求证:直线
PA

BC
垂直。
二、(本题50分)正实数
x,y,z
,满
xyz?1
。证明:
O
1


G
H
A


O
2

E
B C
F


三、(本题50分)对每个正整数
n
,定义函数
0n为平方数 )
?
(当
?
f(n)?
?
1

[(当]n 不为平方数)
?
{n}
?
240
(其中
[x]
表示 不超过
x
的最大整数,
{x}?x?[x])
。试求:
?
f (k)
的值。
k?1
四、(本题50分)在世界杯足球赛前,
F
国 的教练员为了考察
A
1
,A
2
,A
3
,A
4
,A
5
,A
6
,A
7
这七名队员,准备让他们在 三场训练比赛(每场比赛
90分钟)中都上场,假设在比赛的任何时刻,这些队员都有且只有一
人在场上,并且
A
1
,A
2
,A
3
,A
4
每人上场的总时间(以分钟为单位)均被7整
除,
A
5
,A
6
,A
7
每人上场的总时间(以分钟为单位)均被13整除.如果每
场换人的 次数不限,那么,按每名队员上场的总时间计,共有多少
种不同的情况?
答案与解析
一、填空题
1、
35
4

2
x
?4y
?
2
33
2
x?2y
?42
.
x? ,y?
时取最小值,
24
此时
x
2
?y
2
=
35
4

2、4。 解: 将
f(2010)?5
记做
2010?5
,于是有
从89开始,
f
n
是周期为8的周期数列。故
f
2010
(2010)?f
2005
(89)?f
5?250?8
(89)? f
5
(89)?4

3、
60
。 解:连结
D
1
C
,作
CE?BD
1
,垂足为
E
,延 长
CE

A
1
B

F


FE?BD
1
,连结
AE
,由对称性知
AE?BD
1,??FEA
是二面角
A?BD
1
?A
1

平 面角。
连结
AC
,设
AB?1
,则
AC?AD
1
?
在Rt?ABD
1
中,
AE?
2,BD
1
?3.

AB?AD
1
2
?
BD
1
3


4
?2
1

3

?AEC中,co s?AEC?
AE?CE?AC
?
2AE?AC
???
4
2 AE?CE2AE
2
2
3
22222
??AEC?120
0
,而?FEA是?AEC
的补角,
??FEA?60
0

4、
3

4018
解:三个数成递增等差数列,设为
a,a?d,a?2d
,按题
,2010?2d
. 意必须满足
a?2d?2010,
对于给定的
d,a
可以取
1, 2,
d?1004

1004
d?1

故三数成递增等差数列的个数为
?
(2010
?
2
d)
?
1005*1004.

三数成递增等差数列的概率为
5、
17?1

4
1005*10043
?
3< br>C
2010
4018

解:由条件,有
bca

??
a?ca?bb?c

a?b?x,b?c?y,c?a?z


a?
x?z?y
,b?
x?y?z
,c?
22< br>y?z?x

2
从而原条件可化为:

x?y
?
t,

t?
4
?
1
,解得
t?
1 ?
zt
17
2
或t?
1?17
2


bx?y?zt117?1
????

a?c2z224
6、经过
M,N
两点的圆的圆心在线段
MN
的垂直平分线
y?3?x
上,
1.
解:
设圆心为
S(a,3?a)
,则圆
S
的方程为:
(x?a)
2
?(y?3?a)
2
?2(1?a
2
)

对于定长的弦在优弧上所对的圆周角会随着圆的半径减小而角
度增大,所以,当
?MPN
取最大值时,经过
M,N,P
三点的圆S必与< br>x

相切于点
P
,即圆
S
的方程中的
a值必须满足
2(1?a
2
)?(a?3)
2
,
解得

a??7
.
即对应的切点分别为
P(1,0)
P
?
(?7,0)
,而过点
M,N,P
?
的圆的半径大
a?1


于过点
M,N,P
的圆的半径,所以
?MPN??MP'N
,故点
P(1,0)
为所求,所
以点
P的横坐标为
1.

7、
1
(2
n?2
?n?
3)
.
3
解:设
b
n
?

111
,n?0,1,2,...,则(3?)(6?)?18,

a
n
b
n?1
b
n

3b
n?1
?6b< br>n
?1?0.?b
n?1
?2b
n
?
1
,< br>3
11
b
n?1
??2(b
n
?)

333
故数列
{b
n
?
1
}
是公比为2的等比数 列,
b
n
?
n
111111
?2
n
(b
0
?)?2
n
(?)??2
n?1
?b
n
?(2
n?1
?1)

33a
0
333
nn?
1
n?2
11
i?1
1
?
2(2
n ?1
?1)
?b?(2?1)??(n?1)?
?
2?n?3
?
???
i
??
3
?
2?1
i?o
a
i
i?0i?0
3
?
3
8、
4.
解:
44
????
?(sinx?cosx)
??
?(tanx?cot x)
??
?
sinx?tanx?cosx?cotx
??
sinx ?tanx?cosx?cotx
?
(由调和平均值不等式)
?4

要使上式等号成立,当且仅当
(1) -(2)得到
sinx?cosx?cosx?sinx

即得
sinx?cosx
。因为
x?(0,
?
)

2
所以当
x?
?
时,
f(x)?
4
f() ?4
。所以
minf(x)?4

4
?
二、解答题
9、证明:令
于是
n
a
0
?
1
,则有
a
k?1
?a
k
?a
k?1
,且
1< br>?
a
k
a
?
k?1
(k
?
1,2,
?
)

a
k?1
a
k?1
n
a< br>k
a
n?
?
?
?
k?1

k?1
a
k?1
k?1
a
k?1
由算术- 几何平均值不等式,可得
注意到
a
0
?a
1
?
1
,可知


1?
1
n
a
n?1
?
1
n
a
n
a
n?1
1
,即
y
B
O
A
B

P

n
a
n?1
?1?
n
a
n

10 、解:(1)设直线
l

y?kx?b


x
2< br>?y
2
?m
得:
(1?k
2
)x
2
?2bkx?b
2
?m?0

??0
得:
b
2?m(1?k
2
)?0

C
x
D
A

Q

C


B
(
x
1
,
y
1
)

C(x
2
,y2
)
,则有
x
1
?x
2
?
2bk2
1?k

A
(
x
3
,
y
3
)

D(x
4
,y
4
)

?b

1?k

|AB|?|BC|?|CD|

|BC|?
1
|
AD
|

3

|x< br>1
?x
2
|?
1
|
x
3
?x
4
|

3
b
1?k
?(b
2
?m)< br>,
x
1
x
2
?

2
1?k
易得:
x
3
?

x
4
?
代入得
2bk
2
4(b
2
?m)12b
()??|
|

222
3
1?k1?k1?k
8
整理得:
b
2?
9
m
(
k
2
?
1)


|OA|?
?
S
?AOD
2|
bb
|
,< br>|OD|?2||

?AOD?90?

1?k1?k
b
2
9
??m
为定值.
2
|1?k|8
(2)设
BC
中点为
P

AD
中点为
Q


x
p
?
x
1
?x
2
bk
?
2
1?k
2

x
Q
?
x
3< br>?x
4
bk
?
2
1?k
2

所以
x
P
?x
Q

P

Q
重合,从而
|AP|?|DP|

从而
|AB|?|CD|
,又
?BOC
的面积等于


?AOD
面积的
1
,所以
|BC|?
1
|
AD
|

3
3
从而
|AB|?|BC|?|CD|
.
11、解:( Ⅰ)设
?
?x
1
?x
2
?
?
,则4x1
2
?4tx
1
?1?0,
1
?t

f(x
2
)?f(x
1
)?
2x
2
2
?t
?
2x
?
2
2
4x
2
?4tx
2
?1?0,

(x
2
?x
1
)
?
t(x
1
?x
2
)?2x
1
x
2
?2?
(x?1)(x?1)
2
2
2
2
1
x
2
?1x
1
?1


t(x
1
?x2
)?2x
1
x
2
?2?t(x
1
?x
2
)?2x
1
x
2
?
1
?0?f(x
2
)?f(x
1
)?0


f(x)
在区间
?
?
,
?
?
上是增函数。
(Ⅱ)证:
8216
(
2
?3)?24cosu
i
cosu
i
cosu
i
cosu
i
216?24166
??(i?1,2,3)

g(tanu
i
)??
22
2
16
16?9cos u
i
16?9cosu
i
16?9cosu
i
?9
cos
2
u
i

3

?
sinu
i?1
i
?1,且u
i
?(0,),i?1,2,3
2
?< br>?3
?
sinu
i
?(
?
sinu
i
)
2
?1

2
i?1i?1
33
而均值不等式与柯西不等式中,等号不能同时成立,
二 试
一、证明:延长
PA

EF

D
,则
PEG

PHF
分别是
?ACD

?ABD
的截线,由梅涅劳斯定理得:


DE
EC
BF
FD
CG
G A
DP
PA
AP
?
1
PD
AH
?
1
HB


P
G
O
1
A
H
O
2
O
1
,O
2
都是
?ABC
的旁切圆,
1
?EC?CG?(BC?CA?AB)?BF?HF
2

于是由①、②、③得:

DE
=
GA
AH
FD

E
B D C F



Rt?AGO
1
Rt?AHO
2


DE
=
GA
AH
FD
=
AO

1
AO
2

O
1
,A,O
2
三点共线,且< br>O
1
E?EF,O
2
F?EF,


PA?BC

x
2
?x
5
y
2
? y
5
z
2
?z
5
二、证明:原不等式可变形为
52 2
?
522
?
522
?0

x?y?zy?z?x z?x?y
x
2
?y
2
?z
2
x
2
?y
2
?z
2
x
2
?y
2
?z
2

522
?
522
?
522
?3

x?y?zy?z?xz?x?y
由柯西不等式以及
xyz?1
可得
x
2
?y
2
?z
2
yz?y
2
?z2

522
?
222

x?y?zx?y?z
x
2?y
2
?z
2
zx?z
2
?x
2
同理
522
?
222

y?z?xx?y?z
上面三式相加并利 用
x
2
?y
2
?z
2
?xy?yz?zx

三、解:对任意
a,k?N
*
,若
k
2
?a? (k?1)
2
,则
1?a?k
2
?2k
,设



1
{a}
?
?
1
?
1
a?k
?
a?k2k?
?
2k12k
???1,?[]?[
].

2222
a?ka?ka?ka?k
{a}
a?k?
?
,0?
?
?1,


a
跑遍区间
(k
2
,(k?1)
2
)中的所有整数,
2k
1
则< br>?
[]?
?
[
2k
],

i
i?1
k
2
?a?(k?1)
2
{a}
(n?1)
2a?1


于是
?
f(a)?
??
[
i?1i?1
n2k
2k
……①
]
i
下面计算
?
[
2k
],
画一张
2k?2k
的表,第
i
行中,凡是
i
行中的位数处
i?1
2k
i
2k
2k
填写“*”号,则这行的“*”号共
[
]
个,全表的“*”号共
?< br>[
2k
]
个;
i
i
i?1
另一方面,按列收 集“*”号数,第
j
列中,若
j

T(j)
个正因数,则< /p>


该列使有
T(j)
个“*”号,故全表的“*”号个数共
2k
2k
T(j)
个,因此
?
[]?
?
T(j).
?
i
i?1j?1
j?1
2k
2k
示例如下:

1
1
2
3
4
5
6









2
*
*

3
*
4
*
*


5
*
6
*
*
*


*
*




*





*

?
f
(
a
)
?
??
T
(
j
)
?n
[T
(1)
?T
(2)]
?
(
n?
1)[
T
(3)
?T
(4)]
?
?
?
[
T(2
n?
1)
?T
(2
n
)]

i?1i?1j?1
nn2k
……②


由此,
?
f(k)?
?
(16?k)[T(2k?1)?T(k)]
……③
k?1k?1
25615

a
k

?T(2k?1)?T(2k),k?1,2,?,15,
易得
a
k
的取 值情况如下:
1
16
n
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
15
3 5 6 6 7 8 6 9 8 8 8 10 7 10 10
?783
……④
k?1k?1




因此,
?
f(k)?
?
(16?k)a
k
据定义
f
(256)
?f
(16
2
)
?
0

(16
?r?
30)

又当
k?
{241,242,
?
,255},
设k?
15
2
?rk?15?15
2
?r?15?
r
?
rrr
??
15
2
?r?15
31
15
2
?r?15
30< br>,




1?
1
30131
]
?
1,
k?
{241,242,
?
,255}
……⑤ < br>???
2
,则
[
2
r
{15?r}
r
{k}
240
i?1
256
i?1
从则
?
f(
k
)
?
783
?
?
f
(
k
)
?
783
?
15
?
768.

四、解:设各人上场时间分别为
7t
1
,7t
2
,7t
3< br>,7t
4
,13t
5
,13t
6
,13t
7
(
t
i
为正整数).
得方程
7(t
1
?t
2
?t
3
?t
4
)?13(t
5
? t
6
?t
7
)?90?3.


t
1?t
2
?t
3
?t
4
?x,t
5
?t
6
?t
7
?y.
得方程
7x?13y?270
.
即求此方程满足
4?x?38,3?y?20
的整数解.

6y?4(mod7),3y?2(mod7),y?3(mod7)

?y?3,10,17,
相应的
x?33,20,7.

t
5
?t
6
?t
7
?3.
的解只有

1种,
t
5
?t
6
?t
7
?10.
的解有
C
9
2
种,
2
t
5
?t
6
? t
7
?17.
的解有
C
16
种;
t
1< br>?t
2
?t
3
?t
4
?33.
的解有
C
32
种,
3

3
t
1
?t
2
?t
3
?t
4
?20,
的解有
C
19< br>种,
3
t
1
?t
2
?t
3
?t< br>4
?7,
的解有
C
6
种.
3323
?C< br>6
?C
16
?C
9
2
?C
19
?< br>42244
种。
∴ 共有
1
?C
32

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本文更新与2020-09-15 03:26,由作者提供,不代表本网站立场,转载请注明出处:https://www.bjmy2z.cn/gaokao/395585.html

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