高中数学选修4-4经典综合试题(含详细答案)[1]

高中数学选修4-4经典综合试题
1．曲线
?
?
x??2? 5t
(t为参数)
与坐标轴的交点是（ ）．
?
y?1?2t
21115
(8,0)
D．
(0,)、)、(,0)
B．
(0,)、(,0)
C．
(0,?4)、
(8,0)

52529
?1
化为以
t
参数的参数方程是（ ）．
A．
(0,
2．把方程
xy
1
?
?
x?sint
?
x?cost
?
x?tant
?
x?t
2
???
A．
?
B．
?
C． D．
111

??
1
y?y?y?
?
y?t?
2
???
sintcosttant
???
?
3．若 直线的参数方程为
?
?
x?1?2t
(t为参数)
，则直线的斜率为 （ ）．
?
y?2?3t
A．
2233
B．
?
C． D．
?

3322?
x??1?8cos
?
4．点
(1,2)
在圆
?的（ ）．
y?8sin
?
?
A．内部 B．外部 C．圆上 D．与
θ
的值有关
1
?
x?t?
?< br>5．参数方程为
?
t
(t为参数)
表示的曲线是（ ）．
?
?
y?2
A．一条直线 B．两条直线 C．一条射线 D．两条射线
?
x??3?2cos
?
6．两圆
?
?
y?4?2sin
?
?
x?3cos
?
与
?
的位置关系是（ ）．
y?3sin
?
?
D．内含 A．内切 B．外切 C．相离
?
?
x?t
(t为参数)
等价的普通方程为（ ）． 7．与 参数方程为
?
?
?
y?21?t
y
2
y
2
2
?1
B．
x??1(0?x?1)
A．
x?
44
2
y
2
y
2
2
?1 (0?y?2)
D．
x??1(0?x?1,0?y?2)
C．
x?
44
2
8．曲线
?
?
x?5cos
?
?< br>(?
?
?
?
)
的长度是（ ）．
?
y?5sin
?
3

A．
5
?
B．
10
?
C．
9．点
P(x,y)
是椭圆2x
A．
2
2
5
?
3
D．
10
?
3

?3y
2
?12
上的一个动点，则
x?2y
的最大值为（ ）．
2
B．
23
C．
11
D．
22

1
?
x?1?t
?
2
?
10．直线
?
(t为参数)
和圆
x
2
?y
2?16
交于
A,B
两点，
?
y??33?
3
t
?
?2
则
AB
的中点坐标为（ ）．
3,3)
C．
(3,?3)
D．
(3,?3)
A．
(3,?3)
B．
(?< br>?
x?4t
2
11．若点
P(3,m)
在以点
F为焦点的抛物线
?
(t为参数)
上，则
|PF|
等于（ ）．
?
y?4t
A．
2
B．
3
C．
4
D．
5

?
x??2?t
12．直线
?
(t为参数)
被圆
( x?3)
2
?(y?1)
2
?25
所截得的弦长为（ ）．
?
y?1?t
A．
98
B．
40
1
C．
82
D．
93?43

4
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上．
t?t
?
?
x?e?e
(t为参数)
的普通方程为________ __________． 13．参数方程
?
t?t
?
?
y?2(e ?e)
?
?
x??2?2t
(t为参数)
上与点
A(?2, 3)
的距离等于
2
的点的坐标是_______． 14．直线
?
?
?
y?3?2t
15．直线
?
?
x?tcos
?< br>?
y?tsin
?
与圆
?
?
x?4?2cos
?
相切，则
?
?
_______________．
y?2si n
?
?
16．设
y?tx(t为参数)
，则圆
x
2
?y
2
?4y?0
的参数方程为____________________ ．
?
?
x?1?t
(t为参数)
和直线
l
2:x?y?23?0
的交点
P
的坐标，及点
P
17.求直线< br>l
1
:
?
?
?
y??5?3t
与
Q (1,?5)
的距离．
18.过点
P(
10
,0)
作倾斜 角为
?
2
的直线与曲线
x
2
?12y
2
? 1
交于点
M,N
，
求
|PM|?|PN|
的值及相应的
?
的值．

19.已知
?ABC
中，
A(?2,0),B(0,2),C(cos
?
,?1?sin
?
)
(
?
为变数)，
求
?ABC
面积的最大值．
20已知直线
l
经过点
P(1,1)
,倾斜角
?
（2）设
l
与圆
x
2< br>?
?
6
，（1）写出直线
l
的参数方程．
?y2
?4
相交与两点
A,B
，求点
P
到
A,B< br>两点的距离之积．
1
t
?
?t
x?(e?e)cos
?
?
?
2
21.分别在下列两种情况下，把参数方程
?
?
y?
1
(e
t
?e
?t
)sin
?
?
?2
（1）
?
为参数，
t
为常数；（2）
t< br>为参数，
?
为常数．
22.已知直线
l
过定点
P(?3,?
化为普通方程：
?
x?5cos
?
3
)
与圆
C
：
?
(
?
为参数)
相交于
A
、
B
两点．
2< br>?
y?5sin
?
求：（1）若
|AB|?8
，求直线
l
的方程；
3
)
为弦
AB
的中点，求弦
AB
的方程．
2
211
1．B 当
x?0
时，
t?
，而y?1?2t
，即
y?
，得与
y
轴的交点为
(0,)< br>；
555
111
当
y?0
时，
t?
，而
x??2?5t
，即
x?
，得与
x
轴的交点为
(,0)
．
222
（2）若点
P(?3,?
2．D
3．D
xy?1
，
x
取非零实数，而A，B，C中的
x
的范围有各自的限制．
k?
y?2?3t3
???
．
x?12t2
4．A ∵点
(1,2)
到圆心
(?1,0)
的距离为
5．D
(1?1)
2
?2
2
?22?8
(圆半径) ∴点
(1,2)
在圆的内部．
y?2
表示一条平行于
x
轴 的直线，而
x?2,或x??2
，所以表示两条射线．
6．B 两圆的圆心距为< br>(?3?0)
2
?(4?0)
2
?5
，两圆半径的和也是5
，因此两圆外切．
7．D
y
2
y
2
22
x?t,?1?t?1?x,x??1,而t?0,0?1?t?1,得0?y?2
．
44
2
2
8．D 曲线是圆
x?y
2
?25
的一段圆弧，它所对圆心角为
?
?
?
3
?
2
?
3
．所以曲线的长度为
10
?
3
．
x
2
y
2
??1
，设
P(6cos
?
,2sin< br>?
)
， 9．D 椭圆为
64
x?2y?6cos
?< br>?4sin
?
?22sin(
?
?
?
)?22
．

10．D
13
2
t?t
(1?t)2
?(?33?t)?16
，得
t
2
?8t?8?0
，
t
1
?t
2
?8,
12
?4
，
22
2
1
?
x?1??4
?
?
2
??x?3
中点为
?
．
?
?
?
y??3
?
y??33?
3
?4
?
?
?2
11．C 抛物线为
y
2
?4x
，准线为
x??1
，< br>|PF|
为
P(3,m)
到准线
x??1
的距离，即为
4
．
12．C
?
2
x??2?2t?
?
x??2?t
?
?
2
?
??
?
y?1?t
?
y?1?2t?
2
?
?2
代入
(x?3)
2，把直线
?
?
x??2?t

y?1?t
?
? (y?1)
2
?25
，得
(?5?t)
2
?(2?t)2
?25,t
2
?7t?2?0
，
|t
1
? t
2
|?(t
1
?t
2
)
2
?4t
1
t
2
?41
，弦长为
2|t
1
?t
2
|?82
．
x
2
y
2
??1,(x?2)
13．
416
y
?
?
x?e
t
?e
?t
x??2et
?
yy
??
2
??(x?)(x?)?4
．
?
y
?
t?t
22
?
?e?e
?
x?< br>y
?2e
?t
?2
?
?2
． 14．
(?3,4)
,或
(?1,2)

12
(? 2t)
2
?(2t)
2
?(2)
2
,t
2
?,t??
22
15．
5
?
?
，或
6
6< br> 直线为
y?xtan
?
，圆为
(x?4)
2
? y
2
?4
，作出图形，相切时，
易知倾斜角为
5
?
?
，或
6
6
．
4t
?
x?
?
?
1?t
2
16．
?2
?
y?
4t
?
1?t
2
?
< br>x
2
?(tx)
2
?4tx?0
，当
x?0
时，
y?0
，或
x?
4t
1?t
2
；
4 t
?
x?
?
4t
2
?
1?t
2
而
y?tx
，即
y?
，得
?
2
1?t
2< br>4t
?
y?
?
1?t
2
?
．
?< br>?
x?1?t
17．解：将
?
，代入
x?y?23?0
，得
t?23
，
?
?
y??5?3t

得
P(1?2
得
|PQ|?
3,1)
，而
Q(1,?5)，
(23)
2
?6
2
?43
．
?
10
?tcos
?
?
x?
(t为参数)
?
2
?
y?tsin
?
?
18．解：设直线为，代入曲线并整理得
(1 ?sin
2
?
)t
2
?(10cos
?
)t?3
?0
，
2
3
2
则
|PM|?|PN|?| t
1
t
2
|?
1?sin
2
?
所以当sin
2
，
?
?1
时，即
?
?
?< br>2
，
|PM|?|PN|
的最小值为
3
?
，此时?
?
．
42
19．解：设
C
点的坐标为
(x ,y)
，则
?
?
x?cos
?
22
，即
x ?(y?1)?1
为以
(0,?1)
为圆心，以
1
为
?y??1?sin
?
|AB|?4?4?22
，且半径的圆．∵
A(?2 ,0),B(0,2)
，∴
AB
的方程为
xy
??1
，即< br>?22
x?y?2?0
，则圆心
(0,?1)
到直线
AB的距离为
离为
1?
|?(?1)?2|
1
2
?(?1)
2
?
3
2
．∴点
C
到直线
AB
的 最大距
2

313
2
，∴
S
?ABC
的最 大值是
?22?(1?2)?3?2
．
222
?
?
x?1 ?tcos
?
?
6
20．解：（1）直线的参数方程为
?
?
y?1?tsin
?
?
6
?
代入
x
2??
33
x?1?tx?1?t
??
??
2
， （2 ）把直线
2
，，即
??
?
y?1?
1
t
?
y?1?
1
t
??
?2?2
?y
2
?4< br>，得
(1?
3
2
1
t)?(1?t)
2
?4 ,t
2
?(3?1)t?2?0
，
t
1
t
2
??2
，则点
P
到
A,B
22
两点的距离之积为
2
．
21．解：（1）当
t?0
时，
y?0,x?cos
?
，即
x?1,且y?0
x
2
； 当
t?0
y
2
时，
cos
?
?
x
1
t?t
( e?e)
2
,sin
?
?
y
1
t?t
(e ?e)
2
， 而
x
2
?y?1
，即
2
1
t
(e?e
?t
)
2
4
?
1
t?t2
(e?e)
4
?1

（2）当
?
1
?
?k
?
,k?Z
时，
y?0
，
x??(et
?e
?t
)
，即
x?1,且y?0
；当
?< br>?k
?
?,k?Z
时，
22

2x
?< br>t?t
e?e?
?
1
t?t
k
?
?
cos
?
,k?Z
时，得
?
x?0
，
y??(e? e)
，即
x?0
；当
?
?
22
?
e
t
?e
?t
?
2y
?
sin
?
?
2x2y
?
t
2e??
?
?
cos
?
s in
?
即
?
?
2e
?t
?
2x
?
2y
?
cos
?
sin
?
?
22．解：（ 1）由圆
，
x
2
y
2
2x2y2x2y
?
2
?1
．，得
2e?2e?(
即
?)(?)
，
2
cos
?
sin
?
cos
?
sin
?< br>cos
?
sin
?
t?t
C
的参数方程
?< br>x?5cos
?
?x
2
?y
2
?25
??
y?5sin
?
，设直线
l
的参数方程为①
?
x??3?tcos
?
?
(t为参数)
?
3
y???ts in
?
?
?2
，将参数方程①代入圆的方程
x
2
? y
2
?25
得
4t
2
?12(2cos
?
?sin
?
)t?55?0
，∴△
?16[9(2cos
?
?sin
?
)
2
?55]?0
，所以方程有两相异实数根
t
1
、
t
2
，∴
|AB|?|t
1
?t2
|?9(2cos
?
?sin
?
)
2
?55 ?8
，化简有
3cos
2
?
?4sin
?
cos< br>?
?0
，解之
cos
?
?0
或
tan
?
??
（2）若
P
为
故所求弦
备用题：
3，从而求出直线
l
的方程为
x?3?0
或
3x?4y?15?0

4
AB
的中点，所以
t
1
?t
2
?0
.由（1）知
2cos
?
?sin
?
?0
， 得
tan
?
??2
，
AB
的方程为
4x?2y? 15?0(x
2
?y
2
?25)
．
1．已知点
P (x
0
,y
0
)
在圆
?
?
x?3?8co s
?
上，则
x
0
、
y
0
的取值范围是（ ）．
?
y??2?8sin
?
A．
?3?
B．
3 ?
x
0
?3,?2?y
0
?2

x
0
?8,?2?y
0
?8

x
0
?11,?10?y
0
?6
C．
?5?
D．以上都不对
1．C 由正弦函数、余弦函数的值域知选C． ?
x?1?2t
2．直线
?
(t为参数)
被圆
x
2
?y
2
?9
截得的弦长为（ ）．
?
y?2?t
A．
121299
B．
5
C．
5
D．
10

5555

2．B
?
x?1?5t?
?
x?1?2t
?
?
?
??
?
y?2?t
?
y?1?5t?
?
?
2
?
x?1?2t
5
，把直线
?
代入
1
?
y?2?t
5
x
2
?y
2
?9
得
(1?2t)
2
?(2?t)
2?9,5t
2
?8t?4?0
，
81612
12
|t
1
?t
2
|?(t
1
?t
2
)
2
?4t
1
t
2
?(?)
2
??
，弦长为< br>5|t
1
?t
2
|?5
．
555
5
3．已知曲线
?
x?2pt
2
(t为参数,p为正常数)
?
?
y?2pt
上的两点
M,N
对应的参数分别为
t
1和t
2,
，
且t
1
?t
2
?0
，那么
|MN|?
_______________．
3．
4p|t
1
|
显然线段
MN
垂直于抛物 线的对称轴，即
x
轴，
|MN|?2p|t
1
?t
2
|?2p|2t
1
|
．
4．参数方程
?
?
x? cos
?
(sin
?
?cos
?
)
(
?< br>为参数)
表示什么曲线
y?sin
?
(sin
?
? cos
?
)
?
y
2
11
y
2
,c os
?
?
，
?tan
?
，则
2
?1?< br>y
2
xcos
2
?
x
?1
x
24．解：显然
112tan
?
2
x?cos
2
?
?sin
?
cos
?
?sin2
?
?cos
2< br>?
???cos
?
，
2
221?tan
?
yy
2?1
22
yyyy
11
x
?
x
x( 1?)??1x???1
即
x??
，，得
?
2
222
xxxx
yyy
2
1?
2
1?
2
1?
2
xxx
x
2
?y
2
?x?y?0

5．已 知点
P(x,y)
是圆
x
2
，即
?y
2
? 2y
上的动点，（1）求
2x?y
的取值范围；（2）若
x?y?a?0恒成
立，求实数
a
的取值范围．
5．解：（1）设圆的参数方程为?
?
x?cos
?
?
y?1?sin
?
，2x?y?2cos
?
?sin
?
?1?5sin(
?
?
?
)?1
，
2x?y?2cos
?
?sin
?< br>?1?5sin(
?
?
?
)?1
，∴
?5?1?2x ?y?5?1

（2）
x?
恒成立，

y?a?cos
?
?sin
?
?1?a?0
， ∴
a??(cos
?
?sin
?
)?1??2sin(
??)?1
4
?

∴
a??(cos
?
即
a

?sin
?
)?1??2sin(
?
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