高中数学立体几何试题及答案

高中数学辅导（潮阳） 电话：
立体几何专题训练
一、选择题（每题5分，共60分）
1.在一个几何体的三视图中，正视图和俯视图如右图，则相应的侧视图可以为（ ）
2
?
?
（B）
8?

33
2
?
（C）
8?2
?
（D）
3
（A）
8?
5.一个正三棱柱的侧棱长和底面边长相等，体积为
23
，它
的三视图中的俯视图如右图所示．左视图是一个矩形．则这
个矩形的面积是( )

2.将长方体截去一个四棱锥，得到的几何体如右图所示，则该几何体的左视图为（ ）

(A)4 (B)
23
(c)2 (D)
3


6.
l
1
，
l
2
，
l
3
是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是( )
（A）
l
1
?l
2
,l
2
?l
3?
l
1

l
2
（B ）
l
1
?l
2
,
l
1

l
3
?
l
2
?l
3

（C）
l
1< br>
l
2

l
3
?

l
1
，
l
2
，
l
3
共面 （D）
l
1
，
l
2
，
l
3
共点< br>?
l
1
，
l
2
，
l
3
共面

3.（2011年高考湖南卷文科4)设图１是某几何体的三视图，则该几
何体的体积为( )
A．
9
?
?42
Ｂ．
36
?
?18

Ｃ．
?
?12
Ｄ．
?
?18









4.某几何体的三视图如图所示，则它的体积是（ ）

7.若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如图所示,则其侧面积等于 ( )
．．．
3
A.
3
B.2 C.
23
D.6
9
2
9
2
2
3
正视图 侧视图

8.在空间，下列命题正确的是( )
A.平行直线的平行投影重合
B.平行于同一直线的两个平面平行
C.垂直于同一平面的两个平面平行
D.垂直于同一平面的两条直线平行
- 1 -
俯视图
图1

高中数学辅导（潮阳） 电话：
9.一个几何体的三视图如图，该几何体的表面积是( ) 13.如图，正方体ABCD- A
1
B
1
C
1
D
1
中，AB=2，点E为 AD的中点，点F在CD上，若EF∥平面
AB
1
C，则线段EF的长度等于____ _________.
14．一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为 .


（A）372 （B）360
（C）292 （D）280
10.设长方体的长、宽、高分别为2a、a、a,其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为( )
（A）3
?
a
2
（B）6
?
a
2

（C）12
?
a
2
（D） 24
?
a
2
11.设球的体积为V
1
,它的内接正方体的 体积为V
2
，下列说法中最合适的是( )
A. V
1
比V
2
大约多一半 B. V
1
比V
2
大约多两倍半
C. V
1
比V
2
大约多一倍 D. V
1
比V
2
大约多一倍半
12.下图是长和宽分别相等的两个矩形 ．给定下列三个命题：①存在三棱柱，其正(主)视图、俯
视图如下图；②存在四棱柱，其正(主)视图 、俯视图如下图；③存在圆柱，其正(主)视图、俯
视图如下图．其中真命题的个数是( )

15．已知四棱椎
P?ABCD
的底面是边长为6 的正方形，侧棱
PA?
底面
ABCD
，且
PA?8
，
则该四棱椎的体积是 。
16.一个几何体的正视图为一个
三角形，则这个几何体可能是下列几何体中的_______
(填入所有可能的几何体前的编号).
①三棱锥 ②四棱锥 ③三棱柱 ④四棱柱
⑤圆锥 ⑥圆柱
三、解答题（共74分）
17. （本小题满分12分）
如图，在四棱台
ABCD?A
1
B
1
C
1
D
1
中，
D
1
D?
平面
A BCD
，底面
ABCD
是平行四边形，
AB=2AD
，
AD =A
1
B
1
，
?BAD=
60°.



(A)3 (B)2 (C)1 (D)0
二、填空题（每题4分，共16分）


- 2 -

高中数学辅导（潮阳） 电话：
（Ⅰ）证明：
AA
1
?BD
；
（Ⅱ）证明：
CC
1
∥平面A
1
BD
.
18．（本小题满分12分）
如图，在四棱锥
P?ABCD
中，平面PAD ⊥平面ABCD，AB=AD，∠BAD=60°，E、F分别是AP、
AD的中点.求证：（1）直线 EF∥平面PCD；（2）平面BEF⊥平面PAD.
20.（本小题满分12分）
如图，四棱锥P- ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，点E在线段AD上，且CE
∥
AB。
（1） 求证：CE⊥平面PAD；

（11）若PA=AB=1，AD=3，CD=
2
，∠CDA=45°，求四棱锥P- ABCD的体积


21.如图，在直四棱柱ABCD-A
1
B< br>1
C
1
D
1
中，底面ABCD为等腰梯形，ABCD，AB= 4, BC=CD=2,
AA
1
=2, E、E
1
分别是棱AD、AA
1
的中点.
(Ⅰ)设F是AB的中点, 证明：直线EE
1
平面FCC
1
； < br>(Ⅱ)证明:平面
D
1
AC
⊥平面
BB
1
C
1
C
.
D
E
1
C


E
A B
F

22.如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是正方形，AB=2EF=2，EF∥AB,EF⊥FB ,∠BFC=90°，
BF=FC,H为BC的中点，
E
F
(Ⅰ)求证：FH∥平面EDB;
（Ⅱ）求证：AC⊥平面EDB;
D
（Ⅲ）求四面体B—DEF的体积；

H

A
B






- 3 -

19．（本小题满分12分）
在如图所示的几何体中，四边形
ABCD
是正方形，

MA?
平面
ABCD
，
PDMA
，
E
、
G
、
F
分别为
MB
、
PB
、
PC
的中点，且
. （I）求证：平面
EFG?
平面
PDC
；
AD?PD?2MA（II）求三棱锥
P?MAB
与四棱锥
P?ABCD
的体积
之比.

D
1
A
1
C
1
B
1
C

高中数学辅导（潮阳） 电话：
立体几何答案
2012.5.21
一、选择题（每题5分，共60分）
1.D 2.D3.D4. A5.

B6.B
7.D
【解析】由正视图知：三棱柱是以底面边长为2，高为1的正三棱柱，所以底面积为
底面边长 分别为1、2，梯形的高为2，所以这个几何体的体积为
15．96【解析】考查棱锥体积公式
V?
16.①②③⑤．
三、解答题（共74分）
17. （本小题满分12分）
1
(1?2)?2?1?3
.
2
1
?36?8?96

3
2?
3
?4? 23
，侧面积为
3?2?1?6
，选D.
4
8.D
【解 析】由空间直线与平面的位置关系及线面垂直与平行的判定与性质定理可以很容易得出答
案。
9.B
【解析】该几何体由两个长方体组合而成，其表面积等于下面长方体的全面积加上面长 方体的
4个侧面积之和。
10.B

【解析】根据题意球的半径
R
满足
(2R)?6a
，所以
S
球
=6
?
a
．
22
2

【解析】（Ⅰ）证明：因为
AB=2AD
，所以设
AD=a,则AB=2a ,又因为
?BAD=
60°,所以在
?ABD
中,由余弦定理得：
B D
2
?(2a)
2
?a
2
?2a?2a?cos60
?
?3a
2
,所以BD=
3a
,所以
AD
2?BD
2
?AB
2
,故BD⊥
S?2(10?8?10?2?8 ?2)?2(6?8?8?2)?360
.
11.D
【解析】设球半径为R，其内 接正方体棱长为a，则
a
2
?a
2
?a
2
?2R< br>，即
a?
48
v
1
?
?
R
3
,v
2
?a
3
?3R
3
，比较可得应选D.
39
2
3R,
由
3
AD,又因为
D
1
D?
平面
ABCD
，所以
D
1
D?
BD, 又因为
AD?D
1
D?D
, 所以
BD?
平面
AD D
1
A
1
,故
AA
1
?BD
.
(2)连结AC,设AC
?
BD=0, 连结
AO
1
,由底 面
ABCD
是平行四边形得:O是AC的中点,由四棱台
12.A【解析】对于①,可 以是放倒的三棱柱；容易判断②③可以.
二、填空题（每题4分，共16分）
13.
2

ABCD?A
1
B
1
C
1
D
1
知:平面ABCD∥平面
A
1
B
1
C
1
D
1
,因为这两个平面同时都和平面
ACA
1
C
1
相交,
?
交线分别为AC、
A
1
C
1
，故
AC?AC
，又因为AB=2a, BC=a, ，所以可由余弦定理
?ABC=120
11
【解析】由于在正方体
ABCD?A
1
B1
C
1
D
1
中,AB=2,所以AC=
22
. 又E为AD中点, EF∥平面
AB
1
C，
EF
?
平面A DC,平面ADC
?
平面AB
1
C=AC,所以EF∥AC,所以F为DC中 点,所以
EF=
计算得AC=
7a
，又因为A
1
B
1
=2a, B
1
C
1
=
3
a
,
?A
1
B
1
C
1
=120
?
，
所以可由余弦定理计算得
2
1
AC
=
2
.
2
A
1
C
1
=
14．3
【解析】由三视图知，该几何体是一个底面为直角梯形的直棱柱，棱柱的高为1，梯形的上下

7
a
，所以A
1
C
1
∥OC且A
1
C
1
=OC，故四边形OCC
1
A
1
是平行四边形，所以 CC
1
∥A
1
O，又CC
1
?
2
- 4 -

高中数学辅导（潮阳） 电话：
平面A
1
BD，A1
O
?
平面A
1
BD，所以
CC
1
∥ 平面A
1
BD
.
18．（本小题满分12分）
【解析】证明: （1）因为E、F分别是AP、AD的中点,

所以EF∥PD,又因为EF
?
平面PCD,PD
?
平面PCD,
所以直线EF∥平面PCD；
（2）设AB=AD=
2a
,则AF=
a
,又因为∠BAD=60°，
所以在
?ABF
中,由余弦定理得：BF=
3a
，
所以
AF?BF?4a?AB
，所以BF⊥AF，
因为平面PAD⊥平面A BCD，交线为AD，
BF?
平面ABCD，所以BF⊥平面PAD，因为
BF?平
面BEF，所以平面BEF⊥平面PAD.
19．（本小题满分12分）

2222
所以 PD
?
平面ABCD
又 BC
?
平面ABCD，
因为 四边形ABCD为正方形，
所以 PD⊥ BC
又 PD∩DC=D，
因此 BC⊥平面PDC
在△PBC中，因为G平分为PC的中点，
所以 GF∥BC
因此 GF⊥平面PDC
又 GF平
?
面EFG，
所以 平面EFG⊥平面PDC.
（Ⅱ ）解：因为PD⊥平面ABCD,四边形ABCD为正方形，不妨设MA=1，
则 PD=AD=2，ABCD
所以 V
p-ABCD
=13S
正方形ABCD
，PD=83
由于 DA⊥面MAB的距离
所以 DA即为点P到平面MAB的距离，
三棱锥 Vp-MAB=13×12×1×2×2=23，所以 Vp-MAB：Ｖp- ABCD=1:4。
20.（本小题满分12分）

【解析】(1)证明:因为P A⊥平面ABCD,CE
?
平面ABCD,所以PA⊥CE,
因为AB⊥AD,CE ∥AB,所以CE⊥AD,又PA
?
AD=A,所以CE⊥平面PAD.
(2)解: 由(1)可知CE⊥AD,在直角三角形ECD中,DE=CD
?cos45?1
,CE=CD
?sin45?1
.
又因为AB=CE=1,AB∥CE,所以四边形ABCE为矩形,所以
??
115
S
ABCD
?S
ABCE
?S
?BCD
=
AB?AE?CE?DE
=
1?2??1?1?
,又PA⊥平面ABCD,PA=1,
222
1155
所以四棱锥P- ABCD的体积等于
S
ABCD
?PA???1?
.
3326
21. 【解析】（Ⅰ）（1）在直四棱柱ABCD-A
1
B
1
C
1
D
1
中，

【解析】（I）证明：由已知MA
?
平面ABCD，PD ∥MA，

取A
1
B
1
的中点F
1
，连结
FF
1
,C
1
F
1
，
- 5 -

高中数学辅导（潮阳） 电话：
利用线线、线面的平行与垂直关系，证明FH ⊥平面ABCD，得FH⊥BC，FH⊥AC，进而得EG⊥
AC，
AC?
平面
EDB
；（3）证明BF⊥平面CDEF，得BF为四面体B-DEF的高，进而求体
(1) 证：设AC与BD交于点G，则G为AC的中点，连EG,GH，由于H为BC的中点，故
1
A B,
2
1
又EFAB,?四边形EFGH为平行四边形
2
?EGFH ，而EG?平面EDB，?FH平面EDB
GH

由于
FF
1
∥
BB
1
∥
CC
1
,所以
F
1
?
平面
FCC
1
,
因此平面
FCC
1
即 为平面
C
1
CFF
1
,连结A
1
D，CF
1
，

由于CDA
1
F
1
=
D
1
C
1
=CD,
所以四边形A
1
F
1
CD 为平行四边形，因此CF
1
A
1
D，
又因为E、E
1分别是棱AD、AA
1
的中点，所以EE
1
A
1
D，
所以CF
1
EE
1
，又因为
EE
1
?平面FCC
1
，
CF
1
?
平面FCC
1
，
（?）证：由四边形ABCD为正方形，有AB?BC。
又EFAB，?EF?BC。而 EF?FB，?EF?平面BFG,?EF?FH
?AB?FH.又BF?FG,H为BC的中点，?F H?BC。
?FH?平面ABCD.
?FH?AC.又FHEG，?AC?EG,又AC?BD ，EG?BD?G

?AC?平面EDB
（Ⅲ）解：
?
EF?FB, ?BFC?90
0
,?BF?平面CDEF.
?BF为四面体B?DEF的高，又BC ?AB?2,?BF?FC?2
111
V
B?DEF
?**1*2*2?.< br>323

E
F

所以直线EE
1
平面FCC
1
.
(Ⅱ)证明:连结AC,在
VFBC
中,FC=BC=FB,
又F为AB的中点,所以AF=FC=FB,
所以AC⊥BC,又AC⊥
CC
1
,且
CC
1
?BC?C
,
所以AC⊥平面
B B
1
C
1
C
,又
AC?
平面
D
1
AC
,
D
C
H
A
B
故平面
D< br>1
AC
⊥平面
BB
1
C
1
C
. < br>22.【解析】（1）设底面对角线交点为G，则可以通过证明EG∥FH，得
FH
∥平 面
EDB
；（2）

- 6 -