高考(高中)数学 集合的运算 100道练习题 有答案

高中（高考）数学

集合的运算 练习卷


试卷排列：
题目答案上下对照

难 度：中等以上

版 本：适合各地版本

题 型：填空题
有无答案：均有答案或解析

价 格：

页 数：





31多道，
选择题32多道，
解答题37多道，
共100道

6元，算下来每题6分钱。
79页
试卷第1页，总78页

< /p>

1．已知命题
p:
对任意
x?R
，总有
|x| ?0
；
q:x?1
是方程
x?2?0
的
根，则下列命题为真 命题的是
A.
p??q
B.
?p?q
C.
?p??q
D.
p?q

【答案】A
【解析】
试题分析：因为命题
p:
“对任意
x?R
，总有
x?0
”为真命题；
命题
q
：“
x?1
是方程< br>x?2?0
的根”是假命题；所以
?q
是真命题，
所以
p?? q
为真命题,故选A.
考点：1、命题；2、充要条件.

2．已知i
是虚数单位，
a,b?R
,则“
a?b?1
”是“
( a?bi)
2
?2i
”的
（ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
【答案】A
22
【解析】当
a?b?1时，
?
a?bi
?
?
?
1?i
?
?2 i
，反过来
?
a?bi
?
2
?a
2
?b< br>2
?2abi?2i
，则
a
2
?b
2
?0, 2ab?2
，解得
a?1,b?1
或
2
a??1,b??1
，故
a?b?1
是
?
a?bi
?
?2i
的充分不必 要条件，故选A
考点：充要条件的判断,复数相等.

3．已知命题
p: 若x?y,则?x??y；命题q:若x?y,则x
2
?y
2
.
在命 题
?q
中，真命题是（ ） ①
p?q;②p?q;③p?(?q);④（?p）
A.①③ B.①④ C.②③ D.②④
【答案】C
试卷第2页，总78页

【解析】试题分析：当
x?y
时,两边乘以
?1
可得
?x??y
,所以命题
p
为真命题,当
x?1,y??2
时,因为
1? x
2
?y
2
?4
,所以命题
q
为假命题,
则
?q
为真命题,所以根据真值表可得②③为真命题,故选C.
考点：命题真假 逻辑连接词 不等式

4．设
{a
n
}
是公比为
q
的等比数列，则“
q?1
”是“
{a
n
}
为递增 数列”
的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】D
【解析】
试题分析：对等比数列
{a
n
}
，若
q?1
，则当
a
1
?0时数列
{a
n
}
是递减
数列；若数列
{a
n< br>}
是递增数列，则
{a
n
}
满足
a
1
?0
且
0?q?1
，故当
“
q?1
”是”数列
{ a
n
}
为递增数列的既不充分也不必要条件.故选
C.
考点：等比数列的性质，充分条件与必要条件的判定，容易题.

5．在
? ABC
中，角
A,B,C
成等差数列是
sinC?
?
3co sA?sinA
?
cosB
成
立的（ ）
（A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件
（C）充要条件 （D）既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
试卷第3页，总78页

考点：三角函数

6．在
?ABC
中， “A>B”是“
sin
2
A?sin
2
B
”的（ ）
A．充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】在
?ABC
中，
A?B?sinA?sinB?0

考点：三角函数，充分必要条件

7．已知命题p：“
?
x∈[1 ，2]，x
2
-a≥0”，命题q:“
?
x∈R使
x
2+2ax+2-a=0”，若命题“p且q”是真命题，则实数a的取值范围
是( )
A.
?
aa
≥
1
?
B.
?
aa
≤
?2或1
≤
a
≤
2
?

C.
?
a?2
≤
a
≤
1
?
D.
?
aa
≤
?2或a?1
?

【答案】D
【解析】
试题分析：若
?
x∈[1，2]，x
2
-a≥0 ，则
a?1
；若
?
x∈R使
x
2
+2ax+2-a =0，则
(2a)
2
?4(2?a)?0
，解得
a??2
或
a?1
，若命题“p
试卷第4页，总78页

且q”是真命题，则实数a满足
?
?
a?1
， ?
a??2或a?1
a??2
或
a?1
，所以实数a的取值范围 是
{a|a??2
或
a?1}
.
考点：含有逻辑联结词的命题的真假判断，全称命题与特称命题..

8．下列四个命题：
①利用计算机产生0～1之间的均匀随机数
a
，则事件 “
3a?1?0
”
发生的概率为；
②“
x?y?0
”是“
x?1
或
y??1
”的充分不必要条件；
③命题“在
? ABC
中，若
sinA?sinB
，则
?ABC
为等腰三角形”的否
命题为真命题；
④如果平面
?
不垂直于平面
?
，那么平面
?
内一定不存在直线垂直
于平面
?
。
其中说法正确的个数是（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】C
【解析】
试题分析：解：①利用计算 机产生0～1之间的均匀随机数
a
，根
据几何概型知事件“
3a?1?0”发生的概率为而非，所以命题
①不正确；
②因为“互为逆否命题的两个命题同真假”，
由“若
x=1
且
y=?1
，则
x?y=0
”为真， 可知“
x?y?0
”
?
“
x?1
或
y??1
”为真；
1
3
2
3
1
3
由“若
x?y =0
x=1
且
y=?1
，则
x=1
且
y=?1”为假，可知 “
x?1
或
试卷第5页，总78页

y??1
”
?
“
x?y?0
”为假； < br>“
x?y?0
”是“
x?1
或
y??1
”的充分不必 要条件，所以命题②
正确；
③因为命题“在
?ABC
中，若
sin A?sinB
，则
?ABC
为等腰三角形”
的逆命题：“若
?ABC
为等腰三角形，则
sinA?sinB
”是假命题，所
以其否命题也是假命题 ，所以命题③不正确；
④若平面
?
内一定存在直线垂直于平面
?
， 则根据平面与平面垂直
的判定理可知一定有平面
?
垂直于平面
?
，所 以命题④正确；
综上只有②④两个命为真，故选C.
考点：1、四种命题；2、平面与平面垂直的判定；3、几何概型.


9．给出下面四个命题：
p
1
：?x∈(0，＋∞)，()
x
<()
x
；
p
2
：?x∈(0,1)，
log
1
x>
log< br>1
x；
23
1
2
1
3
p
3
：?x∈(0，＋∞)，()
x
>
log
1
x；
21
2
p
4
：?x∈(0，)，()
x
<
log
1
x.
3
1
3
1
2
其中的真命题是( )
A．p
1
，p
3
B．p
1
，p
4
C．p
2
，p
3
D．p
2
，p
4

【答案】D
【解析】当x>0时，()
x
×3
x
＝()
x
>1，总有()
x
>( )
x
，因此命
题p
1
是假命题；当x＝时，
log
1
2
1
2
3
2
1
2
1
3
1
2
11
＝1>
log
1
＝log
3
2， 因此命题
22
3
试卷第6页，总78页

p
2
是真命题；当x＝时，
log
1
2
1
2
1
?1
1
＝1>
?
＝，因此命题p
3
是假
??2
2
?
2
?
1
x
11
)<()
0
＝1＝
log
1
<
log
1
x，即
223
33
1
2
命题；当x∈(0，)时，(
1
2
1
3
()
x
<
log
1
x，因此命题p
4
是真命题．综上所述，其中的真命题是
3
p
2
，p
4
，选D.


10．已知命题p：?x∈(1，＋∞)，log
2
x3
x；命题q：?x∈(0，
＋∞)，2－x＝lnx.则下列命题中为 真命题的是( )
A．p∧q B．(
?
p)∧q
C．p∧(
?
q) D．(
?
p)∧(
?
q)
【答案】B
【解析】函数y＝ log
2
x与y＝log
3
x的图象如图(1)所示，函数y
＝2－ x与y＝lnx的图象如图(2)所示．如图可知，p假q真，故
选B.




试卷第7页，总78页

11．已知命题p： ?x∈R，x
2
＋1<2x；命题q：若mx
2
－mx－1<0恒
成 立，则－4A．“
?
p”是假命题 B．“
?
q”是真命题
C．“p∧q”为真命题 D．“p∨q”为真命题
【答案】D
【解析】对于命题p，x
2
＋1－2x＝(x－1)
2
≥0，
即对任意的x∈R，都有x
2
＋1≥2x，
因此命题p是假命题．
对于命题q，若mx
2
－mx－1<0恒成立，
则当m＝0时， mx
2
－mx－1<0恒成立；
当m≠0时，由mx
2
－mx－1<0恒成立得
?
m?0
，即－4?
2
?
??m?4 m?0
因此若mx
2
－mx－1<0恒成立，则－4故命题q是真命题．
因此，“
?
p”是真命题，“
?
q” 是假命题，“p∧q”是假命题，
“p∨q”是真命题，选D.


12．命题p：函数f(x)＝x
3
－3x在区间(－1,1)内单调递减，命题
q：函数f(x)＝|sin2x|的最小正周期为π，则下列命题为真命题
的是( )
试卷第8页，总78页

A．p∧q B．(
?
p)∨q
C．p∨q D．(
?
p)∧(
?
q)
【答案】C
【解析】由f′( x)＝3x
2
－3<0，解得－13
－3x在 区间(－1,1)内单调递减，即命题p为真命题；函数y＝
sin2x的最小正周期为π，则函数f( x)＝|sin2x|的最小正周期为
π
，即命题q为假命题．由于p真、q假，故p∧q为假 命题，p
2
∨q为真命题；由于
?
p假、q假，故(
?
p) ∨q为假命题；由于
?
p
假，
?
q真，故(
?
p) ∧(
?
q)为假命题．



13．“|x－a|R)的( )
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．充要条件 D．非充分非必要条件
【答案】A
【解析】∵|x－y|＝|(x－a)－(y－a)|≤ |x－a|＋|y－a|2m，
∴|x－a|取x＝3，y＝1，a＝－2，m＝2.5，则有
|x－y|＝2<5＝2m，但|x－a|＝5，
不满足|x－a|试卷第9页，总78页

故|x－a|


14．“10
a
>10
b
”是“lga>lgb”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】由10
a
>10
b
得a>b，由lga>lgb得a>b>0，所以“10
a
>10
b
”
是“lga>lgb”的必要不充分条件，选B.



15．下列命题中假命题有 （ ）
2
1
?2)x
m?4m?3
是幂函数；
m
3
②
?
?
?R
，使
sin
?
c os
?
?
成立；
5
①
?m?R
，使
f( x)?(m?
③
?a?R
，使
ax?2y?a?2?0
恒过定点；
④
?x?0
，不等式
2x??4
成立的充要条件
a?2.
A.3个 B.2个 C.1个 D.0个
【答案】B
【解析】①中，令
m?
1
?2?1
，即
m
2
?m?1?0
，其
??1?4??3?0
，
m
a
x
所以方程
m
2
?m?1?0
无解，故①错；
②中，由
sin
?
cos
?
?
得：
sin2?
??1
不成立，故②错；
③中，由
ax?2y?a?2?0
得：
(x?1)a?2y?2?0
，所以
ax?2y?a?2?0
试卷第10 页，总78页
3
5
6
5

恒过定点
(?1, 1)
，故③正确；
④中，当
a?2
时，
2x??22a?4
成立，反之，当
2x??4
成立，
则
a??2x
2
?4x ??2(x?1)
2
?2
恒成立，所以
a?2
，故④正确.
故选
B

【考点】命题的真假判断.


16．“
a?5
”是“直线
ax?2y?1?0
与直线
5x?2 y?c?0
平行”的（ ）
A.充要条件 B.充分不必要条件
C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】当
a?5
时，直线
ax?2y?1?0
与直线
5x?2y?c?0
可能平行
或重合；若直线
ax?2y?1?0< br>与直线
5x?2y?c?0
平行，则
a?5

故选
C

考点：命题充分必要性.



17．下列有关命题的说法正确的是（ ）
A．命题“若
x
2
?1,则x?1
”的否命题为：“若
x
2
?1,则x?1
”； B．“
x??1
”是“
x
2
?5x?6?0
”的必要不 充分条件；
C．命题“
?x?
R
,使得
x
2
?x ?1?0
”的否定是：“
?x?
R
,均有
x
2
?x ?1?0
”；
试卷第11页，总78页
a
x
a
x

D．命题“若
x?y,则sinx?siny
”的逆否命题为真命题.
【答案】
D

【解析】命题“若
x
2
?1,则x? 1
”的否命题应为：“若
x
2
?1
，则
x?1
”. A
错；
当
x??1
时，
x
2
?5x?6?0< br>成立；反之，
x
2
?5x?6?0
可得
x??1
或< br>x?6
.所以，B错；
命题“
?x?
R
,使得
x< br>2
?x?1?0
”的否定应是：全称命题“
?x?
R
,均有< br>x
2
?x?1?0
”，C错；
命题“若
x?y,则sinx ?siny
”是真命题，所以其逆否命题为真命题.
故选
D
．
考点：1、命题；2、简单逻辑联结词；3、存在性命题与全称命题；
4、充要条件.



18．“
sinA?
”是“
A?30
?
”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
试题分析：当
A?30
?
时
sinA?
A?30??k
1
2
11
；但当
sinA?< br>时，
22
1
3?60k?,
或
Z?A?150??k?360 ?,k?Z
。则“
sinA?
”是
2
“
A?30
?
”的必要不充分条件。故B正确。
考点：1三角函数值；2充分必要条件。
试卷第12页，总78页

19．下列说法中正确的是（ ）
A．命题“若
x?y
,则2
x
?2
y
”的否命题为假命题
B．命题“
?x?R ,
使得
x
2
?x?1
?0
”的否定为“
?x?R< br>,满足
x
2
?x?1?0
”
C．设
x,y
为实数，则“
x?1
”是“
lgx?0
”的充要条件
D．若“
p?q
”为假命题，则
p
和
q
都是假命题
【答案】C
【解析】
试题分析：（1）原命题：“若
x?y
,则
2
x
?2
y
”。逆命题为：若
2
x
?2< br>y
，
则
x?y
。根据指数函数的单调性可知此原命题的逆命题为真命题 。
因为逆命题和否命题同真假，故否命题也为真命题，即A不正确。
（2）命题“
?x ?R,
使得
x
2
?x?1
?0
”的否定为“
?x? R
,满足
x
2
?x?1?0
”。故B不正确。（3）
lgx ?0?lg1
，由对数的单调性可解
得
x?1
。则“
x?1
”是“
l
的充要条件。故C正确。（4）“
p?q
”
gx?0
”
为假命题时，
p
和
q
至少有一个是假命题。
考点：命题的真假判断。



20．“a=1”是“函数（fx）=|x﹣a|在区间[1，+∞）上为增函数”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
试卷第13页，总78页

【答案】A
【解析】
?
?
x?1,
?
x?1
?
试题 分析：当
a?1
时，
f
?
x
?
?x?1?
?
，此时函数
f
?
x
?
在
1?x,x?1
??
?
?
?
1,??
?
上单调递增；当函数
f?
x
?
?x?a
在
?
1,??
?
上单 调递增时，则
在
?
1,??
?
上
x?a?0
即a?x
恒成立，所以
a?1
。故
a?1
是函数
在
?
1,??
?
上为增函数的充分不必要条件。故A正确。
f
?< br>x
?
?x?a
考点：1函数的单调性；2充分必要条件。



21．已知下列三个命题：
①棱长为2的正方体外接球的体积为4
3
?
；
②如果将一组数据中的每一个数都加上同一个非零常数，那么这
组数据的平均数和方差都改变；
③直线
x?3y?1?0
被圆
(x?1)
2
?y
2
?4
截得的弦长为2
3
．
其中真命题的序号是( )。
(A)①② (B)②③ (C)①③ (D)①②③
【答案】C
【解析】
试题分析：正方体的外接球的直径为对角线长，等于
23
，所以< br>4
R?3
,
V?
?
R
3
?43
?< br>,故①正确；
3
根据平均数与方差的计算公式，平均数改变，方差不变；故②不
正确；
试卷第14页，总78页

l?2r
2
?d
2
,
d?
1?1
2
故选
?1
,所以弦长
l?24? 1?23
,故③正确，
C.
考点： 命题的真假



22．设p：
2x?1?1
，q:
(x?a)
?
x?(a? 1)
?
?0
，若q是p的必要而
不充分条件，
则实数a的取值范围是（ ）
A.
?
0,
?
B．
?
0,
?
C.
?
??,0
?
?
,??
?
D．
?
??,0
?
?
,??
?

?
2
??
2
??
2
??
2
?
【答案】A
【解析】
试题分析：解不等式
2x?1?1
得：≤x≤1，故满足命题p的 集合
P=[，1]，解不等式
(x?a)
?
x?(a?1)
?
?0
得：a≤x≤a+1，故满足命题
q的集合Q=[a，a+1]，若p是q的充分而不必 要条件，则P是Q
的真子集，即a≤且a+1≥1解得0≤a≤，故实数a的取值范围是
[0， ]，故选A .
考点：1.必要条件、充分条件与充要条件的判断；2.一元二次不等
式的解法.


试卷第15页，总78页
?
1
??
1
??1
??
1
?
1
2
1
2
1
2< br>1
2
1
2

23．下列四个命题中，正确的有
①两个变量间的相关系数
r
越小，说明两变量间的线性相关程度越
低； 2
②命题
p
：“
?x
0
?R
，
x0
?x
0
?1?0
”的否定
?p
：“
?x?R
，
x
2
?x?1?0
”；
③用相关指数
R
2
来刻画回归效果，若
R
2
越大，则说明模型的拟合
效果越好；
④若
a?0.3
2
，
b?2
0.3
，
c? log
0.3
2
，则
c?a?b
．
A．①③④ B．①④ C．③④ D．②③
【答案】C
【解析】
试题分析：根 据题意，由于①两个变量间的相关系数越小，说明
两变量间的线性相关程度越低；不成立
②命题
p
为真命题，则其否定
?p
为假命题；故②错误
③ 用相关指数
R
2
来刻画回归效果，若
R
2
越大，则说明模型 的拟合
效果越好；成立
④若
a?0.3
2
，
b?2
0.3
，
c?log
0.3
2
，
b?2
0.3< br>?1?a?0.3
2
?0?c?log
0.3
2
则
c ?a?b
．成立，故答案为C.
考点：1.命题的否定;2. 相关系数;3. 直线的一般式方程与直线
的垂直关.



试卷第16页，总78页

24．已知命题p:
?x?
?1,2
?
,x
2
?a?0,命题q:?x?R,x
2
? 2ax?2?a?0
.若命
题p
且q是真命题,则实数a的取值范围为 ( )
A.
a??2或a?1
B.a≤-2或1≤a≤2 C.a≥1
D.-2≤a≤1
【答案】A
【解析】本题考查特称命题，、全称命题的含义，复合命题真假的
判定，不等式和方程知识.
等价于
a?x
2
的最小
?x?
?
1,2
?
,x
2
?a?0
即
a?x
2
对任意
x?[ 1,2]
恒成立，
值
x?[1,2]
；当
1?x?2
时，< br>1?x
2
?4,
所以
a?1
；
?x?R,x
2
?2ax?2?a?0
?2?a?0
即方程
x
2
?2a x
有实根，则
??4a
2
?4(2?a)?0,
即
a
2
?a?2?0
解得
a??2或a?1;
若命题
p
且q
是真
命题，则实数
a
满足
a?1
?
，解得
a??2或a?1.
故选A
?
?
a??2或a?1



25．命题“存在< br>x
0
?
R，
2
x
?
0”的否定是（ ）.
0
A.不存在
x
0
?
R,
2
x
>0 B.存在
x
0
?
R,
2
x
?
0
00
C.对任意的
x?
R,
2
x
?
0 D.对任意的
x?
R,
2
x
>0
【答案】D
【解析】
考点：命题的否定．
试卷第17页，总78页

分析：本题中所给的命题是一个特称命题，其否定是一个全称命
题，按规则写出其否定即可
解 答：解：∵命题“存在x
0
∈R，2
x
0
≤0”是一个特称命题 < br>∴命题“存在x
0
∈R，2
x
0
≤0”的否定是“对任意的x ∈R，2
x
＞0”
故答案为：对任意的x∈R，2
x
＞0，选D．
点评：本题考查命题的否定，正确解答本题，关键是掌握住命题
的否定的定义及书写规则，对于 两特殊命题特称命题与全称命题
的否定，注意变换量词



26．设
0?x?
（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D.既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】此题考查充要条件的知识
xsin
2
x?1?sin
2
x?
1

x
0?x?
?
2
，则“
xsin
2
x?1
”是“
xsixn?
”的
?
2
?si
2
nx?

1
11
sin
2
x?不能推导出sinx?
充分性不满足
xx
11
sinx??sin
2
x?
必要性满足 所以是必要不充分条件
xx
答案 B
点评：一定要注意充分性与必要性如何推导的


试卷第18页，总78页

27．设
f(x)
是定义在正整数集上的函数，且
f(x)
满足：“
f(k)?k
2
成
立时，总可推出
f(k ?1)?(k?1)
2
成立”。那么，下列命题总成立的
是 < br>A．若
f(3)?9
成立，则当
k?1
，均有
f(k)?k< br>2
成立
B．若
f(5)?25
成立，则当
k?5
时 ，均有
f(k)?k
2
成立
C．若
f(7)?49
成立， 则当
k?8
，均有
f(k)?k
2
成立
D．若
f (4)?25
成立，则当
k?4
，均有
f(k)?k
2
成立
【答案】D



28．设
0?x?
（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D.既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】本题考查充分必要条件的判断、不等式的性质。
0?x?
充分性：

?
2
x?
，则“
xsi
2
n1
是“
xsinx?1
”的 ”
?
2
?0?sin x?1
，
is
又
xn
2
x1?
，不等式两边同除以
sinx
可得
xsinx?
1
，显然得不到
xsinx?1
；必要性：
xsinx?1
，不等
sinx
式两边同乘以
s inx
可得
xsin
2
x?sinx
，显然
xsin
2
x?1
成立，综上
xsin
2
x?1
是
xsi nx?1
的必要不充分条件。选B.


试卷第19页，总78页

29．命题
p:
函数
y?log
2
(x
2
?2x)
的单调增区间是
[1,??)
，命题
q:
函
数
y?
1
的值域为
(0,1)
，下列命题是真命 题的为（ ）
3
x
?1
A．
p?q
B .
p?q
C.
p?(?q)
D.
?q

【答案】B
【解析】本题考查函数的单调性,函数的值域,简单复合命题.
由x
2
?2x?0
解得
x?0或x?2,
则函数
y?lo g(
2
?2x
的
)
定义域为
2
x
(??, 0)(0,??);
设
t?x
2
?2x,
则
y?log2
t;
函数
t?x
2
?2x?(x?1)
2
? 1
在
（2，+?）
上是增函数；函数
y?log
2
t
是增函数，
(??,0)
上是减函数，在
则函数
y?log
2(x
2
?2x)
的单调增区间是
(2,??)
， 则命题
P
是假命题；
0
因为
3
x
?0,
所以
3
x
?1?1,?
1
?
x
3?1
1,
所以函 数
y?
1
的值域为
3
x
?1
；则命题
q< br>是真命题；故选
(0,1)



B
30．已知< br>m
、
n
为两条不同的直线，
?
、
?
为两个不 同的平面，且
m?
?
，
n?
?
，
①若
mn
，则
?

?
②若
?
?
?
，则
m?n

③若
?
，
?
相交，则
m
，
n
也相交 ④若
m，
n
相交，则
?
，
?
也
相交
则其中正确的结论是（ ）
A．①②④ B．①②③ C．①③④
D．②③④
【答案】A
试卷第20页，总78页

【解析】本题考查线线,线面,面面平行和垂直的判定和性质,空间想
象能力及 逻辑推理能力.

m?
?
,mn,?n?
?
,又n??
,?
?

?
;
①正确；
n?
?,
?
?
?
,?n
?
,又m?
?
,?m ?n;
②正确；
m?
?
，
n?
?
，若
?
，
?
相交，则
m
，
n
相交或异面；③错误； 若
m
，
n
相交，则
?
，
?
也相交；假 设
?

?
，m?
?
,n?
?
,?mn
；
这与
m
，
n
相交相矛盾；④正确；故选A



“x??4或x?1”
31．设向量
a?(1,x?1)
，
b?(x
2
?1,3)
，则是
“a?b
”的
（ ）
A．充分但不必要条件 B．必要但不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条
件
【答案】A
【解析】此题考查向量与冲要条件的知识
当
x?1时，a=(1,0) b=(0,3) ?a?b=0
a=(b
充分性满足
1?


a?
，
b
当
x?4时，?
“a?b?a?b=0?x
2
?1?3( x?1)=0?x
2
?3x?4=0?x=-1或x=4
必要性不满
足

答案 A

点评：一定要注意充分性和必要性满足的条件
试卷第21页，总78页

32．德国著名数 学家狄利克雷在数学领域成就显著，以其名命名
的函数
f(x)?
?
?
1,x?Q

?
0,x?
?
R
Q
被称为狄利克雷 函数，其中
R
为实数集,
Q
为有理数集，则关于函
数
f(x )
有如下四个命题：
①
f
?
f
?
x
?< br>?
?0
； ②函数
f
?
x
?
是偶函数；
③任取一个不为零的有理数< br>T
,
f
?
x?T
?
?f
?
x
?
对任意的
x?R
恒成
立；
④存在三个点
A
?
x
1
,f(x
1
)
?
,B
?
x< br>2
,f(x
2
)
?
,C
?
x
3,f(x
3
)
?
，使得
?ABC
为等边
三角形 .
其中真命题的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【解析】
试题分析： 由题意知，
f(x)?Q
，故
f(f(x))?1
，故①是假命题；当
x?Q
时，
?x?Q
，则
f(?x)?f(x)?1
；当
x?C
R
Q
时，
?x?C
R
Q
，则
f(? x)?f(x)?0
，故函数
f(x)
是偶函数，②是真命题；任取一个一
个 不为零的有理数
T
,都有
f(x?T)?f(x)?1
，故③是真命题；取点
A(0,1)
，
B(?
3
,0)
，
3
C (
3
,0)
，
?ABC
是等边三角形，故④是真命题.
3
试卷第22页，总78页

考点：1、函数的周期性；2、特称命题的真假判断；3、分段函数.



33．下列命题：①已知平面
?
，
?
，
?
满足
?
?
?
，
?
?
?
，?
?
?
?l
则
l?
?
.
②E，F， G，H是空间四边形ABCD各边AB，BC，CD，DA的中点，
若对角线BD=2，AC=4，则< br>EG
2
?HF
2
?10

③过
?ABC所在平面
?
外一点P，作
PO?
?
，垂足为O，连接PA，PB，PC，若
PA?PB,PB?PC,PC?PA
，则点O是
?ABC
的垂心
其中正确命题的序号是 。
【答案】①②③
【解析】
试题分析：对于①，如图，因为
?
?
?
，设?
?
?
?a
，
?
?
?
，
?< br>?
?
?b
，
在
?
内任取一点
P
，过 点
P
作
PA?a
于
A
，作
PB?b
于B
，所以
PA?
?
，
PB?
?
，进而有
PA?l
，
PB?l
，
又因为
PA?PB?P
，所以
l?
?
.所以①正确.

对于②，如图，由题意可知四边形
EFGH
为平行四边形，且
EF ?1
，
EH?2
，
EG
2
?1
2
?2< br>2
?2?1?2?cos?EFG
，
HF
2
?1
2< br>?2
2
?2?1?2?cos?HGF
，
试卷第23页，总78页

因为
cos?EFG??cos?HGF
，两式相加得
EG< br>2
?HF
2
?10
，故②正
确.

对于③ 如图，因为
PA?PB
，
PB?PC
，
PA?PC?P
，
所以
PB?
平面
PAC
，所以
PB?AC
，
又因为
PO?
平面
ABC
，所以
PO?AC
，
易知
AC?
平面
PBO
，所以
BO?AC
， 同理可知
AO?BC
，所以点
O
为
?ABC
的垂心，
故③正确.


考点：命题的真假判断，线面、面面垂直的判定和性质.



34．下列四个命题中，真命题的序号有 .（写出所有真
命题的序号）
①若
a,b,c?R
，则“
ac2
?bc
2
”是“
a?b
”成立的充分不必要条件；
②命题“
?x?R
使得
x
2
?x?1?0
”的否定是 “
?x?R
均有
x
2
?x?1?0
”；
试卷第24页，总78页

③命题“若
|x|?2
，则
x?2
或
x?2
”的否命题是“若
|x|?2
，则
?2? x?2
”；
④函数
f(x)?lnx?x?
在区间
(1,2)上有且仅有一个零点.
【答案】①②③④
【解析】
试题分析：对于 ①，当
ac
2
?bc
2
时，说明
c
2
?0
且
c
2
?0
，于得两边
同乘
1
可得
a?b
，反过来当
a?b
时，不一定有
ac
2
?bc2
，如
c?0
时，
2
c
3
2
ac2
?bc
2
?0
，所以“
ac
2
?bc
2
”是“
a?b
”成立的充分不必要条件；
对于②，根据特称命题的否定是 全称命题可知：命题“
?x?R
使得
x
2
?x?1?0
”的 否定是 “
?x?R
均有
x
2
?x?1?0
”；对于③，根 据否
命题的定义：原命题为若
p
则
q
，则它的否命题为若
? p
则
?q
，所
以：命题“若
|x|?2
，则
x?2
或
x?2
”的否命题是“若
|x|?2
，则
?2?x?2< br>”；对于④，因为函数
f(x)
的定义域为
(0,??)
，所以
f
?
(x)?
1
?1?0
，所以函数
f(x)
在
(0,??)
单调递增，又
x
3131
f(1)?ln1?1??? ?0,f(2)?ln2?2??ln2??0
，根据零点存在定
2222
理可知f(x)
在区间
(1,2)
至少存在一个零点，而
f(x)
在< br>(0,??)
单调递
增，所以
f(x)
在区间
(1,2)有且仅有一个零点.
考点：1.充分必要条件；2.全称命题与特称命题；3.四种命题；4.
函数的零点.




35．下列说法正确的是________(将所有正确的序号填在横线上)．
试卷第25页，总78页

①直线l
1
：ax＋y＝3，l< br>2
：x＋by－c＝0，则l
1
∥l
2
的必要条件是
ab＝1；
②方程x
2
＋mx＋1＝0有两个负根的充要条件是m>0；
③命题“若|a|＝|b|，则a＝b”为真命题；
④“x<0”是“x
2
－3x＋2>0”的充分不必要条件．
【答案】①④
【解析】直线l
1
：ax＋y＝3，l
2
：x＋by－c＝0，则l
1
∥l
2
的充要
条件是ab＝1且c≠3b，所以ab＝1是l1
∥l
2
的必要条件，故①正
?
x
1
?x2
??m?0
确．方程x＋mx＋1＝0有两个负根等价于
?
，解得2
?
??m?4?0
2
m≥2，故②错误．若|a|＝|b|，则a＝b 为假命题，故③错误．解
不等式x
2
－3x＋2>0得x<1或x>2，所以x<0是 x
2
－3x＋2>0的充
分不必要条件，故④正确．




36．已知命题p：m∈R，且m＋1≤0，命题q：?x∈R，x
2
＋m x＋1>0
恒成立，若p∧q为假命题，则m的取值范围是________．
【答案】(－∞，－2]∪(－1，＋∞)
【解析】命题p是真命题时，m≤－1，命题q是 真命题时，m
2
－4<0，
解得－2命题时，m的取值范围是m≤－2或m>－1.

试卷第26页，总78页

37．已知命题p：实数m满 足m
2
＋12a
2
<7am(a>0)，命题q：实数m
x
2
y
2
满足方程＋＝1表示的焦点在y轴上的椭圆，且p是q
m?1
2?m
的充分不必要条件，a的取值范围为________．
【答案】[，]
【 解析】由a>0，m
2
－7am＋12a
2
<0，得3ax
2
y
2
y
2
a>0.由＋ ＝1表示焦点在y轴上的椭圆，可得2－
m?1
2?m2?m
1
3
3
8
m>m－1>0，解得1?3a?1
?
3a?1
13
??
必要条件，所以
?
或解得≤a≤，所以实数a的取
?
33
38
4a?4a?
???2?2
3
2
3
2
值范围是[，]．



38．下列结论中正确的是(填上所有正确结论得序号)
1
3
3
8
①对于函数
y?f(x)
，若
?x
0
?R
，使得
f(1?x
0
)?f(1?x
0
)
，则函数
y?f(x)
关于直线
x?1
对称；
②函数
f(x)?(x?1)lnx
有2个零点；
③若关于
x的不等式
?x
2
?2x?mx
的解集为
{x|0?x?2}，则
m?1
；
④已知随机变量
?
服从正态分布
N(2
?
且
P(
?
?4)?0.8
，则
,
2)
1
2
试卷第27页，总78页

P(0?
?
?2)?0.3
；
⑤等比数列
{a
n
}
的前
n
项和为
S
n
，已知
S
3
?a
2
?10a
1
,a
5
?9，则
a
1
?

【答案】③④⑤
【解析】①中，
?x
0
?R
，使得
f(1?x
0
)?f(1?x
0
)
，只是表示在两个
特殊值处的函数值相等，
f(x)
不一定关于 直线
x?1
对称，故①错；
②中，当
(x?1)lnx?0
时，< br>x??1
或
x?1
，又因
x??1
不在定义域范围
内 ，所以函数
f(x)
有一个零点，为故②错；
③中，因为关于
x
的 不等式
?x
2
?2x?mx
的解集为
{x|0?x?2}
， 所
以
x
1
?0
，
x
2
?2
为关于
x
的方程
?x
2
?2x?mx
，即
?x
2
?(2?m)x?0
两根，代入解得
m?1
，故③正确；
④中，< br>P(0?
?
?2)?
1?2[1?P(
?
?4)]
? 0.3
，故④正确；
2
1
2
1
2
1
2< br>1
9
⑤中，设等比数列
{a
n
}
公比为
q< br>，
S
3
?a
2
?10a
1
?a
1< br>q?10a
1
，又
，所以
S
3
?a
1
?a
2
?a
3
?a
1
?a
1
q?
2
aqa
1
?a
1
q?a
1
q
2
?a
1
q?10a
1
，化简得
1
q
2
? 9
，因为
a
5
?a
1
q
4
?9
， 所以
a
1
?
1
，故⑤正确；
9
故答案为③④⑤
考点：命题的真假判断.



39．下列结论：
①若命题p：?x
0
∈R，tan x
0
＝2；命题q：?x∈R， x
2
－x＋>0.
则命题“p∧(
?
q)”是假命题；
② 已知直线l
1
：ax＋3y－1＝0，l
2
：x＋by＋1＝0，则l
1
⊥l
2
的充
1
2
试卷第28页，总78页

要条件是＝－3；
③“设a、b∈R，若ab≥2，则a
2
＋b
2
>4”的否命题为：“设a、b
∈R，若ab<2，则a
2
＋ b
2
≤4”．
其中正确结论的序号为________．
【答案】①③
【解析】在①中，命题p是真命题，命题q也是真命题，故“p∧
(
?
q)” 是假命题是正确的．在②中l
1
⊥l
2
?a＋3b＝0，所以②不
正 确．在③中“设a、b∈R，若ab≥2，则a
2
＋b
2
>4”的否命题为：
“设a、b∈R，若ab<2，则a
2
＋b
2
≤4”正确．



40．已知命题p：“?x∈N
*
，x>”，命题p 的否定为命题q，则
q是“________”；q的真假为________(填“真”或“假”)．
【答案】?x
0
∈N
*
，x
0
≤
1
真
x
0
11
，当x
0
＝1时，x
0
＝ 成立，故q为
x
0
x
0
1
x
a
b
【解析】q：?x
0
∈N
*
，x
0
≤
真．



41．若命题“?x∈R，使得x
2
＋(a－1)x ＋1≤0”为假命题，则实
数a的取值范围是________．
试卷第29页，总78页

【答案】(－1,3)
【解析】由题意x∈R时，x
2
＋( a－1)x＋1>0恒成立，所以Δ＝(a
－1)
2
－4<0，即－2


42．设
[x]
表示不超过< br>x
的最大整数，如
[
?
]?3
，
[?2.3]??3
．给出下列
命题：
①对任意实数
x
，都有
x?1?[x]?x
；
②对任意实 数
[lg1]?[lg2]?[lg3]?
x
、
y
，都有
[ x?y]?[x]?[y]
；③
；
?[lg100]?90
④若函数
f(x)?[x?[x]]
，当
x?[0,n)(n?N
*
)
时， 令
f(x)
的值域为A，记集
合A的元素个数为
a
n
，则< br>a
n
?49
的最小值为
19
．
n2
其中所有真命题的序号是_________________．
【答案】①④
【解析】
试题分析：对于①，对任意实数x，都有
x?1?[x]?x
，满 足新定义，
∴①正确．
对于②，对任意实数x，y，例如
都有
?
x ?y
?
?
?
x
?
?
?
y
?
；不正确，
x??0.1，y??0.1，
?
x?y
?
??1，< br>?
x
?
?
?
y
?
??2；
∴②错误 ．
对于③，
?
lg1
?
?
?
lg2
?< br>?
?
lg3
?
?
?
lg4
?
???
?
lg100
?
?0?1?90?2?92
，∴③不
正确．
试卷第30页，总78页

对于④，根据题意：
?
0，x?
?
0，1
?
?
2
?
?
1，x?
?
1，

?
x
?
?
?
?
?
?
...
?
?
?
n?1,x?
?
n?1，n
?
?
0，x?
?
0，1
?
?
2
?
?
x，x?
?
1，
?

?x
?
x
?
?
?
?
?
...
?
?
?
(n ?1)x,x?
?
n?1，n
?
，，2，3，?，n
∴[x[x] ]在各区间中的元素个数是：
11
?a
n
?
n
?
n ?1
?
a?49
1501
19
?1?
n
?n??，
，所以当
n?10
时，最小值为
2
2n2n2
∴④正确．故 答案为：①④．
考点：命题的真假判断与应用．



43．[2014·深圳调研]已知下列命题：
①命题“?x∈R，x
2
＋ 1＞3x”的否定是“?x∈R，x
2
＋1＜3x”；
②已知p，q为两个命题，若 “p∨q”为假命题，则“(
?
p)∧(
?
q)
为真命题”；
③“a＞2”是“a＞5”的充分不必要条件；
④“若xy＝0，则x＝0且y＝0”的逆否命题为真命题．
其中所有真命题的序号是________．
【答案】②
【解析】命题“?x∈R ，x
2
＋1＞3x”的否定是“?x∈R，x
2
＋
试卷第31页，总 78页

1≤3x”，故①错误；“p∨q”为假命题说明p假q假，则(
?< br>p)
∧(
?
q)为真命题，故②正确；a＞5?a＞2，但a＞2? a＞5， 故
“a＞2”是“a＞5”的必要不充分条件，故③错误；因为“若xy
＝0，则x＝0或y＝ 0”，所以原命题为假命题，故其逆否命题也
为假命题，故④错误．



44．[2014·河源模拟]对任意实数a，b，c，给出下列命题：
①“a＝b”是“ac＝bc”的充要条件；
②“a＋5是无理数”是“a是无理数”的充要条件；
③“a＞b”是“a
2
＞b
2
”的充分条件；
④“a＜5”是“a＜3”的必要条件．
其中真命题的序号是________．
【答案】②④
【解析】①中“a＝b”可得ac＝bc，但c＝0时逆命题不成立，所
以不是充要条件，②正确，③中a＞b时a
2
＞b
2
不一定成立，所以③错误，④中“a＜5”得不到“a＜3”，但“a＜3”可得出“a＜
5”，“a＜5”是“a＜ 3”的必要条件，正确．



45．若命题“
?x?R
，使
x
2
?ax?1?0
”的否定是假命题，则实数
a
的< br>取值范围是
试卷第32页，总78页

【答案】
(??,?2)(2,??)

【解析】
试题分析：因为命题“
?x?R
，使
x
2
?ax?1?0
” 的否定是假命题，所
以命题“
?x?R
，使
x
2
?ax?1 ?0
”是真命题，即
??a
2
?4?0,
从而实数
a
的取值范围是
(??,?2)(2,??)
.
考点：命题的真假



46．给出以下四个命题：
①为了解600名学生对学校某项教改试验 的意见，打算从中抽取
一个容量为30的样本，考虑用系统抽样，则分段的间隔k为30；
② 已知
E,F,G,H
是空间四点，命题甲：
E,F,G,H
四点不共面，命题
乙：直线
EF
和
GH
不相交，则甲是乙成立的充分不必要条件； < br>③对分类变量X与Y的随机变量k
2
的观测值k来说，k越小，判
断“X与Y有 关系”的把握程度越大．
x
2
1
④若双曲线
?y
2
?k
的渐近线方程为
y??x
，则k=1．其中真命
2
4
题的序号是 ．
【答案】②
【解析】根据系统抽样规则，从600
名学生中抽取容量为
30
的样本，
分段间隔应为
600< br>?20
，所以①是假命题；
30
对于②已知
E,F,G,H
是空间四点，当
E,F,G,H
四点不共面时，直
线
EF
和
GH
一定不相交，即甲?乙，反之，直线
EF
和
GH
不相交，
试卷第33页，总78页

二者可能平行，也可能异面，即
E,F,G,H< br>四点有可能共面，乙推
不出甲，②是真命题；
对分类变量X与Y的随机变量k
2
的观测值k来说，k越小，判断
“X与Y有关系”的把握程度越小．③假命题；
x
2
1
双曲线
?y
2
?k
的渐近线方程为
y ??x
，
k
可以是任意不等于
0
2
4
的实数，④假 命题.
综上知只有②是真命题．
【考点定位】本题考查系统抽样，充要条件，空间直线的位 置关
系，独立性检验，双曲线的几何性质，意在考查空间想象能力、
分析问题、解决问题已及运 算求解能力．



47．已知命题p:“
若a?b?0,则lo g
1
a?(log
1
b)?1
”,命题p的原命
22
题，逆命题，否命题，逆否命题中真命题的个数为____________
【答案】2
【解析】
试题分析：若
a?b?0
，则
log
1
a-log
1
b?log
1
222
a1
?log
1
1?log
1
?1
，
b2
22
所以 “若
a?b?0
，则
log
1
a?(log
1
b)?1
”成立故命题为真命题，
22
所以逆否命题亦为真命题； “若
log
1a?(log
1
b)?1
?log
1
22
2
b
，则
2
a?
b
?0
” ，故逆命题，否命题均是假命题．
2
考点：四种命题的真假判断．
试卷第34页，总78页

48． 已知命题
p:
函数
y?(c?1)x?1在
R
上单调递增；命题
q:
不等式
x
2
?x? c?0
的解集是
?
．若
p
且
q
为真命题，则实数< br>c
的取值范围
是____________．
【答案】
【解析】 < br>试题分析：由
p
且
q
为真命题知
p
真
q真，若命题
p
为真，则
c?1
；
若命题
q
为真 ，则
?1?4c?0
，解得
考点：逻辑关系、不等式的解法.



r
（其中
q
，49．设
m
为不小于2的正整数， 对任意
n?Z
，若
n?qm?
r?Z
，且
0
≤r?m
），则记
f
m
(n)?r
，如
f
2(3)?1
，
f
3
(8)?2
.下列关于

c?
1
4
，∴
c?1
.
该映射
f
m
:Z?Z
的命题中，正确的是 . < br>①若
a
，
b?Z
，则
f
m
(a?b)?f< br>m
(a)?f
m
(b)

②若
a
，
b
，
k?Z
，且
f
m
(a)?f
m
(b )
，则
f
m
(ka)?f
m
(kb)

③若
a
，
b
，
c
，
d?Z
，且
f
m
(a)?f
m
b(
，
)f
m
(c)?f
m
(d)
，则
f
m
(a?c)?f
m
b( ?d

)
b
，
d?Z
，④若
a
，且
f
m
()
则
f
m
(aca?()f
m
b
，
f
m
(c)?f
m
(d)
，
)?(f< br>m
)bd
.
c
，
【答案】②③④
试卷第35页，总78页

【解析】
试题分析：当
m?3, a?1,b?
时
5
，所以
f
m
(a?b)?
3f(1?5)?
，
0
f
3
(1)?f
3
(5) ?1?2?3
.所以
f
m
(a?
f
m
(a)?f< br>m
(b)
b)?
b'?
m
f(a)?
q
m< br>f
不
(b
成立；由
即设
a??m
，
?r所
?q
以
mr
由
f
m
(a)?f
m< br>(b)
ka?kb?kq'm?kr?kqm?kr
即
f
m
( ka)?f
m
(kb)
即②正确；
设
a?b?q'm?r?qm?r
，
f
m
(c)?f
m
(d)
可得
c?d? q''m?r'?q'''m?r'
.
所以
a?c?m(q'?q'')?(r?r' )
，所以可得
f
m
(a?c)?f
m
(b?d)
即 ③正确.
同理根据
f
m
(n)?r
的含义，可得④正确.
考点：1.新定义问题.2.整数的余式定理.3.分类的思想.4. 建立
数式运算解决数学问题.



50．在整数集
Z< br>中，被
5
除所得余数为
k
的所有整数组成一个“类”，
记为< br>?
k
?
，则
?
k
?
?
?
5 n?k
?
，
k?0
、
1
、
2
、
3
、
4
，则下列结论正确的
是_____________.
①
2013?
?
3
?
②< br>Z?
?
0
??
1
??
2
??
3??
4
?

③“整数
a
、
b
属于同一 ‘类’”的充要条件是“
a?b?
?
0
?
”
④命题“整数
a
、
b
满足
a?
?
1
?
，
b?
?
3
?
，则
a?b?
?
4
?
”的原命题与
逆命题都为真命题.
【答案】①②③
【解析】
试题分析 ：依题意2013被5除的余数为3，则①正确；整数集就
是由被5除所得余数为0，1，2，3，4的 整数构成，②正确；假
试卷第36页，总78页

设③中
a?5n?m
1
，
b?5n?m
2
，
a?b?5(n
1
?n
2
)?m
1
?m
2
，
a,b
要是同类 ，
则
m
1
?m
2
?0
，所以
a?b?[0 ]
，反之也成立，所以③正确；因为
a?[1]
，
b?[3]
，所以 可设
a?5n
1
?1
，
b?5n
2
?3
， ∴
a?b?5(n
1
?n
2
)?4?[4]
，原
命 题成立，逆命题不成立，如
a?5,b?9
满足
a?b?[4]
,但是
a?[0]
，
b?[4]
，④错误；综上可知，只有①②③正确.
考点：1.新定义；2.充分必要条件；3.四种命题.



5 1．命题“
?x?R
，
x
2
?x?1?0
”的否定是___ ________．
【答案】
?x?R,x
2
?x?1?0

【解析】
试题分析：把“
?
”改写为“
?
”，反“≤”改 写为“＞”，即得命
题的否定
?x?R,x
2
?x?1?0
．
考点：全称命题的否定．



52．设集合
P?{t|
数列
a
n
?n
2
?tn(n?N
*
)单调递增
}
，集合
Q?{t|
函
数
f(x)?kx2
?tx
在区间
[1,??)
上单调递增
}
，若“t?P
”是“
t?Q
”
的充分不必要条件，则实数
k
的 最小值为 ．
3
【答案】
2

【解析】
试卷第37页，总78页

2*
a?n?tn(n?N)
单调 递增得：
a
n?1
?a
n
?0
对
n?N
*
n
试题分析：由数列
*
恒成立，即
2n?1?t?0,t??(2n ?1)
对
n?N
恒成立，所以
t?[?(2n?1)]
max
??3.
由函数
f(x)?kx
2
?tx
在区间
[1,? ?)
上单调递增
得：
k?0,t?0
或
k?0,
?t
?1
2k
.因为“
t?P
”是“
t?Q
”的充分不必要条
33
k?,k
min
?.
?3,
即
22
件，所以
k?0,2k?(?t)
max
考点：数列单调性，二次函数单调性，不等式 恒成立



53．命题
p:?x
0
?R
，使
x
0
2
?3x
0
?2?0
的否定是 .
【答案】
?x?R
，
x
2
?3x?2?0

【解析】
试题分析：由特称命题的否定为全称命题可知：命题
p:?x
0< br>?R
，
使
x
0
2
?3x
0
?2?0
的否定是“
?x?R
，
x
2
?3x?2?0
”.
考点：全称命题与特称命题.



54．已知命题p:“不等式
|x|?|x?1|?m
的解集为R”命题q:
“
f(x)??(5?2m)
x
是减函数.”若“p或q”为真命题,同时“p且q”
为假命题,则实数
m
的取值范围是_______.
【答案】
1?m?2

【解析】
试卷第38页，总78页

试题分析：命题p为真时，
m?(|x|? |x?1|)
min
?1
；命题q为真时，
5?2m?1.m?2
. 由题意得，命题p、q一真一假，所以
1?m?2
.
考点：命题真假判断



55．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，有下列命
题：①在△ABC中，A＞B是sinA＞sinB的充分不必要条件；②在
△ABC中，A＞B是c osA＜cosB的充要条件；③在△ABC中，A＞B
是tanA＞tanB的必要不充分条件．其中 正确命题的序号为
________．
【答案】②
【解析】 由正弦定理，可知A ＞B?a＞b?sinA＞sinB，故A＞B
是sinA＞sinB的充要条件，所以①错；由于函数 y＝cosx在(0，
π)内为减函数，故在△ABC中，A＞B是cosA＜cosB的充要条件，< br>所以②对；当A＝，B＝
6
?
2
?
时，tanA＞tanB， 而此时A＜B，当A
3
＝
2
?
?
，B＝时，A＞B，但ta nA＜tanB，故在△ABC中，A＞B是
3
6
tanA＞tanB的既不充分也不 必要条件，所以③错．故填②.



x
2
y
2
56．若命题p：曲线－＝1为双曲线，命题q：函数f(x)
a?26?a
＝(4－ a)
x
在R上是增函数，且p∨q为真命题，p∧q为假命题，
试卷第39页，总78 页

则实数a的取值范围是________．
【答案】(－∞，2]∪[3,6)
【解析】 当p为真命题时，(a－2)(6－a)＞0，解之得2＜a＜6.
当q为真命题时，4－a＞1，即a＜3.
由p∨q为真命题，p∧q为假命题知p、q一真一假．
当p真q假时，3≤a＜6.当p假q真时，a≤2.
因此实数a的取值范围是(－∞，2]∪[3,6)．



57 ．设命题p：非零向量a，b，|a|＝|b|是(a＋b)⊥(a－b)的充要
条件；命题q：平面上 M为一动点，A，B，C三点共线的充要条
件是存在角α，使
MA
＝sin
2
α
MB
＋cos
2
α
MC
，下列命题①p∧q；< br>②p∨q；③?p∧q；④?p∨q.
其中假命题的序号是________．(将所有假命题的序号都填上)
【答案】①③④ < br>【解析】(a＋b)⊥(a－b)?(a＋b)·(a－b)＝a
2
－b
2＝|a|
2
－|b|
2
＝0?
|a|＝|b|，故p是真命题．
若A，B，C三点共线，则存在x，y∈R，
使
MA
＝x
MB
＋y
MC
(x＋y＝1)；
若
MA
＝s in
2
α
MB
＋cos
2
α
MC
，则A， B，C三点共线．
故q是假命题．
故p∧q，?p∧q，?p∨q为假命题．

试卷第40页，总78页

58．设函数
f(
x
)＝
ax
＋
b
(0≤
x
≤1)， 则
a
＋2
b
＞0是
f
(
x
)＞0在[0, 1]
上恒成立的________条件．(填充分但不必要，必要但不充分，充
要，既不充分也 不必要)
【答案】必要但不充分
【解析】由
?
?
f(0)＞0，
?
b＞0，
?
?
?
f(1)＞0
?
a＋b＞0
∴
a
＋2
b
＞0.
而仅有
a
＋2
b
＞0，无法推出
f
(0)＞0和
f
(1)＞0同时成立．



59．命题“若a
2
+b
2
=0，则a=0且b=0”的逆否命题是 ________。
【答案】若
a?0
或
b?0
,则
a
2
?b
2
?0

【解析】
试题分析：原命题：若
p
则
q
。逆否命题为：若
?q
则
?p
。注 意“且”
否之后变“或”。
考点：命题的逆否命题。


60．命题p:“
?x?R
，使
2ax
2
?ax??0
”的否定?p是
【答案】
?x?R
,使
2ax
2
?ax??0

3
8
3
8
试卷第41页，总78页

【解析】
试题分析：特称命题的否定为全称命题。
考点：全称命题和特称命题。



61．已知不等式x
2
－2x＋1－a
2
＜0成立的一个充分条件是0＜x＜
4，则实数a的取值 范围应满足________．
【答案】a＜－3或a＞3
【解析】由题意可知，当0＜x＜4时，
x
2
－2x＋1－a
2
＜0成立，
令f(x)＝x
2
－2x＋1－a
2
，
∴f(4)＜0得，a＜－3或a＞3，
f(0)＜0得，a＞1或a＜－1.
综上，a＞3或a＜－3.



62．已知直线：
si n
?
cos
?
x?y?1
（
a,b
为给定的正常数 ，
?
为参数，
ab
?
?[0,2
?
)
）构 成的集合为S,给出下列命题：
①当
?
?
?
4
时，
S
中直线的斜率为；
b
a
②
S
中的所有直线可覆盖整个坐标平面．
③当
a?b
时，存在某个定点，该定点到
S
中的所有直线的距离均
相等；
试卷第42页，总78页

④当
a
＞
b
时，
S
中的两条平行直线间的距离的最小值为
2b
；
其中正确的是 （写出所有正确命题的编号）．
【答案】③④
【解析】
sin
?
cos
?
?
b
?
b
x?y?1
，当
?< br>?
时，
y??tan?
?
ab
4
a4
co s
4
bb
即：
y??x?2b
，所以直线的斜率为
?
，①不正确；
aa
sin
?
cos
?
x?y?1
一定不过原点
O
?
0,0
?
，②因为直线所以
S
中的所有
ab
试题分析：解：①由
直线不可能覆盖整个坐标平面，
所以②不正确；
③当
a?b
时，直线方程化为
sin
?< br>?x?cos
?
?y?a?0
，则原点
O
?
0,0< br>?
到
直线
sin
?
?x?cos
?
?y?a ?0
的距离
d?
③正确；
④设
l
1
:
s in
?
1
cos
?
1
sin
?
2
cos
?
2
x?y?1,l
2
:x?y?1

ab ab
sin
?
?0?cos
?
?0?a
sin
?< br>?cos
?
22
?a
，所以
?
sin
?1
cos
?
2
sin
?
2
cos
?< br>1
????0
?
?
abab
由
l
1
l
2
得：
?

sin
?
sin
?
12
?
??
?
0
?
a
?
a
??
sin
?
?
1
?
?
2
?
? 0
?
?
，所以
?
1
?
?
2
?(2 k?1)
?
，
?
1
?(2k?1)
?
?
?
2

?
?
sin
?
1
?sin
?
2
所以
l
1
:
sin
?
2
cos
?
2
sin
?
2
cos
?
2
x? y??1,l
2
:x?y?1

abab
两条平行直线
l< br>1
,l
2
间的距离
d?
1?
?
?1
?
?
sin
?
2
??
cos
?
2
?
??
?
??
a
???
b
?
2
? 2b
，所以该命题
正确.
故答案应填③④
考点：1、命题真假性判断；2、直线方程与两直线间的位置关系.
试卷第43页，总78页

63．若命题“?x∈R,x
2
＋a x＋1＜0”是真命题，则实数a的取值
范围为 。
【答案】a∈(－∞，－2)∪(2，＋∞)
【解析】
试题分析：∵命命题“存在 实数x，使x
2
＋ax＋1＜0”的否定是假
命题，∴原命题为真命题，即“存在实数 x，使x
2
＋ax＋1＜0”为
真命题，∴△=a
2
-4＞0=∴a ＜-2或a＞2，故答案为：a＜-2或a
＞2.
考点：命题的真假判断与应用.



64．下列说法：
①“?
x
∈R,2
x＞3”的否定是“?
x
∈R,2
x
≤3”；
?
??
?
?
②函数
y
＝sin
?
sin
2x?
???
?2x
?
的最小正周期是π；
3< br>???
6
?
③命题“函数
f
(
x
)在
x
＝
x
0
处有极值，则
f
′(
x
0)＝0”的否命题
是真命题；
④
f
(
x
)是(－∞， 0)∪(0，＋∞)上的奇函数，
x
＞0时的解析式是
f
(
x
)＝2
x
，则
x
＜0时的解析式为
f
(
x
)＝－2
－
x
.其中正确的说法是
________．
试卷第44页，总78页

【答案】①④
【解析】对于①，“?x
∈R,2
x
＞3”的否定是“?
x
∈R,2
x
≤3”，
???
因此①正确；对于②，注意到sin
?
＝cos
? 2x2x?
????
，因此函
63
????
??
?
??
?
?
数
y
＝sin
?
sin
2x?< br>???
?2x
?
＝sin
3
???
6
?1
2
?
sin
?
4x?
?
2
3
?
?
?
?
???
·
2x?cos2x?
????
＝
3
?
3
???
?
?
，
?2
?
?
＝，②不正确；对于③，注意到命题“函
4
2
则 其最小正周期是
数
f
(
x
)在
x
＝
x0
处有极值，则
f
′(
x
0
)＝0”的否命题是“若函 数
f
(
x
)在
x
＝
x
0
处无极值 ，则
f
′(
x
0
)≠0”，容易知该命题不正确，
如取f
(
x
)＝
x
3
，当
x
0
＝ 0时，③不正确；对于④，依题意知，当
x
＜0时，－
x
＞0，
f< br>(
x
)＝－
f
(－
x
)＝－2
－
x
，因此④正确



65．已知集合A＝{x|x＞5}，集合B ＝{x|x＞a}，若命题“x∈A”
是命题“x∈B”的充分不必要条件，则实数a的取值范围是________．
【答案】a＜5
【解析】命题“x∈A”是命题“x∈B”的充分不必要条件，
∴A?B，∴a＜5.



试卷第45页，总78页

66．给出以下四个命题，所有真命题的序号为________．
1
n
①从总体中抽取样本(
x
1
，
y
1
)，(x
2
，
y
2
)，?，(
x
n
，
y
n
)，若记
x?
?
x
i
，
n
i?1
1
n
y?
?
y
i
，则回归直线
y< br>＝
bx
＋
a
必过点(
x
，
y
)．
n
i?1
②将函数
y
＝cos 2
x
的图象向右平移个单位，得到函数
y
＝sin
?
??
2x?
??
的图象；
6
??
?< br>3
③已知数列{
a
n
}，那么“对任意的
n
∈
N
*
，点P
n
(
n
，
a
n
)都 在直线
y
＝2
x
＋1上”是“{
a
n
}为等差数列 ”的充分不必要条件．
④命题“若|
x
|≥2，则
x
≥2或
x
≤－2”的否命题是“若|
x
|≥2，
则－2<
x
<2 ”．
【答案】①②③
2
?
?
?
?
?
【 解析】①正确；②中，
y
＝cos 2
?
＝cos
x?2x?
????
＝cos
?
3
?
?
3
?
?
?
?
?
?
?
?
??
＝sin
2x??
2x?
??
②正确；③正确；④不正确．
?
?
?
?
6
?
6
?
2
?
?
?
?



67． 命题：“若
a?b
不为零，则
a,b
都不为零”的逆否命题
是 。
【答案】.若a ,b至少一个为0，则ab为0
【解析】解：因为命题：“若
a?b
不为零，则
a,b
都不为零”的逆否
命题是就是将条件和结论同时否定 ，再作为新命题的结论和条件，
即可。故为.若a ,b至少一个为0，则ab为0
试卷第46页，总78页

68．设函数f(x)
是定义在R上的偶函数，且对任意的
x?R
恒有
f(x?1)? f(x?1)
，
1
1?x
f(x)?()
，则其中所有正确命题的 序号是已知当
x?[0,1]
时，
2
_____________。
① 2是函数
f(x)
的周期； ② 函数
f(x)
在
(1 ,2)
上是减函数，在
(2,3)
上是增函数；
③ 函数
f(x)
的最大值是1，最小值是0； ④ 当
x?[3,4]
时，
1
f(x)?()
x?3
。
2
【答案】①②④



69．命题：“若a，b，c成 等比数列，则b
2
＝ac”及其逆命题、
否命题、逆否命题中正确的个数是_____ ___．
【答案】2



70．已知命题p：方程2x
2
＋ax－a
2
＝0在[－1,1]上有解；命题q：
只有一个实数x0
满足不等式x
0
2
＋2ax
0
＋2a≤0，若命题“ p∨q”是
试卷第47页，总78页

假命题，求实数a的取值范围．
【答案】(－∞，－2)∪(2，＋∞)
【解析】解：由2x
2
＋ax－a
2
＝0得(2x－a)(x＋a)＝0，
∴x＝或x＝－a，
∴当命题p为真命题时||≤1或|－a|≤1，∴|a|≤2.
又“只有一个实数x
0
满足x
0
2
＋2ax
0
＋2a≤0”，
即抛物线y＝x
2
＋2ax＋2a与x轴只有一个交点，
∴Δ＝4a
2
－8a＝0，∴a＝0或a＝2.
∴当命题q为真命题时，a＝0或a＝2.
∵命题“p∨q”为假命题，∴p假q假，∴|a|>2，∴a>2或a<－
2.
即a的取值范围为(－∞，－2)∪(2，＋∞)．



71． 已知命题P：函数y＝log
a
(1－2x)在定义域上单调递增；命题
Q：不等式( a－2)x
2
＋2(a－2)x－4<0对任意实数x恒成立．若P
∨Q是真命题，求 实数a的取值范围．
【答案】(－2,2]
【解析】解：命题P：函数y＝log
a
(1－2x)在定义域上单调递增，
∴0又∵命题Q：不等式(a－2)x
2
＋2(a－2)x－4 <0对任意实数x恒成
立，
a
2
a
2
试卷第48页，总78页

?
?
a?2?0
∴a＝2或
?

2
?
?
??4
?
a?2
?
?16
?
a?2
?
?0
即－2∵P∨Q是真命题，
∴a的取值范围是(－2,2]．



72．设命题p：函数f (x)＝lg(ax
2
－4x＋a)的定义域为R；命题q：
不等式2x
2< br>＋x>2＋ax，在x∈(－∞，－1)上恒成立，如果命题“p
∨q”为真命题，命题“p∧q ”为假命题，求实数a的取值范围．
【答案】[1,2]
【解析】解：p：Δ<0且a>0，故a>2；
q：a>2x－＋1对?x∈(－∞，－1)恒成立，
设g(x)＝2x－＋1，
则g(x)在(－∞，－1)上单调递增，g(x)<1，故a≥1.
“p∨q”为真命题，命题“p∧q”为假命题，等价于p，q一真一
假．
故1≤a≤2，则实数a的取值范围为[1,2]．



73．已知集合P＝{x|x
2
－8x－20≤0}，S＝{x||x－1|≤m}．
(1)若(P∪S)?P，求实数m的取值范围；
2
x
2
x
试卷第49页，总78页

(2) 是否存在实数m，使得“x∈P”是“x∈S”的充要条件？若存
在，求出m的取值范围；若不存在，请 说明理由．
【答案】（1）(－∞，3] （2）不存在，见解析
【解析】解：由x
2
－8x－20≤0解得－2≤x≤10，∴P＝{x|－
2≤x≤10}．
由|x－1|≤m可得1－m≤x≤1＋m，∴S＝{x|1－m≤x≤1＋m}．
(1)要使(P∪S)?P，则S?P，
①若S＝?，此时，m<0.
?
m?0
②若S≠?，此时
?
?
1?m??2
，解得0≤m≤3.
?
1?m?10
?
综合①②知实数m的取值范围为(－∞，3]．
(2)由题意“x∈P”是“x∈S”的充要条件，则S＝P，
?
1?m??2?
m?3
则
?
∴
?

1?m?10m?9
??
∴这样的m不存在．


74．已知集合A＝{y|y＝x
2
－x＋1，x∈[，2]}，B＝{x|x＋
m
2
≥1}；命题p：x∈A，命题q：x∈B，并且命题p是命题q的充
分条件，求 实数m的取值范围．
【答案】(－∞，－]∪[，＋∞)．
【解析】解：化简集合A， < br>3
4
3
4
3
2
3
4
试卷第50页， 总78页

由y＝x
2
－x＋1＝(x－)
2
＋∵x∈[，2]，∴y
min
＝
∴y∈[
3
4
3
2
3
4
7
，
16
7
，y
max
＝2.
16
77
，2]，∴A＝{y|≤y≤2}．
1616
化简集合B，由x＋m
2
≥1，
∴x≥1－m
2
，B＝{x|x≥1－m
2
}．
∵命题p是命题q的充分条件，∴A?B.
∴1－m
2
≤
733
，∴m≥或m≤－.
1644
3
4
3
4
∴实数m的取值范围是(－∞，－]∪[，＋∞)．



75．求证：方程x
2
＋ax＋1＝0的两实根的平方和大于3 的必要条
件是|a|>
3
，这个条件是其充分条件吗？为什么？
【答案】必要条件但不是充分条件，见解析
【解析】证明：设x
2
＋ax＋ 1＝0的两实根为x
1
，x
2
，则平方和大
于3的等价条件是
2
?
?
??a?4?0

?
2
22
2
?
?
x
1
?x
2
?
?
x1
?x
2
?
?2x
1
x
2
?
?
?a
?
?2?3
即a>
5
或a<－
5
.
∵{a|a>
5
或a<－
5
}，{a||a|>
3
}，
∴|a|>
3
这个条件是必要条件但不是充分条件．

试卷第51页，总78页

76．已知函数f(x)在区间(－∞，＋∞)上是增函数，a，b∈R.
(1)求证：若a＋b≥0，则f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)；
(2)判断(1)中命题的逆命题是否正确，并证明你的结论．
【答案】（1）见解析
（2）逆命题是真命题，见解析
【解析】解：(1)由a＋b≥0，得a≥－b.
由函数f(x)在区间(－∞，＋∞)上是增函数，得f(a)≥f(－b)，
同理，f(b)≥f(－ a)，
所以f(a)＋f(b)≥f(－b)＋f(－a)，即f(a)＋f(b)≥f(－a)＋< br>f(－b)．
(2)对于(1)中命题的逆命题是：若f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f( －b)，
则a＋b≥0，此逆命题为真命题．
现用反证法证明如下：
假设a＋b≥0不成立，则a＋b<0，a<－b，b<－a，
根据f(x)的单调性，得f (a)f(b)这与已知f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)相矛盾，故a＋b<0不成
立，
即a＋b≥0成立，因此(1)中命题的逆命题是真命题．



试卷第52页，总78页

?
77．已知c>0，设命题p：函数y＝ c
x
为减函数．命题q：当x∈
?
,2
?
?
2?
?
1
时，函数f(x)＝x＋>恒成立．如果p或q为真命题，p且q
为假命题，求c的取值范围．
1
x
1
c
【答案】


【解析】解：由命题p为真知，0由命题q为真知，2≤x＋≤，
要使此式恒成立，需<2，即c>，
若p或q为真命题，p且q为假命题，
则p、q中必有一真一假，
当p真q假时，
c的取值范围是0当p假q真时，c的取值范围是c≥1.
1
2
1
c
12
1
x
5
2
综上可知，c的取值范围是



.
78．命题p：?x∈(1，＋∞)，函数f(x)＝|log
2x|的值域为[0，
＋∞)；命题q：?m≥0，使得y＝sin mx的周期小于，试判断p
∨q，p∧q，
?
p的真假性．
试卷第53页，总78页
?
2

【答案】p∨q为真命题，p ∧q为假命题，
?
p为真命题．
【解析】解：对于命题p，当f(x)＝|log< br>2
x|＝0时，log
2
x＝0，即
x＝1,1?(1，＋∞)，故命 题p为假命题．对于命题q，y＝sin mx
的周期T＝
2
?
?
< ，即|m|>4，故m<－4或m>4，故存在，m≥0，
m
2
使得命题q成立，所以 p且q为假命题．故p∨q为真命题，p∧q
为假命题，
?
p为真命题．



79．已知集合A＝{x|x
2
－4mx＋2m＋6＝0}，B ＝{x|x<0}，若命题
“A∩B＝?”是假命题，求实数m的取值范围．
【答案】{m|m≤－1}
【解析】解：因为“A∩B＝?”是假命题，
所以A∩B≠?.
设全集U＝{m|Δ＝(－4m)
2
－4(2m＋6)≥0}，
则U＝.
假设方程x
2
－4mx＋2m＋6＝0的两根x
1
，x
2< br>均非负，则有
?
m?U
?
m?U
3
??
?
m?
.
?
x
1
?x
2
?0
，?
?
4m?0
2
?
xx?0
?
2m?6?0
?
?
12
3
?
又集合
?
mm?
??
关于全集U的补集是{m|m≤－1}，
?
2
?
所以实数m的取值范围是{m|m≤－1}．

试卷第54页，总78页

2
?
80． 已知集合A＝
?
yy?x
2
?x?1,x?
?
，B＝{x| x＋m≥1}．若
,2
??
?
?
?
3
2
3
?
4
?
?
?
“x∈A”是“x∈B”的充分条件，求实数m 的取值范围．
【答案】
?
?
?
??,
3
?
4
?
?
∪
?
?
3
?
4
,??< br>?
?
?
.
3
2
【解析】解：y＝x
2－
7
2
x＋1＝
?
?
3
?
?
x?
4
?
?
＋
16
，
∵x∈
?
?
3
?
7
?
4
,2
?
?
，∴16
≤y≤2，
∴A＝
?
?
?
y
7
16
?y?2
?
?
?
.
由x＋m
2
≥1，得x≥1－m
2
，
∴B＝{x|x≥1－m
2
}．
∵“x∈A”是“x∈B”的充分条件，
∴A?B，∴1－m
2
≤
7
16
，
解得m≥
3
4
或m≤－
3
4
，
故实数m 的取值范围是
?
?
?
??,
3
?
4
??
∪
?
?
3
?
?
4
,??
?
?
.



81．设
p
：函数
y?(a?1)x?1
在
x?(??,??)
内单调递减；
y?x
2
?ax?1
与
x
轴交于不同的两点．
（1）若
p
为真且
q
为真，求
a
的取值范围；
试卷第55页，总78页
q
：曲线

（2）若
p与
q
中一个为真一个为假，求
a
的取值范围．
【答案】（1）
a??2
，（2）
a?2或-2?a?1

【解析】
试题分析：（1）因为若
p
：函数
y?(a?1)x?1
在
x?(??,??)
内单调
递减为真；而一次函数增减性决定于一次项系数 的正负，所以
p真?a?1?0
，因为
q
：曲线
y?x
2< br>?ax?1
与
x
轴交于不同的两点为
真，即方程
x
2
?ax?1?0
有两个不同的交点，因此
q真???a
2
?4?0? a?2或a<-2
，因此若
p
为真且
q
为真，则
a??2< br>，
（2）若
p
与
q
中一个为真一个为假，则有
p为真
q
为假
?
q
为真
p
为假
?
a?1
或
?2?a?2
?
?
a?1
，即
a?2或 -2?a?1

?
a?2或a??2
?
由题意得，因为若
p
：函数
y?(a?1)x?1
在
x?(??,??)
内单调递减为真；而一次函数增减性决定于一次项系数的正负，所以
p真?a?1?0
，因为
q
：曲线
y?x
2
?ax?1
与
x
轴交于不同的两 点为
真，即方程
x
2
?ax?1?0
有两个不同的交点，因此
q真?a?2或a<-2

-4分
（1）若
p
为真且
q
为真，则
a??2
-7分
（2）若
p
与
q
中一个为真一个为假，则有
p为真
q
为假
?
a?1
或
?
?2?a?2
?
a?1
?
q
为真
p
为假
?
，即
a?2或-2?a?1
-14分
a?2或a??2
?
考点：命题真假



试卷第56页，总78页

82．已知命题
p:(x?1)(x?5) ?0
，命题
q:1?m?x?1?m(m?0)
。
（1）若p是q的充分条件，求实数m的取值范围；
（2）若m=5，“
p?q
”为真命题，“
p?q
”为假命题，求实数x
的取值范围。
【答案】（1）
?
4，
（2）
?
-4，??
?
；
-1
?
?
?
5 ,6
?
.
【解析】
试题分析：（1）当命题是用集合表示时，若
?p
是
q
的充分条件，
则表示命题
p
所对应的集合是命题< br>q
所对应集合的子集，转化为子
集问题解决，通过数轴，列不等式组;
(2)
p?q
”为真命题，“
p?q
”为假命题表示
p,q
一 真一假，所
以分两种情况，真代表集合本身，假代表集合的补集，列不等式
解决.
试 题解析：解：（1），
?A?
?
x?1?x?5}
，
B?{x1?m ?x?1?m}
,
?
1?m?5
?A?B
,那么
?
解得：
m?4

?
1?m??1
?
-1?x?5
(2)根据已知
p,q
一真一假，
p
真
q
假时，
?
解得
?
，或
p
x?6或x??4
?
假
q< br>真时，
?
?
x?5或x??1

?4?x?6
?
解得
{x?4?x??1或5?x?6}

考点：命题的真假判定与应用



83．已知命题
p< br>：
x
2
?8x?20?0
，命题
q
：
(x? m)(x?1?m)?0
，若
?p
试卷第57页，总78页

是
q
的充分不必要条件，求实数
m
的取值范围．
【答案】
?2?m?9

【解析】
试题分析：由
?p?q
，但
q
?
?p
不成立求解
试题解析：由
x
2
?8x?20?0
，得：
?2?x?10
，
?p
：
x??2
或
x?10

由
(x?m)(x?1?m)?0
得：
x?m
或
x?1?m

依题意有
?p?q
，但
q
?
?p
不成立
故
?
?
m??2
且等号不能同时成立，解得
?2?m?9
．
1?m?10
?
考点：一元二次不等式、不等式组的解法，简易逻辑的有关知识 ；
考查运算求解的能力以及等价转化的思想



84．已知p:
1?
x?1
?2
,q:
x
2
?2x?1?m2
?0
?
m?0
?
,若
?p
是
?q< br>的
3
必要不充分条件，求实数m的取值范围。
【答案】
m?9

【解析】
试题分析：由P解不等式得：
?2?x?10
，由q解不等式得：
1?m?x?1?m.
，∵
?p
是
?q
的必要不充分条件，∴
?p??q
，从而
可得m的不等式组， 即可得m的取值范围.
试题解析：解：由p：
1?
x?1
?2
??2?x?10.

3
试卷第58页，总78页

由q可得
?
x?1?
?m
2
?
m?0
?
所以1?m?x?1?m.
所以?p:x?10或x??2,
?p:x?1?m或x?1?m,
因为?p是?q的必要不 充分条件,所以?p??q.
?
1?m?10
故只需满足
?
?
1?m??2
所以m?9.
2

考点：（1）解不等式；（2）充要条件.



85．已知a∈R，设p：函数f(x)＝x
2
＋( a－1)x是区间(1，＋∞)
上的增函数，q：方程x
2
－ay
2
＝1表示双曲线．
（1）若p为真命题，求实数a的取值范围；
（2）若“p且q”为真命题，求实数a的取值范围．
【答案】（1）[－1，＋∞?（2）(0，＋∞)
【解析】
试题分析：（1）因 为p为真命题，即函数f(x)＝x
2
＋(a－1)x是(1，
＋∞)上的增函数，由 于二次函数单调性决定于对称轴与定义区间
的相对位置关系，所以结合图像可得对称轴在区间(1，＋∞ )左侧
时，函数单调增即：
?
a?1
?1
，解得a≥－1，（2）因 为“p且q”
2
为真命题，所以p为真命题，且q也为真命题．由（1）可得p为
真命 题时有a≥－1；由q为真命题，即方程x
2
－ay
2
＝1表示双曲
线，因而有a＞0；两者要同时成立，就是求其交集，为a＞0．
试题解析：
（1）因为p 为真命题，即函数f(x)＝x
2
＋(a－1)x是(1，＋∞)
试卷第59页，总7 8页

上的增函数，
所以
?
a?1
?1
． 3分
2
解得a≥－1．
即实数a的取值范围是[－1，＋∞?． 5
分
（2）因为“p且q”为真命题，所以p为真命题，且q也为真命
题． 7分
由q为真命题，得a＞0．
所以a≥－1且a＞0，即a＞0．
所以实数a的取值范围是(0，＋∞)． 10
分
考点：复合命题的真假



86．设命题p：(4x－3)2
≤1；命题q：x
2
－(2a＋1)x＋a(a＋1)≤0，
若
?p
是
?q
的必要不充分条件，求实数a的取值范围．
1
?
【答案】
?
0,
??

?
2
?
【解析】
试题分析：先分别解出命题
p
和 命题
q
的不等式的解集
A,B
。由
?p
和
?q的关系根据互为逆否命题同真假得到命题
p
和
q
的关系，即
可得 出
A,B
的关系，根据两集和关系列出方程即可。
试题解析：.解:设
A＝{x|(4x－3)
2
?1}
，
试卷第60页，总78页

B＝{x|x
2
－(2a＋1)x＋a(a＋1)?0}
，
易知
A=?x|?x?1},B=?x|a?x?a+1}
． 6分
由
?p
是
?q
的必要不充分条件，从而
p
是
q
的充分不必要条件，即
A?B
，
1
2
1
?
1< br>?
a?
∴
?
2
?0?a?
(10分) 2
?
?
a?1?1
1
?
故所求实数
a
的取值范围是
?
0,
??
． 12分
?
2
?
考点：1命题；2充分必要条件；3集合间的关系。



87．已知命题p：函数f(x)＝x
2
＋ax－2在[－1, 1]内有且仅有一
个零点．命题q：x
2
＋3(a＋1)x＋2≤0在区间[，]内恒 成立．若
命题“p且q”是假命题，求实数a的取值范围．
【答案】{a|a>－}
【解析】解：先考查命题p：
若a＝0，则容易验证不合题意；
?
?
a?0
故
?

f?1?f1?0
?< br>?
????
5
2
1
2
3
2
解得a≤ －1或a≥1.
再考查命题q：
∵x∈[，] ，
∴3(a＋1)≤－(x＋)在[，]上恒成立．
易知(x＋)
max
＝，
试卷第61页，总78页
1
2
3
2
2
x
1
2
3
2
2
x
9
2

故只需 3(a＋1)≤－即可．
解得a≤－.
∵命题“p且q”是假命题，
∴命题p和命题q中一真一假或都为假．
当p真q假时，－ 当p假q真时，a∈?；
当p假q假时，－1综上，a的取值范围为{a|a>－}．



88．设
p
：
m?22
?
，
q
：关于
x
的不等式< br>x
2
?4x?m
2
?0
的解集是空
m?33
5
2
5
2
5
2
9
2
集，试确定实数
m
的取值范围，使得
p
或
q
为真命题，
p
且q
为假
命题。
【答案】(－∞，－2)∪[0,2]∪[3，＋∞)．
【解析】
试题分析：解不等式
m?22
?
得0≤m<3，∵不等式 x2－4x＋m2≤0
m?33
的解集为?，∴Δ＝16－4m2<0，∴m<－2或m>2. 因为
p
或
q
为真
命题，
p
且
q
为 假命题，所以p与q有且仅有一真．当p成立而q
不成立时，0≤m≤2. 当p不成立而q成立时，m<－2或m≥3. 综上
所述，m∈(－∞，－2)∪[0,2]∪[3，＋∞)．
解：
m?22m
?
化为
?0
，∴0≤m<3. ------4分
m?33m?3
∵不等式x2－4x＋m2≤0的解集为?，∴Δ＝16－ 4m2<0，∴m<－2
或m>2. ------8分
试卷第62页，总78页

∵p或q真，p且q假，∴p与q有且仅有一真．------9分
当p成立而q不成立时，0≤m≤2. ------11分
当p不成立而q成立时，m<－2或m≥3. ------13分
综上所述，m∈(－∞，－2)∪[0,2]∪[3，＋∞)．------14分
考点：复合命题真假



89．设命题
p:
函 数
f(x)?lg(ax
2
?x?
3x?1?1?ax
对一切正实数
1
a)
的定义域为
16
R，命题
q:
不等式
x均成立，如果命题
p?q
为真，
p?q
为
假，求实数a的取值范 围.
【答案】
?a?2

【解析】
试题分析：因为命题
p?q
为真，
p?q
为假，所以命题
p
与命题
q
一
真一假.
p
为真
???ax
2
?x?
???a?
3
2
?
a?0
a
?0
恒成立，
?
?
?a?2
，
q
为真
16
?
??0
3
对一切
x?0
均成立，又
3x?1?1
3x?1?13x
??
x
x(3x?1?1)
33
3
?
从而
a?< br>，因此
3x?1?1?2
?
2
1?3x?1
2
3?a?2
.
2
p
为真
???ax
2
?x?< br>?
a?2
?
a?2
??
或
??
33
，即
a?a?
??
?2?2
a
?0
恒成立，
16
当
a?0
时不合，
?
?
q
为真
???a?
?
a?0
?a?2
5分
?
??0
3x?1?13x3
对一切
x?0
均成立，
??
x
x(3x?1?1)3x?1?1
试卷第63页，总78页

又
3x?1?1?2

?
从而
a?

3
2
33
?
10分
1?3x?1
2
p?q为真
??
p真
?
p 假
3
又
或
?
??a?2
. 15分
?
?
?
2
p?q为假
??
q假
?
q真
考点：复合命题真假



90．设命题p:实数x 满足
x
2
?4ax?3a
2
?0
,其中
a?0,命题
q:
实数
x
2
?
?
x?x?6?0,< br>满足
?
2
.
x?2x?8?0.
?
?
(1 )若
a?1,
且
p?q
为真,求实数
x
的取值范围; (2)若
?p
是
?
q
的充分不必要条件,求实数a的取值范围.
【答案】(1)
2?x?3
(2)
1?a?2

【解析】
试题分析：（1）p∧q为真，即p和q均为真，分别解出p和q中
的不等式，求交集即可；
（2）﹁p是﹁q的充分不必要条件?q是p的充分不必要条件，
即q?p，反之不成立．
即q中的不等式的解集是p中的不等式解集的子集．.
试题解析：由
x
2< br>?4ax?3a
2
?0
得
(x?3a)(x?a)?0
,又< br>a?0
,所以
a?x?3a
,
当
a?1
时,1<< br>x?3
,即
p
为真时实数
x
的取值范围是1<
x?3
.
2
?
?
x?x?6?0
由
?
2
,得
2?x?3
,即
q
为真时实数
x
的取值范围是
?
?
x?2x?8?0
试卷第64页，总78页

2?x?3
.
若
p?q
为真,则
p
真且
q
真,所以实数
x
的取值范围是
2?x?3
. (Ⅱ)
?p
是
?q
的充分不必要条件,即
?p
?
?q
,且
?q
?
?
?p
,
设A=
{x |?p}
,B=
{x|?q}
,则
AB
,
又A=
{x|?p}
=
{x|x?a或x?3a}
,B=
{x|?q}
=< br>{x?2或x?3
},
则0<
a?2
,且
3a?3
所以实数
a
的取值范围是
1?a?2
.
考点：1.充分条件；2.命题的真假判断与应用．



91． 设集合A＝(―∞,―2]∪[3,＋∞)，关于x的不等式(x－
2a)·(x＋a)＞0的解集为B （其中a＜0).
（1）求集合B；
（2）设p:x∈A,q:x∈B，且?p是?q的充分不必要条件，求a的
取值范围。
【答案】（1）B＝(－∞，2a)∪(－a，＋∞)；（2）a≤－3.
【解析】
试题分析：（1）解一元二次不等式(x－2a)·(x＋a)＞0，可求出B
＝(－∞，2a)∪( －a，＋∞)；
（2）依据题意有
?
p：x＝∈(－2，3)，
?
q∈[2a，―a]，可知(－
2，3)
?
2a??2
[2a，―a]即?
?
?a?3
，解得
?
a?0
?
a≤－3
试题解析：解：（1）B＝(－∞，2a)∪(－a，＋∞)
4分
试卷第65页，总78页

（2）∵
?
p：x ＝∈(－2，3)，
?
q∈[2a，―a] 6
分
依题意有：(－2，3)[2a，―a] 8
分
?
2a??2
故：
?
?
?a?3
解得
?
a?0
?
a≤－3 12
分
考点：1.一元二次不等式的解法；2.必要条件、充分条件与充要
条件的判断；



92．已知命题
p:
“存在
x?R,2x
2< br>?(m?1)x??0
”，命题
q
：“曲线
x
2
y< br>2
C
1
:
2
??1
表示焦点在
x
轴 上的椭圆”，命题
s:
“曲线
2m?8
m
x
2
y< br>2
C
2
:??1
表示双曲线”
m?tm?t?1
1
2
（1）若“
p
且
q
”是真命题，求
m
的 取值范围；
（2）若
q
是
s
的必要不充分条件，求
t的取值范围。
【答案】（1）
?4?m??2
或
m?4
；（2 ）
?4?t??3
或
t?4

【解析】
试题分析：（1） 依题意说明命题
p
和命题
q
都是真命题。命题
p
为
真，因二次函数图像开口向上，则判别式应大于等于0；命题
q
为
真，则两分母均大于 0，且
x
2
下的分母较大。（2）命题
s
是真命
题，则两分 母异号，因
q
是
s
的必要不充分条件，命题
s
解集是命试卷第66页，总78页

题
q
解集的真子集。
试题解 析：解：（1）若
p
为真：
??(m?1)
2
?4?2??0

1分
解得
m??1
或
m?3
2分
?
m
2
?2m?8
若
q
为真：则
?
3分
?
2m? 8?0
1
2
解得
?4?m??2
或
m?4
4分
若“
p
且
q
”是真命题，则
?
?
m ??1或m?3
?
?4?m??2或m?4
6分
解得
?4?m??2
或
m?4
7分
（2）若
s
为真，则
(m?t)(m?t?1)?0
，即t?m?t?1
8分
由
q
是
s
的必要不充分条件，
则可得
{m|t? m?t?1}
?
?
{m|?4?m??2
或
m?4}
9分
?
t??4
即
?
或
t?4
11分
t?1??2
?
解得
?4?t??3
或
t?4
12分

考点：1命题的真假判断；2充分必要条件。


< br>93．设
p
：实数
x
满足
(x?3a)(x?a)?0
，其中
a?0
，
q
：实数
x
满
?
x< br>2
?3x?0
足
?
2
.
?
x?x?2?0
试卷第67页，总78页

（1）当
a?1
，
p
且
q
为真时，求实数
x
的取值范围；
（2）若
?p
是
?q
的充分不必要条件，求实数
a
的取值范围.
【答案】（1）
2?x?3
；（2）
1?a?2
.
【解析】
试题分析：(1)先求出每个命题为真时的范围，然后根据
p?q
列出
关于
x
的不等式求解即可；(2)依题意知
q
是
p的充分不必要条件，
由充分不必要条件与集合的关系，得出命题
q
所表示的集合是 命题
p
所表示集合的真子集，从中求解即可.
试题解析：（1）当
a
=1时，
p
：
1?x?3
，
q
：
2?x?3 4
分
∵
p
且
q
为真 ∴
x
满足
?
?
2?x?3
，即
2?x?3
6分
?
1?x?3
（2）由
?p
是
?q
的充分不 必要条件知，
q
是
p
的充分不必要条件
8分
由
p
知，即A=
?
x|a?x?3a,a?0
?
，由
q
知，B=
?
x|2?x?3
?
10分
∴B
?
A ∴
a?2
且
3?3a
，即实数
a
的取值范围是
1?a?2

12分.
考点：1.二次不等式；2.逻辑联结词；3.充分不必要条件.


< br>94．设函数f(x)＝x|x－a|＋b，求证：f(x)为奇函数的充要条件
是a
2
＋b
2
＝0.
【答案】证明见试题解析.
试卷第68页，总78页

【解析】
试题分析：充要条件的证明要分 别证明充分性和必要性，
a
2
?b
2
?0?a?b?0
.本 题充分性是由
a
2
?b
2
?0
证明
f(x)
为奇函数，
必要性是由
f(x)
为奇函数证明
a
2
?b< br>2
?0
.
试题解析：证明充分性：∵a
2
＋b
2
＝0，∴a＝b＝0， 2
∴f(x)＝x|x| 3
∵f(－x)＝－x|－x|＝－x|x|，－f(x)＝－x|x|， 4
∴f(－x)＝－f(x)，∴f(x)为奇函数 6
必要性：若f(x)为奇函数，则对一切x∈R，f(－x)＝－f(x)恒成
立 7
即－x|－x－a|＋b＝－x|x－a|－b恒成立 8
令x＝0，则b＝－b，∴b＝0， 10
令x＝a，则2a|a|＝0，∴a＝0 11
即a
2
＋b
2
＝0 12
考点：充要条件



2
95．设命题
p
：函数
f
?
x
?
?1g
?
?
ax?x?
?
a?
?
的定义域为
R
；命题
16
?
q:3
x
?9
x
?a
对一切的实数
x
恒成立，如果命题“
p
且
q
”为假命题，
求实数
a
的取值范围.
【答案】
a?2

【解析】
试卷第69页，总78页