高中数学导数经典习题

高中数学导数经典习题
导数经典习题

选择题：

1．已知物体做自由落体运动的方程为
s?s(t)?
1
2
gt,
若
?t
无限趋近于0时，
2
s(1??t)?s(1)< br>无限趋近于
9.8ms
，那么正确的说法是（ ）
?t
A．
9.8ms
是在0～1s这一段时间内的平均速度
B．
9.8ms
是在1～（1+
?t
）s这段时间内的速度 C．
9.8ms
是物体从1s到（1+
?t
）s这段时间内的平均速度
D．
9.8ms
是物体在
t?1s
这一时刻的瞬时速度. 2．一个物体的运动方程为
s?1?t?t
2
其中
s
的单位是米 ，
t
的单位是秒，
那么物体在
3
秒末的瞬时速度是（ ）
A．
7
米秒 B．
6
米秒 C．
5
米秒 D．
8
米
秒

3. 若函数f(x)=x
2
+bx+c的图象的顶点在第四象限，则函数f

(x)的图象是
（ ）

y
y
y
y
o x
o
B
x
o x
o x
A
C
D
4．函数
y?f(x)
在一点的导数值为0
是函数
y?f(x)
在这点取极值的（ ）
A．充分条件 B．必要条件
C．充要条件 D．必要非充分条件
5
．
f (x)
与
g(x)
是定义在R上的两个可导函数，若
f(x)
,g(x)
满足
f
'
(x)?g
'
(x)
,则
f(x)
与
g(x)
满足（ ）
A．
f(x)?g(x)
B．
f(x)?g(x)
为常数函数
C．
f(x)?g(x)?0
D．
f(x)?g(x)
为常数函数
6.. 若
f(x)?sin
?
?cosx
,则
f
'
(
?
)
等于（ ）
A．
sin
?
B．
cos
?
C．
sin
?
?cos
?
D．
2sin
?

7. 已知函数
f(x)??x
3
?ax
2
?x?1
在
(??,??)
上是单调函数,则实数
a
的
取值范围是（ ）
A．
(??,?3]?[3,??)
B．
[?3,3]

1 5

高中数学导数经典习题
C．
(??,?3)?(3,??)
D．
(?3,3)

8. 对于
R
上可导的任意函数
f(x)
，若满足
(x?1 )f
'
(x)?0
，则必有（ ）
A．
f(0)?f(2)?2f(1)
B.
f(0)?f(2)?2f(1)

C.
f(0)?f(2)?2f(1)
D.
f(0)?f(2)?2f(1)



填空题：
1．若
f

(1)?2012
，则
lim
f(1??x)?f(1) f(1??x)?f(1)
= ，
lim
= ，
?x?0?x ?0
?x??x
f(1)?f(1??x)f(1?2?x)?f(1)
= ，
lim
= 。
lim
?x?0?x?0
4?x?x

2．函数y=
e
- x
的导数为
1
3. 若函数
f(x)
满足，
f(x)?x
3
?f
?
(1 )?x
2
?x,
则
f
?
(1)
的值
3
4．若
f(x)?x
3
,f
'
(x
0< br>)?3
，则
x
0
的值为________________；
5．曲线
y?x
3
?4x
在点
(1,?3)
处的切线倾斜角为__________；
6．函数
y?x
3
?x
2
?5x?5
的单调递增区间是__________________________。
7. 已知函数
f(x)?ln(x?1)?ax?
1?a
，
x? 1
若曲线
y?f(x)
在点
(1,f(1))
处的切线与直线
l:y??2x?1
平行，则
a
的值
8. 函数
f(x)?x
3
?4x?5
的图像在
x?1
处的切线在 x轴上的截距为
________________。
9．若
f(x)?ax
3
?bx
2
?cx?d(a?0)
在
R
增函数，则
a,b,c
的关系式为
是 。
10. 若函数
f
(
x
)
=x
(
x-c
)
在
x?2
处有极大值，则常数
c
的值为_________；
11. 设函数
f(x)?cos(3x?
?
)(0?
?
?
?
)
，若
f(x)?f
?
(x)
为奇函数，则
?
=______ ____
12. 对正整数
n
，设曲线
y?x
n
(1?x )
在
x?2
处的切线与
y
轴交点的纵坐标为
a
n< br>，
?
a
?
则数列
?
n
?
的前
n
项和的公式是
?
n?1
?

解答题
1 ．求垂直于直线
2x?6y?1?0
并且与曲线
y?x
3
?3x2
?5
相切的直线方程。
2．求函数
y?(x?a)(x?b)(x?c)
的导数。
r
13
r
3．平面向量
a?(3,?1),b?(,)
，若存在不同时为
0
的实数
k
和
t
，使
22
rr
rrrrrr
x?a?(t
2
?3)b,y??ka?tb,
且
x?y< br>，试确定函数
k?f(t)
的单调区间。
4．求函数
y?(1?cos2x)
3
的导数。
2 5
2

高中数学导数经典习题

参考答案
选择题: 1.D 2.C 3.A 4.D 5.B 6.A 7.B 8.C
6. A < br>f
'
(x)?sinx,f
'
(
?
)?sin
?

7. B
f
'
(x)??3x
2
?2a x?1?0
在
(??,??)
恒成立，
??4a
2
?12? 0??3?a?3
(注意等于号)
8.C 当
x?1
时，
f'
(x)?0
，函数
f(x)
在
(1,??)
上是增函 数；当
x?1
时，
f
'
(x)?0
，
f(x)在
(??,1)
上是减函数
故
f(x)
当
x?1时取得最小值，即有
f(0)?f(1),f(2)?f(1),
（注意大于等于
号）得
f(0)?f(2)?2f(1)

填空题:
1. 2012,-2012,-503,4024;
f(1??x)?f(1)
提示:
lim
=
f

(1)
?
2012
;
?x?0
?x
f(1??x)?f(1)f(1??x)?f(1)
=－
l im
= －
f

(1)?
－2012
lim
?x? 0?x?0
??x?x
f(1)?f(1??x)1f(1??x)?f(1)1
=< br>-lim
=
-
f

(1)?
－503
lim
?x?0
4?x4
?x?0
?x4
f(1?2?x)?f(1)f( 1?2?x)?f(1)
= 2
lim
=2
f

(1)?
4048
lim?x?0?x?0
?x2?x
（∵
?x
→0，则2
?x
→0）
2.
-e
-x

3. 0 提示：
f
?
(1)
为常数，
f’ (x)=x
2
－ 2
f
?
(1)
x－１，令ｘ＝１则
f
?
(1)＝１－
2
f
?
(1)
－１,解得
f
?
(1)
＝０
4.
?1

f
'
(x
0
)?3x
0
2
?3,x
0
??1

33
?

y
'
?3x
2
?4,k?y
'
|
x?1
??1,tan
?
??1,
?
?
?

44
55
6.
(??,?),(1,??)

令y
'
?3x
2
?2x?5?0,得x??,或x?1

33
5.
7. 3 提示：
f’ (x)
＝
线与
a1
-
a
＋，∵
y?f(x)
在点
(1,f(1) )
处的切
2
(x?1)
x?1
直线
l:y??2x?1平行，而直线
l:y??2x?1
的斜率为－２，∴
f’
(１)＝－２
3 5

高中数学导数经典习题
f’
(１)＝
a1
＝－２，解得
a
＝３．
-
a
＋
(1?1)
2
1?1
33
8.
?

f
'
(x)?3x
2
?4,f
'
(1)?7,f(1)?10,y?10?7(x?1),y?0时,x??

77
（截距是实数，有正负）
9.
a?0,且b
2
?3ac

f
'
(x)?3ax
2
?2bx?c?0
恒成立，
?
a?0
2
则
?
,a?0,且b?3ac

2
?
??4b?12ac?0
10.
6

f
'
(x)?3x
2
?4cx?c
2
,f
'
(2)?c
2
?8c?12?0,c?2,或6
，
c?2
时取极小< br>值，舍去
?
11.
f
'
(x)??sin(3x ?
?
)(3x?
?
)
'
??3sin(3x?
?< br>)

6

f(x)?f
?
(x)?2cos(3x?
?
?)

3
要使
f(x)?f
?
(x)
为奇函数，需且仅需
??
6
12.
2
n?1
?2

y
?
?
3
?k
?
?
?
2
,k? Z
，
即：
?
?k
?
?
?
,k?Z
。又
0?
?
?
?
，所以
k
只能取
0，从而
?
?
?
6
n?1
?
n?2
?< br>,切线方程为:y?2
n
??2
n?1
?
n?2
?< br>(x?2)
，
x?2
??2
n
。
令
x? 0
，求出切线与
y
轴交点的纵坐标为
y
0
?
?n?1
?
2
n
，所以
2
?
1?2
a< br>n
?
a
?
?2
n
，则数列
?
n?
的前
n
项和
S
n
?
n?1
1?2< br>?
n?1
?
?
?2
n?1
?2



解答题
1. 3x+y+6=0
设切点为
P(a,b)
，函数
y?x
3
?3x
2
?5
的导数为
y
'
?3x
2
?6x

切线的斜率
k?y
'
|
x?a
?3a
2
?6a??3
，得
a??1，代入到
y?x
3
?3x
2
?5

得
b??3
，即
P(?1,?3)
，
y?3??3(x?1),3x?y?6? 0
。
2. 法一：化简在求导 Y=x^3-(a+b+c)x^2+(ab+ac+bc)x-abc
Y′=3x^2-2(a+b+c)x+(ab+ac+bc)
法二;
y
'
?(x?a)
'
(x?b)(x?c)?(x?a)(x?b)
'
(x?c)?(x?a)(x?b)(x?c)
'


?(x?b)(x?c)?(x?a)(x?c)?(x?a)(x?b)

r
r
13
r
r
r
r
b?0,a?2,b?1
3. 解：由
a?(3,?1),b?(,)
得
ag
22
rr
2< br>rr
r
r
2
r
r
r
r
222
[a?(t?3)b]g(?ka?tb)?0,?ka?tagb?k(t?3)agb?t(t?3)b? 0

11
?4k?t
3
?3t?0,k?(t
3
? 3t),f(t)?(t
3
?3t)

44
3333
f'
(t)?t
2
??0,得t??1,或t?1；t
2
??0, 得?1?t?1

4444
所以增区间为
(??,?1),(1,??)；减区间为
(?1,1)
。
4. 解：
y?(1?cos2x)
3
?(2cos
2
x)
3
?8cos
6
x

4 5

高中数学导数经典习题
y
'
?48 cos
5
x?(cosx)
'
?48cos
5
x?(?si nx)

??48sinxcos
5
x
。
附
几种常见的函数导数：
C
'
?0
（
C
为常数）
(sinx)
'
?cosx

(x
n)
'
?nx
n?1
（
n?R
）
(cosx)
'
??sinx


(lnx)
'
?
1

(log
a
x)
'
?
1
log
a
e

x
(e
x
)
'
?e
x

x

(a
x
)
'
?a
x
lna

5 5