高中数学知识点与练习题

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高中数学必修1各章知识点总结
第一章 集合与函数概念
一、集合有关概念
1、集合的含义
2、集合的中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性
3、集合的表示：列举法、描述法（语言描述法）、文氏图
4、常用数集及其记法：
(1)非负整数集（即自然数集）N正整数集N*或 N+
(2)整数集Z
(3)有理数集Q
(4)实数集R
5、集合的分类：
(1)有限集 含有有限个元素的集合
(2)无限集 含有无限个元素的集合
2
(3)空集 不含任何元素的集合 例：{x|x=－5｝

二、集合间的基本关系
1、“包含”关系—子集
2、“相等”关系：A=B
3、不含任何元素的集合叫做空集，记为Φ
4、区分概念：子集、真子集、非空子集、非空真子集
5、几个规定:
(1)空集是任何集合的子集
(2)空集是任何非空集合的真子集
(3)任何一个集合是它本身的子集
(4)如果A?B, B?C,那么A?C
(5)如果A?B同时B?A，那么A=B
nn-1n-1n-2
(6)有n个元素 的集合，有2个子集，2个真子集，2个非空子集，2个非空真子集

三、集合的运算
运算
交 集 并 集 补 集
A
?
A=A
A
?
Φ=Φ
性质 A
?
B=B
?
A
A
?
B
?
A
A
?
B
?
B
四、函数的有关概念
A
?
A=A
A
?
Φ=A
A
?
B=B
?
A
A
?
B
?
Ａ
A
?
B
?
B
(C
u
A)
?
(C
u
B)= C
u
(A
?
B)
(C
u
A)
?
(C
u
B)= C
u
(A
?
B)
A
?
(C
u
A)=U
A
?
(C
u
A)= Φ．

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1、函数的概念:设A、B是非空的数 集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中
的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f (x)和它对应，那么就称f:A→B为从集
合A到集合B的一个函数，记作：y=f(x)，x∈A。
其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函
数值， 函数值的集合{f(x)| x∈A }叫做函数的值域．
(1)定义域：能使函数式有意义的实数x的集合称为函数的定义域。
(2)求函数的定义域时列不等式组的主要依据是：
·分式的分母不等于零；
·偶次方根的被开方数不小于零；
·对数式的真数必须大于零；
·指数、对数式的底必须大于零且不等于1；
·如果函数是由一些基本函数结合而成的,那么其定义域要使的各部分函数都有意义；
·指数为零底不可以等于零；
·实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义。
注：相同函数的判断方法：①表达式相同；②定义域一致
2、值域:先考虑其定义域，然后 通常是根据函数关系的整合来得到其值域，一般的方法有
观察法（简单函数关系）、配方法（二次）、代 换法（分式）。
3、 函数图象知识归纳
(1)定义:在平面直角坐标系中，以函数 y=f(x) , (x∈A)中的x为横坐标，函数值y为纵
坐标的点P(x，y)的集合C，叫做函数 y=f(x),(x ∈A)的图象．C上每一点的坐标(x，y)
均满足函数关系y=f(x)，反过 来，以满足y=f(x)的每一组有序实数对x、y为坐标的点(x，
y)，均在C上 .
(2) 画法:描点法、图象变换法
(3)常用变换方法有三种:平移变换、伸缩变换、对称变换
4、区间的概念
(1)区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间；(2)无穷区间；(3)区间的数轴表示。 5、映射：一般地，设A、B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则f，使对于
集合A中 的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应
f：A
?
B为从集合A到集合B的一个映射。记作“f（对应关系）：A（原象）
?
B（象）”
对于映射f：A→B来说，则应满足：
(1)集合A中的每一个元素，在集合B中都有象，并且象是唯一的；
(2)集合A中不同的元素，在集合B中对应的象可以是同一个；
(3)不要求集合B中的每一个元素在集合A中都有原象。
6、分段函数
(1)在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数
(2)分段函数的定义域是各段定义域的交集，值域是各段值域的并集
7、复合函数
如果y=f(u)(u∈M),u=g(x)(x∈A),则 y=f[g(x)]=F(x)(x∈A) 称为f、g的复合函数。

五、函数的性质
1、函数的单调性(局部性质)

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(1)增函数
设函数y=f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D内的任意 两个自变量x
1
，
x
2
，当x
1
2< br>时，都有f(x
1
)2
)，那么就说f(x)在区间D上是增 函数，区间D称为y=f(x)
的单调增区间；如果对于区间D上的任意两个自变量的值x
1< br>，x
2
，当x
1
2
时，都有f(x
1
)
＞f(x
2
)，那么就说f(x)在这个区间上是减函数，区间D称为y= f(x)的单调减区间。
(2)图象的特点
如果函数y=f(x)在某个区间是增函数或减 函数，那么说函数y=f(x)在这一区间上具有(严
格的)单调性，在单调区间上增函数的图象从左到 右是上升的，减函数的图象从左到右是
下降的。
(3)函数单调区间与单调性的判定方法
A、定义法：任取、作差、变形、定号、下结论；B、图象法
(4)复合函数的单调性
复合函数f[g(x)]的单调性与构成它的函数u=g(x)，y=f(u)的单调性同增异减。
注：函数的单调区间只能是其定义域的子区间 ,不能把单调性相同的区间写成并集。
2、函数的奇偶性（整体性质）
(1)偶函数：f(-x)=f(x)，图象关于y轴对称
(2)奇函数：f(-x)=-f(x)，图象关于原点对称
3、利用定义判断函数奇偶性的步骤：
(1)首先确定函数的定义域，并判断其是否关于原点对称；
(2)确定f(－x)与f(x)的关系；
(3)作出相应结论：若f(－x) = f(x)，则是偶函数；若f(－x) =－f(x)，则是奇函数。
注意：函数定义域关于原点对称 是函数具有奇偶性的必要条件。首先看函数的定义域是否
关于原点对称，若不对称则函数是非奇非偶函数 。
4、函数的解析表达式包括了对应法则和其定义域。
5、函数最值
(1)二次函数的性质（配方法）(2)图象(3)函数单调性的
6、函数极值
( 1)如果函数y=f(x)在区间[a，b]上单调递增，在区间[b，c]上单调递减则函数y=f(x)在< br>x=b处有极大值f(b)；
(2)如果函数y=f(x)在区间[a，b]上单调递减，在区 间[b，c]上单调递增则函数y=f(x)在
x=b处有极小值f(b)。
第二章 基本初等函数
一、指数函数
1、指数函数
(1)根式：一般地，如果
x ?a
，那么
x
叫做
a
的
n
次方根，其中
n
>1，且
n
∈
N
．
负数没有偶次方根；0的任何次方根都是0，记作
n
0?0
。
*< br>n
注：当
n
是奇数时，
n
a
n
?a
，当
n
是偶数时，
a?|a|?
?
n
n
?
a(a?0)

?
?a(a?0)

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2、分数指数幂
正数的分数指数幂的意义，规定：
a
m
n
?a(a?0,m,n?N,n?1)
，
a
n
m*
?< br>m
n
?
1
a
m
n
?
1
n< br>a
m
(a?0,m,n?N
*
,n?1)

注：0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义。
3、实数指数幂的运算性质
rsr+s
(1)a·a=a (a>0,r,s∈R)
rsrs
(2)(a)=a(a>0,r,s∈R)
rrr
(3)( ab)=ab(a>0,r,s∈R)
x
4、指数函数的概念：一般地，函数
y?a( a?0,且a?1)
叫做指数函数，其中x是自变
量，函数的定义域为R。
注意：指数函数的底数的取值范围，底数不能是负数、零和1。
5、指数函数的图象和性质
a>1
6
06
55
44
33
22
1
1
1
1
-4-2
0
-1
246-4 -2

0
-1
246

定义域 R 定义域 R
值域y＞0 值域y＞0
在R上单调递增 在R上单调递减
非奇非偶函数 非奇非偶函数
函数图象都过定点（0，1） 函数图象都过定点（0，1）
x
注意 ：（1）在[a，b]上，
f(x)?a(a?0且a?1)
值域是
[f(a),f( b)]
或
[f(b),f(a)]
；
（2）若
x?0
，则
f(x)?1
；
f(x)
取遍所有正数当且仅当
x?R
；
x
（3）对于指数函数
f(x)?a(a?0且a?1)
，总有
f( 1)?a
；

二、对数函数
1、对数的概念：一般地，如果
a? N
(a?0,a?1)
，那么数
x
叫做以
．
a
为底
．．
N
的对数，
记作：
x?log
a
N
（
a
为底数，
N
为真数，
log
a
N
为对数 式）
x
2、底数的限制
a?0
，且
a?1
；
a? N?log
a
N?x
；注意对数的书写格式。
x
3、常用对数lgN（以10 为底）；自然对数lnN（以无理数e=2.71828…为底）
4、指数式与对数式的互化:
a
＝ N
?
log
a
N
＝ b
三、对数的运算性质
如 果
a?0
，且
a?1
，
M?0
，
N?0
， 那么：
(1)
log
a
(M
·
N)?
loga
M
＋
log
a
N
；
b

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(2)
loga
M
?
log
a
M
－
log
a
N
；
N
n
(3)
log
a
M
?nlog
a
M

(n?R)
。
换底公式
log
a
b?
log
c
b
（
a?0
，且
a?1
；
c?0
，且
c?1
；
b?0
）。
log
c
a
1
n
。 log
a
b
；(2)
log
a
b?
logb
a
m
利用换底公式推导下面的结论 (1)
log
a
m
b
n
?

四、对数函数
1、对数函数的概念：函数
y?log
a
x(a?0
，且
a ?1)
叫做对数函数，其中
x
是自变量，
函数的定义域是（0，+∞）。
注意：(1) 对数函数的定义与指数函数类似，都是形式定义，注意辨别。如
y?2log< br>2
x
，
y?log
5
x
都不是对数函数，而只能称其为对数型函数。
5
(2) 对数函数对底数的限制：
(a?0
，且
a?1)
．
2、对数函数的性质：
a>1
3
2.5
2
03
2.5
2
1.5
1.5
1
-1
1
1
1
1
0.5
0.5
0
-0.5
1
23 45678
-1
0
1
-0.5
1
2345678
- 1
-1
-1.5
-1.5
-2
-2
-2.5

-2.5

定义域x＞0
值域为R
在R上递增
函数图象都过定点（1，0）

定义域x＞0
值域为R
在R上递减
函数图象都过定点（1，0）
五、幂函数
a
1、幂函数定义：一般地，形如y=x(a∈R)的函数称为幂函数，其中a为常数．
2、幂函数性质归纳．
(1)所有的幂函数在（0，+∞）都有定义并且图象都过点（1，1）；
(2)a>0时， 幂函数的图象通过原点，并且在区间
[0,??)
上是增函数．特别地，当a>1时，
幂函数的图象下凸；当0(3)a<0时，幂函数的图象在区间(0,??)
上是减函数．在第一象限内，当
x
从右边趋向原
点时，图象 在
y
轴右方无限地逼近
y
轴正半轴，当
x
趋于
??
时，图象在
x
轴上方无限地

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逼近
x
轴正半轴．
第三章 函数的应用
一、方程的根与函数的零点
1、函数零点的概念：对于函数
y?f(x)(x?D)
，把使
f(x)?0
成立的实数
x
叫做函数
y?f(x)( x?D)
的零点。
2、函数零点的意义：函数
y?f(x)
的零点就是方程
f(x)?0
实数根，亦即函数
y?f(x)
的图象与
x
轴 交点的横坐标。即：方程
f(x)?0
有实数根
?
函数
y?f(x)
的图象与
x
轴
有交点
?
函数
y?f(x)
有零点。
3、函数零点的求法：
(1)（代数法）求方程
f(x)?0
的实数根；
(2)（几何法）对于不 能用求根公式的方程，可以利用函数
y?f(x)
的图象找出零点。
4、二次函数的零点：
2
二次函数
y?ax?bx?c(a?0)
．
2
(1)△ ＞０，方程
ax?bx?c?0
有两不等实根，图象与
x
轴有两个交点，函数 有两个零
点；
2
(2)△＝０，方程
ax?bx?c?0
有两相等 实根，图象与
x
轴有一个交点，函数有一个二
重零点；
2
(3)△ ＜０，方程
ax?bx?c?0
无实根，图象与
x
轴无交点，函数无零点。















第一章习题：

1、下列四组对象，能构成集合的是（ ）
A．某班所有高个子的学生 B.著名的艺术家
C．一切很大的书 D.倒数等于它自身的实数

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2、集合{a，b，c，d，e，f，g }的真子集共有 个。


2
3、若集合M={y|y=x-2x+1,x
?
R},N={x|x≥0} ，则M与N的关系是 .


4、设集合A={x|1?
B，则a的取值范围是


5、50名学生做的物理、化学两种实验，已知物理实验做得正确得有40人，化学实验做得
正 确得有31人，两种实验都做错得有4人，则这两种实验都做对的有 人。


6、用描述法表示图中阴影部分的点（含边界上的点）组成的集合M= .









2222
7、已知集合A={x| x+2x-8=0}, B={x| x-5x+6=0}, C={x| x-mx+m-19=0}, 若B∩C≠Φ，
A∩C=Φ，求m的值








第二章习题
1.求下列函数的定义域：

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⑴
y?
x
2
?2x?15
⑵
y?1?(
x?1
)
2

x?1
x?3?3



2.设函数
f(x)的定义域为
[0，1]
，则函数
f(x
2
)
的定义域为 _ _ 。



3.若函数
f(x? 1)
的定义域为
[?2，3]
，则函数
f(2x?1)
的定义域是 。




?
x?2(x??1)
4.函数f(x)?
?
x
2
(?1?x?2)
，若
f(x)?3
，则
x
= 。
?
?
2x(x?2)
?




5.求下列函数的值域：
⑴
y?x
2
?2x?3

(x?R)
⑵
y?x
2
?2x?3

x?[1,2]






(3)
y?x?1?2x
(4)
y??x
2
?4x?5





6.已知函数
f(x?1)?x
2
?4x
，求函数
f(x)
，
f(2x?1)
的解析式。

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7.已知函数
f(x)
满足
2f(x)?f(?x)?3x?4
，则
f(x)
= 。



8.设
f(x)
是R上的奇函数，且当
x?[0,??)
时,
f(x)?x(1?
3
x)
,则当
x ?(??,0)
时
f(x)
= ，
f(x)
在R上的解析式为 。




9.求下列函数的单调区间：
⑴
y?x
2
?2x?3
⑵
y??x
2
?2x?3
⑶
y?x
2
?6x?1






10.判断函数
y??x
3
?1
的单调性并证明你的结论。






11.设函数
f(x)?< br>1?x
2
判断它的奇偶性并且求证：
f()??f(x)
。
x
1?x




2
1
第三章习题

1、 已知a>0，a


0，画出函数y=a与y=log
a
(-x)的大致图象。
x

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2、计算：
log
3
2
?
log
27
64
;
2
4?log
2
3
= ；
25
1
log
5
3
27?2log
5
2
= ;
= 。
1
7
?
1
?
40.064
3
?(?)
0
?[(?2)
3
]
3
?16
?0.75
?0.01
2
8




3、函数y=log
1
(2x-3x+1)的递减区间为 。
2
2


4、若函数
f(x)?log
ax(0?a?1)
在区间
[a,2a]
上的最大值是最小值的3倍，则a= 。


5、已知
f(x)?log
a
值范围

1?x
（1）求
f(x)
的定义域（2）求使
f(x)?0
的
x
的取
(a?0且a?1)
，
1?x