高中数学必修2第一章-高中数学预科班材料
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高考模拟试题压轴大题选编(四)
1.(广东省中山五中2010届高三第四次月考)
2
3
x2?x
2
?f(x)
, 1.已知
f(x)
?x?2x?cx?4
,
g(x)?e?e
3
(1)若f(x)在
x
?1?2
处取得极值,试求c的值和f(x)的单调增区间;
(2)如右图所示,若函数y?f(x)
的图象在
[a,b]
连续光滑,试猜想拉
'
日中值
定理:即一定存在
c?(a,b),
使得
f(c)?
?
(用含有a,b,f(a),f(b)的表达式直接回答)
(3)利用(2)证明:函数y=g(x)图象上任意两点的连线斜率不小于2e-4.
2. 已知函数
f
?
x
?
?x
2
,g?
x
?
?x?1
.
(1)若
?x?R
使f
?
x
?
?b?g
?
x
?
,求实数<
br>b
的取值范围;
(2)设
F
?
x
?
?f<
br>?
x
?
?mg
?
x
?
?1?m?m
2
,且
F
?
x
?
在
?
0,1
?<
br>上单调递增,求实数
m
的取值范围.
1.解:(1)
f(x)?2x?4x?c
,………1分
'
依题意,有
f(1?
格朗
'2
2)?0
,即
c??2(1?2)
2
?4(1?2)??2
.……………2分
?
f(x)?
'
2
3
x?2x
2
?2x?4
,
f
'
(x)?2x
2
?4x?2
.
3
令f(x)?0,
得
x?1?2或x?1?2
,……………4分
从而f(
x)的单调增区间为:
(??,1?2]及[1?
(2)
f(c)?
'
2,??)
;……………5分
f(b)?f(a)
;……………8分
b
?a
x2?x
(3)
g(x)?e?e?f(x)?
?e
x
?e
2?x
?
2
3
x?2x
2
?2x?4
,…………9分
3
g
'
(x)?
e
x
?e
2?x
?2x
2
?4x?2
……………10分
2
e2
2
x
e
?e?
x
?2(x?1)?4
?2e
?
x
?2?0?4?2e?4.
………12分
e
e
x由(2)知,对于函数y=g(x)图象上任意两点A、B,在A、B之间一定存在一点
C(c,g
(c))
,使得
g(c)?K
AB
,
又
g(x)?2e?4
,故有
K
AB
?g(c)?2e?4
,证毕.………14分
2.解:(1)由
?x?R
,
所以,
??
''
''
f
?
x
?
?bg
?
x
?
,得
?
x?R
,
x
2
?bx?b?0
,……………1分
2
?
?b
?
?4b?0
解得b?0或b?4
;……………4分
(2)由题设得
F
对称轴方
程为
x?
?
x
?
?x
2
?mx?1?m
2
,……………5分
m
222
,
??m?41?m?5m?4
。……………7分
2
??
由于
F
?
x
?
在
?
0,
1
?
上单调递增,则有
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m
?
?
2
?0
2525
时,有
?
2525
(Ⅰ)当
??0
即
??m?
??m?
55
?
5
?
5
(Ⅱ)当
??0
即
m??
解得?
25
?m?0
。……………9分
5
2525
时,设方程<
br>F
?
x
?
?0
的根为
x
1
,x2
?
x
1
?x
2
?
,
或m?
55
①
?
m2?1,
25m5
若
m?
,则,有
?
?
2
525
?
x
1
?0?F(0)?1?m?0.
解得
m?2
;……………11分
②
?
?
x?x
?0?m?0
12
?
?
2
?xx?1?m?0??1?m?1
?
25m5
12?0
若
m??
,即,有
x
1?0,x
2
?0
;
?
??
525
?
m??
25
?
5
?
25
25
?1?m??
或m?2
。 。……………13分由①②得
解得?1?m??
5
5
综合(Ⅰ), (Ⅱ)有
?1?m?0或m?2
.……………14分
2.(广东省东华高级中学2010届高三上学期摸底考试)
1.已知
f(x)?<
br>2x?a
(x?R)
在区间
[?1,1]
上是增函数
2x?2
1
的两个非零实根为
x
1
,x
2
。
x
(I)求实数
a
的取值范围;
(II)记实数
a
的取值范围为集合A,且设关于
x
的方程
f(x)?
①求
|x1
?x
2
|
的最大值;
2
②试问:是否存在实数m,
使得不等式
m?tm?1?|x
1
?x
2
|
对
?a
?A
及
t?[?1,1]
恒成立?若存在,求m的取
值范围;若不存在,请说
明理由.
2. 设
M?10a?81a?207
,
P?a?2<
br>,Q=
26?2a
;若将
lgM
,
lgQ
,
lgP
适当排序后可构成公差为1的等差
数列
{a
n
}
的前
三项
(I)在使得
lgM
,
lgQ
,
lgP
有意
义的条件下,试比较
M,P,Q
的大小;
(II)求
a
的值及数列
{a
n
}
的通项; 2
(III)记函数
f(x)?a
n
x?2a
n?1
x
?a
n?2
(n?N*)
的图象在
x
轴上截得的线段长为
b
n
,设
2
1
T
n
.
T
n
?(b
1
b
2
?bb
2
?????b
n?
b
n
)
,求
31
4
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?2(x
2
?ax?2)
1.解:(1)
f
?<
br>(x)?
……………………………………………1分
(x
2
?2)
2
f(x)
在
[?1,1]
上是增函数
?f
?
(x)?0
即
x
2
?ax?2?0
,在
x?[
?1,1]
恒成立 …………① …………3分
设
?
(x)?x?ax?2
,则由①得
2
?
?
?
(1)?1?a?2?0
解得
?1?a?1
?
?
(?1)?1?a?2?0
所以,
a
的取值范围为
[?1,1].
……………………………………………
…………6分
(2)由(1)可知
A?{a|?1?a?1}
由
f(x)?
12x?a1
即
2
?
得
x
2
?ax?2?0
xx?2x
??a
2
?8?0
?x
1
,x
2
是方程
x
2
?ax?2?0
的两个非零实根
?x
1
?x
2
?a
,
x
1
x
2
??2
,又由
(1)?1?a?1
|x<
br>1
?x
2
|?(x
1
?x
2
)?4x
1
x
2
?
?
2
a
2
?8?3
……………………………9分
2
于是要使
m?tm?1?|x
1
?x
2
|
对?a?A
及
t?[?1,1]
恒成立
即
m?tm?1?3即
m?tm?2?0
对
?t?[?1,1]
恒成立
………②………11分
设
g(t)?m?tm?2?mt?(m?2)
,则由②得
22
22
?
g(?1)?m
2
?m?2?0
?
?
解得
m?2
或
m??2
2
?
?
g(1)?m?m?2?0
故存在实数
m?(??,?2)(2,??
)
满足题设条件…………………………14分
?
M?10a
2
?8
1a?207?0
?
2解:(1)由
?
P?a?2?0
得
?
2?a?13
……………2分
?
Q?26?2a?0
?
M?Q?1
0a
2
?83a?181?0(?
1
?0)
………………………3分
M?P?10a
2
?80a?205?0(?
2
?0)
……
…………………4分
?M?Q
,
M?P
又当
?2?a?13
时,
P?Q??24?3a
,
当?2?a?8
时,即
P?Q
,则
P?Q?M
………………………
5分
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当
a?8
时,
P?Q
,则
P?Q?M
当
8?a?13
时,
P?Q
,则
Q?P?M
?
26?2a?10(a?2)
?
lgP?1?lgQ
?
10P
?Q
?
?
(2)依题
?
即
?
2
?
lgM?1?lgQ
?
M?10Q
?
10a?81a?207?1
0(26?2a)
解得
a?
(3)
1
,从而
a
n<
br>?lgP?(n?1)?1?n?2lg2
………………………9分
2
2a<
br>n?1
?a
1
?a
n?2
,设
f(x)
与<
br>x
轴交点为
(x
1
,0),(x
2
,0)
?
当
f(x)
=0时有
(x?1)(a
n
x?a<
br>n?2
)?0
?x
1
?1,x
2
??a
n?2
a?2
??
n
………………………………………11分
a
n
a
n
a
n
?2
2
|?
a
n
|a
n
|
2
a
n?b
n
?|x
1
?x
2
|?|?1?
又
a
n
?n?2lg2?0
,
?b
n
?
?b
n?1
b
n
?
2211
??4(?)
a
n?1
a
n
a
n?1
a
n
?(
11?)]
a
n?1
a
n
11111
?T
n
??4[(?)?(?)?
4a
1
a
2
a
2<
br>a
3
?
1111n?1
????
…………14分
a
1
a1?2lg2n?2lg2?(12lng?2)(2lg2)
n
3.(上海市十三校201
0届高三第一次联考)
a2
x
?a
2
?2
(x?R,x?
0)
,其中a为常数,且
a?0.
1已知函数
f(x)?
x
2?1
(1)若
f(x)
是奇函数,求a的取值集合A;
(2)当a=-1时,设<
br>f(x)
的反函数为
f
求
g(1)
的取值集合B。
(3)对于问题(1)(2)中的A、B,当
a?{a|a?0,a?A,a?B}
时,不等式
x?10x?9?a(x?4)
恒成立,求x的取值范围。
2. 已知函数
f(x)?kx?m,当x?[a
1
,b
1
]
时,
f(x)
的值域为
[a
2
,b
2
]
,当
x?[a
2
,b
2
]
2
?1
(x)
,且函数
y?g(x)
的图像与
y?f
?1(x?1)
的图像关于
y?x
对称,
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时,
f(x)
的值域为
[a
3
,b
3<
br>]
,依次类推,一般地,当
x?[a
n?1
,b
n?1
]
时,
f(x)
的值域为
[a
n
,b
n
]
,其中k、m为常数,且
a
1
?0,b
1
?1.
(1)若k=1,求数列
{a
n
},{b
n
}
的通项公式;
(2)项m=2,问是否存在常数
k?0
,使得数列
{b
n<
br>}
满足
limb
n
?4?
若存在,求k的值;若不存在,请说
明理由;
n??
(3)若
k?0
,设数列
{a
n<
br>},{b
n
}
的前n项和分别为S
n
,T
n
,求
(T
1
?T
2
???T
2
010
)?(S
1
?S
2
???S
2010
)。
1.解:(1)由必要条件
f(?1)?f(1)?0得a
2
?a?
2?0,a?0,
所以a=-1, 下面
证充分性,当a=-1时,
f(x)?
1?2
x
1?2
x
,
任取
x?0,x?R
,
f(?x)?f(x)?
1?2?x
1?2
?x
?
1?2
x
1?2
x
?
2
x
?1
2
x
?1
?
1?2
x
1?2
x
?0
恒成立, 由A={-1}。
一,当a=-1时
,由
y?f(x)?
1?2
x
1?2
x
得x?log
y?1
2
y?1
,
互换x,y得
f
?
1
(x)?log
x?1x
2
x?1
,
则
f
?1
(x?1)?log
2
x?2
,
y?g(x)?
?2
x?1
从而
2
x
?1
所以
g(1)??4,
即B={-4}
法二、当a=-1时,由
f(x)?
1?2
x
1?2
x
由y?f
?1
(x?1)得,
x?1?f(y),x?f(y)?1,
互换x,y得
y?g(x)?f(x)?1?
?2
x?1
2
x
?1
…………8分
所以
g(1)??4
即B={-4} (3)原问题转
g(a)?(x?4
)a?(x
2
?10x?9)?0,a?{a|a?0,a??1,a??4}
恒成立,则
?
?
x?4?0
?
x?
g(0)
或
?
4?0
则x的取值范围为[,4]。
?
?0
?
g(0)?0
2解:(1)因为
f(x)?x?m,当x?[a
n?1
,b
n?1
]时,f(x)为单调增函数,
所以其值域为
[a
n?1
?m,b
n?1
?m]
…………2分
于是
a?a?m,b
*
nn?1n
?b
n?
1
?m(n?N,n?2)
…………4分
又
a
1
?0,
b
1
?1,所以a
n
?(n?1)m,b
n
?1?(n?1
)m.
…………6分
(2)法
化为
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(2)因为
f(
x)?x?mf(x)?kx?m(k?0),当x?[a
n?1
,b
n?1
]时,f(x)为单调增函数
所以
f(x)的值域为[ka
n?1
?m,kb
n?1
?m],因m?2,则b
n
?kb
n?1
?2(n?2)
……8分
法一:假设存在常数
k?0
,使得数列
{
b
n
}满足limb
n
?4,则limb
n
?klimb<
br>n?1
?2
,得
4?4k?2,则k?
n??n??n??
1
符
2
合。 …………12分
n??
法二:假设存在常数k>0,
使得数列
{b
n
}
满足
limb
n
?4.
当k=1不符合。……9分
当
k?1时,b
n
?kb
n?
1
?2(n?2)?b
n
?
则
b
n
?(1?
22
?k(b
n?1
?)(n?2)
,
k?1k?1
…………11分
…………12分
22
)k
n?1
?,
k?1k?1
21
当
0
?k?1时,limb
n
??4,得k?符合.
n??
1?k2
(3)因为
k?0,当x?[a
n?1
,b
n?1
]时,f(x)为单调减函数,
所以
f(x)
的值域为
[kb
n?1
?m,ka
n?1
?m]
*
于是
a
n
?kb
n?1
?m,b
n
?
ka
n?1
?m(n?N,n?2)
…………13分
…………14分
则
b
n
?a
n
??k(b
n?1
?a
n?1
)
又
b
1
?a
1
?1
?
i,(k??1)
?
则有
T
i
?S
i
?
?
1?(?
k)
i
,(k?0,k??1)
?
?
1?k
进而有
…………16分
?
2021055,(k??1)
?
(T
1
?T
2
???T
2010
)?(S
1
?S
2
???S
2010
)?
?
2010?2011k?k
2
011
,(k?0,k??1)
?
(1?k)
2
?
4.(湖南省四市九校2010届高三第一次联考试题)
已知数列的相邻两项是关于的方程
N
的两根,且.
(I)求证: 数列
(III)问是否存在常数
是等比数列;
(II)设
,使得
是数列的前项和,求
.
对任意N都成立,若存在,
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求出的取值范围; 若不存在,请说明
.
(*)对任意N都成立
理
即
由
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5.雅礼中学2010届高三月考卷(四)
设
a?0
,函数
f(x)?x?a|lnx?1|
(1)当
a?1
时,求曲线
y?f(x)
在
x?1
处的切线
方程;
(2)当
a?3
时,求函数
f(x)
的单调性;
(3)当
x?[1,??)
时,求函数
f(x)
的最小值。
2
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w.w.w.k.s.5.u.c.o.m1.1.1
东
6东北师大附中
1.已知函数
f(x)?ax?b1?x
2
(x?0),g
(x)?2
b(1?x
2
)
,且
g(0)?2
,
f(3)?2?3
.
(Ⅰ)求
g(x)
的值域
(Ⅱ)指
出函数
f(x)
的单调性(不需证明),并求解关于实数
m
的不等式
f(m?m)?f(3m?4)
;
(Ⅲ)定义在
R
上的函数
h(x
)
满足
h(x?2)??h(x),h(?x)??h(x)
,且当
0?x?
1
时
h(x)?
2
1
g(x)
[log
2
?f(x)],
求
2
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br>方程
h(x)??
1
在区间
[0,2009]
上的解的个数.
2
2
2.已知
f(x)?x?1,g(x)?10(x?1),
各项
均为正数的数列
{a
n
}
满足
a
1
?2
,
(a
n?1
?a
n
)?g(a
n
)?f(a
n
)?0
,
b
n
?
9
(n?2)(a
n
?1)
.
10
(Ⅰ)求证:数列
{a
n
?1}
是等比数列;
(Ⅱ)当
n
取何值时,
b
n
取最大值,并求出最大值; <
br>t
m
t
m?1
*
(Ⅲ)若对任意
m?N
恒成
立,求实数
t
的取值范围.
?
b
m
b
m?11.解:(Ⅰ)由
f(3)?2?3,g(0)?2
得
3a?2b?2?3,2<
br> 解得,
a??1,b?1
.
?f(x)?1?x
2
?x
,
g(x)?2
1?x
2
b
?2
,
<
br>?1?x
2
?1,?1?x
2
?1,?2
?g(x)
的值域为
[2,??)
;
1?x
2
?2
(Ⅱ)
函数
f(x)
在
?
0,??
?
是减函数,所以,
m
?m?3m?4?0
,
2
解得,
m?
4
,m?2
,
3
所以,不等式的解集为
[,2)?(2,??)
;
(Ⅲ)当0?x?1
时,
h(x)?
4
3
11
x
,?
当
?1?x?0
时,
h(x)??h(?x)?x
,
22
?h(x)?
1
x,?1?x?1
2
1
(x?2)
2
当
1?x?3
时,<
br>?1?x?2?1
,
?h(x)??h(x?2)??
?
1
x
,?1?x?1,
?
?
2
故
h(x)?
?
1
?
?(x?2),1?x?3.
?
?
2
由
h(
x)??,
得
x??1
∵
h(x?2)??h(x),?h(x?
4)??h(x?2)??[?h(x)]?h(x)
,
?
h(x)
是以4为
周期的周期函数,故
h(x)??
的所有解是
x?4n?1(n?Z)
, <
br>令
0?4n?1?2009
,则
1
2
1
2
1
1005
?n?
42
1
在
?
0,2009
?
上共有502个解.
2
而
n?Z,
∴
1?n?502(n?Z)
,∴
h
(x)??
2
2 解:(I)∵
(a
n?1
?a
n
)g(a
n
)?f(a
n
)?0
,
f(a
n
)?a
n
?1
,
g(a
n
)?10(a
n
?1)
,
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2
∴
(a
n?1
?a
n
)10(an
?1)?(a
n
?1)?0
. 即
(a
n
?
1)(10a
n?1
?9a
n
?1)?0
.
*
又
a
n
?1?0,n?N
,所以
a
n?1
?
91
a
n
?
.
1010
91
a
n
??1
a?1
10
9
10
??
,
∵
n?1
a
n
?1a
n
?110
∴
{a
n
?1}
是以
a
1
?1?1
为首项,公比为
(II)由(I)可知
a
n
?1?(
9
的等比数列.
10
9
n?1
.
)
(
n?N
*
)
10
99
∴
b
n
?(n?2)(a
n
?1)?(n?2)()
n
.
10
10
9
(n?3)()
n?1
b
91
10
n?1
??(1?)
.
9
b
n
n?2
(
n?2)()
n
10
10
当n=7时,
b
8
?1
,
b
8
?b
7
;
b
7
b
n?1
?1
,
b
n?1
?b
n
;
b<
br>n
b
n?1
?1
,
b
n?1
?b
n
.
b
n
当n<7时,
当n>7时,
∴
b1
?b
2
???b
7
?b
8
?b
9<
br>?b
10
??
9
8
?
当n=7或n=8时
,
b
n
取最大值,最大值为
b
7
?b
8
?
7
.
10
110t
t
m
t
m?1
m
?]?0
(*) (III)由,得
t[
?
m?
29(m?3)
b
m
b
m?1
依题意(*)式对任意
m?N
恒成立,
当t=0时,(*)式显然不成立,因此t=0不合题意.
②当t<0时
,由
*
110t
??0
,可知
t
m
?0
(
m?N
*
).
m?29(m?3)
m
而当m是偶数时t?0
,因此t<0不合题意.
③当t>0时,由
t?0
(
m?N
),
∴
m*
110t9(m?3)
*
?<0
∴
t?
. (
m?N
)
m?29(m?3)10(m?2)
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设
h(m)?
9(m?3)
*
(
m?N
)
10(m?2)
9(m?4)9(m?3)91
??0
, =
??
10(m?3)10(m?2)10(m?2)(m?3)
.∴
h(m)
的最
大值为
h(1)?
∵
h(m?1)?h(m)?
∴
h(1)?h(2
)??h(m?1)?h(m)?
6
.
5
所以实数
t
的取值范围是
t?
6
.
5
7(江西师大附中、临川一中、南昌三中2010届高三联考文科)
1.已知函数
f(x)?ax
3
?
11
2
x?2ax?b(a,b?R)
32
(1)试求函数
f(x)
的单调递增区间;
(2)
若函数
f(x)
在
x?2
处有极值,且
f(x)
图象与直线
y?4x
有三个公共点,求
b
的取值范围.
2.已知数列
{a
n
}
中,
a
1
?2
,对于任意的
p,
q?N
*
,有
a
p?q
?a
p
?a
q
(1)求数列
{a
n
}
的通项公式;
(2)若数列
{b
n
}
满足:
a
n
?
b
b1
bb
?
2
2
?
3
3
?
4<
br>4
?
2?12?12?12?1
?(?1)
n?1
b
n
(n?N
*
)
求数列
{b
n
}
的通项公
式;
n
2?1
(3)设
C
n
?3
n
?<
br>?
b
n
(n?N
*
)
,是否存在实数
?,当
n?N
*
时,
C
n?1
?C
n
恒
成立,若存在,求实数
?
的取值范围,若
不存在,请说明理由.
1.(1)
f'(x)?ax
2
?x?2a
…………(1分)
当
a?0
时,
f'(x)??x?0?x?0
…………(2分)
1?1?8a
2
当
a?0
时,
??1?
8a?0
,方程
f'(x)?0
有不相等的两根为
x
1
,x
2
?
2a
2
…………(3分)
1?1?8a
2
1?1?8a
2
或
x?
……(4分)
1?
当
a?0
时,
f'(x)?0?x?
2
a2a
1?1?8a
2
1?1?8a
2
?x?
…………(5分)
2?
当
a?0
时,
f'(x)?0?
2
a2a
综上:当
a?0
时,
f(x)
在
(??,0)
上递增
1?1?8a
2
1?1?8a
2
)
、
(
,??)
上递增 当
a?0
时,
f(x)
在
(??,
2a2a
1?1?8a
2
1?1?8a
2
,)
上递增
……(6分) 当
a?0
时,
f(x)
在
(
2a2a
(2)∵
f(x)
在
x?2
处有极值,∴
f'(2)?0
,∴
a?1
…………(7分)
11
令
g(x)?f(x)
?4x?x
3
?x
2
?6x?b
32
2
∴
g
?
(x)?x?x?6?0?x??2或3
…………(8分)
g
?
(x)?0?x??2或x?3
g
?
(x)?0??2?x?3
∴
g(x)
在<
br>x??2
处有极大值,在
x?3
处有极小值 …………(9分)
要使
f(x)
图象与
y?4x
有三个公共点
?
g(?2)?0
则
?
…………(11分)
g
(3)?0
?
??
2227
2227
,即
b
的取值
范围为
(?,)
…………(12分)
?b?
32
32
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2.(1)取p=n,q=1,则
a
n?1
?a
n
?a1
?a
n
?2
…………(2分)
∴
a
n?1
?a
n
?2
(
n?N
*
)
∴
{a
n
}
是公差为2,首项为2的等差数列
∴
a
n
?2n
…………(4分)
bbbbb
(2)∵
1
1
?
2
2
?
33
?
4
4
??(?1)
n?1
n
n
?
a
n
(n≥1)
①
2?12?12?12?12?1
b
?1
bb
∴
1
1
?
2
2
??(?1)n?2
n?
n
?a
n?1
(n≥2)
②
2?12?12
1
?1
b
①-②得:
(?1)
n?1
n
n
?2(n≥2)
…………(5分)
2?1
bn
?(?1)
n?1
(2
n?1
?2)(n≥2)
…………(6分)
b
当
n?1
时,
a
1
?
1
∴
b
1
?6
满足上式 …………(7分)
3
n?1
n?1
∴
b
n
?(?1)(2?2)(n?N
*
)
…………(8分)
(3)
C
n
?3
n
?(?1)
n?1
(2
n?1
?2)?
?
假设存在
?
,使
C
n?1
?C
n
(n?N
*
)
3
n?1
?(?1)
n
(2
n?2
?2)?
?
?3
n
?(?1)
n?1
(2
n?1<
br>?2)?
?
[(?1)
n
(2
n?2
?2
)?(?1)
n?1
(2
n?1
?2)]?
?
?3
n
?3
n?1
??2?3
n
(?1)
n
(3?2
n?1
?4)?
?
??2?3
n
…………(9分)
当
n
为正偶函数时,
(3?2
n?1
?
4)
?
??2?3
n
恒成立
3
n
1
?
?(?)?(?)
max
2<
br>n
1
n
max
3?2
n
?2
3?()?2?
()
33
19
)
max
??
当
n?2
时
(?
21
14
3?()
n
?2()
n
33
9
∴
?
??
…………(11分)
14<
br>当
n
为正奇数时,
?(3?2
n?1
?4)?
???2?3
n
恒成立
3
n
1
)?()
∴<
br>?
?(
min
2
n
1
n
min
3?
2
n
?2
3?()?2()
33
13
]
min?
当
n?1
时
[
21
8
3()
n<
br>?2()
n
33
3
∴
?
?
…………(13分)
8
93
综上,存在实数
?
,且
??(?,)
…………(14分)
148
8.(江西师大附中、临川一中、南昌三中2010届高三联考理科)
1.<
br>已知函数
f(x)?
1
x
2
2
(1)求实数
a
的取值范围;
?3lnx?(a?6)x
在
[3,??)
上是增函数.
1
(2)在(1)的结论下,设
g(x)?|e
x
?a|?a
2
,<
br>x?[0,ln3]
,求函数
g(x)
最小值.
2
2.数列
?
a
n
}
满足
a
1
??1
,a
n?1
?
(1)求
?
a
n
}
通项公
式
a
n
;
(3n?3)a
n
?4n?6
. n
3
n?1
(2)令
b
n
?
,数列
{
b
n
}
前
n
项和为
S
n
,
a
n
?2
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S
S
2
S
3
??????
n
)
;
23n
4
(3)证明:
b
n?1
?b
n?2
?????b
2n
?
.
5
3
1.解(1)
f<
br>?
(x)?x??(a?6)≥0
对
x?[3,??)
恒成立…………
…1分
x
33
∴
a≥6?(x?)
又
g(x)?x?
在
x?[3,??)
为单调递增函数
xx
3
∴
x??3?1?4
∴
a≥2
…………………………………5分
x
1
(2)设
t?e
x
,
R(t)?|t?a|?a
2
t?[1,3]
2
2
求证:当
n?2
时,
S
n
?2(
1
2
?
?t?a?a1≤t?a
?<
br>?
2
当
2≤a≤3
时,
R(t)?
?
<
br>1
?
t?a?a
2
a≤t?3
?
?2
1∴
R(t)
最小值为
R(a)?a
2
………………………………
………9分
2
1
当
a?3
时,
R(t)??t?a?a<
br>2
,
2
1
∴
R(t)
最小值为
R(3)?
a?3?a
2
………………………………12分
2
1
综上,当2≤a≤3
时,
g(x)
最小值为
a
2
,
2
1
当
a?3
时,
g(x)
最小值为
a?3?a2
2
2.解(1)
na
n?1
?3(n?1)an
?4n?6
,两边同除以
n(n?1)
得:
a
n?
1
aa
4n?4?262
?3?
n
??3?
n
??
n?1nn(n?1)nnn?1
a
n?1
?2a?2
?
3?(
n
)
n?1n
a
1
?2
?
a?2
?
∴
?
n
?1
,公比
q?3
的等
比数列………………4分
?
是首项为
1
?
n
?
a
?2
n?1
∴
n
?3
n
∴
a
n
?n?3
n?1
?2
∴
(2)
b
n
?
11
1
,当
n?2
时,
b
n
?S
n
?S
n?1
?
,
S
n
??S
n?1
………………5分
nn
n
2
S
n
1
22
两边平方得:
S
n
?S
n?
2
?1
?
nn
2S
n?1
122
S
n
?S??
?1n?2
n?1(n?1)2
22
S
n?2
?S
n?3
?
2S
n
?2
1
?
n?2(n?2)
2
……
2S
2
1
?
2
22
SS
S111
2
相加得:
S
n
?1?2(
2
?
3
?????
n
)?(
2
?
2
?????
2
)
23n23n
2
S
2
?S
12
?
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又
1?(
111111
??????)?1?[??????]
<
br>222
23n1?22?3n(n?1)
111111
?1?(1??????
???)??0
223n?1nn
SS
S
2
∴
S
n
?2(
2
?
3
?????
n
)
…………………………………………9分
23n
(3)(数学归纳法)
当
n?1,2
时,显然成立
11141
当
n?2
时,证明加强的不等式
????????n?1n?22n52n?1
11141
假设当
n?k(k?2)
时命题
成立,即
????????
k?1k?22k52k?1
则当
n?k?1
时
1114111
??????????
k?2k?32k?252k?12
k?12k?2
4141
????
52k?252k?3
∴当n?k?1
时命题成立,故原不等式成立……………………14分
9.(西南师大附中高2010级第四次月考)
1. 已知曲线C:
f(x)?x<
br>2
上的点A、A
n
的横坐标分别为1和
a
n
(n?1
,2,3,)
,且a
1
=5,数列{x
n
}满足x
n+1
= tf (x
n
–
1
1) + 1(t > 0且
t
?,t?1
).设区间
D
n
?[1,a
n
](a
n
?1)
,当
x
n
?D
n
时,曲线C上存在点
P
n
(x
n
,f(x
n
))
使得x
n<
br>的值
2
与直线AA
n
的斜率之半相等.
(1)
证明:
{1?log
t
(x
n
?1)}
是等比数列;
(2) 当
D
n?1
?
D
n
对一切
n?N
*
恒成立时,求t的取值范围;
(3) 记数列{a
n
}的前n项和为S<
br>n
,当
t?
1
时,试比较S
n
与n +
7的大小,并证明你的结论.
4
2
a
n
?1a?1
,即x
n
?
n
?1.
解:(1) ∵由已知得 ∴
2x
n
?
a
n
?12
2
由
x
n?1
?tf(x
n
?1)?1,得x
n?1
?1?t(x
n
?1
)
∴
log
t
(x
n?1
?1)?1?2log
t
(x
n
?1),
即
log
t
(x
n?1
?1)?1?2[log
t
(x
n
?1)?1].
∴
{log
t
(x
n
?1)?1}
是首项为
log
t
2+1为首项,公比为2的等比数列. ····· 4分
n?1
1
(2) 由(1)得
log
t
(
x
n
?1)?1
=(
log
t
2+1)·2
n-1
,∴
x
n
?1?(2t)
2
t
2
2
n?1
从而a
n
=2x
n
-1=1+
(2t)
,由D
n+1
?
D
n
,得a
n+1
n
,即
(2t)
2
?(2t)
2
.
t
1
∴0<2t<1,即0
·············
··················································
····· 9分
2
1
1
(3)
当
t?
时,
a
n
?1?8()
2
<
br>2
4
11
2
1
4
1
2
n?1
∴
S
n
?n?8[?()?()?
?
?()]
2222
nn?1
n?1
不难证明:当n≤3时,2
n-1
≤n+1
;当n≥4时,2
n-1
>n+1.
∴当n≤3时,
S
n
?n?8[?()?()]?n?
1
2
1
2
2
1
2
4
13
?n?7;
2
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111111
当n≥4时,
S
n
?n?8[?()
2
?(
)
4
?()
5
?()
6
??()
n?1
]
222222
1
?n?7?()
n?2
?n?7.
2
综上所述,对任意的
n?N*,都有S
n
?n?7.
····································· 13分
10.(上海师大附中2010届高三上学期期中考试)
已知函数
f(x)?log
a
(1?x)?log
a
(1?x)(a?0且a?1)
(1)讨论
f(x)
的奇偶性与单调性;
(2)若不等式
|f(x)|?2
的解集为
{x|?
(3)(文)设
f(x)
的反函数为
f
(理)设
f(x)
的反函数为
f
(1)?
?
?1
?1
11
?x?},求a
的值;
2
2
?1
(x)
,若关于
x
的不等式
f
?1
(x)?m(m?
R)有解,求
m
的取值范围.
(x)
,若
f
1
(1)?
,解关于
x
的不等式
f
?1
(x)?m(m?
R).
3
?
1?x?0
,?f(x)
定义域为
x?(?1,1);f(x)
为奇函数;
?
1?x?0
1?x
,
1?x
?
f(x)?lo
g
2
①当
a?1
时,在定义域内为增函数;
②当
0?a?1
时,在定义域内为减函数;
(2)①当
a?1
时,∵
f(x)
在定义域内为增函数且为奇函数,
1
?命题?f()?1,得log
a
3?2,?a?3
;
2
②当
0?a?1时,?f(x)
在定义域内为减函数且为奇函数,
113
?命题?f(?)?1,得log
a
?2,?a?
;
233
(3)(文)
f
?1
(x)
的值域为
?
?1,1
?
,关于
x
的不等式
f
?1
(
x)?m(m?
R)有解的充要条件是
m??1
(理)
?y?lo
g
a
1?x1?x
?a
y
??a
y
?1?x(a<
br>y
?1)
1?x1?x
a
y
?1a
x?1
?1
?x?
y
,?f(x)?
x
(x?
R
);
a?1a?1
?1
f
?1
)1(?,
11a1?
???2,a?
33a1?
2
x
?1
?f(x)?x
?m
,
?2
x
(1?m)?1?m
;
2?1
①当
m?1
时,不等式解集为
x?
R;
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1?m1?m
②当?1?m?1
时,得
2
x
?
,不等式的解集为
{x|x
?log
2
}
;
1?m1?m
③当
m??1,x??
11.(上海市格致中学2010届高三上学期期中考试)
f(x)?a?
已知函数
b
(x?0)
|x|
。
(1)若函数
f(x)
是
(0,??)
上的增函数,求实数
b
的取值范围;
(2)当
b?2
时,若不等式
f(x)?x
在区间
(1,??)
上恒成立,求实数
a
的取值范围;
(3
)对于函数
g(x)
若存在区间
[m,n](m?n)
,使
x?[m
,n]
时,函数
g(x)
的值域也是
[m,n]
,则称
g(
x)
是
[m,n]
上的闭函数。若函数
f(x)
是某区间上的闭函数
,试探求
a,b
应满足的条件。
解:(1)
当
x?(0,??)
时,
设
f(x)?a?
b
x
x
1
,x
2
?(0,??)
且
x
1
?x
2
f(x
1
)?f(x
2
)
,由
f
(x)
是
(0,??)
上的增函数,则 2分
f(x
1
)?f(x
2
)?
由
b(x
1
?x
2
)
?0
x
1
x
2
3分
知
x
1
?x
2
,
x
1
,x
2
?(0,??)x
1
?x
2
?0,x
1x
2
?0
,所以
b?0
,即
b?(0,??)
5分
(2)当
b?2
时,
f(x)?a?
2
2?x
a?x?
|x|
x
6分
在
x?(1,??)
上恒成立,即
x?
因为
22
?22x?
xx
即
x?2
时取等号,
,当
x?
8分
2?(1,??)
,所以
2
x<
br>在
x?(1,??)
上的最小值为
22
。则
a?22
10分
f(x)?a?
(3)因为
11分
①若
0?m?n
b
|x|
的定义域是
(??,0
)(0,??)
,设
f(x)
是区间
[m,n]
上的闭函数,则mn?0
且
b?0
当
b?0
时,
f(x)?a??
f(m)?m
b
?
|x|
是
(0,??)
上
的增函数,则
?
f(n)?n
,
a?
所以方
程
2
b
?x
x
在
(0,??)
上有两不等实根,
即
x?ax?b?0
在
(0,??)
上有两不等实根,所以
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?
a
2
?4b?0
?
?
x
1
?x
2
?a?0
?
x?x?b?0
?
12
,即
a?0,b?0
且
a?4b?0
13分
2
?
f(m)?n
b?b
f(x)?a??a?
?
f(n)?m,即
(0,??)
|x|x
当
b?0
时,在上递减,则
?
b
?
a??n
?
?
a?0
?
m
?
??
b
?
a??m
?
mn??b
?
n
?
,所以
a?0,b?0
14分
②若
m?n?0
当
b?0
时,
f(x)?a?<
br>?
f(m)?n
bb
?a?
?
|x|x
是
(
??,0)
上的减函数,所以
?
f(n)?m
,即
b
?<
br>a??n
?
?
a?0
?
m
?
??
b
?
a??m
?
mn?b
?
n
?
,所以a?0,b?0
15分
?
f(m)?m
bb
b
f(
x)?a??a?
?
a??x
|x|x
是
(??,0)
上的
增函数,所以
?
f(n)?n
所以方程
x
当
b?0
在
(??,0)
上有两不等实
根,即
x?ax?b?0
在
(
??,0)
上有两不等实根,
2
所以
?
a
2
?4
b?0
?
?
x
1
?x
2
?a?0
?
x?x??b?0
?
12
即
a?0,b?0
且
a?4b?
0
2
2
17分
2
综上知:
a?0,b?0或
a?0,b?0
且
a?4b?0
或
a?0,b?0
且
a?4b?0
。
2
a
a?0,b?0
ab?0
即
:或且
?4|b|?0
12.(广东省六所名校2010届高三第三次联考)
如果对于函数
f(x)
的定义域内任意的
x
1
,x
2
,都有
|f(x
1
)?f(x
2
)|?|x
1<
br>?x
2
|
成立,那么就称函数
f(x)
是定义域
上的
“平缓函数”.
(1)判断函数
f(x)?x
2
?x
,
x
?[0,1]
是否是“平缓函数”;
(2)若函数
f(x)
是闭区间
[0,1]
上的“平缓函数”,且
f(0)?f(1)
.证明:对于任意
的
x
1
,x
2
?
[0,1]
,都有
|f(
x
1
)?f(x
2
)|?
1
成立.
2
(
3)设
a
、
m
为实常数,
m?0
.若
f(x)?a
lnx
是区间
[m,??)
上的“平缓函数”,试估计
a
的取值范围
(用
m
表示,不必证明).
....
已知数列
{an
}
的前
n
项和
S
n
?
3
(
a
n
?1)
,
n?N
?
.
2
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(1)求
{a
n
}
的通项公式;
(2)设
n?<
br>N
+
,集合
A
n
?{y|y?a
i
,i?n
,i?N
?
}
,
B?{y|y?4m?1,m?N
?
}.现在集合
A
n
中随机取一个元
素
y
,记
y?
B
的概率为
p(n)
,求
p(n)
的表达式.
解:(1)因为
S
n
?
3
3
(a
n
?1)
,
n?N
?
,所以
S
n?1
?(a
n?1
?1)
.
2
2
33
两式相减,得
S
n?
1
?S
n
?(a
n?1
?a
n
)
,即a
n?1
?(a
n?1
?a
n
)
,
22
∴
a
n?1
?3a
n
,
n?N
?.…………………………3分
又
S
1
?
33
(a1
?1)
,即
a
1
?(a
1
?1)
,
所以
a
1
?3
.
22
∴
{a
n
}
是首项为3,公比为3的等比数列. 从而
{a
n
}
的通项公式是
a
n
?3
n
,
n?N
?
.………………………6分
(2)设
y?a
i
?3
i
?A
n
,
i?n
,
n?
N
?
.
当
i?2k
,
k?N
?
时, <
br>0k1k?1k?1k
8?C
k
8?
…
?C
k
8?C
k
∵
y?3
2k
?9
k
?(8?1)k
?C
k
0k?11k?2k?1
8?C
k
8?
…
?C
k
)?1
,∴
y?B
.
………………………9分
?4?2(C
k
当
i?2k?1
,
k?N
?
时,
?2k?1
0k?11k?2
?C
k
?
…
?C
k
k
?
∵
y?3
2
k?1
?3?(8?1)
k?1
?3?(C
k?1
8
?1<
br>8
1
8?C
k?1
)
0k?21k?3?2
?C
k
?
…
?C
k
k
?
?4?6(C
k?1
8
?1
8
1
)?3
,∴y?B
.…………………12分
又∵集合
A
n
含
n
个元素,
?
1
?
2
, n
为偶数
,
∴在集合
A
n
中随机取一个元素
y
,有
y?B
的
概率
p(n)?
?
.……………………14分
n?1
?
, n
为奇数
.
2n
?
证明:(1)对于任意的
x
1
,x
2
?
[0,1]
,
有
?1?x
1
?x
2
?1?1
,
|x
1
?x
2
?1|?1
.…………………………2分
22
?x
1
)?(x<
br>2
?x
2
)|?|x
1
?x
2
||x
1
?x
2
?1|?|x
1
?x
2
|
.
从而
|f(x
1
)?f(x
2
)|?|(x
1
∴函
数
f(x)?x
2
?x
,
x?[0,1]
是“平缓函数”.
………………………4分
1
1
(2)当
|x
1
?x
2
|?
时,由已知得
|f(x
1
)?f(x
2
)
|?|x
1
?x
2
|?
; ……………6分
2
2
当
|x
1
?x
2
|?
11
时,因为
x
1
,x
2
?
[0,1]
,不妨设
0?x
1
?x
2
?1
,其中
x
2
?x
1
?
,
22
因为
f(0)?f(1)
,所以
|f(x1
)?f(x
2
)|?
|f(x
1
)?f(0)?f(
1)?f(x
2
)|
11
?|f(x
1
)?f(
0)|?|f(1)?f(x
2
)|?|x
1
?0|?|1?x
2<
br>|?x
1
?x
2
?1
???1?
.
22<
br>1
故对于任意的
x
1
,x
2
?
[0,1]<
br>,都有
|f(x
1
)?f(x
2
)|?
成立.
………………………10分
2
(3)结合函数
f(x)?alnx
的图象性
质及其在点
x?m
处的切线斜率,估计
a
的取值范围是闭区间
[?m
,m]
.…………………………(注:只需直接给出正确结
13.(吉林一中高三第四次“教与学”质量检测)
设函数
f(x)?xe
kx
(k?0)
(1)求曲线
y?f(x)
在点
(0,f(0))
处的切线方程;
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(2)求函数
f(x)
的单调区间;
(3)若函数
f(x)
在区间
(?1,1)
内单调递增,求
k
的取值范围.
(Ⅰ)f
'
?
x
?
?
?
1?kx
?
e
kx
,f
'
?
0
?
?1,f
?
0
?
?0
,
曲线
y?f(x)
在点
(0,f(0))
处的切线方程为
y?x
.
…………3分
(Ⅱ)由
f
'
?
x
?
?
?
1?kx
?
e
kx
?0
,得
x??
1
?<
br>k?0
?
,
k
1
??
若
k?0
,
则当
x?
?
??,?
?
时,
f
'
?
x
?
?0
,函数
f
?
x
?
单调递减,
k
??
?
1
?
当
x?
?
?,??
,
?
时,
f
'
?
x
?
?0
,函数
f
?
x
?
单调递增,
………6分
?k
?
1
??
若
k?0
,则当
x?
?<
br>??,?
?
时,
f
'
?
x
?
?0<
br>,函数
f
?
x
?
单调递增,
k
??
?
1
?
当
x?
?
?
,??,
?
时,
f
'
?
x
?
?0
,函数
f
?
x
?
单调递减,
…………9分
?
k
?
(Ⅲ)由(Ⅱ)知,若
k?0
,则当且仅当
?1
??1
,
k
即
k?1
时,函数
f
?
x
??
?1,1
?
内单调递增,
若
k?0
,则当且仅当
?
1
?1
,
k<
br>即
k??1
时,函数
f
?
x
??
?1,1<
br>?
内单调递增,
综上可知,函数
f
?
x
??
?1,1
?
内单调递增时,
k
的取值范围是
?
?1,0
?
14.(万州二中高三12月考试数学试题(理)
?
0,1
?
.
…………12分 (也可用恒成立解决)
<
br>x
2
?a
(b,c?N)
有对于函数
f
(
x
),若存在
x
0
∈R,使
f
(
x
0
)=
x
0
成立,则称
x
0
为
f
(
x
)的不动点。如果函数
f(x)?
bx?c
且只有两个不动点0,2,且
f(?2)??
⑴求函数
f
(
x
)的解析式;
⑵
已知各项不为零的数列
{a
n
}满足4S
n
?f(
1
.
2
1
)?1
(
S
n
为
{a
n
}
数列前n项和),求数列通项
a
n
;
an
⑶如果数列
{a
n
}
满足
a
1
?4
,a
n?1
?f(a
n
),
,求证:当
n?2
时,
恒有
a
n
?3
成立.
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c
?
2?0??,
?
2
?
1?b
⑴
依题意有
x?a
?x
,化简为
(1?b)x
2
?cx?a?0,
由fnh 达定理, 得
?
bx?c
?
2?0?
a
,
?
1?b
?
?
a?0,
?
解得
?
c
,
……………2分
b?1?
?
2
?
x
2
代入表达式
f(x)?
,由
f(?2)?
?2
??
1
,
c
1?c2
(1?)x?c
2
得
c?3,又c?N,b?N,若c?0,b?1,则f(x)?x
,不满足题意
x
2
,(x?1).
………………4分
?c?2,b?2,故f(x)?
2(x?1)
1
()
2
a
n
2
?1得:2S
n
?a
n
?a
n
,
(*) ⑵由题设得
4S
n
?
1
2(?1)
a
n
2
且
a
n
?1,以n?1代n得:2S
n?1
?a
n?1
?a
n?1
(**)
………………6分
由(*)与(**)两式相减得:
22
2a<
br>n
?(a
n
?a
n?1
)?(a
n
?a
n?1
),即(a
n
?a
n?1
)(a
n<
br>?a
n?1
?1)?0,
2
?a
n
??a
n?1
或a
n
?a
n?1
??1,以n?1代入(*)得:
2a
1
?a
1
?a
1
,
解得
a
1
?0
(舍去)或
a
1
??1
,由
a1
??1
,若
a
n
??a
n?1
得a
2
?1,
这与
a
n
?1
矛盾,
?a
n?a
n?1
??1
,即{
a
n
}
是
以
-1为首项,-1为公差的等差数列,
?a
n
??n
. ……8分
⑶采用反证法,假设
a
n
?3(n?2),
则由(I)知
a
n?1
?
2
a
n
?f(a
n
)
?
2a
n
?2
a
n?1
a
n
11113<
br>???(1?)?(1?)??1,即a
n?1
?a
n
(n?2,n?
N)
,
a
n
2(a
n
?1)2a
n
?1
224
2
a
168
1
有
a
n
?a
n?1
?
?
?a
2
,而当
n?2时,a
2
????3;?a
n
?3,
2a
1
?28?23
这与假设矛盾,故假设不成立.
∴
a
n
<3
……………12分
15.(南开中学高2010级高三12月月考试卷)
已知二次函数f(x)?ax?bx
(
a,b
为常数且
a?0
)满足
f(1?x)?f(1?x),
且方程
f(x)?x
有等根.
(1)求
f(x)
的解析式;
(2)设
g(x)?1?2f(x)(x?1
)
的反函数为
g(x),
若
g(2)?m(3?2)
对
x?
[1,2]
恒成立,求实数
m
的取值范
围.
?1?12xx
2
a
n
2
a
n?1
2
[x]
表示不超过
x
的最大整数,正项数列
{a
n
}
满足
a
1
?1,
?1.
22
a
n?1
?a
n
(1)求数列
{a
n
}
的通项公式
a
n
;
(2)求证:
a
2
2
?a
3
2
?…?a<
br>n
2
?
1
[log
2
n](n?2);
2
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(3)已知数列{a
n
}
的前
n
项和为
S
n
,
求证:当
n?2
时,有
S
2
1
n
??2(
S
1
?
S
2
?
S
3
?…
?
S
n
2
123n
)?log
2
a
n.
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