高中数学选修三缸二-惠州高中数学版本
高中数学数列试题精选以及详细答案
【例1】
求出下列各数列的一个通项公式
13579
(1),,,,,?
48163264
2468
(2),,,,?
3183563
1111
(3)?,,?,,?
3815
24
1925
(4),2,,8,?
222
解 (1)所给出数
列前5项的分子组成奇数列,其通项公式为2n-1,而前
5项的分母所组成的数列的通项公式为2×2
n
,所以,已知数列的
通项公式为:a
n
=
2n?1
.
2
n+
1
(2)从所给数列的前四项可知,每一项的分子组成偶数列,其通项公式为
2n,而分母组成
的数列3,15,35,63,?可以变形为1×3,3×5,5×7,7
×9,?即每一项可以看成序
号n的(2n-1)与2n+1的积,也即(2n-1)(2n+1),
因此,所给数列的通项公式为:
2n
a
n
?.
(2n?1)(2n?1)
(3)
从所给数列的前5项可知,每一项的分子都是1,而分母所组成的数列
3,8,15,24,35,?可
变形为1×3,2×4,3×5,4×6,5×7,?,即每一
项可以看成序号n与n+2的积,也即n
(n+2).各项的符号,奇数项为负,偶
数项为正.因此,所给数列的通项公式为:
a
n
?(?1)
n
·
1
.
n(
n?2)
1491625
(4)所给数列可改写为,,,,,?分子组成的数列为
<
br>22222
1,4,9,16,25,?是序号n的平方即n
2
,分母均为2.
因此所
n
2
给数列的通项公式为a
n
=.
2
【例2】 求出下列各数列的一个通项公式.
(1)2,0,2,0,2,?
111
(2)1,0,,0,,0,,0,?
357
(3)7,77,777,7777,77777,?
(4)0.2,0.22,0.222,0.2222,0.22222,?
解 (1)所
给数列可改写为1+1,-1+1,1+1,-1+1,?可以看作数
列1,-1,1,-1,?的各项
都加1,因此所给数的通项公式a
n
=(-1)
n+1
+1.
所给数列亦可看作2,0,2,0?周期性变化,因此所给数列的
?
2
通项
公式a
n
=
?
?
0
(n为奇数)
(n为偶数)这一题说明了数列的通项公式不唯一.
111101
(2)所给数列1,0,,
0,,0,,?可以改写成,,,
357123
0101
,,,?分母组成
的数列为1,2,3,4,5,6,7,?是自然
4567
数列n,分子组成的数列为1,0,
1,0,1,0,?可以看作是2,
1(?1)
n?1
?1
0,2,0,2
,0,?的每一项的构成为,因此所给数列的通
22
(?1)
n?1
?1
项公式为a
n
?.
2n
7
(3)所给数列7,77,
777,7777,77777,?可以改写成×9,
9
77777
×99
,×999,×9999,×99999?,可以看作×(10-1),
99999
7777<
br>×(100-1),×(1000-1),×(10000-1),×(100000-1),?
9999
7
因此所给数列的通项公式为a
n
= (10
n<
br>-1).
9
(4)所给数列0.2,0.22,0.222,0.2222,0.222
22,?可以改写
22222
成×0.9,×0.99,×0.999,×0.9999,×
0.99999,?可以看
99999
22222
作×(1-0.1),×(1-0.
01),×(1-0.001),×(1-0.0001),×
99999
21(1-0.00001),?因此所给数列的通式公式为a
n
=(1?
n
).
9
10
说明
1.用归纳法写出数列的一个通
项公式,体现了由特殊到一般的思维规
律.对于项的结构比较复杂的数列,可将其分成几个部分分别考虑
,然后将它
们按运算规律结合起来.
2.对于常见的一些数列的通项公式(如:自然数列,a
n
=n;自然数的平方
数列,a
n
=n
2
;奇数数
列,a
n
=2n-1;偶数数列,a
n
=2n;
1
倒数数
列,a
n
=)要很熟悉,由联想将较复杂的数列通过合理的转化归
n
纳出数列的通项公式.
3.要掌握对数列各项的同加、同减、同乘以某一个不等于
零的数的变形
方法,将其转化为常见的一些数列.
【例3】
已知数列2,5,22,11,?则25是这个数列的第
几项.
解 由所给数列
的前4项2,5,22,11可归纳得通项公式为a
n
=3n?1.此时运用方程的思想问题转
化为25?3n?1解关于正整数n
的方程,解得n=7,即25是该数列的第7项.
【例4】 已知下面各数列{a
n
}的前n项和S
n
的公式,求数列的通项公
式.
(1)S
n
=2n
2
-3n
(2)S
n
=n
2
+1
(3)S
n
=2
n
+3
(4)S
n
=(-1)
n+1
·n
解
(1)当n=1时,a
1
=S
1
=-1;
当n≥2时,a
n
=S
n
-S
n-1
=(2n
2
-3n)-[2(
n-1)
2
-3(n-1)]=4n-5,由于
a
1
也适合此等式,
因此a
n
=4n-5.
(2)当n=1时,a
1
=S
1
=1+1=2;
当n≥2
时,a
n
=S
n
-S
n-1
=n
2
+1-
[(n-1)
2
+1]=2n-1,由于a
1
不适合
于此等式,
n=1
?
2
因此,a
n
=
?
n≥2且n∈N*.
?
2n?1
(3)当n=1时,a
1
=S
1
=2+3=5;
当n≥2
时,a
n
=S
n
-S
n-1
=2
n
+3-
(2
n-1
+3)=2
n-1
,由于a
1
不适合于此
等式,
n=1
?
5
因此,a
n
=
?
n?1
2 n≥2且n∈N*.
?
(4)当n=1时,a
1
=S
1
=(-1)
2
·
1=1;
当n≥2时,a
n
=S
n
-S
n-1
=
(-1)
n+1
·n-(-1)
n
·(n-1)=(-1)
n+1<
br>(2n-1),
由于a
1
也适可于此等式,因此a
n
=(-1
)
n+1
(2n-1),n∈N*.
说明 已知S
n
求a
n
时,要先分n=1和n≥2两种情况分别进行计算,然
后验证能否统一.
【例5】 已知a
n
=a
n?1
+
(1)写出数列的前5项;
(2)求a
n
.
1
(n≥2),a
1
=1,
n(n?1)
1
解
(1)由已知a
n
=a
n?1
+ (n≥2),a
1
=1得
n(n?1)
13
a
2
=1??
2·(2?1)
2
319?15
a
3
=???
23·263
51
a
4
=??
34·3
71
a
5
=??
45·
4
51217
???
312124
71369
???420205
2n?11
a
n
?(或a
n
?2?)
nn
(2)由第(1)小题中前5项不难求出.
【例6】 数列{a
n
}中,a
1
=1,对所有的
n≥2,都有a
1
·a
2
·a
3
·?·a
n
=n
2
.
(1)求a
3
+a
5
;
(2)
256
是此数列中的项吗?
225
解 由已知:
a
1
·a
2
·a
3
·?·a
n
=n
2
得
a
1
·a
2
·a
3
·??·a<
br>n
a
n
?
a
1
·a
2
·a
3
·??·a
n?1
n
2
a
n
?
2
,n≥2.
(n?1)
由于a
1
=1不适合于此等式.因此
(n≥
2,n∈N*)
?
1
?
a
n
=
?<
br>n
2
?
(n?1)
2
,
?
n=1
n≥2且n∈N*
3
2
5
2
61
(1)
a
3
+a
5
=
2
?
2
?
1624
256n
2
(2)令?,解方程可得n=16
225(n?1)
2
256
∵n=16∈N*,∴是此数列的第16项.
225
说明 (1)“知和求差”、“知积求商”是数列中常用的基本方法.
(2)运用方程思想求n,若n∈N*,则n是此数列中的项,反之,则不是此
数列中的项.
【例7】 已知数a
n
=(a
2
-1)(n
3
-
2n)(a=≠±1)是递增数列,试确定a的
取值范围.
解法一
∵数列{a
n
}是递增数列,∴a
n+1
>a
n
a
n+1
-a
n
=(a
2
-1)[(n+1)
3<
br>-2(n+1)]-(a
2
-1)(n
3
-2n)
=(a<
br>2
-1)[(n+1)
3
-2(n+1)-n
3
+2n]
=(a
2
-1)(3n
2
+3n-1)
∵(a
2
-1)(3n
2
+3n-1)>0
又∵n∈N*,∴3n
2
+3n-1=3n(n+1)-1>0
∴a
2
-1>0,解得a<-1或a>1.
解法二
∵{a
n
}是递增数列,∴a
1
<a
2
即:
(a
2
-1)(1-2)<(a
2
-1)(8-4)
化简得 a
2
-1>0
∴a<-1或a>1
说明
本题从函数的观点出发,利用递增数列这一已知条件,将求取值范
围的问题转化为解不等式的问题
一、选择题(8×5=40分)
1.(2009?四川南充一模)在等比数列{an}中,若
a5a6=3π2,则sin(a4a7)
等于 ( )
A.12 B.0
C.1 D.-1
答案:D
解析:由等比数列性质,知a4?a7=a5?a6=3π2.所以sin(a4?a7)=-1. <
br>2.若a、b、c是互不相等的实数,且a、b、c成等差数列,c、a、b成等比
数列,则a?
b?c等于 ( )
A.(-2):?1:4
B.1:2:3
C.2:3:4 D.(-1):1:3
答案:A
解析:因为2b=a+c,a2=ac,故a?b?c=(-2)?1?4,故选A.
3.若
抛物线x2=2py(p>0)上三点的横坐标的平方成等差数列,那么这三点
到焦点的距离
( )
A.成等差数列
B.成等比数列
C.既不成等差也不成等比数列
D.常数列
答案:A
4.△ABC三边为a、b、c,若1a,1b,1c成等差数列,则边b所对的角为 ( )
A.锐角 B.钝角
C.直角 D.不好确定
答案:A
解析:∵1a,1b,1c成等差数列,∴2b=1a+1c.
使用特殊值法,不妨设a=b=c=1,
则b边所对的角为π3,
∴△ABC为锐角三角形.
∴选A.
5.(2009?重庆,5)设{an}是公
差不为0的等差数列,a1=2且a1,a3,a6
成等比数列,则{an}的前n项和Sn=
( )
A.n24+7n4 B.n23+5n3
C.n22+3n4
D.n2+n
答案:A
解析:由题意知设等差数列公差为d,则
a1=2,a3=2+2d,a6=2+5d.又
∵a1,a3,a6成等比数列,∴a23=a1a6
,即(2+2d)2=2(2+5d),整理得
2d2-d=0.
∵d≠0,∴d=12,∴Sn=na1+n(n-1)2d=n24+74n.故选A.
6
.(2009?陕西,12)设曲线y=xn+1(n∈N*)在点(1,1)处的切线与x轴的交
点的
横坐标为xn,则x1?x2???xn等于 ( )
A.1n
B.1n+1 +1 D.1
答案:B
解析:∵f′(x)=(n+1)xn,f(x
)在点(1,1)处的切线斜率k=n+1,则切线
方程:
y-1=(n+1)(x-1),
令y=0,∴切线与x轴交点的横坐标xn=nn+1,∴
x1?x2???xn=12×23×?×n
n+1=1n+1,故选B.
7.“神七”飞天,举国欢庆.据科学计算,运载“神舟七号”飞船的“
长征
二号”系列火箭,在点火1分钟通过的路程为2km,以后每分钟通过的路程
增加2km,
在到达离地面240km的高度时,火箭与飞船分离,则这一过程大
约需要的时间是 ( )
A.10分钟B.13分钟C.15分钟D.20分钟
答案:C
解析:依题意知,
a1=2,n≥2时,an-an-1=2,由等差数列求和公式可
得,240=2n+n(n-1)2
×2,解之得,n=15,(n=-16舍去),故选C.
8.(2010
?广东湛江高三月考试题)设△ABC的三内角A、B、C成等差数列,
sinA、sinB、sinC
成等比数列,则这个三角形的形状为 ( )
A.等腰直角三角形
B.等边三角形
C.直角三角形 D.钝角三角形
答案:B
解析:∵A、B、C成等差,∴2B=A+C,又∵A+B+C=π,∴B=π3,
又∵sinA、sinB、sinC成等比,∴sin2B=sinAsinC,即b2=ac,
又∵cosB=a2+c2-b22ac=a2+c2-ac2ac=12
∴(a-c)2=0,∴a=c,又B=π3,∴此三角形为等边三角形,故选B.
二、填空题(4×5=20分)
9.一工厂生产了某种产品16800件,它们来自甲、乙、
丙3条生产线.为检
查这批产品的质量,决定采用分层抽样的方法进行抽样.已知从甲、乙、丙
3条生产线抽取的个体数组成一个等差数列,则乙生产线生产了________件
产品.
答案:5600
解析:设甲、乙分别生产了a-d,a,a+d件,则a-d+a+a+d=
3a=16800.
∴a=5600.
10.(2009?浙江温州)已知等差数列{an}
中,a3=7,a6=16,将此等差数列
的各项排成如下三角形数阵:
则此数阵中第20行从左到右的第10个数是________.
答案:598
解析:因为1+2+3+?+19+10=(1+19)?19
2+10=200.所以此数阵中第
20行从左到右的第10个数是a200,又∵a3=7,a6=1
6,可求得:d=3,a1
=1,∴a200=1+199×3=598.
11.(2009
?陕西西安名校一模)若数列{an}(n∈N*)是等差数列,则数列bn=
a1+a2+?+ann
也为等差数列,类比上述性质,若数列{cn}是等比数列,
且cn>0(n∈N*),则有dn=__
______也是等比数列.
答案:nc1?c2?c3???cn
解析:由等差数列,等
比数列的区别用类比推理可推得:dn=nc1?c2?c3??
?cn也是等比数列.
12
.方程f(x)=x的根称为函数f(x)的不动点,若函数f(x)=xa(x+2)有唯
一不动点,
且x1=1000,xn+1=1f(1xn)(n∈N*),则x2011=________.
答案:2005
解析:由xa(x+2)=x,得x1=0,x2=1-2aa,
∵x1=x2,∴a=12,∴f(x)=2xx+2,
∴xn+1=1xn+22xn=1+2xn2=xn+12,
∴xn=x1+12(n-1),
∴x2011=1000+12(2011-1)=2005.
三、解答题(3×10=30分)
13.设两个方程x2-ax+1=0,x2-bx+1=
0的四个根组成以2为公比的等
比数列,求ab的值.
分析:根据
四个根成等比数列,可先恰当设出四个根,再由方程中的常数项
同时为1,判断出哪两项对应哪个方程的
两个根,然后用韦达定理得出根与
系数的关系,从而求出ab的值.
解答:设以2为公比,成等比数列的四个根依次为t,2t,4t,8t(t≠0).
∵两方程x2-ax+1=0,x2-bx+1=0的常数项同为1,
∴只有t?8t=12t?4t=1时才有解,此时t2=18,
∴t,8t是其中一个方程
的两根,2t,4t是另一方程的两根,不妨设t,8t是
x2-ax+1=0的两根,2t,4t是x
2-bx+1=0的两根,
则t+8t=a2t+4t=b即a=9tb=6t,
∴ab=54t2=274.
总结评述:等差、等比数列可与函数、方程,不等式、复数、三
角等内容进
行综合应用,而在求成等差、等比数列的几个数时,必须注意设元的技巧,
如成等差
数列的三个数可设为:a-d,a,a+d,成等比数列的三个数可设为
aq-1,a,aq,从而简化
运算.
14.(2007?上海,18)近年来,太阳能技术运用的步伐日益加快.2002年全球<
br>太阳电池的年生产量达到670兆瓦,年生产量的增长率为34%.以后四年中,
年生产量的增长
率逐年递增2%(如2003年的年生产量的增长率为36%).
(1)求2006年全球太阳电池的年生产量(结果精确到0.1兆瓦);
(2)目前太阳电
池产业存在的主要问题是市场安装量远小于生产量,2006年
的实际安装量为1420兆瓦.假设以后
若干年内太阳电池的年生产量的增长率
保持在42%,到2010年,要使年安装量与年生产量基本持平
(即年安装量不
少于年生产量的95%),这四年中太阳电池的年安装量的平
均增长率至少应达
到多少(结果精确到0.1%)?
解析:(1)由已知得2003,200
4,2005,2006年太阳电池的年生产量的增长率依
次为36%,38%,40%,42%. <
br>则2006年全球太阳电池的年生产量为670×1.36×1.38×1.40×1.42≈
2
499.8(兆瓦).
(2)设太阳电池的年安装量的平均增长率为x,则1420(1+x)424
99.8(1+
42%)4≥95%.
解得x≥0.615.
因此,这四年中太阳电池的年安装量的平均增长率至少应达到61.5%.
15.已知a1=
2,点(an,an+1)在函数f(x)=x2+2x的图象上,其中n=
1,2,3,?.
(1)证明数列{lg(1+an)}是等比数列;
(2)设Tn=(1+a1)(1+a2)?(1+an),求Tn及数列{an}的通项.
分析:从题设入手,点(an,an+1)在函数f(x)=x2+2x的图象上,可得:
an+1=a
2n+2an,两边同时加1得an+1+1=(an+1)2.取对数即可解决问
题.
解答:(1)由已知an+1=a2n+2an,
∴an+1+1=(an+1)2.
∵a1=2,∴an+1>1,两边取对数得:
lg(1+an+1)=2lg(1+an),
即lg(1+an+1)lg(1+an)=2
∴{lg(1+an)}是公比为2的等比数列.
(2)由(1)知lg(1+an)=2n-1?lg(1+a1)
=2n-1?lg3=lg32n-1
∴1+an=32n-1.(*)
∴Tn=(1+a1)(1+a2)?(1+an)
=320?321?322???32n-1
=31+2+22+?+2n-1=32n-1.
由(*)式得an=32n-1-1.
16.已知Sn是数列{an}的前n项和,且an=Sn-1+2(n≥2),a1=2.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)设bn=1log2an,Tn=bn+1+bn
+2+?+b2n,是否存在最大的正整数k,
使得对于任意的正整数n,有Tn>k12恒成立?若存
在,求出k的值;若不
存在,说明理由.
解析:(1)由已知an=Sn-1+2①
得an+1=Sn+2②
②-①,得an+1-an=Sn-Sn-1(n≥2),
∴an+1=2an(n≥2).
又a1=2,∴a2=a1+2=4=2a1,
∴an+1=2an(n=1,2,3,?)
所以数列{an}是一个以2为首项,2为公比的等比数列,
∴an=2?2n-1=2n.
(2)bn=1log2an=1log22n=1n,
∴Tn=bn+1+bn+2+?+b2n=1n+1+1n+2+?+12n,
Tn+1=bn+2+bn+3+?+b2(n+1)
=1n+2+1n+3+?+12n+12n+1+12n+2.
∴Tn+1-Tn=12n+1+12n+2-1n+1
=2(n+1)+(2n+1)-2(2n+1)2(2n+1)(n+1).
=12(2n+1)(n+1).
∵n是正整数,∴Tn+1-Tn>0,即Tn+1>Tn.
∴数列{Tn}是一个单调递增数列,
又T1=b2=12,∴Tn≥T1=12,
要使Tn>k12恒成立,则有12>k12,即k<6,
又k是正整数,故存在最大正整数k=5使Tn>k12恒成立.
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